精品解析：吉林省松原市宁江区吉林油田第十二中学2025—2026学年度第二学期第四次阶段测试 九年级数学试卷

吉林油田第十二中学2025-2026学年度初三第四次模拟考试 数 学 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个符合题意，每小题3分，共18分） 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 如图是一款陀螺的示意图，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 5. 如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两点之间线段最短 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 6. 如图，是的直径，过上一点作的切线，所作切线与的延长线交于点，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：________． 8. 一元二次方程有实数根，写出一个符合条件的的值_____． 9. 长尾夹是我们日常学习、办公经常用到的一种文具．某品牌的长尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，经测量知，，，则在图2闭合状态下点之间的距离是______． 10. 如图，在等腰三角形中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线与交于点，连接，则的度数是 ______． 11. 如图，直线与轴交于点N ，与轴交于点M ，A为的中点，的顶点B在轴上，顶点C在直线上，则的面积为_____． 三、解答题（共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值： ，其中． 13. 在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分A、B、C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法． （1）参与者小刚被分到C组的概率是________． （2）求参与者小刚和小利被分配到同一组的概率． 14. 某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 15. 如图，四边形是菱形，于点，于点．     （1）求证：； （2）若菱形的边长为，，求的长． 16. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为边画一个等腰，点D为格点． （2）在图②中的边上确定一点E，连接，使． （3）在图③中的边上确定一点F，连接，使． 17. 某校学生会为了解本校学生每天做作业所用时间的情况，采用问卷的方式对一部分学生进行调查．在确定调查对象时，大家提出以下几种方案：．对各班班长进行调查；．对某班的全体学生进行调查；．从全校每班随机抽取名学生进行调查，在问卷调查时，每位被调查的学生都选择了问卷中适合自己的一个时间，学生会将收集到的数据整理后绘制成如下的条形统计图． （1）为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择了方案______．（填，或） （2）被调查的学生每天做作业所用时间的众数为______小时． （3）根据以上统计结果，估计该校名学生中每天做作业用小时的人数． 18. 数学小组研究如下问题：吉林油田第十二中学的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度？为完成任务，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息： 信息一 在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线． 信息二 如图，是经过南、北极的圆，地球半径约为．弦，过点O作于点K，连接．若，则以KB为半径的圆的周长是北纬纬线的长度． 信息三 参考数据：取3，，， 根据以上信息，求北纬的纬线的长度？（结果保留整数） 19. 如图，等边中，，．点从点出发以每秒个单位的速度沿边向终点运动，过点作于点，过点向上作，且，以、为边作矩形，设点的运动时间为（秒），矩形与的重叠部分图形的面积为． （1）________（用含的式子表示）． （2）求当点落在上时的值． （3）当矩形与的重叠部分图形为四边形或三角形时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 20. 项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动，已知，，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m（牛奶+水） 120 60 50 40 150 的距离 12.5 25 30 37.5 10 问题解决 （1）任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而________，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； （2）任务二：某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量； （3）任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 21. 在一次数学活动中，某学习小组探究如下：作线段，取其中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点、点旋转后的对应点分别为点、点），如图①，设旋转角度为，且，． （1）当时，求点旋转到点所经过的路径长度（结果保留）； （2）小组同学又进行了如下探究：如图②，连接，取中点，连接、交于点，在旋转过程中，小组同学猜想出如下三个结论：①且线段与线段互相平分；②；③．正确的结论是______（填序号）；选择一个正确结论说明理由； （3）小组同学又进行如下操作：如图③，连接，取中点，连接，若线段与线段关于直线成轴对称，连接、，直接写出当四边形为正方形时的值． 22. 某校数学学习小组的同学们对过山车的轨道设计很好奇，他们在网上找到一张过山车的设计图，截取其中的一部分，利用一次函数和二次函数相关知识进行探究． 首先他们在平面直角坐标系中画出这个图形，如图①，将其整体看成图象，是二次函数和一次函数的图象组合．分析得到：若时，；若时，．随后他们测量了图象上一些点的坐标，数据如下： （1）直接写出，，的值． （2）如图②，他们在整个图象上设计了一个动点，设点的横坐标为，过点作一条平行于轴的直线，在直线上取点，点的横坐标为． ①当时，求出点落在图象上时的值． ②如图③，若过、两点作轴的垂线，垂足分别为点、点，得到矩形，当矩形为正方形时，求的值． ③在直线上另取点，点的横坐标为（点与点不重合），当线段的长度随的增大而增大时，分别直接写出线段与图象的交点个数为个和2个时的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林油田第十二中学2025-2026学年度初三第四次模拟考试 数 学 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个符合题意，每小题3分，共18分） 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据相反数定义解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选B． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，掌握相反数的概念成为解答本题的关键． 2. 如图是一款陀螺的示意图，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从正面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，主视图为： 故选：C． 3. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法进行求解是解决本题的关键． 先解一元一次不等式，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可得出答案． 【详解】解：解不等式， 解得． 所以不等式的解集在数轴上表示为： 故选：C． 4. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，此选项正确，符合题意； B、，此选项错误，不合题意； C、 ，此选项错误，不合题意； D、 ，此选项错误，不合题意； 故选：A． 5. 如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两点之间线段最短 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 6. 如图，是的直径，过上一点作的切线，所作切线与的延长线交于点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，进而求得的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴ ∴ 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：原式． 8. 一元二次方程有实数根，写出一个符合条件的的值_____． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程有实数根，则． 根据一元二次方程有实数根的条件，判别式，且二次项系数求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且 ∴且， ∴可取， 故答案为：1（答案不唯一）． 9. 长尾夹是我们日常学习、办公经常用到的一种文具．某品牌的长尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，经测量知，，，则在图2闭合状态下点之间的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可得，且，则有，则有，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴，， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 10. 如图，在等腰三角形中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线与交于点，连接，则的度数是 ______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等以及等腰三角形两底角相等是解题的关键．先根据作图确定直线是的垂直平分线，得出，进而得到，再利用等腰三角形两底角相等求出的度数，最后通过角的差求出的度数． 【详解】解：由作图可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 如图，直线与轴交于点N ，与轴交于点M ，A为的中点，的顶点B在轴上，顶点C在直线上，则的面积为_____． 【答案】4.5 【解析】 【分析】本题考查了一次函数以及平行四边形的性质，根据题意得出图中各点的坐标是解本题的关键．根据一次函数解析式求出点M的坐标，得出A点坐标，再求出点C的坐标，然后运用平行四边形面积计算公式计算即可． 【详解】解：当时，， ∴点M的坐标为，． ∵点A为的中点， ∴． ∵四边形为平行四边形，点B在x轴上， ∴轴． 当时，， 解得：， ∴点C的坐标为， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 三、解答题（共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 13. 在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动．由于参加的人数较多，场地空间有限，活动将分A、B、C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成．请用画树状图或列表的方法． （1）参与者小刚被分到C组的概率是________． （2）求参与者小刚和小利被分配到同一组的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式即可求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：随机分配到A、B、C三组， 小刚被分到C组的概率是； 【小问2详解】 画树状图如下： 由图可知共有9种等可能性的情况，其中小刚和小利被分配到同一组的情况有3种， 小刚和小利被分到同一组的概率为． 14. 某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 【答案】这两日定制量的日平均增长率是 【解析】 【详解】解：设这两日定制量的日平均增长率是x．由题意得： 解得：，（不合题意舍去） 答：这两日定制量的日平均增长率是． 15. 如图，四边形是菱形，于点，于点．     （1）求证：； （2）若菱形的边长为，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，利用菱形的边、角特征结合全等三角形的判定定理证明三角形全等是解题的关键． （1）由菱形得，，由垂直得，即可用证全等； （2）勾股定理求，由全等得，结合菱形边长得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中， ， ∵， ∴， ∵菱形的边长为，即， ∴． 16. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为边画一个等腰，点D为格点． （2）在图②中的边上确定一点E，连接，使． （3）在图③中的边上确定一点F，连接，使． 【答案】（1）如图，即为所求；（答案不唯一） （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求； 【解析】 【分析】（1）取格点D，使即可； （2）取格点，连接，交于点，连接，即为所求； （3）取格点，连接，交于点，连接，即为所求． 【小问1详解】 解：∵， ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 由图和勾股定理得：，， ∴． 17. 某校学生会为了解本校学生每天做作业所用时间的情况，采用问卷的方式对一部分学生进行调查．在确定调查对象时，大家提出以下几种方案：．对各班班长进行调查；．对某班的全体学生进行调查；．从全校每班随机抽取名学生进行调查，在问卷调查时，每位被调查的学生都选择了问卷中适合自己的一个时间，学生会将收集到的数据整理后绘制成如下的条形统计图． （1）为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择了方案______．（填，或） （2）被调查的学生每天做作业所用时间的众数为______小时． （3）根据以上统计结果，估计该校名学生中每天做作业用小时的人数． 【答案】（1） （2） （3）约有人 【解析】 【分析】本题考查了调查的可靠性，样本估计总体，众数的定义； （1）根据调查的可靠性逐项分析判断，即可求解； （2）根据条形统计图结合众数的定义，即可求解； （3）用乘以样本中每天做作业用小时的占比，即可求解． 【小问1详解】 解：为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择了方案C； 【小问2详解】 众数是：1.5小时； 【小问3详解】 （人）． 则估计该校800名学生中每天做作业用1.5小时的人数是304人． 18. 数学小组研究如下问题：吉林油田第十二中学的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度？为完成任务，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息： 信息一 在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线． 信息二 如图，是经过南、北极的圆，地球半径约为．弦，过点O作于点K，连接．若，则以KB为半径的圆的周长是北纬纬线的长度． 信息三 参考数据：取3，，， 根据以上信息，求北纬的纬线的长度？（结果保留整数） 【答案】约为 【解析】 【分析】由平行线的性质，锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解： ， ． ∵ ∴在中，，， ∴北纬纬线的半径： ∴ 答：纬线长度约为． 19. 如图，等边中，，．点从点出发以每秒个单位的速度沿边向终点运动，过点作于点，过点向上作，且，以、为边作矩形，设点的运动时间为（秒），矩形与的重叠部分图形的面积为． （1）________（用含的式子表示）． （2）求当点落在上时的值． （3）当矩形与的重叠部分图形为四边形或三角形时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由是等边三角形，，，得，而，，则； （2）由矩形的性质得，，，则，，当点落在上，则，此时，而，则，所以； （3）由（2）可得当落在上时，；当点与点重合，则，得，当点与点重合，则，得，再分两种情况讨论，当时；当时即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， 如图，当点落在上，则， ∴， ∵， ∴， 解得：； ∴当点落在上时，的值为； 【小问3详解】 解：由（2）可得点落在上时，的值为 如图，当点与点重合， 则，解得； 当点与点重合， 则，解得； 当时， ∵， ∴； 当时，如图，， ∴ ∴， ∴， 综上所述，． 20. 项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动，已知，，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m（牛奶+水） 120 60 50 40 150 的距离 12.5 25 30 37.5 10 问题解决 （1）任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而________，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； （2）任务二：某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量； （3）任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 【答案】（1）减小，反比例函数； （2）这个空牛奶盒的质量为； （3）右边托盘应向左边移动 【解析】 【分析】（1）根据表格数据可知，的长度随着总质量m的增大而减小，根据，猜想：l与m满足怎样的函数关系：反比例函数； （2）先设l关于m的函数解析式为，运用待定系数法，求出反比例函数的解析式为，再设空牛奶盒的质量为，根据题意得：，解方程，从而求出这个空牛奶盒的质量； （3）含水的牛奶盒质量为，牛奶盒与砝码的位置互换后，要使天平左边与右边平衡，则有，求出l，并根据任务二，求出右边托盘应向左边移动． 【小问1详解】 解：任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而减小， ∵， ∴依此猜想：l与m满足：反比例函数； 【小问2详解】 解：设l关于m的函数解析式为， 则，将代入， 得：， 即l关于m的函数解析式为， 设空牛奶盒的质量为， 根据题意得：， 解得：， 答：这个空牛奶盒的质量为． 【小问3详解】 解：由任务二得，含水的牛奶盒总质量为， ∵将含水的牛奶盒与砝码的位置互换， ∴要使天平左边与右边平衡，可列式为：， 解得：， ∵， ∴要使天平仍保持平衡，右边托盘应向左边移动． 21. 在一次数学活动中，某学习小组探究如下：作线段，取其中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点、点旋转后的对应点分别为点、点），如图①，设旋转角度为，且，． （1）当时，求点旋转到点所经过的路径长度（结果保留）； （2）小组同学又进行了如下探究：如图②，连接，取中点，连接、交于点，在旋转过程中，小组同学猜想出如下三个结论：①且线段与线段互相平分；②；③．正确的结论是______（填序号）；选择一个正确结论说明理由； （3）小组同学又进行如下操作：如图③，连接，取中点，连接，若线段与线段关于直线成轴对称，连接、，直接写出当四边形为正方形时的值． 【答案】（1）； （2）①②，证明见解析； （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质，得到点是以点为圆心，长为半径的圆弧，利用弧长公式求解； （2）根据旋转的性质得到是等腰三角形，再利用三角形的中位线性质与等腰三角形“三线合一”证得最终结果； （3）根据三角形的中位线的性质与“在直角三角形中，角所对的边是斜边的一半”得到对应的线段相等，最后通过等量代换解得答案． 【小问1详解】 解：∵点旋转到点， ∴点是以点为圆心，长为半径的圆弧， ∵，点是线段的中点， ∴， 又， ∴点旋转到点所经过的路径长度为； 【小问2详解】 解：正确的为①②，证明如下： ①∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵点为的中点， ∴是线段的垂直平分线，， 由题意知，分别是线段的中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线，， 即，与互相平分； ②∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵点为的中点， ∴是线段的垂直平分线，， 由题意知，分别是线段的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：当或时，四边形是正方形，理由如下： 由题意知：， ∵分别是的中点， ∴， ∵与关于对称， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ①如图1所示：当时 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴矩形是正方形； ， ②当时，如图2所示：延长交于点， ， ∵， ∴， 在中，， ∴，则， ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 22. 某校数学学习小组的同学们对过山车的轨道设计很好奇，他们在网上找到一张过山车的设计图，截取其中的一部分，利用一次函数和二次函数相关知识进行探究． 首先他们在平面直角坐标系中画出这个图形，如图①，将其整体看成图象，是二次函数和一次函数的图象组合．分析得到：若时，；若时，．随后他们测量了图象上一些点的坐标，数据如下： （1）直接写出，，的值． （2）如图②，他们在整个图象上设计了一个动点，设点的横坐标为，过点作一条平行于轴的直线，在直线上取点，点的横坐标为． ①当时，求出点落在图象上时的值． ②如图③，若过、两点作轴的垂线，垂足分别为点、点，得到矩形，当矩形为正方形时，求的值． ③在直线上另取点，点的横坐标为（点与点不重合），当线段的长度随的增大而增大时，分别直接写出线段与图象的交点个数为个和2个时的取值范围． 【答案】（1），， （2）①；②当的值为，，，时，矩形为正方形；③当时，线段与图象的交点个数为个；当时，线段与图象的交点个数为个 【解析】 【分析】（1）将，；；，，，代入当时，；当时，，求解即可； （2）①由题意知：当时，点，都在二次函数图象上，且轴，推出，求解即可； ②由题意知：点的横坐标为，点的横坐标为，轴，得，推出，点的纵坐标为或，分两种情况：当时，当时，分别求解即可； ③根据线段的长度随的增大而增大，推出，根据二次函数图象的对称性得点关于对称轴的对称点的横坐标为；继而推出当时，线段与图象的交点个数为个；然后再分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵当时，；当时，， 又∵当时，；当时；，当时，， ∴， 解得：， ∴当时，；当时，， 【小问2详解】 解：①∵当时，， 又∵当时，点，都在二次函数图象上，且点的横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴， 解得：； ②∵点的横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴， ∵矩形为正方形，轴， ∴， ∴点的纵坐标为或， 当时， ，解得：（不符合题意，舍去）或； ，解得：或； 当时，，解得： 综上所述，当的值为，，或时，矩形为正方形； ③∵点的横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴， 又∵线段的长度随的增大而增大， ∴，即， ∴， 此时二次函数图象上点关于对称轴的对称点的横坐标为； ∵， ∴当时，线段与图象的交点个数为个； 当时，，此时线段与图象的交点个数为个； ∵当时，， 当时，， ∴， 当线段与图象的交点个数为个时，则， 解得：， ∴； 当线段与图象的交点个数为个时，则， 解得：（不符合题意，舍去）或， 综上所述，当时，线段与图象的交点个数为个；当时，线段与图象的交点个数为个． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，一元二次方程与不等式的应用等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $