2025～2026学年苏科版八年级数学下册期末基础自测卷

**基本信息** 苏科版八年级下册期末基础巩固卷，以神舟飞船零部件调查、陕西文化课程等真实情境为载体，覆盖统计与概率、几何图形、代数运算等知识，通过分层设计考查抽象能力、空间观念与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|普查与抽样、概率估计、平行四边形计数|第1题以神舟飞船零部件调查创设科技情境，考查数据意识| |填空题|8/24|分式方程解的范围、数据统计、菱形动态问题|第13题结合陕西文化课程统计，发展数据观念与应用意识| |解答题|10/76|几何证明、统计图表分析、函数建模|第24题书架购买问题融合不等式与函数，考查模型意识；第26题矩形折叠综合题，发展推理能力与空间观念|

苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 2025-2026学年苏科版八年级下册期末基础巩固卷 (考试时间：100分钟试卷满分：120分) 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上.考试时间为100分钟， 试卷满分120分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、学校以及考试 证号填写在答题卡的相应位置上，并将考试证号下方对应的数字方框涂黑， 2.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑.如需改动，请用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答， 写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效： 3.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚 4.卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果， 第I卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑) 1.下列调查中，适合采用普查的是() A.调查一批电视机的使用寿命 B.调查全省中学生最喜爱的体育运动项目 C.调查江苏卫视“苏超”直播节目的全国收视率 D.调查神舟二十三号载人飞船零部件的合格情况 2.小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为05，下列说法正 确的是() A.小星定点投篮1次，不一定能投中 B.小星定点投篮1次，一定可以投中 C.小星定点投篮10次，一定投中5次 试卷第1页，共27页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里充先乡笔 D.小星定点投篮5次，一定投中1次 3.如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2 幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形 的个数是() 第1幅 第2幅 第3幅 第n幅 A.200 B.201 C.199 D.198 4.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点，连接OE.若 OE=3，则菱形的周长为() A.12 B.24 C.36 D.48 5.如图，正方形OMNP的顶点O与正方形ABCD的对角线交点O重合，正方形ABCD和 正方形OMNP的边长都是2，则图中重叠部分的面积是() N A.1 B.2 c.3 D.4 6.若四条均不相等线段的长度分别为m,n,e,f，且满足mn=e,则下列各式不正确 的是() f mtee A.m:n=e:f B.m:f=e:n C.m-f e-n D.f+nn 7.装修师傅要用如图所示的A,B,C三种型号的板材装饰一面正方形墙壁，其中A型、 B型板材均为正方形，C型板材为矩形，统计数量时，发现用了4块A型板材、1块B型板 试卷第2页，共27页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒 因危光乡笔 材和4块C型板材正好铺满，则这面正方形墙壁的边长是(） A B A.a+b B.a+2b C.2a+b D.2a+2b 8.如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点 EF F处，若AB=6:BC=10,则AF的值为（） E C 2 9 A.3 B.5 C.20 1 D.1 2 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9.已知关于x的分式方程一343一解为非负数，则的取值范围是_· 10.如果a+b=10,ab=17,则ab+ab2的值为 11.如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB,BC的中点，点F在线段DE的延长线上， 且∠BFC=90°，若AC=4,BC=8,则DF的长是 D B 12.当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维 码中开展数学实验活动.如图，在边长为l0m的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的 试卷第3页，共27页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒 里充先乡笔 面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为cm2 回轻回 13.为继承与发扬传统文化，某校开设了以“陕西文化”为主题的活动课程，要求每位学 生在“唱民歌”、“打腰鼓”、“学秦腔”与“做皮影”四门课程中选且只选其中一门， 随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图，若该校共有1000名学 生且每间教室最多可安排30名学生，则估计开设“唱民歌”课程的教室至少需要间. 本人数/人 20 18 16 做皮影 唱民歌 12 10 36% 8 打腰鼓 学秦腔 唱民歌 打腰鼓学秦腔做皮影课程 2x+2 >x+1 14.如果关于x的不等式组 2(x-1)s4x-a有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方 2 -3=a 程1-yy-1的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 15.如图，在口ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B'恰好落 在边DC上；将△ADB沿AB折叠，点D的对应点D'恰好落在AE上.若∠C=a,则 ∠CB'E= (用含的式子表示) D B 试卷第4页，共27页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 里充先乡笔 16.如图，在菱形ABCD中，AC=4,BD=2,E为线段AC上的动点，四边形DAEF为 平行四边形，则BE+BF的最小值为一 D B 三、解答题（本大题共10小题，满分76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 2，x 17.(4分)解方程：六十x一1 18.(4分)计算： 1 a)4V2+v5o*v25 @2**35 19.(4分)因式分解： 04a2-16 2(x+4-16x2 20.(8分)在△ABC中， ∠B=∠C=a(0°<a<45),AM⊥BC于点M,D是线段BC上 的动点（不与点B,C,M重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2a得到线段DE. 图1 图2 (①)如图1，如果点E在线段AC上，求证：ME⊥AC: (2)如图2，如果D在线段BM上，在射线MB上存在点F满足DF=DC,连接 试卷第5页，共27页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 AE,AF,EF,求证：AE⊥FE 21.(8分)己知：如图，矩形ABCD A (I)尺规作图：在CD边上找一点E,将矩形ABCD沿BE折叠，使点C落在边AD上；（不 写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)所作图形中，若AB=6,BC=10,求CE的长. 22.(8分)2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下 简称《指南》)，旨在推动中小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲， 培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体.某校为落实《指南》要求， 准备在七年级开设“3D打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学 生必选且仅选一个社团)·为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分学生进 行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下： 计划参加四类科技社团人数的条形统计图计划参加四类科技社团人数的扇形统计图 人数 20 6 无人机 15 机器人 11 10H 32% 3D打印 5 16%22% 航模 3D打印航模机器人无人机社团 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量为 并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应 的数据) (2)若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数： (3)根据上述统计分析情况，请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议。 23.(8分)某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱 乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整 的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： 试卷第6页，共27页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 不人数 50 40 娱乐 阅读 30 20% 20 运动 上网 10 40% 运动娱乐 阅读上网选项 (1)在这次研究中，一共调查了名学生： (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好 阅读的学生概率是多少？ 24.(8分)【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更 加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆 放书籍。 【素材呈现】 素材一：有A,B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%： 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个： 2 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的 【问题解决】 (I)问题一：求出A,B两种书架的单价： (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为甲元，求W与a的函数关系式，并求出费 用最少时的购买方案： (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨 1 价3m元，按问题二的购买方案需花费21120元，求加的值. 25.(10分)某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长BC为 9√3m 8√2m ,宽AB为 ,现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长 试卷第7页，共27页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒 因危光乡笔 方形花坛的长为4+m,宽为4-m B (1)求长方形ABCD的周长. (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m的地砖， 则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 26.(12分)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=8,点E,F分别在边AD,BC 上，且AE=CF.将该纸片沿EF折叠，点A,B分别落在点G,H处，FH与边AD相交于 点M,连接EH, (1)△EM面积的最小值为()； (2)求证：DM=M: (3)若△EFH是以EH为腰的等腰三角形，求AE的长. H A 4 D m====▣==m=-==▣-年=m B F 试卷第8页，共27页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 2025-2026学年苏科版八年级下册期末基础巩固卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为100分钟．试卷满分120分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、学校以及考试证号填写在答题卡的相应位置上，并将考试证号下方对应的数字方框涂黑． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1．下列调查中，适合采用普查的是（     ） A．调查一批电视机的使用寿命 B．调查全省中学生最喜爱的体育运动项目 C．调查江苏卫视“苏超”直播节目的全国收视率 D．调查神舟二十三号载人飞船零部件的合格情况 【答案】D 【来源】2026年江苏省扬州市中考数学试题 【知识点】判断全面调查与抽样调查 【分析】一般来说，范围过大、具有破坏性、对精确度要求不高的调查适合抽样调查，精确度要求高、事关重大的调查适合采用普查，根据这个原则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、调查电视机使用寿命具有破坏性，不适合采用普查，故选项不符合题意； B、调查全省中学生范围广，调查对象数量大，不适合采用普查，故选项不符合题意； C、调查全国收视率范围广，调查对象数量大，不适合采用普查，故选项不符合题意； D、神舟载人飞船零部件合格情况直接影响飞行安全，要求每个零件都合格，结果必须准确，因此适合采用普查，故选项符合题意． 2．小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为，下列说法正确的是（     ） A．小星定点投篮次，不一定能投中 B．小星定点投篮次，一定可以投中 C．小星定点投篮次，一定投中次 D．小星定点投篮次，一定投中次 【答案】A 【来源】2026年广东省汕头市潮阳区 部分校中考前模拟数学试题 【知识点】概率的意义理解 【分析】本题考查了概率的意义，概率仅反映事件发生机会的大小，不代表事件一定发生或一定不发生，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：已知用频率估计得小星投中的概率为，根据概率的意义可得： ∵投中概率为只表示投篮次投中的可能性为，不一定投中，也不一定不投中， ∴选项正确，选项错误； ∵概率反映的是大量重复试验下的规律性，有限次投篮的结果是不确定的， ∴投篮次不一定恰好投中次，投篮次也不一定恰好投中次，因此选项错误； 综上，答案选． 3．如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形的个数是（   ） A．200 B．201 C．199 D．198 【答案】C 【来源】辽宁省营口市盖州市2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数图形中平行四边形的个数、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题中信息找出规律，得到第n幅图的通式是解题关键． 根据后一幅图比前一幅图多出2个平行四边形，求出第n幅图中的平行四边形个数的通式，再代入100即可求出答案． 【详解】解：第1幅图中有1个， 第2幅图中有3个， 第3幅图中有5个， 第4幅图中有7个， 则第n幅图中有个， ∴第100幅图中共有：， 故选：C． 4．如图，菱形的对角线相交于点，点是的中点，连接．若，则菱形的周长为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【来源】河南省安阳市滑分校2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长 【分析】由菱形的性质得到，，则由直角三角形的性质得到，再由菱形的周长公式可得答案． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点， ∴，， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴菱形的周长． 5．如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【来源】河南驻马店市第四中学2025-2026学年七年级下学期6月阶段检测数学试题 【知识点】求正方形重叠部分面积、根据正方形的性质求面积 【分析】证明重叠部分的面积恒等于正方形面积的，通过证明，将重叠部分（四边形）的面积转化为的面积求解. 【详解】解：设交于点，交于点， 四边形是正方形，边长， ，，，， 四边形是正方形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 图中重叠部分的面积是1 . 6．若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】清单03 分式（知识梳理 20个题型解读 真题拔高15题）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（青岛版） 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质逐一进行判断即可，灵活运用分式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能说明，原选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴ ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．装修师傅要用如图所示的，，三种型号的板材装饰一面正方形墙壁，其中型、型板材均为正方形，型板材为矩形，统计数量时，发现用了块型板材、块型板材和块型板材正好铺满，则这面正方形墙壁的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河北省邯郸市第二十七中学2025-2026学年九年级下学期中考二模数学 【知识点】完全平方公式分解因式 【详解】解：依题意，正方形的面积为： ∴正方形墙壁的边长是． 8．如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖北孝感市2025-2026学年九年级下学期5月阶段检测数学试题 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折的性质以及勾股定理，先求，再求出，在中，根据勾股定理可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由翻折可知：，， ， ， ， 在中， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．已知关于x的分式方程解为非负数，则k的取值范围是 ． 【答案】且． 【来源】江苏泰州市靖江市实验学校2025-2026学年下学期八年级5月学情自测数学试题 【知识点】求一元一次不等式的解集、解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值 【分析】解分式方程得到解的表达式，结合解为非负数和分式方程解需满足的条件即可得出k的取值范围． 【详解】解：两边同时乘以得， 解得， 由分式方程的解为非负数得， 解得， 由原分式方程的最简公分母不能为零得，即 解得， 故k的取值范围是且． 10．如果，，则的值为______． 【答案】 【来源】四川省成都市青羊实验学校2025--2026学年阶段学情自测八年级 数学 【知识点】提公因式法分解因式、因式分解的应用 【分析】将用提公因式法因式分解得到，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：，， ∴． 11．如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是______． 【答案】6 【来源】2025年江苏省扬州市中考真题数学试卷 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，点，分别是边，的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 12．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 【答案】35 【来源】江苏省常州市北郊中学2025-2026学年九年级下学期第一次模拟考试数学试卷 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率即可． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为． 13．为继承与发扬传统文化，某校开设了以“陕西文化”为主题的活动课程，要求每位学生在“唱民歌”、“打腰鼓”、“学秦腔”与“做皮影”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图，若该校共有1000名学生且每间教室最多可安排30名学生，则估计开设“唱民歌”课程的教室至少需要______间．    【答案】6 【来源】2024年陕西省西安市碑林区西北工业大学附属中学丘成桐少年班选拔初试数学试题 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、用样本的某种“率”估计总体相应的“率”、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图结合，用样本估计总体，根据条形统计图和扇形统计图获取相关数据是解题的关键．根据条形统计图和扇形统计图“做皮影”的对应数据，求出被调查的总人数，由样本估计总体可得到学校选择“唱民歌”的总人数，即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，本次调查学生人数（人） 则该校学生选择“唱民歌”人数（人） 故估计开设“唱民歌”课程的教师至少需要6间 故答案为：6． 14．如果关于的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为________． 【答案】 【来源】重庆市南开中学校2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组．先解两个不等式，再根据不等式组有解且至多有4个整数解得到，再解分式方程确定的值即可得到答案． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式，得：， ∴， ∵关于的不等式组至多有4个整数解， ∴， ∴， 由，得， ∵关于的分式方程的解为整数， ∴或或或且， ∴所有满足条件的整数有或， ∴所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 15．如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则______．（用含的式子表示） 【答案】 【来源】2025年山东省潍坊市中考真题数学试题 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形是平行四边形，得，，由折叠性质可知， ，，，故有，根据平行线的性质得，，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为_______． 【答案】 【来源】2025年江苏省连云港市中考数学试题 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知、运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 则如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，满分76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（4分）解方程：． 【答案】 【来源】2024年陕西省中考数学试题 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 18．（4分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【来源】黑龙江省双鸭山市集贤县2023-2024学年八年级下学期期末质量监测数学试卷 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的性质、二次根式的除法进行计算，再合并同类二次根式，即可求解； （2）根据二次根式乘除法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 19．（4分）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省十堰市2017-2018学年八年级上学期期末调研考试数学试题 【知识点】平方差公式分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解； （2）先用平方差公式进行因式分解，再用完全平方公式进一步分解． 【详解】（1）解：； （2）解： 20．（8分）在中，，于点M，D是线段上的动点（不与点B，C，M重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． (1)如图1，如果点E在线段上，求证：； (2)如图2，如果D在线段上，在射线上存在点F满足，连接求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】北京市通州区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题 【知识点】与三角形中位线有关的证明、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，中位线定理等知识点，掌握相关数学结论即可． （1）由旋转可知：，，进而得；根据，，可得；结合在中， ，即可求证； （2）延长到点N，使，连接可推出，，证 ，即可求证； 【详解】（1）证明：∵线段绕点D顺时针旋转得到线段． ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 即； （2）证明：如图，延长到点N，使，连接 ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（8分）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点，将矩形沿折叠，使点落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求CE的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】广东省梅州市五华县2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 【知识点】矩形与折叠问题、作角平分线(尺规作图)、画对称轴、用勾股定理解三角形 【分析】（1）以B为圆心，BC为半径作弧交AD于点F，作BE平分，交CD于点E即可； （2）由折叠可得，，利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程求解． 本题考查作图-复杂作图，矩形的性质，翻折变换，勾股定理，解题的关键是根据折叠可得，，从而求出． 【详解】（1）如图，点E即为所求； （2）四边形ABCD是矩形， ，，， 由折叠可得，， ， ， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， 22．（8分）2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体．某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量为___________，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据） (2)若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数； (3)根据上述统计分析情况，请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议． 【答案】(1)， 补全图形如下： (2)人 (3) 建议开展形式多样的科技活动（答案不唯一）． 【来源】2025年江苏省无锡市中考数学试卷 【知识点】借助调查做决策、总体、个体、样本、样本容量、条形统计图和扇形统计图信息关联、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查条形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用图中的数据，求出所求问题的答案． （1）由3D打印人数及其所占百分比可得样本容量，再根据各组人数之和等于总人数求出无人机社团人数即可补全图形； （2）总人数乘以样本中参加“机器人”社团的学生人数所占百分比即可； （3）根据统计图的信息提出合理建议即可． 【详解】（1）解：本次调查的样本容量为， 无人机社团人数为（人） （2）解：（人）， 答：估计计划参加“机器人”社团的学生人数约为320人. （3）略 23．（8分）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了 名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是多少？ 【答案】(1) (2)补全条形统计图，见解析；阅读部分圆心角是 (3) 【来源】甘肃省兰州市第十一中教育集团2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷 【知识点】求扇形统计图的圆心角、画条形统计图、由频率估计概率、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查统计与概率，解题的关键是能够正确的从两幅统计图中获取信息． （1）根据爱好运动人数的百分比以及人数即可求出共调查的人数； （2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形，然后用乘以爱好阅读的人数所占百分比； （3）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率． 【详解】（1）爱好运动的人数为，所占百分比为 共调查人数为：人， 故答案为：100； （2）∵爱好上网人数为：人， ∴爱好上网的人数所占百分比为， 爱好阅读人数为：人， 补全条形统计图，如图所示，    阅读部分圆心角是， 故答案为：； （3）爱好阅读的学生人数所占的百分比为， 用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为； 故答案为． 24．（8分）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】(1)1200元；1000元 (2)；购买A种书架8个，B种书架12个 (3)120 【来源】2024年山东省日照市中考数学试卷 【知识点】分式方程的经济问题、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． （2）解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． （3）解：由题意得 ， 解得． 25．（10分）某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)求长方形的周长． (2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/的地砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【来源】专题1.20 二次根式（挑战综合（压轴）题分类专题）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版） 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式运算的实际应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长计算即可； （2）用长方形的面积减去长方形花坛（图中阴影部分）面积差乘以地砖的单价，列式计算即可． 【详解】（1）解：． 长方形的周长是． （2）解： 元． 答：购买地砖需要花费元． 26．（12分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF．将该纸片沿EF折叠，点A，B分别落在点G，H处，FH与边AD相交于点M，连接EH． （1）△EFM面积的最小值为（） ； （2）求证：DM＝HM； （3）若△EFH是以EH为腰的等腰三角形，求AE的长． 【分析】（1）利用折叠的性质和矩形的性质得到ME＝MF，利用三角形的面积公式和垂线段最短的性质得到当ME最小时，△EFM面积取得最小值； （2）连接FD，利用折叠的性质和矩形的性质得到CF＝GE，利用全等三角形的判定与性质得到EH＝DF，∠EHG＝∠FDC，通过证明△HME≌△DMF即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当EH＝EF时，连接EB，过点E作EN⊥BC于点N，利用折叠的性质，矩形的性质和等腰三角形的性质BN＝NF＝CF，则结论可求；②当EH＝HF时，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得到点H落在AD上，连接BE，由折叠的性质可得：BE＝HE，设AE＝x，则EH＝BE＝8﹣x，利用勾股定理列出方程解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：∠BFE＝∠MFE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠MEF＝∠BFE， ∴∠MEF＝∠MFE， ∴ME＝MF， ∵，CD＝AB＝4， ∴当ME最小时，△EFM面积取得最小值， ∴当MF⊥AD时，MF取得最小值4， ∴△EFM面积的最小值为8． 故答案为：8； （2）证明：连接FD，如图， 由折叠的性质可得：∠G＝∠A＝∠GHF＝∠B＝90°，AE＝GE，AB＝GH， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴CD＝GH，∠G＝∠C＝90°， ∵AE＝CF， ∴CF＝GE． 在△HGE和△DCF中， ， ∴△HGE≌△DCF（SAS）， ∴EH＝DF，∠EHG＝∠FDC， ∴∠EHM＝∠FDM． 在△HME和△DMF中， ， ∴△HME≌△DMF（AAS）， ∴DM＝HM； （3）解：若△EFH是以EH为腰的等腰三角形， ①当EH＝EF时，连接EB，过点E作EN⊥BC于点N，如图， 由折叠的性质可得：BE＝HE， ∵EH＝EF， ∴BE＝EF， ∵EN⊥BC， ∴BN＝NF， ∵∠A＝∠ABC＝90°，EN⊥BC， ∴四边形ABNE为矩形， ∴AE＝BN， ∵AE＝CF， ∴BN＝NF＝CF， ∵BC＝8， ∴BN＝NF＝CF， ∴AE＝CF； ②当EH＝HF时， ∵EH＝HF， ∴∠HEF＝∠HFE， 由折叠的性质可得：∠BFE＝∠HFE， ∴∠BFE＝∠HEF， ∴HE∥BF， ∴此时点H落在AD上，连接BE，如图， 由折叠的性质可得：BE＝HE， 设AE＝x，则EH＝BE＝8﹣x， ∵∠A＝90°， ∴AB2+AE2＝BE2， ∴42+x2＝（8﹣x）2， ∴x＝3． ∴AE＝3． 综上，若△EFH是以EH为腰的等腰三角形，AE的长为或3． 试卷第26页，共27页 试卷第27页，共27页 学科网（北京）股份有限公司 $