湖南长沙市弘益高级中学2026届高三下学期适应性考试数学试题

**基本信息** 聚焦数学眼光、思维与语言，通过列联表分析（数据分析）、正方体空间计算（几何直观）及函数方程根证明（逻辑推理），实现对高三学生数学核心素养的综合检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数实部、集合运算、椭圆离心率等|基础概念与运算结合，如圆台体积计算考查空间观念| |多选题|3/18|直线与圆、数列、抛物线|多选项设计区分思维层次，如抛物线焦点相关结论判断| |填空题|3/15|等比数列、函数极值、棱台外接球|需综合公式与空间想象，如正四棱台外接球表面积| |解答题|5/77|统计（列联表）、立体几何（正方体）、解三角形、椭圆综合、函数导数|真实情境（医学检查列联表）与逻辑推理（函数方程根证明）结合，适配高考命题趋势|

高三适应性考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则的实部为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：设，则， 则，解得，故的实部为． 故选：． 2.设集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题意可得：． 则． 故选：． 3.在中，，点在线段上不含端点，且，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由，得， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当时，取得等号， 故的最小值为． 故选：． 4.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上一点满足，且，则的离心率为  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】由题意得，在中，，则，即，整理得，所以的离心率故选D． 5.已知圆台上底面直径为，下底面直径为，母线长为，则该圆台的体积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：已知圆台上底面直径为，则上底面半径下底面直径为，则下底面半径． 圆台的母线长，圆台的高、母线与上下底面半径之差构成直角三角形， 根据勾股定理． 将，，代入可得：． 故选：． 6.在至的个整数中随机取个不同的数，则这两个数之和为素数且这两个数之差的绝对值大于的概率为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】从这个整数中，任取个不同的数，有种方法， 其中两数之和为素数且两数之差的绝对值大于的有，，，，共种方法，故所求概率为． 7.已知，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】由题知， 所以，即， 所以． 8.已知函数，其中是自然对数的底数若，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题． 求导后结合基本不等式可得在上单调递增，令，从而可得在上单调递增，且为奇函数，从而可化为，求解即可． 【解答】 解：， 在上单调递增． 令，在上单调递增， 因为，所以为奇函数， 则化为 所以，解得， ． 故选： 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知为坐标原点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“距直线”，下列直线是“距直线”的是(    ) A. B. C. D. 【答案】ABC  【解析】由题意可得原点到直线的距离小于或等于． 对于，原点到直线的距离，点在上，且到原点到距离为，满足要求，故A正确 对于，原点到直线的距离为，故B正确 对于，原点到直线的距离，满足要求，故C正确 对于，原点到直线的距离，故D错误． 10.已知数列的前项和为，且满足，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】BC  【解析】由题意知，则当时，，两式相减可得，即当时，，因为，所以，，所以，，． 11.已知抛物线的焦点为，点，为上的动点，则(    ) A. 满足的点恰有两个 B. 满足的面积为的点恰有三个 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD  【解析】满足的点位于线段的垂直平分线上，其直线方程为，与仅有一个交点，故A错误设点到直线的距离为，令，则，所以在直线或轴上，这样的点有三个，故B正确如图，点在抛物线外，，故的最小值为，故C正确如图，过作轴的平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，根据抛物线定义得，则，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在正项等比数列中，若，，则          ． 【答案】  【解析】解：设正项等比数列的公比为， 由等比数列性质，，，，因此： ， 代入已知条件，，得： ， 因，故， 由，得， 所以． 故答案为． 13.已知函数若是函数的一个极值点，则实数          ． 【答案】  【解析】略 14.如图，在正四棱台中，，，该棱台的体积，则该棱台外接球的表面积为          ． 【答案】  【解析】如图，连接，，取，的中点，，连接，，，则外接球球心在直线上设球心为，连接，，，则， 则平面因为正四棱台中，，，故，，所以，设四棱台的高为，故，解得，故设，则，，所以，解得故，故该棱台外接球的表面积为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了人，得到如下列联表： 正常 不正常 合计 患该疾病 未患该疾病 合计 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值 根据所选择的个人的数据，能否有的把握认为超声波检查结果与是否患该疾病有关？ 附：， 【答案】解：由题可知，超声波检查结果不正常者有人，这人中患该疾病的有人， 则，所以的估计值为． 提出假设超声波检查结果与是否患该疾病无关， 根据列联表中的数据，经计算得到 ， 因为当成立时，，这里的，所以我们有的把握认为超声波检查结果与是否患该疾病有关．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.本小题分 如图，在棱长为的正方体中，，分别是和的中点． 求到平面的距离； 求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】解：如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系， 依题意，得，，，， ，， 则，，， 又平面，平面，平面， 到平面的距离等于点到平面的距离， ，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，是平面的一个法向量， 又，所以点到平面的距离为： ． 平面，是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角， 则， 平面与平面的夹角的余弦值为．  【解析】本题主要考查线面距离的计算，面面角的计算，空间想象能力的培养，空间向量及其应用等知识，属于中等题． 先证明出平面，所以到平面的距离即为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，根据点到平面的距离向量公式即可求出到平面的距离； 分别求出平面与平面的一个法向量，根据平面夹角的定义即可求出面与平面的夹角的余弦值． 17.本小题分 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． 证明：； 若的面积为，证明为等边三角形． 【答案】解：由正弦定理得， 即， 所以， 所以， 所以，由正弦定理得． 因为，所以， 因为，所以为锐角，所以． 由余弦定理得， 又，代人化简得， 所以， 所以为等边三角形．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.本小题分 如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，． 求与的标准方程 过点作直线，交于点，交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求上述各点均不重合 点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点，求点坐标，使直线与直线的斜率之积为定值上述各点均不重合 【答案】解：由题意可得：，解得 所以椭圆的标准方程为，椭圆的标准方程为． 先证结论：已知椭圆上的点关于原点对称， 对于椭圆上任一点可得有意义的前提下， 因为， 且在椭圆上，则，两式相减可得， 整理可得，所以， 由题意可知：直线的斜率存在且不为，设为， 则， 所以； 由设直线，，， 联立方程，消去可得， 由题意可得：，即， 可得，即， 又，则直线的斜率， 可得直线：， 同理可得， 又则直线的斜率， 可得直线：， 同理可得， 则直线的斜率， 可得直线：， 联立方程，解得 即，可得 设，， 整理可得 ， 由题意可得，解得 即存在点，使得．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.本小题分 已知函数． 当时，求的单调区间； 若方程有两个不同的根，． 求的取值范围； 证明：． 【答案】 当时，，，则， 由，解得． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 综上可知，的单调递增区间为，单调递减区间为． 由，得． 设，由得在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，，当时，，且当时，，故的图象如图所示： 结合图象可知，当时，直线与的图象有两个交点， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根， 故的取值范围是． 不妨设，则，且． 方法一  当时，，即． 当时，． 设， 当时，， 所以在区间上单调递增， 则当时，，即，所以． 又，，，在区间上单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 方法二  设，， 则， 所以在区间上单调递增，又， 所以，即． 又，所以． 又，，在区间上单调递减． 所以，即，又，所以，得证．   【解析】利用导数求函数的单调区间不含参利用导数证明不等式利用导数研究方程的根 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三适应性考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则的实部为(    ) A. B. C. D. 2.设集合，，则(    ) A. B. C. D. 3.在中，，点在线段上不含端点，且，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 4.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上一点满足，且，则的离心率为  (    ) A. B. C. D. 5.已知圆台上底面直径为，下底面直径为，母线长为，则该圆台的体积为(    ) A. B. C. D. 6.在至的个整数中随机取个不同的数，则这两个数之和为素数且这两个数之差的绝对值大于的概率为(    ) A. B. C. D. 7.已知，则(    ) A. B. C. D. 8.已知函数，其中是自然对数的底数若，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知为坐标原点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“距直线”，下列直线是“距直线”的是(    ) A. B. C. D. 10.已知数列的前项和为，且满足，，则(    ) A. B. C. D. 11.已知抛物线的焦点为，点，为上的动点，则(    ) A. 满足的点恰有两个 B. 满足的面积为的点恰有三个 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在正项等比数列中，若，，则          ． 13.已知函数若是函数的一个极值点，则实数          ． 14.如图，在正四棱台中，，，该棱台的体积，则该棱台外接球的表面积为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了人，得到如下列联表： 正常 不正常 合计 患该疾病 未患该疾病 合计 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值 根据所选择的个人的数据，能否有的把握认为超声波检查结果与是否患该疾病有关？ 附：， 16.本小题分 如图，在棱长为的正方体中，，分别是和的中点． 求到平面的距离； 求平面与平面的夹角的余弦值． 17.本小题分 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． 证明：； 若的面积为，证明为等边三角形． 18.本小题分 如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，． 求与的标准方程 过点作直线，交于点，交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求上述各点均不重合 点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点，求点坐标，使直线与直线的斜率之积为定值上述各点均不重合 19.本小题分 已知函数． 当时，求的单调区间； 若方程有两个不同的根，． 求的取值范围； 证明：． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $