精品解析：湖南长沙市一中广雅中学2026届高三下学期模拟适应性考试数学试题

2026届高三全真模拟适应性考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据：12，15，11，18，15，20，这组数据的中位数是（ ） A. 15 B. 14.5 C. 16 D. 18 2. 已知分别为的边上的中线，设，,则＝（ ） A. ＋ B. ＋ C. D. ＋ 3. 已知全集，则=（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线，过点作直线，使与 有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 6. 如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当 很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过 的最大整数，用上式计算的值为（ ） （参考数据：，，） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 8. 小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为 ， ，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的有（ ） A. 若是方程的一个根，则 B. 复数与分别表示向量与，则向量表示的复数为 C. 若复数满足，则的最大值为 D. 若复数，满足，则 10. 在正三棱柱中，，的重心为，以为球心的球与平面相切.若点 在该球面上，则下列说法正确的有（ ） A. 存在点 和实数，，使得 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 若直线与平面所成的角为 ，则的最大值为 D. 若，则所有满足条件的点 形成的轨迹的长度为 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点 是 的渐近线上一点（ 在 轴上方），直线与圆相切，且与 的左、右两支分别交于两点，若，则（ ） A. 以为直径的圆与圆 相切 B. 的离心率 C. 线段的中点在直线上 D. 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知F是椭圆和抛物线的公共焦点，是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为____________. 13. 函数在区间上有50个最大值，则的范围__________． 14. 已知函数. ①当时，，记前 项积为，若恒成立，整数 的最小值是______________; ②对所有n都有成立，则 的最小值是_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱台中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足，． （1）证明：平面； （2）若直线 和平面所成角的正弦值为，求该三棱台的高． 16. 在锐角中，，， （1）求角A； （2）求的周长l的范围. 17. 组合数学研究的内容之一是计数，母函数是重要的计数工具之一．其定义如下：对于序列，定义为序列的母函数．母函数的计数方法与二项式定理的原理相似：假设有红、黄、蓝各一个小球，计算由它们组成的所有组合的个数，可考虑三步完成，即每个小球是否参与组合我们用即1代表小球不参与，x代表小球参与，根据分类加法计数原理，代表一个小球是否参与组合的两种情况，根据分步乘法计数原理，用代数式表示三个小球是否参与组合的情况，所以母函数为，例如其中中的系数3就是由两个小球构成的所有组合个数，而总的组合个数就是． （1）假设有四个不同的小球，令为由它们组成的含有n个小球的所有组合个数，试写出的一个与问题对应的母函数； （2）已知，其中．现有一序列的母函数，其中，证明：； （3）在某班中的8位男同学和5位女同学中，组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组，令为从8位男同学中选取n位的所有组合个数，令为从5位女同学中选取n位的所有组合个数，分别写出和的与问题对应的母函数和，并求总的组合个数． 18. 在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”． （1）求“椭圆”的方程； （2）根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由； （3）设，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为 ，过作直线交 于 两点，的外心为 ，求证：直线与的斜率之积为定值． 19. 对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数，若对在定义域内的给定常数 ，存在数列满足在的定义域内且，且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线，则称数列为函数的“ 关联切线伴随数列”. （1）若函数，证明：都存在“ 关联切线伴随数列”； （2）若函数，数列为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求的通项公式； （3）若函数，数列为函数的“ 关联切线伴随数列”，记数列的前 项和为，证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三全真模拟适应性考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组数据：12，15，11，18，15，20，这组数据的中位数是（ ） A. 15 B. 14.5 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【详解】先把数据从小到大排序：11，12，15，15，18，20， 由于数据共6个（偶数个），故中位数取中间两个数的平均数：． 2. 已知分别为 的边上的中线，设，,则＝（ ） A. ＋ B. ＋ C. D. ＋ 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可联立方程求解. 【详解】分别为 的边上的中线, 则, , 由于，，所以, 故解得 故选：B 3. 已知全集，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由并集和补集的定义求解即可. 【详解】因为， 故，所以. 故选：D. 4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】由，可得， 则，又， 则所求切线方程为，即． 故选：B． 5. 已知双曲线，过点作直线，使与 有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】D 【解析】 【分析】结合双曲线的性质与点 位置，画出对应图形即可得. 【详解】易知双曲线的焦点，顶点，渐近线为， 由可得该点在双曲线右顶点上方， 易得过 点与双曲线有且只有一个公共点的直线中， 有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1）， 有两条双曲线右支的切线（图2），共4条. 故选：D. 6. 如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性与导数的关系及符号法则解不等式即可. 【详解】由题可得函数的单调增区间为，，单调减区间为， 所以时，，时，， 由，可得或，所以. 故选：D. 7. 正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过 的最大整数，用上式计算的值为（ ） （参考数据：，，） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】设，分析可知数列为递增数列，结合题中数据估算可知，即可得结果. 【详解】设，则， 因为， 可知数列为递增数列， 且， ， 可知，所以. 故选：C. 8. 小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为 ， ，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，先求 的有关值，再求对应事件的概率. 【详解】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立， 且. 恰好能答对两道题为事件，且两两互斥， 所以 ， 整理得，他三道题都答错为事件， 故. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的有（ ） A. 若是方程的一个根，则 B. 复数与分别表示向量与，则向量表示的复数为 C. 若复数满足，则的最大值为 D. 若复数，满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过复数范围内方程的根判断A；通过复数的几何意义与平面向量的坐标运算判断B；由复数模的几何意义及点到圆上点的最值的求法判断C；根据复数的乘除运算及模的求法判断D． 【详解】对于A：若是方程的一个根， 则方程的两个根分别， 所以， 所以，故A错误； 对于B：由题意可知， 所以， 所以向量表示的复数为，故B正确； 对于C：设， 若复数满足， 则在复平面内点在圆上， 圆 的圆心，半径， 则的几何意义为原点到圆 上点的距离，又， 则的最大值为，C正确； 对于D：因为， 所以， ， 所以，D正确． 故选：BCD. 10. 在正三棱柱中，，的重心为 ，以 为球心的球与平面相切.若点 在该球面上，则下列说法正确的有（ ） A. 存在点 和实数，，使得 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 若直线 与平面所成的角为 ，则的最大值为 D. 若，则所有满足条件的点 形成的轨迹的长度为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由球 与平面的位置关系，判断结论；对于B， 面积为定值，由 到平面的最大距离求三棱锥体积的最大值；对于C，求出当 最大时 的位置，由两角和的正弦公式求的最大值；对于D，根据所给的点 轨迹长度与球 的大圆周长比较即可判断. 【详解】对于A， 取 中点 ，中点 ，连接，， 正三棱柱中，平面平面，平面平面， 平面，平面，，而 为的重心， ，到平面的距离为， 而 到平面的距离为， 球 与平面相离，则不存在这样的 和实数，使，A错误． 对于B， 到平面的距离为，球 半径， 则 到平面的最大距离为， ，B正确． 对于C，设 为球的上顶点，平面于点 ， 与球 相切且 与平面共面， ，， 设，则有，得， ，C正确． 对于D，由选项B可知 到平面的距离为，即球 半径， 所以球 大圆的周长为， 由题意点 的轨迹为过B且垂直于的平面与球的交线圆，而， 截面圆的周长大于球的大圆的周长，所以是不可能的，D错误. 故选：BC． 【点睛】方法点睛：利用正三棱柱的结构特征和三角形重心的位置特征，求出重心 到相关平面的距离，可解决向量共面，棱锥高度最大，轨迹及位置关系等问题. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点 是 的渐近线上一点（ 在 轴上方），直线与圆相切，且与 的左、右两支分别交于两点，若，则（ ） A. 以为直径的圆与圆 相切 B. 的离心率 C. 线段的中点在直线上 D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设的中点为 ，则，即可判断A；设直线与圆 的切点为，直线 为双曲线的另一条渐近线，根据双曲线的对称性可得，结合离心率的概念计算即可判断B；根据点差法计算可得，求出直线 的斜率即可判断C；设，则，根据双曲线的定义可得，结合计算即可判断D. 【详解】设的中点为 ，则， 以为直径的圆与圆 的圆心距为两圆的半径之和， 故以为直径的圆与圆 相切，故A正确； 因为点 是双曲线的渐近线上的一点，， 所以，设直线与圆 的切点为， 则，故直线的斜率为， 即直线 为双曲线的另一条渐近线，由双曲线的对称性知， ，即， 所以双曲线的离心率为，故B正确； 设 的中点为 ，设， 则，直线的斜率为， 且，两式相减得， 整理得，即， 又因为直线的斜率为，所以直线 的斜率为， 所以 的中点在直线上，故C错误； D：设，因为， 所以，由双曲线的定义得， ， 因为，代入得，化简整理得， 即，即， 解得，又， 所以的面积为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知F是椭圆和抛物线的公共焦点，是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为____________. 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用椭圆与抛物线的定义及几何性质，结合等腰直角三角形的边角关系推导椭圆参数的数量关系，进而求解离心率. 【详解】如图，因为 是，的公共焦点，是的另一个焦点，所以的准线经过点. 根据对称性，不妨令 在第一象限，因为是等腰直角三角形，所以. 过 作准线的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，则. 又，所以. 设，则，则的离心率为. 13. 函数在区间上有50个最大值，则的范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数在区间上有50个最大值，由第50个和第51个最大值满足求解. 【详解】因为函数在区间上有50个最大值， 第一个最大值为： ， 第二个最大值为： ， 第三个最大值为： ， … 第50个最大值为： ， 第51个最大值为： ， 所以 ， 解得 ， 综上：的范围是. 故答案为： 【点睛】易错点点睛：本题容易忽视第50个和第51个最大值要满足. 14. 已知函数. ①当时，，记前项积为，若恒成立，整数 的最小值是______________; ②对所有n都有成立，则 的最小值是_____________. 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】①先得到，，故，构造， ，求导得到其单调性，从而确定当 时，，利用放缩和等比数列求和公式得到，求出，确定，整数 的最小值为3；变形得到，令，求导得到函数单调性和最值，得到，故，得到答案. 【详解】，，，故， 设， ，则， 故在上单调递减， 则，故当 时，， 则 ， 所以， 综上，，若恒成立，整数 的最小值为3， ， 化简得，即， 令，， 当时，， 所以在上单调递减， 又， 所以，故， 解得，所以 的最小值为. 故答案为：3， 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱台中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足，． （1）证明：平面； （2）若直线和平面所成角的正弦值为，求该三棱台的高． 【答案】（1） 证明：由三棱台知，平面， 因为平面，且平面平面，所以， 又，所以， 因为，所以， 又，，且平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的性质定理及线面平行的性质定理可得，根据线面垂直的判定定理可得结果； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用线面角的向量求法可得结果. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以 为原点建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为， 则，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量， 易得平面的一个法向量， 设与平面夹角为 ，由（1）知， 所以由已知得， 解得，所以三棱台的高为． 16. 在锐角 中，，， （1）求角A； （2）求 的周长l的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理把边转化为角，结合诱导公式，即可求出，即可求解; （2）利用正弦定理把边转化为角，结合角的范围，即可求解. 【小问1详解】 ∵， ， 所以， 所以， 因为，所以， ，所以. 【小问2详解】 ， 所以, 所以，， 所以 , 因为 是锐角三角形，且， 所以，解得， 所以，所以， 所以. 17. 组合数学研究的内容之一是计数，母函数是重要的计数工具之一．其定义如下：对于序列，定义为序列的母函数．母函数的计数方法与二项式定理的原理相似：假设有红、黄、蓝各一个小球，计算由它们组成的所有组合的个数，可考虑三步完成，即每个小球是否参与组合我们用即1代表小球不参与，x代表小球参与，根据分类加法计数原理，代表一个小球是否参与组合的两种情况，根据分步乘法计数原理，用代数式表示三个小球是否参与组合的情况，所以母函数为，例如其中中的系数3就是由两个小球构成的所有组合个数，而总的组合个数就是． （1）假设有四个不同的小球，令为由它们组成的含有n个小球的所有组合个数，试写出的一个与问题对应的母函数； （2）已知，其中．现有一序列的母函数，其中，证明：； （3）在某班中的8位男同学和5位女同学中，组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组，令为从8位男同学中选取n位的所有组合个数，令为从5位女同学中选取n位的所有组合个数，分别写出和的与问题对应的母函数和，并求总的组合个数． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3），，3328. 【解析】 【分析】（1）根据题意利用即可求解； （2）根据题意，利用二项式定理和组合数的性质即可求解； （3）求出和，即可求；再令求得中的系数为符合要求的 个人组成的小组的数目，即可得解. 【小问1详解】 由题意得； 【小问2详解】 因为， 所以展开式中的系数为， 因为， 所以的系数为 . 【小问3详解】 根据题意，，，，， ，，所以， 同理，，，， 所以， 令 中的系数为符合要求的 个人组成的小组的数目， 所有组合的个数为. 另法：所有组合的个数为. 【点睛】关键点睛：对于新定义的问题，要能正确阅读理解题干信息，抓住关键信息；第二问解题的关键是得到的系数，利用组合数的性质化简运算得证. 18. 在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”． （1）求“椭圆”的方程； （2）根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由； （3）设，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为 ，过作直线交 于 两点，的外心为 ，求证：直线 与的斜率之积为定值． 【答案】（1） （2）由方程，得， 因为，所以，即， 所以或或， 解得， 由方程，得， 即，所以，所以， 所以“椭圆”的范围为，， 将点代入得，， 即，方程不变，所以“椭圆”关于 轴对称， 将点代入得，， 即，方程不变，所以“椭圆”关于 轴对称， 将点代入得，， 即，方程不变，所以“椭圆”关于原点对称， 所以“椭圆”关于 轴， 轴，原点对称； （3）由题意可设椭圆 的方程为， 将点代入得，解得， 所以椭圆 的方程为，， 由题意可设直线的方程为， 联立，得， 恒成立， 则， 因为 的中点为， 所以直线 的中垂线的方程为， 同理直线 的中垂线的方程为， 设，则是方程的两根， 即是方程的两根， 所以， 又因， 所以， 两式相比得，所以， 所以， 所以直线 与的斜率之积为定值． 【解析】 【分析】（1）设“椭圆”上任意一点为，则，再根据两点之间的“距离”得新定义即可得解； （2）将点分别代入即可判断其对称性，取绝对值符号，进而可得出范围； （3）先求出椭圆方程，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，分别求出直线的方程，设，再次求出的关系，进而求出，从而可得出结论. 【小问1详解】 设“椭圆”上任意一点为，则， 即，即， 所以“椭圆”的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19. 对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数，若对在定义域内的给定常数 ，存在数列满足在的定义域内且，且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线，则称数列为函数的“ 关联切线伴随数列”. （1）若函数，证明：都存在“ 关联切线伴随数列”； （2）若函数，数列为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求的通项公式； （3）若函数，数列为函数的“ 关联切线伴随数列”，记数列的前项和为，证明：当时，. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可知：数列为以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列分析证明； （2）由题意分析可知：数列为以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （3）构建函数，利用导数可证，利用累加法分析求解. 【小问1详解】 因为，则， 由题意可得：， 则，即，且， 可知数列为以为首项，为公比的等比数列， 显然这样的数列对于给定的是存在的， 所以都存在“ 关联切线伴随数列”. 【小问2详解】 因为，则， 设，即， 由题意可知：，则， 可得，且， 可知数列为以为首项，为公比的等比数列， 可得，所以数列通项公式为. 【小问3详解】 先证明， 设函数， 则，，则， 定义的导函数为的导函数为， 则， 且，， 令，则， ， 因为， 可知在内单调递增，则， 同理得，， 故， 又在内单调递增， 在有有 因此取，有， 又在单调递减，在单调递增， 故， 当 时，，符合题意； 当时，， 累加可得， 整理得， 所以； 综上所述：. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式； 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $