精品解析：吉林省长春高新技术产业开发区慧谷学校2025-2026学年下学期九年级6月中考模拟检测数学

2025-2026学年度下学期长春新区吉大慧谷学校大练习 九年级数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 作为东北地区首个融合“冰雪+雨林”双主体的文旅商体超级综合体，长春万达茂于2025年12月25日正式开业，项目预计接待客流日均82000人次，82000用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 4. 将一块含角的直角三角板与两边平行的纸条按如图方式放置，点在纸条一边上，点在另一边．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 年多地中小学迎来春假，同学们走进博物馆，在历史与文化中收获成长．如图，是某博物馆大厅电梯的示意图，若的长为米，与的夹角为，则高是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 关于一次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 经过二、三、四象限 C. 与轴的交点坐标为 D. 当时， 7. 新时代国家要求加强中华体育精神培育；重视体育领域铸牢中华民族共同体意识的教育。下列各组运动图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（　　） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：_________． 10. 不等式 的解集是_________． 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 12. 一个正多边形每个内角是，则这是一个正____边形． 13. 某校篮球队对4名队员进行定点投篮测试，每人投篮20次，统计如下表： 队员 甲 乙 丙 丁 平均命中数 15 16 16 14 方差 2.4 3.6 1.2 1.0 若教练希望选出“命中数高且发挥稳定”的队员，应选择________． 14. 如图， 中，，以AB为直径的交BC于D，OD的延长线交AC的延长线于E，， ．给出下面四个结论： ①； ② ； ③； ④点C是AE的中点． 上述结论中，正确的结论的序号有_________． 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 截至2025年底，中国的高铁里程数已突破5万公里，位居世界第一，随着智能化高铁的出现，越来越多的人愿意选择高铁出行、元旦假期，小明和小亮乘坐高铁外出游玩，由于特等座余票不多，售票系统将随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排．如图所示的是在特等座同一排座位A，C，F的排列示意图．求小明和小亮被分配到相邻的座位的概率（过道两侧座位不算相邻）． 17. 图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上．请仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（保留作图痕迹，不要求写出画法）． （1）在图1中作的中线． （2）在图2的的边上作点，使． 18. 某健身器械厂需生产360台健身器械．当生产150台后，接到通知，要求提前完成，因此在接下来的时间里每天生产的台数提高到了原来的1.4倍，已知一共用了6天刚好完成了360台的生产任务，问原来每天生产健身器械多少台？ 19. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD， 求证：四边形OCED是菱形． 20. 为了解学生的体育锻炼情况，慧谷学校九年级以“活力校园—初中生运动时长探究”为主题开展调查研究，该年级随机抽取了A、B两个班，通过问卷收集了A、B两个班学生的平均每周锻炼时长数据，现从这两个班级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． 【数据收集】 A班：8，7，12，8，7，5，6，8，6，13； B班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下： 【数据整理、分析】 班级 平均数 中位数 众数 方差 A班 8 a 8 6 B班 b 8.5 9 1.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）①填空： _________； _________； ②小红对小丽说：“虽然平均每周锻炼时长我俩都是8小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”（锻炼时间越长，排名越靠前）根据以上信息可知小红是_________班的学生．（填“A”或“B”） （2）从B班中再随机抽取一名学生，若该生平均每周锻炼时长为8小时，将这个数据加入到原数据中，得到一组新数据．下列指标中，与原数据相比，新数据中发生变化的是_________．（填序号） ①平均数 ②中位数 ③众数 （3）若九年级有800名学生，请你结合A、B两班调查数据，估计九年级学生中平均每周锻炼时长不低于8小时的学生人数． 21. 快车和慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条笔直的公路匀速相向而行．甲、乙两地之间的距离为．快车到达乙地后休息一段时间，再原路返回甲地，快、慢两车恰好同时到达甲地．快车离甲地的距离为．快车离甲地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的关系如图所示． （1）快车行驶的时间为_________h，慢车行驶的速度为_________； （2）在图中画出慢车离甲地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，并写出慢车离甲地的距离y与行驶时间x之间的表达式； （3）当慢车行驶_________h时，慢车与快车相遇． 22. 【综合与实践】唐山皮影是我国传统民间艺术，其制作过程中常需对矩形皮料进行裁剪与折叠，数学兴趣小组以皮影制作为背景，研究矩形中的折叠问题．在矩形皮料中， ，，现将皮料折叠，点D的对应点记为P，折痕为（E，F是折痕与矩形的边的交点），再将皮料展平． （1）【初步思考】如图1，若点E，F分别位于边上，当点P与点A重合时，_________； （2）【深入探究】如图2，若点P落在矩形皮料的边上，点E在边上，点F在边上． ①利用圆规和无刻度的直尺，在图2中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑）； ②若 ，求的长； （3）【拓展延伸】若E为动点，F为的中点，点P落在矩形的内部（不含边界），当最大时，的正切值为_________． 23. 如图①，直线，直线m被这组平行线所截，与直线a、b、c分别交于点D、E、F（点D在点E的左上方）．点B是直线b上一点，点B在点E的左侧，且，点A是直线a上的动点，作直线交直线c于点C，交直线m于点O，连接，若，，直线m与直线a所成的锐角为． （1）的值为_________； （2）求的度数； （3）当时，求的长； （4）作点E关于直线的对称点，当B，F，三点共线时，直接写出的长． 24. 已知二次函数的图象经过点．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在直线上，其横坐标为．过点P作轴，垂足为H，交抛物线于点Q．连结，，以，为邻边作平行四边形．设与x轴交于点． （1）求该二次函数的解析式及对称轴； （2）当，且四边形是矩形时， ①求点的坐标； ②的值为_________； （3）当平行四边形的面积是面积的12倍时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期长春新区吉大慧谷学校大练习 九年级数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值的基本性质，根据绝对值的定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，且 ， ∴ ． 2. 作为东北地区首个融合“冰雪+雨林”双主体的文旅商体超级综合体，长春万达茂于2025年12月25日正式开业，项目预计接待客流日均82000人次，82000用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： 3. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次根式的乘法法则计算原式，再通过比较被开方数与相邻完全平方数的大小，估算出结果的范围即可． 【详解】解：∵根据二次根式乘法法则，， ∴， 又∵，，且， ∴，即， 因此的值在3和4之间． 4. 将一块含角的直角三角板与两边平行的纸条按如图方式放置，点在纸条一边上，点在另一边．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，代入，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 5. 年多地中小学迎来春假，同学们走进博物馆，在历史与文化中收获成长．如图，是某博物馆大厅电梯的示意图，若的长为米，与的夹角为，则高是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据锐角三角函数解答即可． 【详解】解：，， ，即米． 6. 关于一次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 经过二、三、四象限 C. 与轴的交点坐标为 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小，故A错误． ∵，， ∴函数图象经过第一、二、四象限，故B错误． 令，得，解得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故C错误． ∵随的增大而减小，当时，， ∴当时，，故D正确． 7. 新时代国家要求加强中华体育精神培育；重视体育领域铸牢中华民族共同体意识的教育。下列各组运动图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形平移的概念，即在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，由图形平移的性质分析选项即可． 【详解】解：A：图形的形状发生了改变，不合题意； B：图形的大小发生了改变，不合题意； C：图形的形状和大小没有改变，可以通过平移得到，符合题意； D：不能通过平移得到，不合题意． 8. 在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用反比例函数和正比例函数的性质以及关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵反比例函数图象双曲线关于原点对称，直线关于原点对称， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 不等式 的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，通过移项、系数化为1即可得到解集． 【详解】解：对不等式， 移项，得， 系数化为1，得． 11. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根时判别式等于0，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：原方程为一元二次方程的一般形式，其中，，常数项为， 因为方程有两个相等的实数根， 所以判别式， 解得 12. 一个正多边形每个内角是，则这是一个正____边形． 【答案】##九 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角与外角，解题思路为先根据邻补角的性质求出正多边形的一个外角度数，再利用多边形外角和定理计算边数． 【详解】解：正多边形的一个内角是， 它的一个外角是：， 多边形的外角和为， 这个正多边形的边数是：． 13. 某校篮球队对4名队员进行定点投篮测试，每人投篮20次，统计如下表： 队员 甲 乙 丙 丁 平均命中数 15 16 16 14 方差 2.4 3.6 1.2 1.0 若教练希望选出“命中数高且发挥稳定”的队员，应选择________． 【答案】丙 【解析】 【分析】要选出命中数高且发挥稳定的队员，需先比较四名队员的平均命中数，选出平均命中数较高的队员，再比较平均命中数较高的队员的方差，方差越小发挥越稳定，据此得到结果． 【详解】由统计表可知，四名队员的平均命中数为，，，， 可得乙和丙的平均命中数高于甲和丁， 乙的方差为，丙的方差为，， 根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定， 因此丙满足命中数高且发挥稳定． 故答案为：丙． 14. 如图， 中，，以AB为直径的交BC于D，OD的延长线交AC的延长线于E，， ．给出下面四个结论： ①； ② ； ③； ④点C是AE的中点． 上述结论中，正确的结论的序号有_________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据余角的性质证明即可判断①；证明，得出，根据勾股定理求出，得出，求出，即可判断②④；根据，得出，证明，得出，即可判断③ 【详解】解：∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，故③错误； ∵， ∴； ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论为①②④． 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则展开原式，合并同类项得到最简结果，再代入计算即可． 【详解】解： ； 将代入得：原式． 16. 截至2025年底，中国的高铁里程数已突破5万公里，位居世界第一，随着智能化高铁的出现，越来越多的人愿意选择高铁出行、元旦假期，小明和小亮乘坐高铁外出游玩，由于特等座余票不多，售票系统将随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排．如图所示的是在特等座同一排座位A，C，F的排列示意图．求小明和小亮被分配到相邻的座位的概率（过道两侧座位不算相邻）． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意可画树状图为： 由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中小明和小亮被分配到相邻的座位的结果数有2种， ∴小明和小亮被分配到相邻的座位的概率是． 17. 图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上．请仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（保留作图痕迹，不要求写出画法）． （1）在图1中作的中线． （2）在图2的的边上作点，使． 【答案】（1） 如图1所示，取格点P，Q，连接交于E，连接，取格点F，连接交于O，连接CO，并延长交于D，即为所求． （2） 如图2：取格点，，连接交于，连接，点即为所求； 【解析】 【分析】（1）取格点P，Q，连接交于E，连接，取格点F，连接交于O，连接CO，并延长交于D，即为所求； （2）取格点，，连接交于，连接，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图1所示，取格点P，Q，连接交于E，连接，取格点F，连接交于O，连接CO，并延长交于D，即为所求． 理由：由图可得点E为的中点， ∴为的中线， ∵ ∴点F为的中点， ∴为的中线， ∵交于O， ∴点O为的重心， ∴为的中线． 【小问2详解】 解：如图2：取格点，，连接交于，连接，点即为所求； 理由： ， ∴ ∴，， ， ， ，， ， ∴． 【点睛】本题考查格点作图，三角形的中线，三角形的重心，相似三角形的判定与性质．解题的关键是掌握网格的特征，作出满足条件的图形． 18. 某健身器械厂需生产360台健身器械．当生产150台后，接到通知，要求提前完成，因此在接下来的时间里每天生产的台数提高到了原来的1.4倍，已知一共用了6天刚好完成了360台的生产任务，问原来每天生产健身器械多少台？ 【答案】原来每天生产健身器械50台 【解析】 【分析】设原来每天生产健身器械x台，根据工作量工作效率工作时间，建立方程． 【详解】解：设原来每天生产健身器械x台， 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 答：原来每天生产健身器械50台． 19. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD， 求证：四边形OCED是菱形． 【答案】 证明：∵DE//AC，CE//BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD=AC=BD ∴四边形OCED是菱形． 【解析】 【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键 20. 为了解学生的体育锻炼情况，慧谷学校九年级以“活力校园—初中生运动时长探究”为主题开展调查研究，该年级随机抽取了A、B两个班，通过问卷收集了A、B两个班学生的平均每周锻炼时长数据，现从这两个班级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． 【数据收集】 A班：8，7，12，8，7，5，6，8，6，13； B班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下： 【数据整理、分析】 班级 平均数 中位数 众数 方差 A班 8 a 8 6 B班 b 8.5 9 1.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）①填空： _________； _________； ②小红对小丽说：“虽然平均每周锻炼时长我俩都是8小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”（锻炼时间越长，排名越靠前）根据以上信息可知小红是_________班的学生．（填“A”或“B”） （2）从B班中再随机抽取一名学生，若该生平均每周锻炼时长为8小时，将这个数据加入到原数据中，得到一组新数据．下列指标中，与原数据相比，新数据中发生变化的是_________．（填序号） ①平均数 ②中位数 ③众数 （3）若九年级有800名学生，请你结合A、B两班调查数据，估计九年级学生中平均每周锻炼时长不低于8小时的学生人数． 【答案】（1）①7.5；8；②A （2）② （3）人 【解析】 【分析】（1）①根据中位数和平均数的定义进行计算即可；②比较两个班级的中位数与8小时的大小关系，结合中位数的定义进行判断即可； （2）把原数据和新数据列出来，再按照平均数、中位数和众数的定义求解即可； （3）用样本估计总体的方法求解． 【小问1详解】 解：①将A班的数据从小到大重新排列得：， ， ，，，，，，，， 其中第5个数为，第6个数为， ∴A班的中位数为，即， B班的平均数； ②：由①可知，A班的中位数为，B班的中位数为 ， ∵， ∴锻炼时长8小时，在A班可以排进前 ，而在B班只能排在后 ，即锻炼时长8小时在A班的排名比在B班靠前， ∴小红是A班的学生； 【小问2详解】 解：B班原数据为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10， 新数据为：6，6，7，7，8，8，9，9，9，9，10 新平均数为，而原平均数为8，故平均数不变； 新中位数为第6个数据为8，而原中位数为，故中位数发生变化； 原众数为9，新众数为9，故众数不变； 【小问3详解】 解：（人） 答：九年级学生中平均每周锻炼时长不低于8小时的学生人数为人． 21. 快车和慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条笔直的公路匀速相向而行．甲、乙两地之间的距离为．快车到达乙地后休息一段时间，再原路返回甲地，快、慢两车恰好同时到达甲地．快车离甲地的距离为．快车离甲地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的关系如图所示． （1）快车行驶的时间为_________h，慢车行驶的速度为_________； （2）在图中画出慢车离甲地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，并写出慢车离甲地的距离y与行驶时间x之间的表达式； （3）当慢车行驶_________h时，慢车与快车相遇． 【答案】（1）5； （2）函数图象如图；； （3）或6 【解析】 【分析】（1）根据函数图象求解即可； （2）运用待定系数法求解函数解析式，即可作出函数图象； （3）分两种情况讨论，利用函数图象以及路程除以甲乙速度和即可求得相遇时间． 【小问1详解】 解：由函数图象可得，快车行驶的时间为； ， ∴慢车的速度为 【小问2详解】 解： 设慢车离甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）之间的表达式为， 在图象上， ∴， 解得， ∴表达式为， 函数图象见答案； 【小问3详解】 解：第一次相遇：快车从甲地到乙地的速度为， ∴慢车出发与快车相遇； 第二次在终点相遇，则由函数图象可得慢车行驶时，慢车与快车相遇， 综上：当慢车行驶2或6时，慢车与快车相遇． 22. 【综合与实践】唐山皮影是我国传统民间艺术，其制作过程中常需对矩形皮料进行裁剪与折叠，数学兴趣小组以皮影制作为背景，研究矩形中的折叠问题．在矩形皮料中， ，，现将皮料折叠，点D的对应点记为P，折痕为（E，F是折痕与矩形的边的交点），再将皮料展平． （1）【初步思考】如图1，若点E，F分别位于边上，当点P与点A重合时，_________； （2）【深入探究】如图2，若点P落在矩形皮料的边上，点E在边上，点F在边上． ①利用圆规和无刻度的直尺，在图2中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑）； ②若 ，求的长； （3）【拓展延伸】若E为动点，F为的中点，点P落在矩形的内部（不含边界），当最大时，的正切值为_________． 【答案】（1）3 （2）①如图，折痕即为所求；② （3） 【解析】 【分析】（1）当点与点重合时，由折叠可得，此时折痕为边中点的连线所在的直线，即可求解； （2）①由折叠可得折痕所在的直线即为对应点连线段的垂直平分线，故作出的垂直平分线即可； ②设，则，然后对运用勾股定理求解即可； （3）由折叠可得，，那么当点在矩形内部时，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，由切线长定理可得，再由正切的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点，分别位于边， 上，当点与点重合时， ∴点折叠到点，点折叠到点， ∴ ； 【小问2详解】 解：①略； ②如图，连接， 由题意可知所在直线为的垂直平分线， ∴. 当时，设，则 ∵矩形中， ∴在中，由勾股定理得， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴ ， 由折叠可得， ∴当点在矩形内部时，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆弧， ∴当与半圆相切，即时，最大， ∵矩形中，，为半径， ∴是的切线， ∴， ∴． 23. 如图①，直线，直线m被这组平行线所截，与直线a、b、c分别交于点D、E、F（点D在点E的左上方）．点B是直线b上一点，点B在点E的左侧，且，点A是直线a上的动点，作直线交直线c于点C，交直线m于点O，连接，若，，直线m与直线a所成的锐角为． （1）的值为_________； （2）求的度数； （3）当时，求的长； （4）作点E关于直线的对称点，当B，F，三点共线时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）6或9 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例求解即可； （2）先根据平行线的性质得到，再根据等边对等角得到，进而利用三角形的外角性质求解即可； （3）分为点A在点D的右侧和点A在点D的左侧两种情况，利用相似三角形的判定与性质求解即可； （4）过F作于点G，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，当在的延长线上时，过点O作延长线于点H，过点O作于点I，过点B作于点J，利用折叠性质和角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积公式推导出，设，，进而列方程求得t值，则可得， ，证明可求解；当在线段上时，同理可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，直线m与直线a所成的锐角为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：当点A在点D的右侧时，如图①， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得； 当点A在点D的左侧时，如图②， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 综上，的长为6或9； 【小问4详解】 解：过F作于G，则， ∵，， ∴，则，， ∴， ∴， 当在的延长线上时，如图，过点O作延长线于点H，过点O作于点I，过点B作于点J， 由折叠性质得，则， ∴，则， 设，， 由得， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 当在线段上时，如图，过点O作于点H，过点O作于点I，过点B作于点J， 由折叠性质得，则， ∴，则， 设，， 由得， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 综上，的长为或． 24. 已知二次函数的图象经过点．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在直线上，其横坐标为．过点P作轴，垂足为H，交抛物线于点Q．连结，，以，为邻边作平行四边形．设与x轴交于点． （1）求该二次函数的解析式及对称轴； （2）当，且四边形是矩形时， ①求点的坐标； ②的值为_________； （3）当平行四边形的面积是面积的12倍时，直接写出的值． 【答案】（1）该二次函数的解析式为，对称轴为直线 （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可得抛物线的解析式，进而可得其对称轴； （2）①先求出点的坐标，则可得，，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可； ②得出，根据相似三角形的性质求解即可； （3）先求出点的坐标，再求出直线的解析式，进而可得点的坐标，然后分别求出平行四边形的面积、的面积，建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为， 将二次函数化成顶点式为， ∴该二次函数的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：①由题意可知，点的坐标为，点的坐标为， ∴， ， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，，即， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴点的坐标为． ②由题意，画出图形如下： 由上已得：，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由题意，画出图形如下：连接， 当时，点均在轴上，以，为邻边不能作平行四边形，不符合题意， ∴， 设点的坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴对角线互相平分， ∵，， ∴，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得：，解得， ∴， 又∵，，轴， ∴，， ∴，，， ∴平行四边形的面积为， 的面积为， ∵平行四边形的面积是的面积的12倍， ∴，即， 令，则， 整理得：①或②， 解方程①得：或， 方程②的根的判别式为，没有实数根， ∴③或④， 解方程③得：或，经检验，都是所列方程的解， 方程④的根的判别式为，没有实数根， 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $