精品解析：上海市川沙中学2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试题

上海市川沙中学2025学年第二学期高一数学期末考试 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分． 2．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚填写班级、姓名、准考证号． 3．考试时间：90分钟． 一、填空题（本大题共12小题，满分36分，每小题3分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．） 1. 已知，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得的值 【详解】知，∈（0，），则 故答案为： 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题． 2. 已知复数满足，则 __________ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算及复数的模的运算公式即可求解. 【详解】因为复数满足，所以，所以. 故答案为：. 3. 已知圆锥的高为，底面半径为 ，则该圆锥的侧面积为_______． 【答案】 【解析】 【详解】 如图，母线长，所以圆锥的侧面积． 4. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为______． 【答案】12 【解析】 【详解】依题意，的面积， 由水平放置的三角形面积是其直观图面积的倍，得的面积为. 5. 设，则向量在方向上的投影向量的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用坐标计算，，再利用公式计算. 【详解】因，则，， 则向量在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为： 6. 如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线 是异面直线的共有___________条. 【答案】3 【解析】 【分析】利用异面直线的判定定理判断即可. 【详解】空间直线的位置关系有平行、相交、异面，即不平行也不相交则异面， 由图可知九条棱中，，， ，，与 相交， 没有直线与 平行， 所以与直线 是异面直线的共有3条，分别为，，， 故答案为：3 7. 已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 【答案】 【解析】 【详解】由为正四棱柱，且， 所以为正方形，则正四棱柱的外接球半径， 所以球的表面积为. 8. 如图所示，为梯形，，，现在将这个图形绕着直线 旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的体积是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意确定几何体的构成，再由圆柱、圆锥的体积公式求组合体的体积. 【详解】由题意，所得几何体是一个底面半径为2，高为2的圆柱和一个底面半径为2，高为2的圆锥构成的组合体， 所以其体积为. 故答案为： 9. 已知复数z满足，则的最小值为_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z， 由复数的几何意义可知，将问题转化为x轴上的动点Z到定点距离的最小值，即可接替. 【详解】设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足， 由复数的几何意义可知，点Z到点 和的距离相等， 所以在复平面内，点Z的轨迹为x轴， 又表示点Z到点的距离， 所以的最小值为x轴上的动点Z到定点距离的最小值， 所以的最小值为2． 故答案为： 2 10. 如图所示，是某正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①与平行 ②与是异面直线； ③与成 角； ④ 与垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是________． 【答案】③④ 【解析】 【分析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，结合直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系判断即可. 【详解】如图所示，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然与为异面直线，故命题①不成立；而与平行，故命题②不成立； 因为，所以 与所成角为． 因为为等边三角形，所以，故③正确； 易知 平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以，故④正确． 11. 已知平面向量，，，且 ，已知向量与所成的角为 ，对任意实数 恒有，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由，两边平方化简得 ，再用向量的三角不等式求的最小值. 【详解】由 ，向量与所成的角为60°，可得， 由，两边平方得， 化简可得 对任意实数t恒成立， 令，则 恒成立， 由于函数图象抛物线开口向上，需使 ，所以 ， 由向量的三角不等式，有， 当且仅当与方向相反时等号成立 又， 则的最小值为. 12. 如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用旋转思想把正方体问题转化到圆锥问题来求解即可. 【详解】 根据，可由题意将所求角转化为将绕旋转所得到的直线与所成的角， 即可将其转移到圆锥中求解，图中直线与重合，圆锥母线为,如下图： 由旋转可转化到， 在正方体中，假设正方体的边长为，则可知 所以，即在圆锥中有，， 由可得， 由等边三角形，可得， 在中，由余弦定理， 从而可得旋转后直线方向向量与直线AB方向向量夹角的余弦值为， 所以直线AB与直线所成角的大小为. 故答案为：. 二、单选题（本大题共4小题，满分12分，每小题3分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分．） 13. 已知，为非零向量，命题和命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积的定义公式，分别判断命题的充分性和必要性是否成立，进而作出判断. 【详解】若成立，则（两向量同向）或（两向量反向）， 当时，，此时，即不成立， 因此 推不出，充分性不成立； 若成立，因为是非零向量，，则， 结合得，即两向量同向，因此， 成立， 即能推出 ，必要性成立； 综上， 是的必要不充分条件. 14. 已知直线和平面 ，且，，则下列命题中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由空间线面、线线位置关系逐项判断即可. 【详解】由，，可得， 对于A，，，则直线可能相交、平行或异面，故错误； 对于B，若，则或，故错误； 对于C，因为，，所以，又， 所以，正确； 对于D，要证明，需垂直平面内两条相交直线，现在只有，条件不够，故错误； 故选：C 15. 设 ，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 由， . 因为函数在上没有最大值和最小值， 所以函数的半个周期的区间长度不小于，即 . 结合正弦函数性质，则有或， 解得或. 即的取值范围为：. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，点M、N分别在线段和上，给出下列命题：①有且仅有一条直线 与垂直；②存在点M、N，使为等边三角形，则（ ） A. ①、②均为真命题 B. ①、②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】①找到一个的充要条件，并确定一个面与垂直，判断这种面的个数；②利用正三角形的性质，将问题化为判断是否存在，再设参并列方程求参判断是否满足范围. 【详解】点在平面上的射影的轨迹为线段， 所以平面， 平面，所以， 则的一个充要条件， 当射影位于线段上的任意位置时，过作垂线，垂足为，则， 由且都在面上，则面，而面， 所以，于是这样的直线 不唯一，①为假； 由，，由上知， 又，要使为正三角形，只需即可， 若，则，，且， 所以， 令，则， 可得（负值舍）， 而，只需比较，大小， 将它们平方有，， 进而比较，大小， 将它们平方有，， 显然，即， 则， 所以， 即， 综上，，即所求，满足要求， 故存在点M、N，使为等边三角形，②为真； 故选：D 【点睛】关键点点睛：①点在平面上的射影，关键是构造一个平面与垂直，进而判断这样的平面个数；②将正三角形的三边关系转化为，再设且，并用表示，利用等量关系求参数并判断是否在给定范围内即可. 三、解答题（本大题共有5题，满分52分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．） 17. 已知向量与的夹角为 ， ， ，求： （1）； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，再根据计算可得； （2）依题意可得 ，根据平面向量数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】 因为 ， ，与的夹角为 ， 所以 ， 所以 . 【小问2详解】 因为向量与互相垂直， 所以 ， 所以 ，即 ， 所以 . 18. 已知 ，i为虚数单位，复数 （1）当复数 为纯虚数时，求 的值； （2）已知 ，当 时，若 是关于 的方程 的一个根，求 与 的值. 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【小问1详解】 因为为纯虚数，所以且， 解得. 【小问2详解】 时，. 因为是方程的一个根，所以代入得： ， ， 解得，. 19. 如图，四边形为长方形，平面，，． （1）若分别是的中点，求证：∥平面 ； （2）边上是否存在点，使得直线与平面 所成的角的大小为 ？若存在，求 长；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 法一：取中点，连接、 ， ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ∵ 平面，在平面外， ∴平面 法二：如图建立空间直角坐标， 则，，， ，，， ∴， 易知平面 的一个法向量 ∵， 且在平面外 ∴平面 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）法一：几何法：取中点，连接、，通过，即可求证；法二：向量法：求得平面法向量取平面 的法向量 由，即可求证； （2）法一：几何法：作 ，垂足为，连接，确定直线与平面 所成的角为，进而可求解；法二：向量法：由线面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：作 ，垂足为，连接， ∵平面，在平面内， ∴，又为平面 内两条相交直线， ∴平面 ， ∴直线与平面 所成的角为， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴边上存在点，使得直线与平面 所成的角为， . 法二：设，则， ∴， 易知平面 的一个法向量， 设与的夹角为， 则， 解得：， ∴边上存在点，使得直线与平面 所成的角为，. 20. 已知函数（ ， ）为奇函数，且的周期为 ． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域； （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：．试确定的值，并求的值． 【答案】（1） （2） （3） ， 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数的值，从而得到函数的解析式； （2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数的解析式，进而求得函数的值域； （3）根据方程并结合正弦函数图象得到方程根的个数，再结合三角函数图象的对称性分组求和即可． 【小问1详解】 因为函数周期 ，且 ，所以 ，解得 ， 又由函数为奇函数，可得 ，所以 ， 又 ，所以，所以函数 . 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当，即时，函数取得最小值，最小值为， 当，即时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． 【小问3详解】 由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，作出正弦函数 的图象如图所示， 由图可知方程在区间上有3个根，所以 ， 其中 ， ， 即 ， ， 解得：，， 所以． 21. 如图，在矩形 中，，， 是线段 上的一动点，将 沿着折起，使点 到达点的位置，满足点 平面 且点在平面 内的射影 落在线段 上． （1）当点 与点 重合时，证明： 平面 ； （2）当点 与点 重合时，求二面角 的余弦值； （3）设直线 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，求 的最大值． 【答案】（1） 证明：当点M与端点D重合时，由可知 ， 由题意知 平面 ，平面 ，所以 ， 又 ， ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ，可知 ，平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明 和 ，证明 平面 ； (2) 作 于点，连接，证明 为二面角 的平面角，分别求出 ，借助于 即可求得该角的余弦值； （3）由几何法找到 和 ，表示出 ，利用函数方法可求最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作 于点，连接，因 平面， 平面，则 ， 又 平面 ，则平面 ，又 平面 ，则 ， 故 为二面角 的平面角. 在 中， ，，则，则，， 在中，易得，则， 在 中，， 即二面角 的余弦值为. 【小问3详解】 作 交于 ，所以直线 与平面 所成的角即为直线 与平面 所成的角， 作 于点，连接，因 平面， 平面，则 ， 又 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ， 作 ，垂足为，平面 平面 ， 平面 ，可得 平面 ， 连接 ， 是直线 与平面 所成的角，即 ， 因为 ，满足， 设，，， 因为在 中，斜边大于直角边，即 ，即，解得， 又，在 中，由等面积得， 因， 又因 ， ，所以 是二面角 平面角，即 ， 则， 所以，当且仅当时“＝”成立， 故 的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市川沙中学2025学年第二学期高一数学期末考试 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分． 2．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚填写班级、姓名、准考证号． 3．考试时间：90分钟． 一、填空题（本大题共12小题，满分36分，每小题3分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．） 1. 已知，，则__________. 2. 已知复数满足，则 __________ 3. 已知圆锥的高为，底面半径为，则该圆锥的侧面积为_______． 4. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为______． 5. 设，则向量在方向上的投影向量的坐标为___________． 6. 如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线 是异面直线的共有___________条. 7. 已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_______. 8. 如图所示，为梯形，，，现在将这个图形绕着直线 旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的体积是________. 9. 已知复数z满足，则的最小值为_____________． 10. 如图所示，是某正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①与平行 ②与是异面直线； ③与成 角； ④ 与垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是________． 11. 已知平面向量，，，且 ，已知向量与所成的角为 ，对任意实数 恒有，则的最小值为_________． 12. 如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为_________. 二、单选题（本大题共4小题，满分12分，每小题3分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分．） 13. 已知，为非零向量，命题和命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知直线和平面 ，且，，则下列命题中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 设 ，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，点M、N分别在线段和上，给出下列命题：①有且仅有一条直线 与垂直；②存在点M、N，使为等边三角形，则（ ） A. ①、②均为真命题 B. ①、②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分52分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．） 17. 已知向量与的夹角为 ， ， ，求： （1）； （2）若，求实数的值． 18. 已知 ，i为虚数单位，复数 （1）当复数 为纯虚数时，求 的值； （2）已知 ，当 时，若 是关于 的方程 的一个根，求 与 的值. 19. 如图，四边形为长方形，平面，，． （1）若分别是的中点，求证：∥平面 ； （2）边上是否存在点，使得直线 与平面 所成的角的大小为 ？若存在，求 长；若不存在，说明理由． 20. 已知函数（ ， ）为奇函数，且的周期为 ． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域； （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：．试确定的值，并求的值． 21. 如图，在矩形 中，，， 是线段 上的一动点，将 沿着折起，使点 到达点的位置，满足点 平面 且点在平面 内的射影 落在线段 上． （1）当点 与点 重合时，证明： 平面 ； （2）当点 与点 重合时，求二面角 的余弦值； （3）设直线 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，求 的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $