上海市同济大学第一附属中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

同济大学第一附属中学 2025学年第二学期期末考试高一年级数学试卷 命题人邹颖审核人王琦 (本试卷满分150分，考试时间120分钟，可以使用计算器) 一、填空题（16每小题4分，7-12每小题5分，共54分) 1.已知复数z=(3-4i)i(i为虚数单位)，则z= 2.若角a的终边经过点（√2，-1），则sina=_. 3.己知log1s9=a,18=5,用a,b表示10g1845为 4.不等式2x-1<3的解集为 5.若向量ā=(3.-4)，6=(1,2)，则(a,b)= ·(结果用反三角表示) 6.在长方体ABCD-ABC,D中，若AA,=3,AB=4,则直线B,C,到平面ABCD,的距离是 7.函数y=10g2（x2-2x-3)的单调减区间是 8.如图所示直角梯形OABC上下两底分别为2和4，高为2√2， 则利用斜二测画法所得该直角梯形的直观图的面积为一， 9.若a=(sin8,2),b=(cos8,1),0∈R且a/1b,则tan20=_ 10.复数z满足z=1,则z-3+41的最小值是 11.已知A、B、C是单位圆上的三个点，若AB=V2,则AB.BC的最大值为 1,x为有理数 12.德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数D(x)= 0,x为无理数’ 该函 数被称为狄利克雷函数.那么是否存在三个点A(x1,D(x)、B(x2,D(x2)、C(x,D(x3),使得 △ABC为等边三角形，若不存在请在横线上填写“不存在”，如果存在则在横线上填写该正三角 形的面积 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分) 13.已知a、B是两个不同的平面，1、m、n是三条不同的直线，则下列选项正确的是 () A.若m/1a,nlla,则mlln B.若a∩B=l,且ml,则m/a C.若mca,n⊥a,l⊥n,则llm D.若mca,ncB,allB,则mlln或异面 14.,如图所示，在正方体ABCD-AB,CD,中，点P为线段AC(含端点) 上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是() A.DD B.AC C.AD D.BC 15.已知常数a>0,不等式lfx)+g(x)ka的解集为M.不等式lf(x)川+|g(x)ka的解集为 N,则下列关系式中不可能成立的是(). A.M=N B.M∈N C.NCM D.M∩N≠☑ 16.已知平面向量a,万，c,对任意实数x,y都有a-x2a-,日-yd≥a-成立.若 a=2,则-(c-a)的最大值是() A.√5-1 B.5-5 c.2 D. 三、解答题（满分78分） 17.（本题14分) 已知复数乙1=a+2+(a-3)i,z2=2+(3a+1)i(aeR,i是虚数单位). (1)若复数乙+z2在复平面上的对应点落在第一象限，求实数a的取值范围， (2)若虚数z1是实系数一元二次方程x2-6x+m=0的根，求实数m的值. 18.(本题14分) 如图所示，在长方体ABCD-AB,CD,中，AB=BC=2,CC=4,M为棱CC上一点. (1)若CM=1,求异面直线AM和C,D所成角的大小， (2)若CM=2,求证BM1平面ABM. B 19.(本题14分) 如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路OA和OB之间修建一处弓形（或者半圆形）花园，使其俯 视图有着类似”冰淇淋”般的效果，已知∠40B=牙，线段AB=2反，号弓形（半圆）花园的弧上 有-点M,其中∠MB=∠MBA=年，设∠0BA=09e “冰淇淋”设计图 (1)用含有B的代数式表示线段OA、OB的长度 (2)现准备在M点处修建喷泉，求点M与点O距离的最大值以及对应的日的值. 20.(本题18分) 如下图(1)是由两个三角形组成的平面图形，其中∠APC=90°，∠PAC=30°， AC=2,AB=1,∠BCA=30°，现在将三角形ABC沿AC折起，使得过点P作PH⊥平面 ABC,垂足H恰好在AC上，如下图(2).设O是AC的中点，D是AP的中点. (1)求：线段BC的长 (2)求：直线BD与平面PAC所成角的大小： (3)连接PB,DO,设平面DBO与平面PBC的交线为直线I,判别l与PC的位置关系，并 说明理由。 图(1) 图(2) 21.(本题18分) 对于定义域在R上的函数y=f以，定义g=f)-f0.设区间1=（∞，0U0,o),对于 区间1上的任意给定的两个自变量的值x、为，当x<x时，总有g(x)≤g(x2),则称g(x)是 f(x)的“T函数”. (1)求证：函数y=-2*不存在“T函数”，请说明理由； (2)若非常值函数y=s(x),x∈R是奇函数，求证：y=S(x)存在“T函数”的充要条件是存在常数 k,使得s(x)=a; (3)若函数f(x)=m·2*-99x与函数h(x)=-m2+x的定义域都为R,且均存在“T函 数”，求实数m的值。