2025-2026学年沪教版五四制七年级下册数学期末基础自测卷

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 2025-2026学年七年级数学下学期期末基础检测卷 (考试时间：90分钟试卷满分：100分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：：沪教版（五四制）七年级下册考试范围第15~18章：一元一次不等 式、相交线与平行线、三角形、等腰三角形。 一.选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1.已知a>b,则下列不等式一定成立的是() A.a-1<b-1 B.22 c. -a>-b D.2a>a+b 2.如图所示，下列说法：①∠1与∠3是内错角：②∠B与∠4是同位角：③∠1与∠2是同 旁内角：④∠I与∠ACE是内错角，其中正确的有() 3 24 C A.①②④ B.①② C.①②③ D.①②③④ 3.下列命题是真命题的是() A.两点之间，直线最短 B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C.过一点有且只有一条直线与己知直线平行 试卷第1页，共28页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 甲免光令装 D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直 4.平面内，将长分别为1,5,1,1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则 d可能是() d 5 A.1 B.2 C.7 D 8 5.下列图形中，是全等图形的是() A.a,b,c,dB.a与b C.b,c,d D.a与c 6.如图，在△ABC中，AB=AC,D、E分别为BC、AC的中点，DF平分∠ADC交边 AC于点F,P为AD上一动点，若使得PE+PF的值最小，下列四个示意图中正确的是 () 试卷第2页，共28页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 二、填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7.有下列不等式：①-4<0：②x2+2>2x:③x-3>2y:④π 0->5,回3y>-3.其中 一元一次不等式有 (填序号). 8.写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题 9.如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，∠B=40,∠C=60°.若DEIAB,则 ∠AED= D 10.如图，△ABC≌aCDE,若∠D=35°，∠ACB=45°，则∠DCE的度数为 D B I1.如图，△ABC中，AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且 BD=DE.若△ABC周长为l6cm,AC=6cm,AB=4cm,DE=_cm B D E 12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转 a(0°<a<90） 后得到△DEC,设CD交AB于点R,连接AD,若AF=AD,则旋转角a 的度数为 试卷第3页，共28页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 B D a 30° C 13.如图，在△ABC中，已知AB=AC=8,BC=5,AB的垂直平分线交AB于点N,交 PB,PC AC于点M,P为直线N上一点，连结PB,PC,则PBC 的周长最小值是 B 14.关于x的不等式2x+a≥0的负整数解是-2，-1，则a的取值范围是 7x-a≥1 x+5 15.若关于x的不等式组 3 ≥x-1有且仅有4个整数解，且关于m,n的二元一次方程 m+2n=3 组2m-2n=a的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为 16.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射， 由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，若∠1=55°， ∠2=156°，则∠3的度数为 空气 17.如图1，正方形ABCD被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正 方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形EFGH.若在正方形EFGH中，恰有 试卷第4页，共28页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 SE方形ABcD= MG=2HM,则SE方形ErGH D C M G ② ③ ① M ⑤ ② A ④ ④ ① ③ N B E F 图1 图2 18.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,过点B作BE⊥BC,且BE=BC,过点E作 D交81延张线J点F,连接4延长交CD于点出，苦DH=Dn-2,D1-=, 则CH-AF= B ● 三、解答题（共7小题，满分64分） 2x-3<x 19(5分)解不等式组1-{s+12 ˉ36，并写出它的所有正整数解. 20.(5分)完成推理填空.填写推理理由： 如图：EFI‖AD,∠I=∠2，∠BAC=70°，把求∠AGD的过程填写完整. D B 试卷第5页，共28页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 EF‖AD(已知) .∠2= 又.∠1=∠2，( “∠1=∠3，（等量代换） ..ABl ( :.∠BAC+ =180°，( 又：∠BAC=70°， .∠AGD=110° 21.(8分)如图所示，A,D,E三点在同一条直线上，且△BAD≌△ACE E (I)证明：BD=DE+CE (2)探究当∠ADB满足什么条件时，BD‖CE?并说明理由. 22.(10分)某学校摄影社到商场购买A,B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以 下两种： ①一次性购买A型相册不超过20本，按照零售价销售：超过20本时，超过部分每本的价 格比零售价低6元销售， ②一次性购买B型相册不超过15本，按照零售价销售：超过15本时，超过部分每本的价 格比零售价低4元销售. 若购买30本A型相册和10本B型相册，共需支付2240元：若购买20本A型相册和40本B 型相册，共需支付3100元. (1)这家商场A,B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买A型和B型相册共15本，要求A型相册数量大于或等于B型相册数量 的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案。 23.(10分)【发现问题】 试卷第6页，共28页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 B 图1 图2 图3 (1)数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，AB=6,AC=4，,中线AD的取值 范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长AD到E,使得DE=AD; ②连接BE,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中： ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的 取值范围是 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等 三角形 【问题拓展】 (2)如图2，OA=OB,OC=OD,∠AOC与∠BOD互补，连接AC、BD,E是AC的中 1 点，求证：OE=BD: 2 (3)如图3，在(2)的条件下，若∠AOB=90°，延长E0交BD于点F,OF=3,OE=6」 求△AOC的面积. 24.(12分)如图 1 ,A,B两地间的公路长360km,其中有一段长10km的施工道路MN M距离A地200km.甲、乙两辆轿车分别从A,B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲 车晚出发20min·在非施工道路其限速情况如 2②)所示)，甲车始终以100kmh的速度 行驶，乙车始终以Vkm/h的速度行驶；在施工道路，两车均以4Okm/h的速度行驶， 试卷第7页，共28页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 120 60 100 60 MN 。 100 60 图(1) 图(2) (1)若V=90. ①甲车出发2h时，甲车行至_处，乙车行至处；（填“M“N'或“MN的中 点”) ②甲车行至MN的中点时，乙车行驶的时间为h. (2)已知两车在P处相遇. ①若P与N重合，求'的值： ②若P在非施工道路上(P不与M,N重合)，直接写出V的取值范围. 25.(14分)如图，已知ACLAB,BD⊥AB,AB=8cm,AC=BD=6cm,点P在线段 AB上以2c/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动，当 其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动的时间为， (1)如图1，若点Q的速度与点P的速度相同，则当t=1s时，△ACP与△BPQ是否全等？ 请说明理由； (2)在(1)的条件下，判断此时PC和PQ之间的位置关系，并说明理由： (3)如图2，将原题中的“ACLAB,BD⊥AB”改为“∠A=∠B=60°”，其他条件不变， 设点Q的速度为xc/s,则是否存在满足题意的x,使得以点A,C,P为顶点的三角形与 以点B,P,Q为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的x,t的值；若不存在，请说明理 由. 0 →P 图1 图2 试卷第8页，共28页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 2025-2026学年七年级数学下学期期末基础检测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：沪教版（五四制）七年级下册考试范围第15~18章：一元一次不等式、相交线与平行线、三角形、等腰三角形。 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2025年山东省济南市中考数学真题 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 2．如图所示，下列说法：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角；④与是内错角，其中正确的有（   ） A．①②④ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【来源】培优专题：相交线（知识盘点 10题型 5易错 好题必刷）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（人教版2024） 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查了三线八角，根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可． 【详解】解：①与是内错角，说法正确； ②与是同位角，说法正确； ③与是同旁内角，说法正确； ④与是内错角，说法正确； 故选：D． 3．下列命题是真命题的是（    ） A．两点之间，直线最短 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【来源】湖南长沙市华益中学2025-2026学年度第一学期期末检测试卷七年级数学 【知识点】判断命题真假、两点之间线段最短、垂线的定义理解、平行公理的应用 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据线段的性质、平行线的性质、平行公理、垂线的性质，逐项判断命题的真假即可． 【详解】解：两点之间，线段最短，A选项是假命题． 两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，B选项是假命题． 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上则不存在这样的直线， C选项是假命题． 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， D选项是真命题． 故选：D 4．平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】C 【来源】2022年河北省中考数学真题 【知识点】不等式的性质、确定第三边的取值范围 【分析】如图（见解析），设这个凸五边形为，连接，并设，先在和中，根据三角形的三边关系定理可得，，从而可得，，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，设这个凸五边形为，连接，并设， 在中，，即， 在中，，即， 所以，， 在中，， 所以， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键． 5．下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【答案】D 【来源】河北省唐山市迁西县2024-2025学年上学期期中八年级数学学业评估试题 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形， 故选：D． 6．如图，在中，，、分别为、的中点，平分交边于点，为上一动点，若使得的值最小，下列四个示意图中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】山东省聊城市高唐县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题 【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了根据轴对称的性质求最短距离，作点关于的对称点，连接，交于点P，即可使得的值最小，据此作答，熟练利用轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：，为的中点， 作点关于的对称点，点在上， 连接，交于点P，即可使得的值最小， 题中B选项符合要求， 故选：B． 二、填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一元一次不等式有________（填序号）． 【答案】④⑤/⑤④ 【来源】11.2 一元一次不等式的概念 七年级数学下册苏科版 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可． 【详解】解：①没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； ②，未知数的最高次不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； ③有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； 是一元一次不等式． ∴一元一次不等式有④⑤共个． 故答案为：④⑤． 8．写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______． 【答案】两个三角形面积相等，则这两个三角形全等 【来源】2011-2012学年湖北石首市城区初中八年级下学期期中考试数学卷 【知识点】写出命题的逆命题 【详解】本题考查命题的逆命题，解题的关键是明确原命题的条件和结论，再交换条件与结论得到逆命题． 确定原命题“两个全等三角形的面积相等”的条件和结论，交换原命题的条件和结论，得到逆命题． 【分析】解：原命题“两个全等三角形的面积相等”中，条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”． 根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论，得到的逆命题为：“两个三角形面积相等则这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形面积相等，则这两个三角形全等． 9．如图，在中，点D、E分别在、上，．若，则________． 【答案】100 【来源】江苏省常州市2021年数学中考真题 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A=80°，再根据平行线的性质，求出，即可． 【详解】解：∵， ∴∠A=180°-40°-60°=80°， ∵， ∴180°-80°=100°． 故答案是100． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键． 10．如图，，若，，则的度数为______． 【答案】/100度 【来源】2024年四川省成都市中考数学试题 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 11．如图，中，，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且．若周长为，，，_______cm． 【答案】1 【来源】云南省昆明市第三中学2025-2026学年八年级上学期期中模拟考试数学试卷 【知识点】线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定．先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 12．如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转后得到，设交于点F，连接，若，则旋转角的度数为____________． 【答案】 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年八年级下学期阶段性消化作业数学试题 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、根据旋转的性质说明线段或角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】由旋转性质可得，，，，，，解得；，进而得到结果．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识．解题的关键在于找出角度的数量关系． 【详解】解：如图 由旋转性质可得， ∴ ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，则的周长最小值是______． 【答案】13 【来源】江西省九江市第三中学2024-2025学年八年级下学期3月数学校本专项训练 【知识点】线段垂直平分线的性质、最短路径问题 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、轴对称、最短路线问题等知识，将周长的最小值转化为是解题的关键． 连接，由是的垂直平分线，得，则，由两点之间线段最短可知的最小值为，即可得出答案． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， 点、、三点在一条直线上时，的最小，最小值为， 最小值为，此时点与点重合， 周长的最小值为， 故答案为：13． 14．关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是________． 【答案】 【来源】江苏省苏州工业园区星海实验初级中学2025-2026学年上学期七年级数学期中试卷 【知识点】求一元一次不等式的整数解、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数． 首先解不等式得到的取值范围，然后根据负整数解是和，确定和满足不等式，而不满足，从而得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得， 由于负整数解是，， 因此和满足不等式，即，得； 同时不满足不等式，即，得； 故的取值范围是． 故答案为：． 15．若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于，的二元一次方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的和为_____． 【答案】6 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题 【知识点】加减消元法、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的综合，掌握不等式组的取值方法，加减消元法解二元一次方程组，代入求值是解题的关键． 根据不等式的性质解不等式组，结合不等式组的取值方法得到，运用加减消元法解二元一次方程组得到，根据解为整数，分别代入计算得到满足条件的的值为0或6，由此即可求解． 【详解】解：， 解得，， 解得，， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有且仅有4个整数解， ∴， 解得，， ， 解得，， ∵关于，的二元一次方程组的解为整数， ∴是的倍数，是的倍数， 当整数时，，符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，符合题意； ∴， 故答案为： ． 16．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中斜射向空气时会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若，，则的度数为___________． 【答案】/79度 【来源】辽宁省鞍山市高新区2024—2025学年下学期开学测试九年级数学试卷 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出，，．求出的度数，即可得到的度数， 【详解】解：如图，c'c ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 17．如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则_____． 【答案】/ 【来源】浙江省宁波市镇海区蛟川书院2024-2025学年上学期期中八年级数学试题 【知识点】图形的全等 【分析】本题主要考查了全等图形的性质、正方形面积公式等知识，理解全等图形的性质是解题关键．设，则，易得，故有，结合全等图形的性质可得，易得，然后可求得，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵， 可设，， ∴， ∴， 由全等三角形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．如图，在中，于点，过点作，且，过点作交延长线于点，连接并延长交于点．若，，则______． 【答案】 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年七年级下学期阶段性消化作业数学试题 【知识点】两直线平行内错角相等、垂线的定义理解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行线的性质、熟练掌握性质定理是解题的关键．根据垂直的定义及平行线的性质可得出，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，再次利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ，， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共7小题，满分64分） 19．（5分）解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的正整数解是1，2． 【来源】北京市第五中学分校2024—2025学年下学期七年级期中考试数学试题 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集 【分析】本题考查解不等式组与不等式组的正整数解，掌握解不等式组的一般步骤是解题的关键． 先解每个一元一次不等式，再取公共部分得不等式组的解集，最后根据不等式组的解集写出所有正整数解． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是， 则不等式组的正整数解是1，2． 20．（5分）完成推理填空．填写推理理由： 如图：，，，把求的过程填写完整． ∵（已知） ∴＿＿＿＿，（＿＿＿＿＿＿＿） 又∵，（＿＿＿＿＿＿＿） ∴，（等量代换） ∴＿＿＿，（＿＿＿＿＿＿＿） ∴＿＿＿，（＿＿＿＿＿＿＿） 又∵， ∴． 【答案】；两直线平行，同位角相等；已知；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补． 【来源】内蒙古自治区巴彦淖尔市杭锦后旗2025-2026学年下学期4月七年级数学学科测试调研卷 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】根据平行线的性质得，等量代换得，所以，再根据平行线的性质得，又因为，即可得． 【详解】解：∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵，（已知）， ∴，（等量代换）， ∴，（内错角相等，两直线平行）， ∴，（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵， ∴． 21．（8分）如图所示，，，三点在同一条直线上，且， (1)证明：． (2)探究当满足什么条件时，？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)满足时，，理由见解析 【来源】北师大版七年级数学下4.2 图形的全等 同步练习 【知识点】内错角相等两直线平行、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力，题型较好． （1）根据全等三角形的性质求出，，代入求出即可； （2）根据全等三角形的性质求出，推出，根据平行线的判定求出即可． 【详解】（1）证明：， ，， ， 即； （2）解：满足时，， 理由是：， ， ， ． 22．（10分）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【来源】2025年四川省绵阳市 中考 数学真题试卷 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 23．（10分）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）18 【来源】湖北省襄阳市宜城市2024-2025学年 上学期期末考试八年级数学试题 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： 由题意得：， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3， 由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 24．（12分）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【来源】江苏省南京市秦淮区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、不等式组的行程问题 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 25．（14分）如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝8cm，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动的时间为ts． （1）如图1，若点Q的速度与点P的速度相同，则当t＝1s时，△ACP与△BPQ是否全等？请说明理由； （2）在（1）的条件下，判断此时PC和PQ之间的位置关系，并说明理由； （3）如图2，将原题中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠A＝∠B＝60°”，其他条件不变．设点Q的速度为xcm/s，则是否存在满足题意的x，使得以点A，C，P为顶点的三角形与以点B，P，Q为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）△ACP与△BPQ全等，理由见解答过程； （2）PC⊥PQ，理由见解答过程； （3）x＝2cm/s，t＝1s或x＝3cm/s，t＝2s． 【分析】（1）当t＝1s时，AP＝BQ＝2cm，进而得AC＝BP＝6cm，再根据AC⊥AB，BD⊥AB即可依据“SAS”判定△ACP与△BPQ全等； （2）根据△ACP与△BPQ全等得∠C＝∠BPQ，再根据∠C+∠APC＝90°及邻补角定义得∠CPQ＝90°，由此即可得出PC和PQ之间的位置关系； （3）依题意得：AP＝2tcm，BQ＝xtcm，进而得BP＝AB﹣AP＝（8﹣2t）cm，再分两种情况讨论如下：①当AC＝BP，AP＝BQ时，则△ACP≌BPQ，由AC＝BP得6＝8﹣2t，由此解得t＝1，由AP＝BQ得2t＝xt，由此解得x＝2；②当AC＝BQ，AP＝BP时，则△ACP≌△BQP，由AP＝BP得2t＝8﹣2t，由此解得t＝2，由AC＝BQ得6＝xt，将t＝2代入可得x＝3，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）△ACP与△BPQ全等，理由如下： ∵AC⊥AB，BD⊥AB ∴∠A＝∠B＝90° 当t＝1s时，AP＝2t＝2cm，BQ＝2t＝2cm， ∴AP＝BQ＝2cm， ∵AB＝8cm， ∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2＝6cm， 又∵AC＝6cm， ∴AC＝BP＝6cm， 在△ACP与△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）； （2）PC和PQ之间的位置关系是：PC⊥PQ，理由如下： ∵△ACP≌△BPQ ∴∠C＝∠BPQ， 在△ACP中，∠C+∠APC＝90°， ∴∠BPQ+∠APC＝90°， 由邻补角定义得：∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°， ∴PC⊥PQ； （3）存在． 依题意得：AP＝2tcm，BQ＝xtcm， ∵AB＝8cm，AC＝BD＝6cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣2t）cm， ∵∠A＝∠B＝60°， ∴当以点A，C，P为顶点的三角形与以点B，P，Q为顶点的三角形全等时， 有以下两种情况： ①当AC＝BP，AP＝BQ时，△ACP≌BPQ（SAS）， 由AC＝BP，得：6＝8﹣2t， 解得：t＝1， 由AP＝BQ，得：2t＝xt， 解得：x＝2， 此时相应的x，t的值为x＝2cm/s，t＝1s； ②当AC＝BQ，AP＝BP时，△ACP≌△BQP（SAS）， 由AP＝BP，得：2t＝8﹣2t， 解得：t＝2， 由AC＝BQ，得：6＝xt， 将t＝2代入6＝xt，得：x＝3， 此时相应的x，t的值为x＝3cm/s，t＝2s， 综上所述：出相应的x，t的值为x＝2cm/s，t＝1s或x＝3cm/s，t＝2s． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 试卷第28页，共28页 试卷第27页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $