精品解析：甘肃省平凉市静宁县2024－2025学年下学期九年级学业诊断数学试卷

2024—2025学年（下）学业诊断1 九年级 数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 2. 2024年河南省居民人均可支配收入累计为31552元．将“31552”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 2025年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，则小明、小亮选择的影片相同的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把矩形纸片沿对角线折叠，重叠部分为，下列说法错误的是（ ） A. 是等腰三角形， B. 和一定是全等三角形 C. 折叠后和一定相等 D. 折叠后得到的图形是轴对称图形 8. 如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 当时，一次函数最大值4，则实数m的值为（ ） A. 或0 B. 0或1 C. 或 D. 或1 10. 在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 第所用时间最长 B. 第的平均速度最大 C. 第和第的平均速度相同 D. 前的平均速度大于最后的平均速度 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 12. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 14. 如图，左图为《天工开物》记载用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为________分米（结果用含根号的式子表示）． 15. 如图，在平行四边形中，是对角线，且，将沿方向向右平移得到，D、B对应点分别是A、E．点F是线段上（不含端点）的一个动点，连接，将线段绕点A 逆时针旋转至线段，使得旋转角，连接．当是等腰三角形时，的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 18. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 19. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，当时，直接写出不等式的解集； （3）如图，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标． 20. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 21. 如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上一点，连接并延长交于点P，连接． （1）求证： （2）若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 22. 消防演练中，水枪喷出的水流是如图的一条抛物线，水流的高度y（单位：m）与离高楼的水平距离x（单位：m）之间具有二次函数关系．从地面离高楼水平距离的点A处，水枪喷出的水流在与高楼的水平距离为处达到最高，高度为，水流落到高楼的点B处． （1）求水流抛物线的解析式； （2）已知高楼的点C处，离地面的高度是． ①若在地面点A处竖直升高水枪的高度，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，求水枪竖直升高的高度； ②若在地面点A处水平移动水枪的位置，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，直接写出水枪水平移动的方法． 23 综合与实践 如图，在中，，，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，将绕点C逆时针旋转90°得到线段，连接、． （1）如图1，与之间的位置关系是_______，数量关系是_______． （2）如图2，点F与点C关于对称，连接，，． ①是否垂直于?并说明理由； ②当，时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年（下）学业诊断1 九年级 数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，，， ∴与原点距离最近的是1， 故选：B． 2. 2024年河南省居民人均可支配收入累计为31552元．将“31552”用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 3. 如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看得到的图形是： 故选：B． 4. 将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 5. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，原不等式错误，故此选项不符合题意； B．∵，∴，原不等式错误，故此选项不符合题意； C．∵，∴，原不等式错误，故此选项不符合题意； D．∵，∴，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 6. 2025年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，则小明、小亮选择的影片相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是正确解答此题的关键． 列表得出所有等可能的结果数以及小明和小亮选择的影片相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将这三部春节档影片分别记为A，B，C，列表如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选择的影片相同的结果有3种， 小明、小亮选择的影片相同的概率为， 故答案为：D． 7. 如图，把矩形纸片沿对角线折叠，重叠部分为，下列说法错误的是（ ） A. 是等腰三角形， B. 和一定是全等三角形 C. 折叠后和一定相等 D. 折叠后得到的图形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换及其应用问题，灵活运用翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，借助矩形的性质、全等三角形的判定和性质是解决本题的关键． 根据矩形的性质得到，，再由对顶角相等得到，可推出，根据等腰三角形的性质即可得到结论，即可判断A、B、D，无法判断和是否相等． 【详解】解：由题意得：， ∴；； 又∵四边形为矩形， ∴； ∴； ∴， ∴为等腰三角形；故A正确； 在与中， ， ∴；故B正确； 又∵为等腰三角形， ∴折叠后得到的图形是轴对称图形；故D正确； 折叠后，和不一定相等，故C不正确； 故选：C． 8. 如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究； 先求解，可得，再进一步探究即可； 【详解】解：∵12个相似的直角三角形， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∴， 故选：C 9. 当时，一次函数最大值4，则实数m的值为（ ） A. 或0 B. 0或1 C. 或 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 当即时，一次函数y随x的增大而减小， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 综上，或， 故选：A． 10. 在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 第所用的时间最长 B. 第的平均速度最大 C. 第和第的平均速度相同 D. 前的平均速度大于最后的平均速度 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查从图像中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可． 【详解】解：“配速”是每行进所用的时间，故从图中可知，第所用的时间最长，故选项A不符合题意； 平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程时间，由图可知，配速最小，故第所用时间最短，故第的平均速度最大，故选项B不符合题意； 第所用的时间与第所用的时间一致，故第的和第的平均速度相同，故选项C不符合题意； 由于前的时间大于最后的时间，故前的平均速度小于最后的平均速度，故选项D符合题意； 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：______（填“>”或“<”）． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 12. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】k＞1. 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1. 考点：一元二次方程根判别式. 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为________分米（结果用含根号的式子表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长交l于点H，连接，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键． 【详解】解：延长交l于点H，连接，如图所示： 在中，， ， 即， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，是对角线，且，将沿方向向右平移得到，D、B对应点分别是A、E．点F是线段上（不含端点）的一个动点，连接，将线段绕点A 逆时针旋转至线段，使得旋转角，连接．当是等腰三角形时，的长为________． 【答案】2或5 【解析】 【分析】由平移的性质得，过点作交于点，利用等腰三角形的性质结合勾股定理求得，利用面积法求得，，分当时，当时，当时三种情况讨论，据此求解即可． 【详解】解：∵平行四边形，， ∴， ∵将沿方向向右平移得到， ∴， 如图，过点作交于点， ∴， ∴， 如图，过点作交于，     ∵， ∴， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点作交于， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； 连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，此时，则点与点重合，不符合题意，舍去； 综上所述：的长为2或5． 故答案为：2或5． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形平移的性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查零次幂，二次根式，特殊角的三角函数值的计算，分式的混合运算，掌握起运算法则是解题的关键． （1）先算零次幂，二次根式，特殊角的三角函数值，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的性质，分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定． （1）利用尺规作图作出线段的垂直平分线l即可； （2）由D，E分别为，的中点，根据中位线的性质，得到，，结合，得到，即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：直线l如图所示， ； 【小问2详解】 证明：补全图形，如图， 由（1）作图知，E为的中点， ∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∵，即：， ∴， ∵， ∴ 四边形是平行四边形． 18. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 【答案】（1）①，；② （2）甲， 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可； （2）根据方差的定义和意义求解即可； （3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可． 【小问1详解】 ①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为， 所以， 共有45名学生评委给每位选手打分， 所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组， 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得： 当时， 此时 ∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲 故答案为：甲，． 19. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，当时，直接写出不等式的解集； （3）如图，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是解题的关键． （1）先将代入求出a的值，然后用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据函数图象，结合点得出不等式的解集即可； （3）过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F，，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 将，代入得， 解得， ∴反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：根据函数图象可知：当时，反比例函数图象在正比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为； 【小问3详解】 解：如图，过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F， 则， ， ∵点A绕点B顺时针旋转， ，， ， ， 设点，，， ∴点， ∵点E在反比例函数图象上， ． 解得，（舍去）， ∴点E的坐标为． 20. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】（1）航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； （2）当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的列出方程求解即可； （2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个， 由题意得，， 解得， ， ∵， ∴y随m增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为， 此时有， 答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少． 21. 如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． （1）求证： （2）若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①2 ② 【解析】 【分析】对于（1），连接，在中，先根据同弧所对的圆周角相等得，然后在中，根据圆周角定理得，可得答案； 对于（2）①，由结合（1），可得，再连接，作，可得，，进而得出，然后在中，根据得出答案； 对于②，先说明是等边三角形，即可求出其面积，在中，求出弓形的面积，然后根据得出答案． 【小问1详解】 如图所示． 连接， 在中，， 在中，， ∴； 小问2详解】 ①，∵， ∴． 连接，过点作，交于点D， ∴，， ∴． 在中，， 即， ∴， 所以的半径是2； ②∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴点三点共线． 在中，， 在中，． 在中，上标点，． 在中， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，余弦，求扇形的面积，等边三角形的性质和判定，构造辅助线是解题的关键． 22. 消防演练中，水枪喷出的水流是如图的一条抛物线，水流的高度y（单位：m）与离高楼的水平距离x（单位：m）之间具有二次函数关系．从地面离高楼水平距离的点A处，水枪喷出的水流在与高楼的水平距离为处达到最高，高度为，水流落到高楼的点B处． （1）求水流抛物线的解析式； （2）已知高楼的点C处，离地面的高度是． ①若在地面点A处竖直升高水枪的高度，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，求水枪竖直升高的高度； ②若在地面点A处水平移动水枪的位置，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，直接写出水枪水平移动的方法． 【答案】（1）； （2）①水枪竖直升高的高度为；②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，能够求出二次函数解析式是解题关键； （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）①先设出平移后的解析式，然后代入点坐标进行计算即可；②同①方式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过点， ， 解得：， ∴水流抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：①设水枪竖直升高的高度为， ∴向上平移后抛物线的解析式为：， ∵过点， ， 解得：， 答：水枪竖直升高的高度为； ②设水枪水平向左移动， ∴向左平移后抛物线的解析式为：， ∵过点， ， 解得：，， 答：水枪水平向左移动或． 23. 综合与实践 如图，在中，，，点D是斜边上动点（点D与点A不重合），连接，将绕点C逆时针旋转90°得到线段，连接、． （1）如图1，与之间的位置关系是_______，数量关系是_______． （2）如图2，点F与点C关于对称，连接，，． ①是否垂直于?并说明理由； ②当，时，请直接写出的长度． 【答案】（1）， （2）①，理由见解析；②或 【解析】 【分析】（1）用“边角边”证明，即可得出，； （2）①连接交于点，连接，同（1）可证明，得，由点与点关于对称，得垂直平分，进而可得，，得四边形是正方形，在中可得：，进而可得，即．    ②过作于，则是等腰直角三角形，由勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：， 理由如下：将绕点C逆时针旋转得到线段， ， ， ， ∴， 在和中， ， ， ，， ， 即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①，理由如下： 连接交于点，连接， ∵，，且， ，， ， ， ， 点与点关于对称， 垂直平分， ，， ， ， ， 四边形正方形， ， 又， 在中可得：， ，， 且， ， 即； ②过作于，设， ∴， ∴，则是等腰直角三角形， ， ， 连接， 由直角三角形性质得 ， ， ， ，， ， 则， ， ， 解得或， 或． 当时，如图所示： ∴，综上，的长度为或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质的综合应用，勾股定理，解直角三角形，旋转、轴对称的性质，正方形的性质和判定等，熟记全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线是正确解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$