四川省字节精准教育联盟2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

**基本信息** 高二数学AI同步测验，融合文化传承（朱世杰堆垛问题）、现实应用（正态分布面包质量、观影座位排列）与数学建模（高尔顿钉板概率模型），注重数学眼光观察、思维推理与语言表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|等差等比数列、正态分布、二项式定理|高尔顿钉板结合二项分布考查期望方差，体现概率模型思想| |填空题|3题15分|等比数列性质、导数极值、概率递推|第14题以知识竞赛为情境，构建概率递推模型，培养数据观念| |解答题|5题77分|数列求和、立体几何、统计案例、导数应用|第18题健康调查结合独立性检验与概率分布，第19题导数综合考查分类讨论与恒成立，发展逻辑推理与创新意识|

姓名：____________ 学号：___________________________ 练习题启封前按机密事项保管 SCTB 字节精准教育联盟·AI同步测验 2026年春季学期6月测试供题（川北） 高二数学 ZJ-GZ-GA-2027S-G27-GZYK AI赋能·精准测评 考生注意： 1. 练习题分为试题卷和答题卡两部分，试题卷和答题卡各1张。 2. 试题卷共4页，答题卡共2面，满分150分，练习时间120分钟。 3. 答题前，学生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将试题卷和答题卡内项目填写清楚。 4. 学生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 5. 练习结束后，请将试题卷、答题卡和草稿纸一并交回。 ◈预祝你们考试成功◈ 郑重提醒 学生须在练习开始前检查试题卷和答题卡，若存在缺页、漏印、字迹模糊等情况，应于练习前向老师报告；练习后报告的，延误的练习时间不予补足。对练习题内容有疑问，不得向老师询问。 练习结束前，严禁拍照、传播、上传练习题至任何网络平台，违者依规严肃处理。 请严格遵守练习纪律，违纪舞弊行为将按相关规定严肃处理。 一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。在每题所给出的四个选项中，只有一项是正确的。 1．在等差数列中，，则（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 2．某店经营的某种包装的面包质量（单位：）服从正态分布，且，则从该店中任意买一个这种包装的面包，其质量在之间的概率为（    ） A．0.7 B．0.35 C．0.85 D．0.5 3．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为，则随机变量的期望与方差分别为（    ） A． B．2，1 C．3，1 D． 4．一个三口之家和一对夫妇共计5人前往电影院观看电影,核心观影区现在还剩余一排7个相连的座位.要求同一家庭的座位必须相连，且两个家庭中间至少间隔一个座位，则符合要求的排座方式一共有（    ） A．48种 B．72种 C．144种 D．216种 5．设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 6．的展开式中的系数为（    ） A．12 B．60 C．160 D．240 7．已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：共3小题，每小题6分，满分18分。在每题所给出的四个选项中，有多项是正确的，全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．朱世杰（1249年-1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家，教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为，共有44层，问全垛共有多少个果子？现有一个层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列，其前项和为，则下列结论正确的是（    ） （参考公式：） A． B．是等比数列 C．函数单调递增 D．原书中该“堆垛问题”的结果为15180 10．已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知各项均为正数的数列满足：，以及，数列满足，则（    ） A． B．数列的前项和为 C．数列的前项和为 D．若，则 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 12．在正项等比数列中，， ，求________. 13．已知函数在区间上存在极值点，且该极值点处导数存在，则a的取值范围是______． 14．某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题（即每名同学至少答对1题）．若每次每组对的题数之和为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题的概率为______． 四、解答题：共5小题，满分77分。解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述。 15．（13分） 已知的顶点，，边AB上的中线所在直线方程，边AC上的高所在直线方程为． (1)求顶点C的坐标； (2)求的面积． 16．（15分） 记为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 17．（15分） 如图，正四棱柱中，M为的中点，，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 18．（17分） 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒．某医学研究小组为了解20-30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如列联表． 性 别 健 康 状 况 合 计 感 冒 不感冒 男 8 14 女 4 24 合 计 (1)在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望； (2)补全上表，并在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20-30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？ 参考数据与参考公式： 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 19．（17分） 已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 练习题第4页，共4页 高二数学练习题 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 高二数学六月供题参考答案与试题解析（川北） ZJ-GZ-GA-2027S-G27-GZYK AI赋能·精准测评 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A A C B A B C D ACD ABD ACD 1．A 【难度】0.94 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】在等差数列中，， 则，即， 故选：A 2．A 【难度】0.85 【知识点】正态分布的实际应用、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】由正态分布的性质可得，即可求解之间的概率. 【详解】某种包装的面包质量服从正态分布，且， 则有，由对称性可得， 则有. 所以其质量在之间的概率为. 故选：A 3．C 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】利用二项分布的概率公式及离散型随机变量的期望公式、方差公式一一计算即可. 【详解】白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为， 则向左的次数服从二项分布. 因为，， 所以，. 故选：C 4．B 【难度】0.55 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【详解】三口之家三人全排列有种不同的排法，一对夫妇有种不同的排法， 若两个家庭之间有1个空位的排法有； 若两个家庭之间有2个空位的排法有； 所以符合要求的排座方式一共有种. 5．A 【难度】0.85 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列片段和的性质即可得到成等比数列，再计算即可得到答案. 【详解】等比数列中，成等比数列， 成等比数列， ， 故选：A． 6．B 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数 【分析】先写出的二项展开式的通项，令，求出值，再代入通项中，计算即可得解. 【详解】因为的二项展开式的通项为 ， 令，解得，所以， 所以的展开式中的系数为60. 故选：B 7．C 【难度】0.6 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据函数的单调性解不等式 【分析】求出函数的定义域，利用导数分析函数的单调性，由可得出关于的不等式组，由此可解得原不等式的解集． 【详解】函数的定义域为， 则 对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数， 由可得，解得或， 因此，不等式的解集为． 8．D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】先将的大小比较转化为比较，构造函数，即比较，求导分析函数的单调性可得结果. 【详解】依题意，，，， 令，，则，所以当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以，即，即. 9．ACD 【难度】0.65 【知识点】等比数列的定义、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据题设得，即可判断A；由等差数列的定义判断，分组求和求，进而得到并确定单调性，即可判断各项的正误. 【详解】依题意，每层的果子数分别为，则数列的通项， A，，对； B，时，， 所以，则为等差数列，错； C， ，则，单调递增，对； D，，对. 故选：ACD 10．ABD 【难度】0.65 【知识点】奇次项与偶次项的系数和、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【详解】选项A，令 ，代入 ， 得，即 ，A正确； 选项B， ，是的系数，取 ， 则 ，B正确； 选项 C，令 ，则 ， 令 ，则 ， 两式相减， 得到 ， 解得 ，即 ，C错误； 选项D，对两边求导， 得到， 令 ，得到=，D正确. 11．ACD 【难度】0.4 【知识点】裂项相消法求和、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、利用导数证明不等式 【分析】对A：借助因式分解可得，再由可得，即可得数列，即可得；对B：借助等比数列与等差数列求和公式计算即可得；对C：借助裂项相消法计算即可得；对D：构造函数，结合导数研究其单调性可得，则可得，再利用等比数列求和公式计算即可得. 【详解】对A： ， 由，则，即， 故数列是以为公差的等差数列，则， 即，故，则， 故，则，故A正确； 对B：， 则其前项和为，故B错误； 对C: ， 则数列的前项和为： ，故C正确； 对D：，令，， 则，故在上单调递减， 则，即， 故 ， 即有，则，故D正确. 故选：ACD. 12． 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】设正等比数列的公比为，根据等比数列的性质，求得，再由等比数列的通项公式，求得，进而求得的值. 【详解】设正项等比数列的公比为，且， 因为，根据等比数列的性质，可得，所以， 又因为，可得，解得， 因为，所以，则. 13． 【难度】0.72 【知识点】根据极值点求参数 【分析】将问题转化为导函数方程在给定区间上有解即可求得. 【详解】由求导得， 因函数在区间上存在极值点， 则需使方程在上有解，且需确保该解为极值点（即，使得在两侧变号） 由方程在上有解，可得， 故a的取值范围是. 14． 【难度】0.4 【知识点】利用全概率公式求概率、独立重复试验的概率问题 【分析】先用古典概型计算公式求每次每组对的题数之和是3的倍数的概率，设第次由甲组答题的概率为，由全概率公式得到与的递推公式，根据递推公式求数列的通项公式，令，可得问题答案. 【详解】记答题的两位同学答对的题数分别为，，则， 当时，是3的倍数， 故两位同学答对的题数之和是3的倍数的概率为，两位同学答对的题数之和不是3的倍数的概率为． 记第n次由甲组答题的概率为，则由乙组答题的概率为，，即， 进一步有， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以. 令，则． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设表示第n次由甲组答题的概率，由全概率公式得 ，得到数列的递推公式是解决该题的关键. 15．【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、由两条直线垂直求方程、求点到直线的距离、求直线交点坐标 【分析】（1）利用垂直直线的斜率关系，联立直线方程，可得答案； （2）根据两点距离以及点到直线的距离公式，结合三角形面积公式，可得答案. 【解】（1）AC上的高所在直线万程为：，则该直线的斜率为， 又点，所以AC所在直线方程为：． 即，由，解得：， 故C点坐标为． （2）由，又点， 所以点B到AC的距离， 故的面积． 16．【难度】0.73 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据给定条件，利用求出通项公式. （2）由（1）求出，利用错位相减法求和即得. （1）【解】数列的前项和，当时，， 而，满足上式，所以数列的通项公式为. （2）【证明】由（1）得，令， 则，， 两式相减得， 因此，所以. 17．【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直 【分析】（1）根据正四棱柱的几何性质确定线段长度，结合勾股定理可得，，再根据线面垂直判定定理即可证得结论； （2）根据三棱锥的等体积转化，结合体积公式求解即可. （1）【证明】如图，连接. 正四棱柱中，M为的中点，，， ，， ， 又，. ， . 同理可得. ，平面，平面， 平面. （2）【解】由（1）知，，且平面. . 三棱锥的体积为4. 18．【难度】0.71 【知识点】独立性检验解决实际问题、写出简单离散型随机变量分布列、完善列联表、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用分层抽样的方法抽取6人，则抽取男性4人，女性 2人，随机变量的所有取值为，求出对应概率，即可列出分布列，求出期望； （2）根据列联表中的数据， 经计算得到，再和参考数据表中对应的数据比较，即可得到结论. 【解】（1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人， 再从这6人中随机选取3人访谈， 记参与访谈的男性人数为， 样本中感冒的男性有8人，女性有4人，比例为2∶1， 按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，则抽取男性4人，女性2人， 随机变量的所有取值为1，2，3， ，，， 所以的分布列为： 1 2 3 所以． （2）填表如下： 性 别 健 康 状 况 合 计 感 冒 不感冒 男 8 14 22 女 4 24 28 合计 12 38 50 零假设：20-30岁年轻人的体质健康与性别无关， 根据列联表中的数据，得到， 因为，假设成立， 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为20-30岁年轻人的体质健康与性别无关. 19．【难度】0.43 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）代入得到具体函数后，确定定义域，求导找到极值点，根据导数正负判断单调性，进而求得最小值； （2）先求的导函数，对参数分类讨论，根据导函数在定义域上的符号变化，判断的单调性； （3）将不等式变形分离参数，把恒成立问题转化为小于新函数最小值的问题，通过求导得到新函数最小值的范围，进而得到整数的最大值. 【解】（1）当时，，定义域为，， 令得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的最小值为； （2）定义域为，， 若，则恒成立，所以恒成立，故在上单调递减； 若，令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）即， 整理得， 因，即，两边除以得， 令，则， 令，则，在单调递增， 因为，，故存在唯一零点，满足， 当时，，则，单调递减； 当时，，则，单调递增； 因此的最小值为， 因为，所以，因为，且，所以的最大值为. 答案第10页，共10页 高二数学练习题答案 第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $