（预习篇）第十三讲 点与圆、直线与圆的位置关系（暑假培优讲义）【思维导图+知识卡片+新知学习+二十四大题型讲练+难度分层练 共68题】-2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接讲义

null2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第十三讲 点与圆、直线与圆的位置关系「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第3章 圆）】 （思维导图+新知学习+二十四大考点讲练+难度分层练 共68题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图： （1）如图1：d＞r点在 圆外 。 （2）如图2：d＝r点在圆上。 （3）如图3：d＜r点在圆内。 知识点二 直线和圆的位置关系 (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 知识点三 直线和圆的位置关系的性质和判定（重点） 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 知识点四 切线的判定（难点） （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 要点诠释： 切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 知识点五 切线的性质（重点） （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 知识点六 三角形的内切圆 1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 知识点七 切线长定理（难点） （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 考点一 判断直线和圆的位置关系 【典例精讲】（2026九年级上·四川南充·专题练习）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】设的半径为，圆心到直线的距离为，直线与圆的位置关系：①当时，直线与相交；②当时，直线与相切；③当时，直线与相离；据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线的距离为，且， ∴直线与的位置关系是相交． 【变式训练】（25-26九年级上·福建泉州·期末）三个半径均为的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为，则这个圆可以是__________ ． 【答案】或 【分析】根据直线与圆的位置关系可进行求解． 【详解】解：∵三个圆的半径均为6，点P到直线l的距离为8， 若点P在上，则点P到直线l的距离； 若点P在或上，则点P到直线l的距离可以为8． 考点二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【典例精讲】（25-26九年级上·上海宝山·期末）若以点为圆心的圆与两坐标轴只有3个交点，则该圆的半径长是______． 【答案】或2 【分析】本题考查了切线的性质，圆与坐标轴的交点问题，正确分类讨论是解题的关键． 分两种情况讨论：①经过原点；②与轴相切且与轴相交，再结合图形分别求出对应的圆的半径长即可． 【详解】解：①如图，当经过原点时，与两坐标轴只有3个交点， 此时该圆的半径长； ②如图，当与轴相切（切点为）且与轴相交时，与两坐标轴只有3个交点， 则轴， 此时该圆的半径长； ∴综上，该圆的半径长是或2． 故答案为：或2． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离，即可得到问题的选项． 【详解】解：∵直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6， ∴， 故选：A． 考点三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例精讲】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】圆与直线的位置关系由圆心到直线的距离和圆半径的大小关系决定：当时，圆与直线相离，无公共点；当时，圆与直线相切，有一个公共点；当时，圆与直线相交，有两个公共点． 【详解】解：∵与直线没有公共点， ∴与直线相离， 已知的半径， ∴圆心到直线的距离， 观察选项，只有选项A中的6满足， 故选：A． 【变式训练】（23-24九年级上·陕西西安·自主招生）在平面直角坐标系中，直线是边长为1的正三角形，其中为坐标原点，则点P，Q到直线的距离之和的最小值是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标平面内两动点到直线的距离之和最小问题，根据题意，首先确定点P，Q的运动轨迹是以O为圆心，以1为半径的圆，然后过中点向直线l作垂线段，利用梯形的中位线定理把求P，Q到l的距离之和转化为求的最小值，由垂线段求得结果． 【详解】解：∵， ∴点P、Q在以O为圆心，以1为半径的圆上， 作于E，于F，取的中点N，作于M， 由梯形的中位线定理得，， 连接，当M，N，O三点共线时，最小， 对于直线，当时，，当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值， ∴P，Q到直线l距离之和的最小值为． 故答案为：． 考点四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【典例精讲】（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 【答案】2或6 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与圆有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质．分类讨论：当点在 点左侧，与相切时，过作于，根据切线的性质得到，再利用得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在 点右侧，与相切，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点在 点左侧，与相切时，过作于，如图， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）； 当点在 点右侧，与相切，如图， 同理，得的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）． 故答案为：2或6． 【变式训练】（2025·河南濮阳·一模）如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 【答案】 【分析】此题重点考查平移的性质、切线的性质定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 当移动到与相切时，设圆心为，切点为，由，，，得，最后求解即可． 【详解】解：当移动到与相切时，设圆心为，切点为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴圆心移动的距离为． 故答案为：． 考点五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 【典例精讲】（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握． 根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为，可向上或向下平移，使l与相切，即可得出答案． 【详解】解：如图，当直线l经过点B时，， 当直线l平移至直线，且切点为点A时，此时； 当l移动到，且切点为点C时，则； 综上所述，与相切时，平移的距离是或． 故选D． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移______，才能使l与相切？ 【答案】2或 【分析】本题考查圆的切线，掌握相关知识是解决问题的关键．直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得，或， 把直线l向上平移或才能使l与相切； 故答案为：2或 考点六 切线的应用 【典例精讲】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为，若，则圆心角的度数为______． 【答案】/82度 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质、圆周角定理解答即可． 【详解】解：是的切线， ， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，点在边上，，，点是边上的动点，当最大时，的值是______． 【答案】 【分析】如图，作以为弦的圆与相切时，得线段上的点，除切点外，都在圆O外，由圆周角大于圆外的角性质得出，当N与切点重合时最大，如图，以为坐标原点，所在的直线为轴，建立坐标系，利用直角三角形的性质，勾股定理，一次函数的性质，圆的性质，两点间的距离求解即可． 【详解】解：如图所示，作以为弦的圆与相切， 如图利用三角形外角的性质可， ∵， ∴弦所对圆周角大于弦所对圆外角， ∵线段上的点，除切点外，都在圆O外， ∴当N与切点重合时最大， 如图，以为坐标原点，所在的直线为轴，建立坐标系，过O点作于点F，过B点作轴于点H，过F点作轴于点R， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴由勾股定理得，， ∴，， 同理， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴设点坐标为， ∵， ∴，即 ， ∴(负值已舍）， ∴， ∴， 故答案为：． 考点七 有关切线的概念辨析 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）下列说法中，正确的是（ ） A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等 C．三角形有且只有一个内切圆 D．三角形的内心到三角形的个顶点的距离相等 【答案】C 【分析】此题考查了圆的切线的定义，三角形的内心的概念，要求学生对这些概念熟练掌握．根据切线的定义判断选项A；根据同弦或等弦所对的圆周角判断选项B；根据三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点判断选项C；根据三角形的内心的性质判断选项D． 【详解】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； B、在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，则不一定相等； C、三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，而交点只有一个； D、三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等．由此可见只有选项C是正确的． 故选：C． 【变式训练】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的定义，根据与圆有唯一公共点的直线是圆的切线进行判断即可． 【详解】解：∵与有唯一公共点的直线是， ∴与相切的直线是， 故选：A． 考点八 判断或补全使直线为切线的条件 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）如图，CD是的直径，BD是的弦，延长DC到点A，使．有下列三个条件：①；②；③．其中只需添加一个条件就能使AB成为的切线的是________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】分析题意，连接，若使是的切线，只需证明即可；若添加条件①，由是的直径得到结合，只要证明即可；根据是的一个外角得知，推理可得是等边三角形，至此可判断①的正误；对于②，若，则是等边三角形，，继而可以求得的度数，从而可以作出判断；对于③，根据得到，由三角形内角和定理可得，结合得到，接下来可以得到的度数，从而完成解答． 【详解】解：如图，连接． 是的直径， ． ， ． ①， ， ． 又， 是等边三角形， ， ， ， 是的切线． ∴①正确； ②，， 是等边三角形， ． ， ， ， 是的切线． ∴②正确； ③， ． ， ． ， ． ， ， ， 是的切线． ∴③正确； 综上所述，能使成为的切线的是①②③． 故答案为：①②③． 【变式训练】（23-24九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴，则， ∵， ∴， 当时，则，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； C、当时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴切于点C，该选项正确，不符合题意； D、当时，由得到， ∴是等腰三角形，无法确定， ∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意． 故选：D． 考点九 证明某直线是圆的切线 【典例精讲】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 【答案】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】首先根据作图过程已知垂直平分，，进而得到两个等腰三角形和，利用等边对等角，以及三角形内角和定理，得到，即可证明与相切，从而可得理论依据. 【详解】证明：如图，连接，， 根据题意，得垂直平分，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴与相切； 同理：与相切； ∴，为切线的理论依据为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【变式训练】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，为的直径，为上一点，过点，于点，平分．求证：为的切线． 【答案】见解析 【分析】连接，由得到，由平分得到，则，于是可判断，由于，则，然后根据切线的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线为的切线． 考点十 切线的性质定理 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，为的半径，为的切线，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据切线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵为的切线， ∴． ∵， ∴． ∴ ． 【变式训练】（2026·浙江·一模）如图，在中，，点D在边上，以为直径的与相切于点E． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用切线性质证明，再结合角平分线性质和等腰三角形性质分析证明，即可解题； （2）作，证明四边形为矩形，进而求出，再利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】（1）证明：如图，，与相切，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，，作， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 考点十一 切线的性质和判定的综合应用 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·阶段检测）为圆O直径，切圆O于点C，过点C作交圆O于点M，交于点F，连接． (1)如图1，求证：为圆O切线； (2)如图2，过点A作交于点D，求证； (3)在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，，根据垂径定理得出，进而得出，根据等边对等角得出，，由切线的性质得出，等量代换即可得出结论； （2）由为圆O直径，得出，进而得出，可以判定，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得出，即可得出结论；， （3）先求出半径，根据勾股定理得出，由，得出，进而得出，设，则，，根据，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵切圆O于点C， ∴， ∴ ∴为圆O切线； （2）证明：如图，连接， ∵为圆O直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，连接，， ∵， ∴， ∴半径， 在中，， ∵， ∴，    在中，， 设，则， ， ∵O，F分别是和的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，四边形内接于圆，直线与圆相切于点，且为劣弧的中点． (1)若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)证明：． 【答案】(1)四边形为菱形，见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用圆周角定理求出圆心角的度数，再结合为劣弧中点的条件，证明和为等边三角形，进而判定四边形的形状； （2）方法：利用切线性质得到，结合圆周角定理与等腰三角形性质，通过角的计算进行等量代换，证明； 方法：构造圆的直径，利用直径所对圆周角为直角的性质，结合同弧所对圆周角相等，通过角的互余关系完成等量代换，证明． 【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下： 连接， ， ， 为劣弧的中点， ，， ， 又， ， 又， 和均为等边三角形， ， 四边形为菱形； （2）证明：方法：， ， ， ， 在中，， ， 又与圆相切于点， ， ， 又， ； 方法：连接并延长交圆于点，连接， 为圆的直径， ， 又， ， 直线与圆相切于点， ， ． 考点十二 应用切线长定理求解 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，，与相切，切点分别为，，与相切于点，分别交，于点，．已知，的长是关于的一元二次方程的两个根． (1)求的值； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线的性质得到，得到方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式列式计算即可； （2）根据切线长定理得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵，与相切， ∴， ∵，的长是关于x的一元二次方程的两个根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得：， 解得：， 则m的值为2； （2）解：当时，原方程为， 解得：，即， ∵，与相切，与相切， ∴，， ∴的周长． 【变式训练】（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A．32 B．28 C．26 D．30 【答案】C 【分析】根据切线长定理得到，，，因此将的周长转化为即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于点， ∴，，， ∴ ． 考点十三 应用切线长定理求证 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 【答案】与相等，理由见解析 【分析】本题考查垂径定理，切线长定理，掌握知识点是解题的关键． 连接、，根据切线长定理，得到，，，再由垂径定理，得到，，则，即可解答． 【详解】解：与相等 如图，连接、， 是小圆的两条切线，切点分别为、， ，， 又 是大圆的弦，， ，， ． 【变式训练】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交于两点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线．有下列结论：①垂直平分；②；③．其中正确结论的序号是___________． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，内心的性质，切线长定理，正方形的判定与性质． 延长交于点H，连接，根据尺规作图的过程可知平分，再根据的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，可得，由等腰三角形三线合一可判断①③；由直角三角形的性质可得，结合可判断②． 【详解】解：延长交于点H，连接， 由作图过程可知平分，则， ∵的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴垂直平分，即垂直平分，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故②错误； 则正确的结论有①③． 故答案为：①③． 考点十四 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，的内切圆与边分别相切于点．已知，则的长为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的内切圆、正方形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，则，由勾股定理逆定理可得，易证四边形是正方形，即；再根据三角形内切圆的性质可得，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：如图：连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵的内切圆与边分别相切于点． ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴． 故选A． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四边形内切圆的性质与面积法求半径，解题的关键是通过圆心到各边的距离（即半径）分割四边形，利用面积和建立方程． 设内切圆圆心为，半径为，利用，即；代入，，，解得． 【详解】解：设内切圆圆心为，半径为，连接及四个切点（如图）； 根据切线的性质定理可知，每条半径r都与四边形的各边垂直。 ∵， ， ∴， 即， ∴． 故选：B． 考点十五 圆外切四边形模型 【典例精讲】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）阅读材料： 已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ． ． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径； (2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 【答案】(1)； (2)2． 【分析】（1）已知给出示例，我们仿照例子，连接，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r易得． （2）（1）中已告诉我们内切圆半径的求法，进一步易得的长，但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据切线长定理及勾股定理，先求的长，三角形各边长可知，则的值易得． 【详解】（1）解：如图2，连接．   ， ； （2）， ， ， ． 是的内切圆， ，，， ， ∴设，则， ， ，即（， 解得， ， ，，． 【变式训练】下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案． 【详解】角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角， 所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆就是菱形的内切圆， 选项中只有菱形，对角线平分对角． 故选C 考点十六 三角形内心有关应用 【典例精讲】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据三角形内心性质推出，再利用圆周角定理得到，最后根据三角形内角和求解，即可解题． 【详解】解：连接， 点是的内心，， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，等边的顶点分别在等边的三边上，若和的边长分别是6和4，则的周长是___________，的内切圆的半径是___________． 【答案】 10 【分析】证明，得到，进而得到的周长为，设的内切圆为，切点分别为，连接，根据切线长定理，结合线段的和差关系求出的长，含30度角的直角三角形的性质，求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵为等边三角形，边长为6， ∴，， ∵为等边三角形，边长为4， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长； 设的内切圆为，切点分别为，连接，则，，， ∴ ； ∴， ∴， 在中，， ∴ ， ∴，即的内切圆的半径是； 故答案为：10，． 考点十七 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（   ） A．10 B． C． D．13 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由求解即可． 【详解】解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、， 是的内切圆，且半径为， ， ∵的面积为， ， ， 解得， 故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形内切圆、切线长定理．由切线长定理可得，，，从而得出的值，再由三角形周长得出的值，设，列出关于x的方程求解x的值，即可得出的值． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵的周长为36， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 即的长为8， 故答案为：8． 考点十八 三角形内切圆与外接圆综合 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【答案】/10度 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理； 连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，于，证明，推出，可证，得到，得到四边形是正方形，是对角线，作的内切圆，圆心为，为切点，连接，．由切线长定理可知，推出，由面积法可知内切圆半径为，在中，由勾股定理即可解决问题． 【详解】解：作于，于， 平分，，， ，， 又 ， ，即， 四边形为的内接四边形，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 四边形是正方形，是对角线， ， 正方形的边长为， ， ， ， ， 作的内切圆，圆心为，为切点，连接，． 由切线长定理可知：， ， ， ， ， 即内切圆半径为， 在中，． 的内心与外心之间的距离为， 故选：B． 考点十九 过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【典例精讲】（25-26九年级上·山东威海·自主招生）尺规作图． (1)已知，，求作两圆的内公切线； (2)已知，，求作两圆的外公切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径画圆，以为圆心，和的半径和为半径画圆，交于点P，连接交于点A，连接，作交于点B，作直线即为所求； （2）连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径画圆，以为圆心，和的半径差为半径画圆，交于点P，连接并延长交于点A，连接，作交于点B，作直线即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； 证明：由作图得，， ∴四边形是平行四边形 ∵是的直径 ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∵点A是上的点，点B是上的点， ∴直线是和的内公切线； （2）解：如图所示，直线即为所求； 同（1）证明即可． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图中先作直径，再过点作的切线； (2)在图中，点是与网格线的交点，先在上方作 ；再在下方作弦． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了作图—应用设计作图，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，利用垂径定理结合网格特点作图是解题的关键． （1）连接，连接，因为角所对的弦是直径，再连接，与直线交于点，连接，推出，即，即为的切线； （2）连接，连接，因为角所对的弦是直径，确定圆心，①作点的对称点，即，连接与直线交于点，连接交于点，连接，因为为中点，所以，，即； ②作点的对称点，与直线交于点，连接和，和相交于点，作射线，是的垂直平分线，连接，和相交于点，作射线与交于点，所以，因为，那么，所以，即． 【详解】（1）解：如图为所求， （2）解：如图为所求， 考点二十 圆内知识综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，平行线的判定和性质证明即可； （2）过点O作，垂足为点F，根据矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：过点O作，垂足为点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵，的半径为． 在中，， ， 即． 【变式训练】（25-26九年级上·北京石景山·期末）对于和点，给出如下定义：若过点的直线与有两个交点，且的大小为，则称为的“生成点”，特别地，若这样的直线只存在一条，则称点为的“完美生成点”． (1)如图，在平面直角坐标系中，的半径为4，点，，． ①在点，，中，点 是的“生成点”； ②过点的直线交轴于点，且．若直线上的点是的“完美生成点”，直接写出点的坐标： (2)已知的长为2，若线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且，直接写出这个圆的半径的取值范围． 【答案】(1)①点、点；②或 (2) 【分析】本题考查圆心角，弦心距，解直角三角形； （1）①根据定义判断即可；②“完美生成点”就是该点到圆心的距离等于圆心角所对弦的弦心距，据此可求出坐标； （2）如果一个点到某个圆的圆心的距离等于圆心角所对的弦的弦心距时，那么该点就是这个圆的“完美生成点”，线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且，即线段上的所有点到这个圆的圆心的距离都可以等于这个圆的圆心角（）所对的弦的弦心距，分别算出和时的弦心距与半径的关系即可求出半径的取值范围． 【详解】（1）解：①在中作圆心角，点在上，过点作直线，线段为的弦， ∵的半径为4，， ∴圆心到弦的距离，即弦心距， ∵， ∴将直线绕圆心O旋转，直线可以正好经过点D，如图所示： ∴过点的直线与有两个交点，且，点为的“生成点”， ∵， ∴将直线绕圆心O旋转，直线可以两次经过点F，如图所示： ∴过点有两条直线与有两个交点，且，点为的“生成点”， ∵， ∴， ∴将直线绕圆心O旋转，直线无法经过点E，如图所示： ∴点不是的“生成点”． 综上：点、点为的“生成点”． 故答案为：点、点． ②在中作圆心角，点在上，过点作直线，线段为的弦， ∵的半径为4，， ∴圆心到弦的距离，即弦心距， 过点作，过点作轴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴将直线绕圆心O旋转，直线有且只有一次经过点P， ∴过点P的直线与有两个交点，这样的直线只存在一条，且，点P为的“完美生成点”， ∴当点G在x轴正半轴时，点P坐标为，当点G在x轴负半轴时，点P坐标为， ∵直线直线上除点以外的其他点到圆心的距离大于弦心距， ∴直线直线上除点以外的其他点会有两条直线经过，不是的“完美生成点”． （2）解：由（1）得，如果一个点到某个圆的圆心的距离等于圆心角所对的弦的弦心距时，那么该点就是这个圆的“完美生成点”， 当，即时，如图所示， 此时弦心距， 当，即时，如图所示， 此时弦心距， ∴此时线段上的点到点的距离， ∴线段上的所有点都是这个圆的“完美生成点”，且， ∵，，， ∴，解得：， ∴当一个圆的半径时，可以使得线段在这个圆的内部且线段上的所有的点到圆心的距离，即线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且， ∴半径的取值范围为． 考点二十一 圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（24-25九年级上·云南西双版纳·期末）如图，四边形内接于，对角线平分，是的直径． (1)求证：； (2)探究的值是否为一个定值？若是，求出这个定值若不是，请说明理由． (提示：将、、转化到同一个三角形中) 【答案】(1)证明见详解； (2)是定值，值为 【分析】（1）根据角平分线得到相等的圆周角，利用“相等的圆周角所对的弧相等”推出，再由“等弧对等弦”证明； （2）采用截长补短法构造全等三角形，将转化为线段，结合直径所对圆周角为直角、角平分线的性质，证明是等腰直角三角形，从而建立与的数量关系，求出比值． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：是定值，定值为，理由如下： 延长到点，使得，连接，如图， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， 由（1）知， 在和中，， ∴， ∴，， ∵是的直径， ∴，，即， ∴， 又∵平分， ∴， 由得， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以为圆心，1为半径的圆上一动点，连结、，则面积的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，一次函数图象与坐标轴的交点问题，圆与三角形的综合(圆的综合问题)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据一次函数求出点A、B的坐标，然后利用等面积即可求出CM的值，根据圆上距离直线最近的点为与的交点，从而求出面积的最小值． 【详解】解：过作于，连接， 将，代入中，得， 将代入中，得， 解得：， ∴点B的坐标为点A的坐标为， ∴，，， 根据勾股定理可得， 则由三角形面积公式得，， ∴， ∴， ∴圆上点到直线的最小距离是， 即点为与的交点时， ∴面积的最小值是， 故答案是：． 考点二十二 圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，已知，为的两条直径，连接，，于点，点是半径的中点，连接． (1)设的半径为，若，求线段的长； (2)如图，连接，，设与交于点． ①求证：为中点； ②若，求证：． 【答案】(1)； (2)①见解析；②见解析． 【分析】（1）过点作于点，利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得，，再利用相似三角形的判定与性质解答即可； （2）①连接，过点作，交于点，利用三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质得到，再利用全等三角形的判定与性质解答即可； ②连接，，过点作于点，通过等量代换和三线合一推出，再利用圆周角定理，正方形的判定与性质得到为的垂直平分线，即，最后运用等量代换求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， ∵点是半径的中点，的半径为， ∴，，， ∴． ∵，，， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴； （2）①证明：连接，过点作，交于点，如图， ∵，点是半径的中点， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵，为的两条直径， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴为中点； ②证明：连接，，过点作于点，如图， ∵， ∴， ∵由（1）知， ∵点是半径的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴． ∵，为的两条直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，平分，即为的垂直平分线， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，是的弦．C为上一点，，连接并延长至点D，过点D作交于点E，连接，．当时，四边形面积的最大值为______  ． 【答案】/ 【分析】延长至点，使得，连接，令点到边上的高为，证得四边形是平行四边形，进而得到，证得四边形的面积等于三角形的面积，由于、、始终都在同一个大小不变的圆上，得到当点刚好在的垂直平分线上，其垂直平分线与交于点，且过圆心，即位于点时，的面积最大，即四边形的面积最大，连接、，根据圆周角定理和垂径定理，结合线段垂直平分线的性质，得到的长，根据三角形的面积公式得到的面积，从而得到四边形的最大面积． 【详解】解：延长至点，使得，连接，设点到边上的高为，如图： 、， 四边形是平行四边形， ， 四边形的面积， 四边形的面积， 、， 、、始终都在同一个大小不变的圆上， 如图：当点刚好在的垂直平分线上，其垂直平分线与交于点，且过圆心，即位于点时，的面积最大，即四边形的面积最大，连接、， ，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 四边形最大面积， 故答案为：． 考点二十三 圆与函数的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）点P为图形M上任意一点，过点P作直线l，垂足为Q，记的长度为d． 定义一：若d存在最大值，则称其为“图形M到直线l的限距离”，记作； 定义二：若d存在最小值，则称其为“图形M到直线l的基距离”，记作； (1)已知直线，平面内反比例函数在第一象限内的图象记作H，求． (2)已知直线，点，点是x轴上一个动点，的半径为，点C在上，若，求此时t的取值范围． (3)已知直线恒过定点，点恒在直线上，点是平面上一动点，记以点E为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形K，若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题综合考察了函数图象的性质，最值问题，难度较大，综合运用函数图象，几何图形性质是解题的关键． （1）设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，作直线的平行线：交反比例函数于点P，连接并延长交直线于点Q，过点P作轴于点M，先求b值，再确定，由，得到，从而求得； （2）设直线交x轴于点，交y轴于点，过点T作，当C、T、H三点共线时，圆T上的点到直线的距离最大，最大值为的长度，由，先求得，再求出，最后得到t的范围； （3）先由直线恒过定点，得到，即在直线上，因为，所以直线和正方形相交，分点F在上和点E在上两种情况，求出m的取值范围． 【详解】（1）解：设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 则，， ∴，， 如图1，作直线的平行线：交反比例函数于点P，连接并延长交直线于点Q，过点P作轴于点M， 由题意得：与反比例函数只有一个交点，故， 整理得：， 则， 解得：（负值已舍去）， 则， 解得：， 故点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故； （2）解：如图2，设直线交x轴于点，交y轴于点，过点T作， 当C、T、H三点共线时，圆T上的点到直线的距离最大，最大值为的长度， ∵，的半径为， ∴， 由，可知， ，， 在中， ∵， ∴， 则， 在中， ， ∵， ∴，即， 解得：或； （3）解：∵直线恒过定点， ∴， 整理得：， ∴且， 解得：且，即， ∴在直线上， ∵， ∴直线和正方形相交， ∵点， ∴点E在直线上运动； ①当点E所对顶点F在上时，如图3， 即点E、F关于原点对称， ，， ∵点F在上， ∴， 解得：， 当点E向上运动时，正方形的对角线变短，正方形变小，无交点， 故点E要向下运动， ∴； ②当点E运动到时，如图4， ， 将E点坐标代入的表达式得：， 解得：， 当点E向下运动时，正方形的对角线变短，正方形变小，无交点， 故点E要向上运动， ∴； 综上，或． 【变式训练】在平面直角坐标系中，对于图形P，图形和直线l给出如下定义：图形P关于直线l的对称图形为．若图形P与图形均存在点在图形Q内部（包括边界），则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”．    (1)如图，点，点． ①已知图形是半径为2的，是半径为1的，是半径为的，在，，中，线段关于直线的“弱相关图形”是：　　； ②已知的半径为2，若是线段关于直线的“弱相关图形”，求b的取值范围； (2)在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P．若存在点，使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r的是圆P关于l的“弱相关图形”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】（1）①根据定义新图形的规律，分别求出点，点对称点的坐标，结合图形即可求解； ②分当时和两种情况，结合图形即可求解； （2）根据题意，只要找到r的最小值即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示：    ∵点，点，关于的对称图形为，半径为， ∴根据轴对称性得：，即点在y的正半轴上， ∴在的内部， ∴为线段关于直线的“弱相关图形”． 故答案为：； ②如图所示，是线段关于直线l：的“弱相关图形”， ∵与平行， ∴与坐标轴的夹角为，由点O关于对称， 则，则在直线上， 当时，点O离对称轴直线l：较远，如图，当在上时，    设l与x轴交于点D， 依题意，，是等腰直角三角形， ∴， ∴D的坐标为，代入 解得：， 当时，点A离对称轴直线较远，如图：当在上时，    同理可得， 连接，在中，设，则， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， 代入， 解得：， 综上所述：． （2）解：∵， ∴， 即C在直线上， 如图所示：过点O作 于点S， 由，令， 令， ∴， 依题意，点C在直线上运动，过点C的直线为对称轴，将与对称， ∴， ∴当P，C，Q共线时，最大， 当直线时，最大值最小， 此时，， ∴当C点在S时，最大值最小， ∵当与两坐标轴都相切时，最小，此时点， ∴当P为，C与S重合时r最小， ∴， ∵， ∴， ∴． 即． 考点二十四 其他问题(圆的综合问题) 【典例精讲】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，正方形的边长为8，以C为圆心，3为半径作，点P为⊙C上的动点，连接，并将绕点B逆时针旋转得到，连接， 在点P运动的过程中，长度的最小值是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最值问题． 连接，证明，得到，点在以为圆心，3为半径的上，当在对角线上时，最小，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最小值． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，3为半径的上， 如图，当在对角线上时，最小， 在中，， ∴， 即长度的最小值为， 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图是由两个正方形组成的轴对称图案，测得正方形的边长分别为和．现用一个半径为的圆形纸片将其完全覆盖，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】本题考查圆的综合，勾股定理，得出圆形纸片半径最小时是图形的外接圆是解题的关键． 作图形的对称轴交于E，交于F，作图形的外接圆，由题意可知，点O在上，垂直平分和，连接、，设，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出半径即可得到答案． 【详解】解：作的垂直平分线交于E，交于F，作的垂直平分线交于O，连接、， 由题意可知： ，， ∴，，， 设，则， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得， ∴， ∴r的最小值是． 故答案为：． 【基础通关能力提升】 1．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，是的切线，为切点，连接，与交于点，为上一动点（点不与点，重合），连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由切线的性质可得，则，由圆周角定理可得． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，，分别与相切于A，B两点，点C在优弧上，点D在劣弧上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，利用圆内接四边形的对角互补，求出，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出，再由切线的定义得出，最后利用四边形内角和为即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接，， 圆内接四边形的对角互补，， ， ， ，分别与相切于点A，B， ， ． 3．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，结合常见尺规作图分析即可． 【详解】解：三角形的内心是三角形角平分线的交点， 由选项可得选项B是尺规作两个角的平分线，故符合题意． 4．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数． 【详解】解：连接，如图，    ∵， ∴， ∵是的内切圆与、、分别相切于点D、E、F， ∴，， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）已知为外一点，直线与的两个公共点为点，，过点作的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】或 【分析】由切线性质可得，结合已知角度求出的度数，分两种情况讨论，结合等腰三角形性质，圆周角定理和直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：如图1，连接， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ， ∵， ∴； 如图2，连接， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ， ∵， ∴； 综上，的度数为或． 6．（25-26九年级上·河北沧州·期末）将一个标准的圆形钟表放置在“V”形架上，如图是其主视图，和均为的切线，切点分别是A，B（A，B所对应的钟表刻度分别是8，4）．若，则圆形钟表的半径为________ 【答案】 【分析】设钟表的圆心为，连接，利用切线性质和切线长定理求出，，再在中求解即可． 【详解】解：如图，设钟表的圆心为，连接， ∵A，B所对应的钟表刻度分别是8，4， ∴ ， ∵和均为的切线， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即圆形钟表的半径为． 7．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为18，则直角梯形的周长为_______ ． 【答案】21 【分析】根据切线长定理得到，根据三角形周长公式求出正方形的边长，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设，正方形的边长为a， ∵与半圆O切于点F， ∴，， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴， 在中，， 而，，， ∴， 解得：， ∴， ∴直角梯形的周长为：． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，以为直径作，为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：直线与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，证明 即可求证； （）设， 则，利用勾股定理可得，得到，，又设，则，利用勾股定理得，即得，再利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为上一点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又为的半径； ∴直线与相切； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 9．（2024·福建福州·模拟预测）如图，的半径为，是的直径，F是上一点，连接．C为劣弧的中点，过点C作，垂足为D，交于点E，，交的延长线于点G． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长； 【答案】(1)证明见解析； (2)2． 【分析】（1）连接，由垂径定理得到，则可得到，据此可证明结论； （2）由平行线的性质得到，由C为劣弧的中点，得到，，进而证明．推出是等边三角形．则，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵C为劣弧的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵C为劣弧的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ∴． 10．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，以为直径的与交于点D，过点D作，垂足为点E． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）通过连接，证得，从而证切线； （2）连接，利用直径得直角，结合等腰三角形与直角三角形性质求． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的半径， 为的切线． （2）连接，如图． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的判定与性质、切线长定理、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案． 【详解】解：连接，，，，，． ∵的内切圆与、、相切于点、、， ∴，且，，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，三角形纸片的三边之比，是它的内切圆，的三条切线、、分别交的边于点D、E、F、G、M、N，则、、的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定与性质及三角形周长计算．设，，，分别过点O作，，，，，，由切线长定理知，，，分别连接，，，，，，利用“”证明，同理可得，，，，，从而得出，，，，，设，，，将，，的周长分别用含a、b、c的式子表示出来，联立的周长表达式求得，进而得出a、b、c含k的表达式，最终经过计算得出比值． 【详解】解：由题意知，设，，， 如图，分别过点O作，，，，，， 由切线长定理知，从点B引两条切线，，则有， 同理得：，， 分别连接，，，，，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理，易证得：，，，，， ∴，，，，， 设，，， ∴， ， ， ∴，即， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：D． 4．（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，直线与x轴，y轴分别相交于点A，B，点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向x轴的正方向移动，以点M为圆心，2为半径画，设点M的移动时间为． (1)当与相切时，的值为 ； (2)P是直线上的一个动点，过P点作的切线，切点为Q，当时，的最小值为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点M作，垂足为H，根据题意，求得， ，再计算时间即可； （2）证明，连接，根据特殊角的余弦函数，勾股定理，垂线段最短求解即可． 【详解】（1）解：过点M作，垂足为H， 直线与x轴，y轴分别相交于点A，B， ，， ， ， 的半径为2，且与相切， ， ， ； （2）解：当时，， ， 是线段的垂直平分线， 连接，则， ， ，， ， 连接， ∵过P点作的切线，切点为Q， ， ， 当最小时，取得最小值， 根据垂线段最短，得当点P与点B重合时，最小，且最小值为， 的最小值为． 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，点在外，分别切于点是的直径，若，则的度数为_____． 【答案】/55度 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及直角三角形的性质，连接，可得，由切线的性质可得，再根据切线长定理得到，进而得到，由即可得到结果． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵分别切于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，矩形中，，，为边上一点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是________.            【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用以及圆的确定，取中点，再取中点，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，连接，可知，所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧，当点共线时，值最小，再进一步可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 如图，取中点，再取中点，连接，， ∴，， ∵，， ∴点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆弧， ∵点为的中点， ∴， ∴点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧， 当点共线时，值最小， 连接， ∴， ∴最小为． 故答案为：． 7．（2026九年级上·浙江温州·专题练习）在中，若D在上，平分的内心与的外心重合，求__________． 【答案】/36度 【分析】本题主要考查三角形的内心和外心的性质，角平分线以及三角形内角和定理的应用，根据三角形的内心和外心得到对应的角相等，再结合角平分线得到对应角关系，结合三角形内角和定理列出方程，求解即可． 【详解】解：设，如图， ∵点E为的内心， ∴，， ∵点F为的外心， ∴，， ∵的内心与的外心重合， ∴， ∵平分， ∴， ∵点E为的内心， ∴ ， 则， 解得， 那么，， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C为三个格点．仅用无刻度直尺在网格中完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图中，画出的外心O，则的半径为______； (2)在图中，画出的内心P，则的半径为______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析，1 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）线段的垂直平分线与的交点O即为所求；运用勾股定理求出，从而可求出的半径； （2）取格点E，F，作射线，交于点P，点P即为所求，运用面积关系可求出的半径． 【详解】（1）解：如图，点O为的外心， ∵， ∴的半径； 故答案为：； （2）解：如图，点P即为所求． 设的半径为r，则：， ∴， 解得：， ∴的半径为1， 故答案为：1． 9．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以每秒的速度移动，P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒（），回答下列问题： (1)如图1，当t为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，当秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2秒或4秒 (2)为直角三角形，理由见解析 (3)存在，当或时，与四边形的一边相切 【分析】（1）先设运动时间为t秒时，再表示出，即可得，然后根据的面积等于得出方程，求出解； （2）先根据秒时，求出，，，再根据勾股定理求出，，，然后根据勾股定理的逆定理得出答案； （3）先由题意可知与不相切，再分两种情况：当时，点P与点A重合，点B与点Q重合，与相切；当正好与四边形的边相切时，再由题意可得，然后根据勾股定理得 ，求出解即可﹒ 【详解】（1）解：当运动时间为t秒时，， ∴． ∵的面积等于， ∴， 解得， 答：当t为2秒或4秒时，的面积等于； （2）解：为直角三角形，理由如下： ∵当秒时，，，， 在中，由勾股定理得，， 同理，在和中， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴为直角三角形； （3）解：由题意可知与不相切； ①如图，当时，点P与点A重合，点B与点Q重合，与相切； ②当正好与四边形的边相切时，如图所示， 由题意可得， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）﹒ 综上，当或时，与四边形的一边相切． 10．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，为直角三角形，，直角边与半圆交于点，，平分，是半圆的直径． (1)求证：与半圆相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）要证明与半圆相切，需证明垂直于半圆的半径：先推出，结合角平分线得到等角，进而推出，最后利用切线的判定定理完成证明； （2）通过作辅助线，利用垂径定理求出的长度，再用勾股定理计算的长度，最后证明四边形为矩形，由矩形对边相等得到，从而求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是半圆的半径， ∴与半圆相切． （2）解：连接，过点作于点，如图， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第十三讲 点与圆、直线与圆的位置关系「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第3章 圆）】 （思维导图+新知学习+二十四大考点讲练+难度分层练 共68题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图： （1）如图1：d＞r点在 圆外 。 （2）如图2：d＝r点在圆上。 （3）如图3：d＜r点在圆内。 知识点二 直线和圆的位置关系 (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 知识点三 直线和圆的位置关系的性质和判定（重点） 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 知识点四 切线的判定（难点） （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 要点诠释： 切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 知识点五 切线的性质（重点） （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 知识点六 三角形的内切圆 1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 知识点七 切线长定理（难点） （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 考点一 判断直线和圆的位置关系 【典例精讲】（2026九年级上·四川南充·专题练习）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式训练】（25-26九年级上·福建泉州·期末）三个半径均为的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为，则这个圆可以是__________ ． 考点二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【典例精讲】（25-26九年级上·上海宝山·期末）若以点为圆心的圆与两坐标轴只有3个交点，则该圆的半径长是______． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例精讲】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式训练】（23-24九年级上·陕西西安·自主招生）在平面直角坐标系中，直线是边长为1的正三角形，其中为坐标原点，则点P，Q到直线的距离之和的最小值是____． 考点四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【典例精讲】（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 【变式训练】（2025·河南濮阳·一模）如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 考点五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 【典例精讲】（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式训练】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移______，才能使l与相切？ 考点六 切线的应用 【典例精讲】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为，若，则圆心角的度数为______． 【变式训练】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，点在边上，，，点是边上的动点，当最大时，的值是______． 考点七 有关切线的概念辨析 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）下列说法中，正确的是（ ） A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等 C．三角形有且只有一个内切圆 D．三角形的内心到三角形的个顶点的距离相等 【变式训练】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 考点八 判断或补全使直线为切线的条件 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）如图，CD是的直径，BD是的弦，延长DC到点A，使．有下列三个条件：①；②；③．其中只需添加一个条件就能使AB成为的切线的是________（填序号）． 【变式训练】（23-24九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 考点九 证明某直线是圆的切线 【典例精讲】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 【变式训练】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，为的直径，为上一点，过点，于点，平分．求证：为的切线． 考点十 切线的性质定理 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，为的半径，为的切线，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式训练】（2026·浙江·一模）如图，在中，，点D在边上，以为直径的与相切于点E． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 考点十一 切线的性质和判定的综合应用 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·阶段检测）为圆O直径，切圆O于点C，过点C作交圆O于点M，交于点F，连接． (1)如图1，求证：为圆O切线； (2)如图2，过点A作交于点D，求证； (3)在（2）的条件下，当时，求的长． 【变式训练】（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，四边形内接于圆，直线与圆相切于点，且为劣弧的中点． (1)若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)证明：． 考点十二 应用切线长定理求解 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，，与相切，切点分别为，，与相切于点，分别交，于点，．已知，的长是关于的一元二次方程的两个根． (1)求的值； (2)求的周长． 【变式训练】（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A．32 B．28 C．26 D．30 考点十三 应用切线长定理求证 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 【变式训练】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交于两点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线．有下列结论：①垂直平分；②；③．其中正确结论的序号是___________． 考点十四 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，的内切圆与边分别相切于点．已知，则的长为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 考点十五 圆外切四边形模型 【典例精讲】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段检测）阅读材料： 已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ． ． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径； (2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 【变式训练】下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 考点十六 三角形内心有关应用 【典例精讲】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，等边的顶点分别在等边的三边上，若和的边长分别是6和4，则的周长是___________，的内切圆的半径是___________． 考点十七 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（   ） A．10 B． C． D．13 【变式训练】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 考点十八 三角形内切圆与外接圆综合 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 考点十九 过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【典例精讲】（25-26九年级上·山东威海·自主招生）尺规作图． (1)已知，，求作两圆的内公切线； (2)已知，，求作两圆的外公切线． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图中先作直径，再过点作的切线； (2)在图中，点是与网格线的交点，先在上方作 ；再在下方作弦． 考点二十 圆内知识综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 【变式训练】（25-26九年级上·北京石景山·期末）对于和点，给出如下定义：若过点的直线与有两个交点，且的大小为，则称为的“生成点”，特别地，若这样的直线只存在一条，则称点为的“完美生成点”． (1)如图，在平面直角坐标系中，的半径为4，点，，． ①在点，，中，点 是的“生成点”； ②过点的直线交轴于点，且．若直线上的点是的“完美生成点”，直接写出点的坐标： (2)已知的长为2，若线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且，直接写出这个圆的半径的取值范围． 考点二十一 圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（24-25九年级上·云南西双版纳·期末）如图，四边形内接于，对角线平分，是的直径． (1)求证：； (2)探究的值是否为一个定值？若是，求出这个定值若不是，请说明理由． (提示：将、、转化到同一个三角形中) 【变式训练】（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以为圆心，1为半径的圆上一动点，连结、，则面积的最小值是_____． 考点二十二 圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，已知，为的两条直径，连接，，于点，点是半径的中点，连接． (1)设的半径为，若，求线段的长； (2)如图，连接，，设与交于点． ①求证：为中点； ②若，求证：． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，是的弦．C为上一点，，连接并延长至点D，过点D作交于点E，连接，．当时，四边形面积的最大值为______  ． 考点二十三 圆与函数的综合(圆的综合问题) 【典例精讲】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）点P为图形M上任意一点，过点P作直线l，垂足为Q，记的长度为d． 定义一：若d存在最大值，则称其为“图形M到直线l的限距离”，记作； 定义二：若d存在最小值，则称其为“图形M到直线l的基距离”，记作； (1)已知直线，平面内反比例函数在第一象限内的图象记作H，求． (2)已知直线，点，点是x轴上一个动点，的半径为，点C在上，若，求此时t的取值范围． (3)已知直线恒过定点，点恒在直线上，点是平面上一动点，记以点E为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形K，若，求m的取值范围． 【变式训练】在平面直角坐标系中，对于图形P，图形和直线l给出如下定义：图形P关于直线l的对称图形为．若图形P与图形均存在点在图形Q内部（包括边界），则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”．    (1)如图，点，点． ①已知图形是半径为2的，是半径为1的，是半径为的，在，，中，线段关于直线的“弱相关图形”是：　　； ②已知的半径为2，若是线段关于直线的“弱相关图形”，求b的取值范围； (2)在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P．若存在点，使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r的是圆P关于l的“弱相关图形”，直接写出r的取值范围． 考点二十四 其他问题(圆的综合问题) 【典例精讲】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，正方形的边长为8，以C为圆心，3为半径作，点P为⊙C上的动点，连接，并将绕点B逆时针旋转得到，连接， 在点P运动的过程中，长度的最小值是_______． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图是由两个正方形组成的轴对称图案，测得正方形的边长分别为和．现用一个半径为的圆形纸片将其完全覆盖，则的最小值是___________． 【基础通关能力提升】 1．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，是的切线，为切点，连接，与交于点，为上一动点（点不与点，重合），连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，，分别与相切于A，B两点，点C在优弧上，点D在劣弧上，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 5．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）已知为外一点，直线与的两个公共点为点，，过点作的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 6．（25-26九年级上·河北沧州·期末）将一个标准的圆形钟表放置在“V”形架上，如图是其主视图，和均为的切线，切点分别是A，B（A，B所对应的钟表刻度分别是8，4）．若，则圆形钟表的半径为________ 7．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为18，则直角梯形的周长为_______ ． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，以为直径作，为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：直线与相切； (2)若，，求的长． 9．（2024·福建福州·模拟预测）如图，的半径为，是的直径，F是上一点，连接．C为劣弧的中点，过点C作，垂足为D，交于点E，，交的延长线于点G． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长； 10．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，以为直径的与交于点D，过点D作，垂足为点E． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，求的长． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，三角形纸片的三边之比，是它的内切圆，的三条切线、、分别交的边于点D、E、F、G、M、N，则、、的周长之比为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，直线与x轴，y轴分别相交于点A，B，点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向x轴的正方向移动，以点M为圆心，2为半径画，设点M的移动时间为． (1)当与相切时，的值为 ； (2)P是直线上的一个动点，过P点作的切线，切点为Q，当时，的最小值为 ． 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，点在外，分别切于点是的直径，若，则的度数为_____． 6．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，矩形中，，，为边上一点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是________.            7．（2026九年级上·浙江温州·专题练习）在中，若D在上，平分的内心与的外心重合，求__________． 8．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的6×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C为三个格点．仅用无刻度直尺在网格中完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图中，画出的外心O，则的半径为______； (2)在图中，画出的内心P，则的半径为______． 9．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以每秒的速度移动，P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒（），回答下列问题： (1)如图1，当t为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，当秒时，试判断的形状，并说明理由； (3)如图3，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 10．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，为直角三角形，，直角边与半圆交于点，，平分，是半圆的直径． (1)求证：与半圆相切； (2)若，，求的长． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null