精品解析：四川广安加德学校2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题

广安加德学校2025-2026学年度下期高2024级3月月考 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 等差数列2，4，6，…的第9项为（ ） A. 20 B. 22 C. 18 D. 26 【答案】C 【解析】 【详解】等差数列 2，4，6，…的首项为2，公差为2，则其通项公式为， 故数列的第9项为. 2. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目条件，利用导数的定义即可求解. 【详解】. 故选：D 3. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 4. 已知数列为等比数列，为数列的前项积，且，则（ ） A. 27 B. 9 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由题意得：， 又由等比数列性质可得：， 所以， 故选：A 5. 已知椭圆和双曲线焦点相同，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为椭圆和双曲线焦点相同， 所以，解得. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先对函数求导，然后判断函数的单调性，进而可得出对应的图象. 【详解】， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减，排除B，C，D. 故选：A． 7. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导，再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式方程可求. 【详解】因为，所以，则， 所以函数在处的切线方程为，即. 故选：B. 8. 已知正实数a，b满足，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，分别求出这两个函数值域，可知有且仅有一种情况使得，求出的值计算求和即可 【详解】等式左边：设，求导得， 时，在单调递减，时，在单调递增， 因此的最小值为，所以， 等式右边：设，求导得， 时，，在单调递增，时，，在单调递减， 因此的最大值为，所以， 又，因此仅当时等式成立，即 ，， 故. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知数列的前项和为，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用递推公式可列方程组求解，即可判断AB，再利用递推关系构造成等比数列，从而可求得通项，再利用等比数列求和，即可判断CD. 【详解】对于A，B，由，可得， 因为，，，所以， 解得，故A正确，B错误； 对于C，由A，B选项的分析可得：，即， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 即，所以， 则，故C正确； 对于D， ，故D正确． 故选：ACD． 10. 双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线上的一点，则下列不正确的是（ ） A. 若，则或 B. 过的直线与交于两点，则的最小值为 C. 能使为直角三角形的点有个 D. 若为钝角三角形，点到坐标原点的距离的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用双曲线的定义，即可判断选项A，利用特殊位置关系即可判断选项B，利用双曲线图像的对称性即可判断选项C，根据两点之间距离公式以及图像即可判断选项D. 【详解】由题意知双曲线的两个焦点分别为，， 对于A，由双曲线定义知，所以或， 但双曲线右支上的点到右焦点最短距离为， 所以不合题意，故A错误. 对于B，过的直线为轴时，与交于两点分别为，， 此时，故B错误. 对于C，若为直角三角形， 则，，均可以为直角， 根据对称性可得这样的直角三角形有个，故C正确. 对于D，设， 则点到坐标原点的距离， 又，整理得， 很明显，时，， 根据图形，明显为钝角三角形， 所以点到坐标原点的距离的取值范围不限为，故D错误. 故选：ABD 11. 已知函数，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. 对，方程恒有两个不同的实数解 C. D. 存在，使得直线与曲线相切 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A选项，利用导数即可求出极小值；对于B选项，将问题转化为与有两个交点即可；对于C，根据在上单调递增，可得，代入化简即可判断；对于D，设切点为，则切线方程为：，将点，代入化简得：，令，利用导数研究函数的取值范围即可判断D选项. 【详解】函数​的定义域为，且， 令，解得 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 则是函数的极小值点，故A 正确； 对于B，的极小值为， 当时，，，当时，， 结合图像可知对，方程恒有两个不同解成立，故B正确； 对于C，由于当时，单调递增，所以，则， 即,所以，故C不正确； 对于D，设切点为，切线斜率为， 切线方程为：， 因为切线过，代入得： 化简得：， 整理得：，即， 令，， 则，所以在和上单调递增， 所以当时，，当时，， 则当时，无解， 即不存在，使得直线与曲线相切，故D不正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】因为， 所以点到平面的距离为：. 故答案为： 13. 已知数列的前n项和为，满足，则________． 【答案】243 【解析】 【详解】令，得，得， 由，当时，， 两式相减得，，即， 即，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以. 14. 函数恰有两个极值点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】函数，，由于函数两个极值点为，即是方程的两个不等实数根，即方程，且，；设，在同一坐标系内画出两个函数图象，如图所示, 要使这两个函数有个不同的交点，应满足，解得，所以的取值范围为，故选. 【方法点睛】本题主要考查函数的极值、函数与方程以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. （1）求a的值； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得a的值； （2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 函数，则， 则，而直线的斜率为， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 则，解得， 【小问2详解】 由（1）可知，所以，定义域为， ， 令，即，化简可得，解得， 当时，函数单调递增。由，即，解得或， 所以的单调递增区间为和， 当时，函数单调递减，由，即，解得， 所以的单调递减区间为； 综上， 的单调递增区间为和，单调递减区间为. 16. 如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，． （1）求证：； （2）若，且，， ①求平面与平面所成锐二面角的大小； ②在棱上是否存在点，使得与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；（2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可证出平面，即可证得； （2）①建立空间直角坐标系确定各点坐标，求出两个平面的法向量，由平面夹角公式即可求出； ②设得出点的坐标，再根据线面角的向量公式列出方程，求解即可判断满足条件的点是否存在. 【小问1详解】 证明：，. 底面，底面，. 平面平面， 平面. 平面，； 【小问2详解】 ①依题意可知，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 由题， 则 设平面的法向量为，平面的法向量， 则有，取. ，取，则，故. 设平面与平面所成的锐二面角的平面角为， ，即； ②设，则， 设，则，解得， 即，则， ， 化简得：，平方得， 解得，又因，故舍去， 故不存在点，使得与面所成的角为． 17. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； （3）利用错位相减法来求和即可. 【小问1详解】 由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可知：，故； 【小问3详解】 ， ， 两式相减，得 ， ， 故. 18. 已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． （1）求的方程； （2）若，求直线的方程； （3）设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由焦半径公式求出p即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式即可求出参数得解； （3）由两点间斜率公式结合（2）中的韦达定理进行转化计算即可求解. 【小问1详解】 根据题意可得，解得．所以的方程为． 【小问2详解】 设，，直线的方程为． 由消去得， 所以即，，， 所以，解得， 所以直线的方程为； 【小问3详解】 证明：因为点在上，所以或（舍去），所以， 由（2）得，， 所以． 因为，， 所以，即为定值． 19. 已知函数 （1）已知在点处的切线方程为，求实数的值； （2）已知在定义域上是增函数，求实数的取值范围． （3）已知有两个零点，求实数的取值范围并证明． （4）比较，，三者的大小，并证明． 【答案】（1） （2） （3）， 不妨设两个零点 由，所以， 所以，所以， 要证， 只需证， 只需证， 由， 只需证， 只需证， 只需证， 令，只需证， 令， ， 所以在上单调递增，故， 即成立， 所以成立. （4）， 证明：由（3）可得：， 即，又， 所以 综上可知： 【解析】 【分析】（1）切线方程的斜率为1，所以有，解方程即得实数a的值； （2）依题意在上恒成立，分参求解即可； （3）求出函数的单调性，结合零点存在性定理即可求实数a的取值范围；通过分析法要证明，只需证，构造函数即可证得； （4）由（3）的结论即可判断大小. 【小问1详解】 因为，所以. 所以，又在点处的切线方程为， 所以，解得. 【小问2详解】 的定义域为，因为在定义域上为增函数， 所以在上恒成立. 即恒成立， 即，即， 令，所以， 时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. 【小问3详解】 定义域为 当时，，所以在上单调递减，不合题意. 当时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 函数存在两个零点的必要条件是， 即，又， 所以在上存在一个零点（）. 当时，，所以在上存在一个零点， 综上函数有两个零点，实数a的取值范围是. 证明：略 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校2025-2026学年度下期高2024级3月月考 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 等差数列2，4，6，…的第9项为（ ） A. 20 B. 22 C. 18 D. 26 2. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列为等比数列，为数列的前项积，且，则（ ） A. 27 B. 9 C. 3 D. 5. 已知椭圆和双曲线焦点相同，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数a，b满足，则为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知数列的前项和为，，，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线上的一点，则下列不正确的是（ ） A. 若，则或 B. 过的直线与交于两点，则的最小值为 C. 能使为直角三角形的点有个 D. 若为钝角三角形，点到坐标原点的距离的取值范围为 11. 已知函数，则（ ） A. 是函数的极小值点 B. 对，方程恒有两个不同的实数解 C. D. 存在，使得直线与曲线相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为______. 13. 已知数列的前n项和为，满足，则________． 14. 函数恰有两个极值点，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. （1）求a的值； （2）求函数的单调区间. 16. 如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，． （1）求证：； （2）若，且，， ①求平面与平面所成锐二面角的大小； ②在棱上是否存在点，使得与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 17. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 18. 已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． （1）求的方程； （2）若，求直线的方程； （3）设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 19. 已知函数 （1）已知在点处的切线方程为，求实数的值； （2）已知在定义域上是增函数，求实数的取值范围． （3）已知有两个零点，求实数的取值范围并证明． （4）比较，，三者的大小，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $