湖南长沙市一中广雅中学2026届高三下学期模拟适应性考试数学试题

绝密★启用前 2026届高三全真模拟适应性考试 科目：数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。 3.本试题卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 姓　 名_____________________ 准考证号______________________ 祝 你 考 试 顺 利 ！ 2026届高三全真模拟适应性考试 数学 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一组数据：12，15，11，18，15，20，这组数据的中位数是（ ） A.15 B.14.5 C.16 D.18 2.已知分别为的边上的中线，设，,则＝（    ）    A．＋ B．＋ C． D．＋ 3.已知全集，则=（    ） A． B． C． D． 4.函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5.已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 6.如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 7.正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（    ） （参考数据：，，） A．10 B．9 C．8 D．7 8.小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为，，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列选项正确的有（    ） A．若是方程的一个根，则 B．复数与分别表示向量与，则向量表示的复数为 C．若复数满足，则的最大值为 D．若复数，满足，则 10.在正三棱柱中，的重心为，以为球心的球与平面相切．若点在该球面上，则下列说法正确的有（    ） A．存在点和实数，使得 B．三棱锥体积的最大值为 C．若直线与平面所成的角为，则的最大值为 D．若，则所有满足条件的点形成的轨迹的长度为 11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的渐近线上一点（在轴上方），直线与圆相切，且与的左、右两支分别交于两点，若，则（   ） A．以为直径的圆与圆相切 B．的离心率 C．线段的中点在直线上 D．的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知是椭圆和抛物线的公共焦点，是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为__________． 13.函数在区间上有50个最大值，则的范围 ． 14.已知函数. ①当时，，记前项积为，若恒成立，整数的最小值是 ; ②对所有n都有成立，则的最小值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.如图，在三棱台中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足，． (1)证明：平面； (2)若直线和平面所成角的正弦值为，求该三棱台的高． 16.在锐角中，，， (1)求角A； (2)求的周长l的范围. 17.组合数学研究的内容之一是计数，母函数是重要的计数工具之一．其定义如下：对于序列，定义为序列的母函数．母函数的计数方法与二项式定理的原理相似：假设有红、黄、蓝各一个小球，计算由它们组成的所有组合的个数，可考虑三步完成，即每个小球是否参与组合我们用即1代表小球不参与，x代表小球参与，根据分类加法计数原理，代表一个小球是否参与组合的两种情况，根据分步乘法计数原理，用代数式表示三个小球是否参与组合的情况，所以母函数为，例如其中中的系数3就是由两个小球构成的所有组合个数，而总的组合个数就是． (1)假设有四个不同的小球，令为由它们组成的含有n个小球的所有组合个数，试写出的一个与问题对应的母函数； (2)已知，其中．现有一序列的母函数，其中，证明：； (3)在某班中的8位男同学和5位女同学中，组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组，令为从8位男同学中选取n位的所有组合个数，令为从5位女同学中选取n位的所有组合个数，分别写出和的与问题对应的母函数和，并求总的组合个数． 18.在平面直角坐标系中，重新定义两点之间的“距离”为，我们把到两定点的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”． (1)求“椭圆”的方程； (2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由； (3)设，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为的左顶点为，过作直线交于两点，的外心为，求证：直线与的斜率之积为定值． 19.对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数，若对在定义域内的给定常数，存在数列满足在的定义域内且，且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”. (1)若函数，证明：都存在“关联切线伴随数列”； (2)若函数，数列为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求的通项公式； (3)若函数，数列为函数的“关联切线伴随数列”，记数列的前项和为，证明：当时，. 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三全真模拟适应性考试 数学 1.解析：①先从小到大排序：11,12,15,15,18,20 ②数据共6个（偶数个），中位数取中间两个数的平均数：(15+15)片2=15 答案：A 2.【答案】B 【解析】AD,BE分别为△ABC的边BC,AC上的中线， 则0=BD-丽=8c-网， 距=BM+A正=BA+24c=B+(B+BC)=(⑧A+BC). 由于而=aE=万，所以a-号ac-B16-i+8C, 3 故选：B 3.【答案】D 【解折1因为0={<x<6,xeN=2,34,54=2,3,B=2,45} 故A={4,5y,所以(G4)UB=2,45列 故选：D。 4.【答案】B 【解折1由)=e(任-2x+2）可得()=8 则f()=d,又f-)=e[--2x(-1)+2]-3, 则所求切线方程为一+儿，甲-g时+6=0 故选：B 5.【答案】D 【解】易知双曲线的焦点(-5,0)，56.0)，顶点460)，新近线为y=±x 34 P(3,3) 由 可得该点在双曲线右顶点上方， 易得过P点与双曲线有且只有一个公共点的直线中， 有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1）， 有两条双曲线右支的切线（图2），共4条。 故选：D. 图1 图2 6.【答案】D 【解析】由题可得函数f(:的单调增区间为(0，)，(5，+∞)。 单调减区间为 (5,5) 所以x5)U(5.+w)时，f()0,xe5.时.f)<0, [x<0 x>0 由xf'()<0,可得f'()>0或f(x)<0,所以x∈(-o,-3U(0,3) 故选：D. 7.【答案】C 11 ，1 【解析】设a=1+十写十+行n∈N,则a,≈nn+7 n 国号司号好动0 可知数列 ,为递增数列， 且w≈h1800+7=lh2+21n3+21n10+y*807 a2o4s≈lh2048+y=11ln2+y≈8.17 1 可知8.07<0<8.17，所以+23+…+ 1+ 十十 2024 =[a2024]=8 故选：C. 8.【答案】C 【解析】记小刚解答A,B,C三道题正确分别为事件D,E,F,且D,E,F相互独立， 且P(D)=P(E)=aP(F)= 恰好能答对两道题为事件 DEF.DEF,DEHDEF DEF,DEH 两两互斥， 所以PDEF+DEF+DEFN)=P(DEA)+PDEF)+PDEF =P(D)P(E)P(F)+P(D)P(E)P(F)+P(D)P(E)P(F) -oxo-(1-3)ox0-a)--a- 整理行1--，他三道腿都答错为事件D吓， (oF)=P可r@P同--ajl--a-4 故 故选：C 9.【答案】BCD 【解析】对于A:若2i-3是方程2r+r+g=0(B,9∈R)。 的一个根， 1=-3+2i,x2=-3-2i 则方程的两个根分别 所以号+6=6号=6=13， 所以p=12,q=26,故A错误： 对于B:由题意可知 0A=(6,5),OB=（-3,4) 所BA=01-0丽=(6,5)-(3,4)=(9,1) 所以向量BA表示的复数为9+i,故B正确： 对于C:设2=x+i,x,y∈R, z+1-21=1 若复数满足 则在复平面内点 (x八在圆C:(c++0-2=1上， 圆C的圆心 (-1,2 ,半径=1， 的几何意义为原点OQ0)到mC上点的高，又0C=5, z 则的最大值为+5，c正确 =1-i,242=2+i 对于D:因为2 z=互(2)=(1-i0(2+i)=3-i 所以z2 警-0调 -+(=3 2=2,D正确 故选：BCD. 10.【答案】BC 【解析】方法一： 对于A, A B E G A F D 取8C中点F,BC中点5，达接,∴A1BC 正三棱柱 C-A8C,平面48c上半面BcC8,平面18Cn平面8cC8=8C AFC平面ABC,AF上平面 CC8.F=5,而C为ABC 的重心， √5 =2、V5 ·AG=2GE,.G到平面BCCB的距离为3，而G到平面ABC的距离为3 B=33, ∴我G与平面4BC相离，则不存在这样的P和实数，“，使B即=BA+uBC,A错. 对于8，G到平面4BC的距离为行，球G半径R-9 2 3,则p到平面ABC的最大距离为 23 3+3 c=3S.ch s×5x4?）3+25 34 33 9,B正确. 对于C,设N为球的的上顶点，NG⊥平面ABC于点H,BM与球G相切且BM与平面 BNH共面， BH=2 3,BG=4 MG=5 3, 3, 设∠GBH=&,∠MBG=B,则有cosa= 2.cosB=13 ina=.co 4,得 4. imm)ule M G BC BC CD 对于D,过C且与C垂直的平面为平面 d=v G到平面BC4D的距离等于3倍的A到平面BC4D的距离，即3， 321 而球G半径R三3，则平面BCD截球G的截面圆半径V99=3 12π 所以截面圆周长即p的轨迹长度为2π· 33,D错 故选：BC 方法二： 对于A,如图： A C G G M H B B 左图中M为AC中点，H为G在平面ABC上的投影 右图为俯视图下看的球，由于G为重心，在俯视图看来就是正三角形的中心， 所以球实际上与三个侧面均相切，侧易得半径R= 3 而GH-朗=号>尺，因此球与底面48C不相交：因此A是铝的： 对于8.有s(am+-5作9》- 9,正确： BBM 对于C,作出平面的截面如下图： 当日最大时P的位置如上图所示，不难计算 BH=2 ,∠GBH=30,BG=4 sin/PBG=R_3 所以 BG4:C0S/PBG=13 4, 那么此时 0+2n9日-质ca, √15元、2π 对于D,轨迹即过B且垂直于BC的平面与球的交线圆，而3√3， 此式右边是球面上的大圆的周长，所以是不可能的，所以D错. 故选：BC 11.【答案】ABD 【分折】设N的中点为G,则oG=+a,即可判断A,设直线P听与圆O的切点 为7，直线0了为双售发的另一条新近线，根据双自线的对称性可得。5，站合离心车 的概念计算即可判断B,根据点差法计算可得ak0=3 ,求出直线O巴的斜率即可判断 C:设∠P=0,则PW品N-品。：根新双曲线的定义可传m号5-1，结 b2 S.NRF:= 父 n0计算即可判断D. tan 2 【详解】设Ns的中点为G,则loG=N=G+2a)=N+a, NE 0 以2为直径的圆与圆的圆心距为两圆的半径之和， NF2 故以5为直径的圆与圆相切，故A正确： 因为点P是双曲线的渐近线上的一点， JOP=OF PE⊥PF 所以 设直线听与圆0的切点为， b 则OT1/PF,OT=a,TF=b,故直线oT的斜率为a, 即直线OOT为双曲线的另一条渐近线，由双曲线的对称性知， I0R=∠T0P=∠Po5=60,即2=an60=V3 所以双曲线的离心率为=。√ +色-2 a 故B正确： 设M,N的中点为P,设 nM(),N(x2,v2),2(xo yo) x+x2=2x0 k=2二出 则+=2y,直线MN的斜率为x2-x, 王片-1 a2 b2 且 a b2 两式相减得上足-片+兰=0” a2a2 b2b2 为五.当+业=B 整理得2-x,+xa,即ko=3, 又因为直线MW的斜率为 a<P55= 3,所以直线00的斜率为35， 所以M, 的中点在直线y=35x ，故C错误： D:设∠PW5= ,因为 ,PF=2b,PF2 =2a 所以PN=oNg 2a sin0,由双曲线的定义得， INEI-INF|=IPF+IPNI-INEI=26+2a-2a tan8sin日-2a, 1-1=1-5 因为ba,代入得2W3a+g。2a,化简整理得ngsn2了 -2sin20 即cos91-1-v5,即2sin8cos9 1-v5 sin 2 2 b2 解得am-5-1, S.NRF:= 2 tan 2 b2(5+10b2 所以△WFE的面积为√5-12，故D正确 故选：ABD 12.【答案】 2-1 【分析】过M作E准线的垂线，设垂足为M通过 MM,E 是等腰直角三角形，结合抛 物线和椭圆定义即可求解。 【详解】如图，因为F是9 的公共焦点， F是戶的另一个焦点，所以三的准线经过点 E, 根据对称性，不妨令M在第一象限. △FM 因为 是等腰直角三角形，所以<MFF=45 过M作B准线的垂线，季足为M, E △MME 是等腰直角三角形， 则MM-MA.MM-Mr例 所以M=M,MF1F所 设F=x=2c,则M+M=(N5+r=2a 1=2-1 则E的离心率为。2+1 M FO F 个 589π601π 13.【答案】120’120 π 【解析】根据函 f四=2 2sin+3a>0)有 在区间[0,20]上有50个最大值，由第50个 和第51个最大值满足2 +49x2元≤200+5<5+50x2π求解因为函数 32 f(x)-2sinx+(@20 3 在区间[0,20]上有50个最大值， 第一个最大值为：@x+行=花 32 第二个最大值为：@x+行-号+2π， 32 第三个最大值为： ox+-5+4n, 32 π=元+49×2r, 第50个最大值为：0x+3=2 第51个最大值为：0r+ 元=π+50×2r, 32 所以2+49×2π≤200+ .π <5+50×2π. 32 π.49π 解得12010 ≤0< +5π， 120 「589π601π 综上：0的范围是120’120. 589π601π 故答案为： 120’120 17 14.【答案】 【g106=1+宁1，万=44=-爱2，故7>2 设g到=h+动，之0则g中10， 故8()=l血(+)在e0+o)上单调递减。 则8()水g(0)=0,故当x>0时，血(1+x)Kx g=hs…t%=h+h么+…th=}rn+…n:司) 则 11 11 22++ 1=22 20 2分下1 2 T<e 所以 综上.I∈2c),若m>了恒成立，整数m的最小值为3， +○am11+,221-1 f(n)-1、n3 a”-1、n3 a"+1n3+1, 、n(2n3+1 化简得a”≥2n+1,即l血a n, 令n=n2+) 0:是2r32h2x x 当x22时.32hr+j3-h2r+水3-h17<0, 所以)2+) ,>0在(2，+o)上单调递减。 又42)-h7A0=haAl2)>A0. 所以4()-2r+s n 2,故ha≥h17 2, 解得≥v ,所以“的最小值为厅 故答案为：3,7 ABC-ABC BC// 15.【解析】(1)证明：由三棱台 平面 ABC 知， BC 平面ABC=1 ABC,∩ C平面48G,且平面 ,C∥1 因为 ,所以 BC∥BC 又 /1BC ,所以 因为EF⊥I,所以EF⊥BC, EF⊥BBBC∩BB=B BCCB BB BCCB 又 B,且BCC平面8 平面 BCCB 所以EF1平面9 (2)以A为原点建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为h, 则B2,25,0,B5,,c-2,25,0.CB=(40,0),B丽-（15， [4x=0 设平面BCCB的法向量为i=x,y,z,则-x-V3y+hz=0, 令=，则z=v5,所以平面BCCB的-个法向量i=(0,h)】 易得平面18C的一个法向量m=(00,) 设F与平面18C夹角为°，由知F1 所以由已知得sin6=cosm,= m35 m同2+33， 解得=v6 °，所以三棱台的高为， A 16.【解析】(1)(2b-c)cosA=acosC. ..2bcos A=acosC+ccos A, 所以2 sin Bcos A=sin AcosC+sin Ccos A, 所以2 sin BcosA=sin(A+C)=sinB. 1 因为sinB≠0，所以cosA=) 2 所1 2V5 =4 sin A (2) 3 2 b 所以sin BsinC=4, 所以h=4血8，c=4sinC=4sinr-B), 3 所以l=a+b+c=2V3+4sinB+4sin 2-B) =2V3+4V3sin(B+ 6 因为△ABC是锐角三角形，且4=子 3, 0<B< 2 所以 2n-B< ’解得π 0< 3 6 2 所以8+名e后3，所以m8+名 6 21, 所以1∈(6+2V5,65 17.【解析】(1)由题意得 G(x)=(1+x)1+x)1+x)1+x)=1+4x+6x2+4x3+x4 2)因为G()=0++20+x刘+30+x刘3++n0+x刘 所以展开式中x的系数为 a1+2Ca+2+3Ca+3+…+nC2n=C4l+2C22+3C3+…+nC2n C,=(n+1)Ca 因为 所以x的系数为0，=(+C+C+C+…+C) =(n+1)(Ca3+C+Cg+…+Cg0） =(n+1)(C+Ca++Cg)=…=(n+1)Cga (3)根据题意，8=a=a=a=0.0,=1.4=C=284=C=70 a=Cg=28.4,所以4)=1+282+70+28r+t 同理4=6=0,6=6=C=10.6=Cg=5么=1 所以B(=10r2+10r+5x+r 令C()=4(-B()=(0+28r+70r+28+r)010r2+10r2+5r+x） =10x2+10x3+285x4+281x3+840x6+728x+630x8+350x2+150x0+38x+5x2+x3 C()中术的系数：为符合要求的个人组成的小组的数目， 所有组合的个数为10+10+285+281+840+728+630+350+150+38+5+1=3328 另法：所有组合的个数为C0)=4080)=128×26=328 18.【解析】(1)设“椭圆”上任意一点为P(x,）,则PF+PF=2a, 即k+d++-d+=2a.即k+d+k-d+2-2ala>c>0)j 所以“椭圆”的方程为K+q+r-c+2=2a(a>c>0) (2)由方程x+d+-c4+2川=2a.得2训-2a-x+d小--d 因为20，所2a-k+cd-k-d小0，即2a2k+d+r-d x≤-c -c<x<c xzc 所以-x-c-x+c≤2a或x+c-x+c≤2a或x+c+x-c≤2a, 解得-a≤x≤a, +d+k-d+2=2a,得r+d+-d=2a-2y, 由方程 -2x,x≤-c 即2a-2叫= 2c,-c<x<c 2x2c，所以2a-2≥2c·所以c-a≤y5a-c 所以“椭圆”的范围为-a≤x≤a,c-a≤y≤a-c, 将点刃代入得，x+c+x-d+2=2a 即lr+c+r-d+2=2a 方程不变，所以“椭圆”关于少轴对称， 将点怎-少代入得，k+d+-d+2=2a 即x+c+r-d+2=2a ,方程不变，所以“椭圆”关于x轴对称， 将点仁-功代入得.+c+-c+22a 即r+q+lr-d+2l=2a 方程不变，所以“椭圆”关于原点对称， 所以“椭圆”关于x轴，y轴，原点对称： + (3)由题意可设椭圆C的方程为4+存=1， 将点代入得云十厅=L,解得公=3 11 4 所以特面c的纺卡为营号-15420 由题意可设直线MN的方程为=m+1(m≠0)，M(G,y)N(,) x=y+1 联立 居+￥-1c+p+2m-30 △=4m2+12(m2+3)=16m2+36>0 恒成立， 2m 3 则乃+2= m2+3= m2+3 因为AM的中点为2’2月 x+2my+3, y=-y+3 -y1 所以直线AM的中垂线的方程为y y=-y+3 -y2 同理直线AN的中垂线的方程 y2 设()：则是方程%=m y 二x一y的两根， 即少是方程广+(m+%y+3x=0 两根， 所以+=-(m,+%)5=3x 又因片+5=-2m m2+35=- 3 m2+3 所以-(m+)=-2m m2+33,s 3 m2+3, -m。-h=2m yo=-3m 两式相比得3x, 3,所以· e 所以 所以直线O№与MN的斜率之积为定值-3. 19.【解折14)因为)=，期)=2x 由题意可得： f(o)--f(a)-aa an1-a an-a 则2a=a+0,即2a,-）=a-0,且4-a>0 1 可知数列{a,-a为以4-a为首项，2为公比的等比数列，(34分) a>a 显然这样的数列对于给定的 是存在的， 所以aeRf(因都存在“关联切线件随数列”，(4分) 2因为8(=(x-1少，则8'(=3(x-少 aej-0--e听，a-时-a- a1-1a1-1 则%1>0 由题意可知：，>1 可得5(a-1)=a-),且4-1=50.6分y 可知数列{a,-1}为以a-1=V5为首项，了为公比的等比数列， 可得,-1=V3x 3 3 所以数列通项公式为a=32+1小(9分) (3)先证明 b+b<26+ 段段-ee9ea 则6)=06.9-e-00 b,-b,则s'(bi)=0, 定义“四的导函数为（四，（四的导西数为 h"(x) 则r'()=6mr-6sim,h(因=6m-6cosr之6-6csr≥0，（四）≥h'0)=0.1分） 且“=（四.s()=() 令w)=s6+-56-x之0），则（四=6++b-), w(x)=s'(色1+x)+s'(b1-x),w(x)=s(bn1+x)-s(41-x) 因为()=s“6++(1-≥0 可知（因在D+四）内单调递增，则”()2w0)=0, 同理得()w(0)=0.w()≥w(0)=0 13分) 故6+小>s6-x0x>0) 又r(20)=0”)2(0)=0,(在0+)内单调造增。 在6,6小有(K06b)有(>0 因此取=b-6,有56)=s6,)>s(26-b,) 又5()在6,6）单调递减，在6b）单调递增 b+b.<2b.(15分) 当=1时，3，+6=2 ,符合题意： 当≥2时， b+b<262,6+b2<263,,b+b-1<26 累加可得n-b+6+6+…+h<2弘+26+…+2b 整理得n-1)b+6<么+6++h+2弘， 所以n-)b+26<4+6+6+…+b+2五=S.+b 综上所述：+6≥-1)b+26.(17分)