精品解析：2026年甘肃省部分校初中学业水平考试标准检测试卷（一）数学

甘肃省初中学业水平考试标准测评卷 数学（一） 本试卷满分150分，考试时间为120分钟．本试卷有专用答题卡，请将答案按要求工整地书写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 在﹣3，﹣1，0，2这四个数中，最小的数是（　　） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】画出数轴，在数轴上标出各点，再根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】这四个数在数轴上的位置如图所示： 由数轴的特点可知，这四个数中最小的数是﹣3． 故选：A． 2. 社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项正确． 故选D． 3. 在平面直角坐标系中，点P(－2，＋1)所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵－2<0，＋1>0， ∴点P (－2，＋1)在第二象限， 故选：B． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、去括号、整式乘法及除法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．分别根据合并同类项，去括号，单项式的乘除运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A：与的字母部分不同（ 与 ），不是同类项，无法合并，故本选项的计算错误； B：，故本选项的计算错误； C：，故本选项的计算正确； D：，故本选项的计算错误． 故选：C． 5. 点关于原点对称的点是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值，根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数可得 ，，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点关于原点对称的点是， ∴ ，， ∴， 故选：． 6. 如图：一条水渠两次转弯后和原来方向相同，如果第一次拐角，则第二次拐角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质．解题的关键在于熟练掌握平行线的性质； 根据两直线平行，内错角相等，即可解答． 【详解】解：如图， ∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同， ∴， ∴， 故选：D． 7. 在第个全国“爱眼日”来临之际，某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比，其中九年级6个班得分为： ， ，， ，， ，则这组数据的众数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求众数．根据众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据解答即可． 【详解】解：将数据从小到大排列为：， ， ， ， ，． 统计各数值出现的次数：出现1次， 出现1次， 出现3次，出现1次． 其中9出现的次数最多， 因此这组数据的众数为 ， 故选：C． 8. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 9. 如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE=3，AF=5，则AC的长为（ ） A. B. C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA=OC，AE=CE，证明△AOF≌△COE得出AF=CE=5，得出AE=CE=5，BC=BE+CE=8，由勾股定理求出AB=4，再由勾股定理求出AC即可． 【详解】解：如图，连结AE， 设AC交EF于O， 依题意，有AO＝OC，∠AOF＝∠COE，∠OAF＝∠OCE， 所以，△OAF≌△OCE（ASA）， 所以，EC＝AF＝5， 因为EF为线段AC的中垂线， 所以，EA＝EC＝5， 又BE＝3，由勾股定理，得：AB＝4， 所以，AC＝ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、勾股定理，熟练掌握是解题的关键. 10. 已知：在中，边上的高，点 在边 上，过点 作交 边于点 ．点 为 上一点，连接．设点 到 的距离为 ，则的面积 关于 的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断出△AEF和△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF，再根据三角形的面积列式表示出S与x的关系式，然后得到大致图象选择即可． 【详解】解：∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴ ， ∴EF=•10=10-2x， ∴S=（10-2x）•x=-x2+5x=-（x-）2+， ∴S与x的关系式为S=-（x-）2+（0＜x＜5）， 纵观各选项，只有D选项图象符合． 故选：D． 【点睛】此题考查动点问题函数图象，相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：=_______． 【答案】 【解析】 【分析】将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】直接提取公因式即可：． 12. 函数y=中自变量x的取值范围是____________ 【答案】x≠3 【解析】 【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意得，x+3≠0， 解得x≠-3． 故答案为x≠-3． 13. 如图，在正六边形中，连接 ，，则_____． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据正六边形性质得出，，根据等腰三角形的性质，，根据三角形外角的性质得出结果即可． 【详解】解：正六边形中，，， ∴， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质． 14. 如果关于 的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键． 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据列式求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，在中，CD是直径，弦，垂足为E，若，，则半径为______cm． 【答案】6 【解析】 【分析】连接OA，由圆周角定理可知∠AOE=2∠C=30°，再根据垂径定理可知AB⊥CD，cm，最后由含30度角的直角三角形的性质可求出OA的长，即⊙O半径． 【详解】连接OA，如图所示， 则∠AOE=2∠C=30°． ∵AB⊥CD， ∴cm， ∴OA=2AE=6cm， 即⊙O半径为6cm． 故答案为：6． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质．连接常用的辅助线是解题关键． 16. 如图，在 中，，， 是 边上一点，且，点是 的内心，的延长线交 于点 ， 是 上一动点，连接、，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】在 取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含 的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可． 【详解】解：在 取点F，使，连接，，过点F作于H， ∵I是 的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含 的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含 的直角三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共96分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解不等式组： 【答案】． 【解析】 【详解】解：， 解①得， ， 解②得，， 故不等式组的解集为． 19. 先化简，再求代数式的值：，其中m＝1． 【答案】，﹣ 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式＝ ＝， 当m＝1时，原式＝＝﹣． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键 20. 如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD与△CAD相似． 【详解】如图，过点A作AD⊥BC于D，AD为所作． 【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由一个图形放大或缩小得到，解决本题的关键是利用有一组锐角相等的两直角三角形相似进行作图． 21. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 （2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 【答案】（1）B （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件、列表法求概率等知识点，正确列表成为解题的关键． （1）直接根据随机事件的定义即可解答； （2）将“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D，然后列表确定所有等可能结果数以及符合题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵随机抽取一个盲盒并打开，四个游戏均有可能， ∴随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件． 故选B． 【小问2详解】 解：“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D， 根据题意列表如下： A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 则共有12种结果，两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的情况数为2． 所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为． 22. 如图，小欢从公共汽车站 出发，沿北偏东 方向走米到达东湖公园 处，参观后又从 处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车站南偏东方向的图书馆 处． （1）求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间的最短距离； （2）如果小欢以米分的速度从图书馆 沿回到公共汽车站 ，那么她在分钟内能否到达公共汽车站？注：， 【答案】（1）米 （2）小欢分钟内能到达公共汽车站 【解析】 【分析】过点 作于点 ，根据 位于 的北偏东 方向和米可得 的长度； 根据角的余弦和 的长可得 的长度，再结合小欢的速度可得答案． 【小问1详解】 解：过点 作于点 ， 位于 的北偏东 方向，米， ，米， 答：小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离是米； 【小问2详解】 解：中， ，米， 米， ， 小欢分钟内能到达公共汽车站． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角合，体现了数学应用于实际生活的思想． 23. 某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜爱的情况，随机调查了若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了如下的不完整统计图： 请你根据以上的信息，回答下列问题： （1） 本次共调查了_____名学生，其中最喜爱戏曲的有_____人；在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是______； （2） 根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数． 【答案】（1）50，3，72°；（2）160人. 【解析】 【详解】试题分析：（1）用喜爱新闻的人数除以喜爱新闻的人数所占的百分比即可得这次调查的学生人数；用这次调查的学生人数乘以喜爱戏曲人数所占的百分比即可得喜爱戏曲的学生人数；先求得喜爱娱乐活动所占的百分比，再求得喜爱体育学生所占的百分比，用360°乘以喜爱体育学生所占的百分比即可得喜爱体育的对应扇形的圆心角的度数.（2）用2000乘以喜爱新闻的人数所占的百分比即可得该校喜爱新闻的学生人数． 试题解析：（1）本次共调查学生：4÷8%＝50（人），最喜爱戏曲的人数为：50×6%＝3（人），∵“娱乐”类人数占被调查人数的百分比为：， ∴“体育”类人数占被调查人数的百分比为：1－8%－30%－36%－6%＝20%， 在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形圆心角大小事360°×20%＝72°； （2）2000×8%＝160（人）． 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图. 24. 如图,直线与双曲线相交于点,与 轴交于点 ． （1）求双曲线解析式； （2）点 在 轴上,如果的面积为3,求点 的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式,坐标与图形性质,以及三角形面积求法, (1)把点 的坐标代入直线解析式求出的值,确定出 坐标,即可确定出双曲线解析式； (2)设,表示出的长,高为点 的纵坐标,根据三角形面积求出 的值,确定出点 坐标即可． 【小问1详解】 解：把代入直线解析式得：,即, , 设双曲线的解析式为， 把点 的坐标代入,得, 则双曲线解析式为； 【小问2详解】 解：对于直线,令,得到,即, 设,可得, 面积为3, ,即, 解得：或, 则 坐标为或． 25. 如图，已知： 是的内接三角形，D是延长线上的一点，连接 ，且． （1） 判断直线与的位置关系，并说明理由． （2） 若，求图中弓形（即阴影部分）的面积． 【答案】（1）直线是的切线，理由如下： 如图，连接 ， ∵、分别是 所对的圆心角、圆周角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ．欲证明 是的切线，只需证明即可； （2）利用弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积计算阴影部分的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过O作，点E为垂足， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 在中， ， ∴， ∵， ∴． 26. 如图，中，，点E为斜边 的中点，将线段 平移至交 于点M，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形为菱形； （3）连接 ，交 于点N，若 ，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证得四边形为平行四边形，得到，在中，点 为斜边 的中点，，从而得到； （2）证四边形是平行四边形，得，，再证四边形是平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论； （3）由平行线的性质得，由平行四边形和菱形的性质得，，，，证是的中位线，得，由锐角三角函数定义求出，进一步解答即可． 【小问1详解】 证明：为 平移所得， ，， 四边形为平行四边形， ， 在中，点 为斜边 的中点， ， ． 【小问2详解】 证明： 四边形为平行四边形， ，即， 又， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形． 【小问3详解】 解：平移的性质得：， ， 由（1）得：四边形是平行四边形，四边形为菱形， ，，，， 是的中位线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理以及锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(-1，0)，C(0，3)． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于F，N是直线EF上一动点，M(m，0)是x轴上一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值． 【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）CN+MN+MB的最小值为． 【解析】 【分析】（1）y=-x2+bx+c经过点C，则c=3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y=-x2+bx+3，即可求解； （2）过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CG⊥BH交于点G，CG交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，即可求解． 【详解】解：（1）将A(-1，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c得： ，解得：， 即抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3； （2）首先构造出MB，将AB绕点B逆时针旋转30°，交y轴于H，过M作MG⊥BH于G，则MG=MB， CN+MN+MB的最小值即CN+MN+MG的最小值， 由图可知，当C、N、M、G共线，且CG⊥BH时，取得最小值， ∵∠MBG=30°， ∴∠HCG=30°， ∵OB=3，∠ABH=30°， ∴OH=， ∴CH=3+， ∴CG=CH·cos30°=， 即CN+MN+MB的最小值为． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、旋转的性质、垂线段最短、解直角三角形等知识．确定出点M、N的位置是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省初中学业水平考试标准测评卷 数学（一） 本试卷满分150分，考试时间为120分钟．本试卷有专用答题卡，请将答案按要求工整地书写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 在﹣3，﹣1，0，2这四个数中，最小的数是（　　） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 0 D. 2 2. 社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点P(－2，＋1)所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 点关于原点对称的点是，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图：一条水渠两次转弯后和原来方向相同，如果第一次拐角，则第二次拐角（ ） A. B. C. D. 7. 在第个全国“爱眼日”来临之际，某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比，其中九年级6个班得分为： ，，，，，，则这组数据的众数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE=3，AF=5，则AC的长为（ ） A. B. C. 10 D. 8 10. 已知：在中，边上的高，点 在边 上，过点 作交边于点 ．点 为 上一点，连接．设点 到 的距离为 ，则的面积 关于 的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：=_______． 12. 函数y=中自变量x的取值范围是____________ 13. 如图，在正六边形中，连接 ，，则_____． 14. 如果关于 的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是_________． 15. 如图，在中，CD是直径，弦，垂足为E，若，，则半径为______cm． 16. 如图，在 中，，， 是 边上一点，且，点是 的内心，的延长线交于点 ， 是上一动点，连接、，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共11小题，共96分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求代数式的值：，其中m＝1． 20. 如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 21. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 （2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 22. 如图，小欢从公共汽车站 出发，沿北偏东 方向走米到达东湖公园 处，参观后又从 处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车站南偏东方向的图书馆 处． （1）求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间的最短距离； （2）如果小欢以米分的速度从图书馆 沿回到公共汽车站 ，那么她在分钟内能否到达公共汽车站？注：， 23. 某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜爱的情况，随机调查了若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了如下的不完整统计图： 请你根据以上的信息，回答下列问题： （1） 本次共调查了_____名学生，其中最喜爱戏曲的有_____人；在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是______； （2） 根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数． 24. 如图,直线与双曲线相交于点,与 轴交于点 ． （1）求双曲线解析式； （2）点 在 轴上,如果的面积为3,求点 的坐标． 25. 如图，已知： 是的内接三角形，D是延长线上的一点，连接 ，且． （1） 判断直线与的位置关系，并说明理由． （2） 若，求图中弓形（即阴影部分）的面积． 26. 如图，中，，点E为斜边 的中点，将线段平移至交 于点M，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形为菱形； （3）连接，交于点N，若 ，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(-1，0)，C(0，3)． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于F，N是直线EF上一动点，M(m，0)是x轴上一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $