第七章复数期末复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教版高一数学必修第二册第七章 复数期末复习讲义 考点目录 知识点1：复数基础运算化简（加减乘除、幂次周期性） 知识点2：复数实部、虚部、纯虚数参数求解 知识点3：共轭复数定义与性质 知识点4：复数模的计算与基本代数性质 知识点5：复平面与复数对应点坐标、象限判断 知识点6：复数几何意义（轨迹为圆，模长最值） 知识点7：实系数一元二次方程虚根成对定理 知识点8：欧拉公式（复数三角指数形式拓展） 知识点9：复数命题辨析（举反例判断等式/结论正误） 复数核心知识点总结 知识点1：复数基础运算化简（加减乘除、幂次周期性） 解题方法： 1. ，周期为4：； 1. 除法分母实数化：分子分母同乘分母共轭复数； 1. 多项式展开后合并实部、虚部。 1. （ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】因, 故选：C. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】. 故选：B 3. 若复数满足（i是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. i C. -1 D. 1 【答案】A 【解析】由题可知：，所以. 故选：A 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由得，，所以. 故选：A. 6. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 故选：B. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由得出. 故选：D. 知识点2：复数实部、虚部、纯虚数参数求解 解题方法： 1. 标准形式，实部，虚部（不含）； 1. 纯虚数条件：；实数条件：； 1. 已知实/虚部列方程求参数。 8. 复数的虚部为（   ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】， 所以虚部为3. 故选：C. 9. 已知，则的虚部为（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】已知，则的虚部为。 故选：A. 10. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】因为，虚部为. 故选：B. 11. 已知复数（其中i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可得：， 所以z的虚部为. 故选：D. 12. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为， 所以，故的虚部为. 故选：A. 13. 已知为虚数单位，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，则它的虚部是， 故选：D. 14. 复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数________. 【答案】1 【解析】由题意可得：，解得. 故答案为：1. 知识点3：共轭复数定义与性质 解题方法： 1. ； 1. 常用性质：。 15. 若，则（ ） A. -2i B. -I C. i D. 2i 【答案】B 【解析】由题可知：，所以. 故选：B 16. 若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. D. ﹣ 【答案】A 【解析】由，得， ∴，即复数的虚部为1， 故选：A 17. （多选题）已知复数，则（ ） A. 的实部为 B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】BD 【解析】因为，所以，则的实部为，故A错误； ，故B正确； ， 所以为实数，故C错误； 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确. 故选：BD 18. （多选题）已知复数（）的实部为，则（ ） A. 复数的共轭复数 B. C. D. 在复平面内对应的点位于第三象限 【答案】BD 【解析】因为复数的实部是，所以，解得：，所以， A：复数的共轭复数，错误； B：，正确； C：，错误； D：在复平面内对应的点是，位于第三象限，正确. 故选：BD. 知识点4：复数模的计算与基本代数性质 解题方法： 1. ； 1. 模运算：。 19. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】由题意可知，. 故选：C 20. 若复数z满足 （i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】因为，则， 所以. 故选：C 21. （多选题）已知，则（ ） A. 为纯虚数 B. C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 【答案】BC 【解析】因为，所以选项A错误， 又，所以选项B正确， 对于选项C，因为，则，所以C正确， 对于选项D，在复平面内对应的点为，在第一象限，所以D错误， 故选：BC. 22 （多选题）已知为虚数单位，复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 所对应的点在第一象限 B. 所对应的点在第二象限 C. D. 【答案】BC 【解析】由复数，，则，它对应的点为，故A错误； 由复数，，则，它对应的点为，故B正确； 由复数，则所以，故C正确； 由复数，则故D错误； 故选：BC. 23. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则或 【答案】BC 【解析】对于A：令，则，， 显然，故A错误； 对于B：设、， 因为，则，所以， 则，故B正确； 对于C：设、， 则 ， ， 故，故C正确； 对于D：令，则， 则，故D错误. 故选：BC 24. 已知复数，则下列命题正确的是（   ） A. 若，则 B. 若z是纯虚数，则 C. 若，则 D. 若，则，或 【答案】ACD 【解析】因为，所以，所以， 对于A，因为，所以，解得，故A正确； 对于B，若z是纯虚数，则，即，故B错误 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，即，则，或，故D正确. 故选：ACD 知识点5：复平面与复数对应点坐标、象限判断 解题方法： 对应点，根据横纵坐标正负判断象限。 25. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】复数对应的点的坐标是， 故， 所以. 故选：C 26. 若，则在复平面对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，所以，所以， 所以在复平面对应点的坐标为. 故选：B. 27. （多选题）复数（其中i为虚数单位，），则（ ） A. B. 的最大值为6 C. 当时，复数对应的点在第四象限 D. 当时，是实系数方程的一个虚数根，则 【答案】ABD 【解析】A．，选项正确， B．由A可知复数在复平面对应点轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 表示的是点到以原点为圆心，1为半径的圆上点的距离， 其最大值为点到原点的距离加半径为：，选项正确； C．当时，复数，对应的点为，在第二象限，选项错误， D．当时，复数，实系数方程的虚数根为：，因为复数是实系数方程的一个虚数根，故，解得，选项正确， 故选：ABD， 28. 复数z在复平面内对应的点为，且（i为虚数单位）的实部为4，则（ ） A. 复数z的虚部为2 B. 复数z的共轭复数对应的点在第四象限 C. 若，则的最大值为 D. 复数z是方程的一个根 【答案】BC 【解析】对于选项A：由题意可知：，则， 可得，即复数的虚部为4，故A错误； 对于选项B：复数z的共轭复数为，对应的点为，在第四象限，故B正确； 对于选项C：设复数在复平面内对于的点分别为， 则，则， 且， 所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：因为，则，解得， 所以复数z不是方程的一个根，故D错误； 故选：BC. 知识点6：复数几何意义（轨迹为圆，模长最值） 解题方法： 1. ：以对应点为圆心，为半径的圆； 1. 最值=圆心到距离±半径。 29. 若，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】设，则， 因为表示以为圆心，为半径的圆， 所以可理解为圆上的点到的距离， 故的最大值为． 故答案为：. 30. 若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为________． 【答案】## 【解析】设，因为即， 所以z的轨迹为以为圆心，以3为半径的圆， 所以，其表示上述圆上的点到点的距离， 所以其最大值为到的距离加半径，为. 故答案为：. 知识点7：实系数一元二次方程虚根成对定理 解题方法： 实系数方程有虚根，则也是根，韦达定理直接使用。 31. 若是关于x的方程的一个根，则_______. 【答案】3 【解析】若是关于x的方程的一个根， 则也是关于x的方程的一个根， 所以， 解得， 所以. 故答案为：3. 知识点8：欧拉公式（复数三角指数形式拓展） 解题方法： ，转化为标准复数形式分析实虚部、模、周期。 32. （多选题）欧拉公式是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若，则（ ） A. 的虚部为1 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】A选项，因为，所以，故虚部为，A错误； B选项，，故，B正确； C选项，， ， 故，，C正确； D选项，，， ， ， 故的一个周期为6， 且 ， 故 ，D正确. 故选：BCD 知识点9：复数命题辨析（举反例判断等式/结论正误） 解题方法： 对抽象复数等式，赋值举反例快速排除错误选项。 33. （多选题）设为复数（为虚数单位），下列结论正确的是（ ） A. 对任意复数，，有 B. 对任意复数，，若，则 C. 设，若，则复数在复平面内对应的点位于第一象限 D. 设，在复平面内对应点为，满足条件的点的集合所构成区域的面积为 【答案】AC 【解析】对于A：设、， 则 ， ， 故，故A正确； 对于B：令，，则，， 所以，， 满足，但是，故B错误； 对于C：因， 所以，则， 所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C正确； 对于D：设，因为，所以， 则，表示以为圆心，大圆的半径，小圆的半径的圆环（不包含小圆上的点）， 所以满足条件的点的集合所构成区域的面积为，故D错误. 故选：AC 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版高一数学必修第二册第七章 复数期末复习讲义 考点目录 知识点1：复数基础运算化简（加减乘除、幂次周期性） 知识点2：复数实部、虚部、纯虚数参数求解 知识点3：共轭复数定义与性质 知识点4：复数模的计算与基本代数性质 知识点5：复平面与复数对应点坐标、象限判断 知识点6：复数几何意义（轨迹为圆，模长最值） 知识点7：实系数一元二次方程虚根成对定理 知识点8：欧拉公式（复数三角指数形式拓展） 知识点9：复数命题辨析（举反例判断等式/结论正误） 复数核心知识点总结 知识点1：复数基础运算化简（加减乘除、幂次周期性） 解题方法： 1. ，周期为4：； 1. 除法分母实数化：分子分母同乘分母共轭复数； 1. 多项式展开后合并实部、虚部。 1. （ ） A. 0 B. 1 C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 若复数满足（i是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. i C. -1 D. 1 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 复数（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 知识点2：复数实部、虚部、纯虚数参数求解 解题方法： 1. 标准形式，实部，虚部（不含）； 1. 纯虚数条件：；实数条件：； 1. 已知实/虚部列方程求参数。 8. 复数的虚部为（   ） A. 1 B. C. 3 D. 9. 已知，则的虚部为（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 2 10. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 11. 已知复数（其中i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 12. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 13. 已知为虚数单位，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 14. 复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数________. 知识点3：共轭复数定义与性质 解题方法： 1. ； 1. 常用性质：。 15. 若，则（ ） A. -2i B. -I C. i D. 2i 16. 若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. D. ﹣ 17. （多选题）已知复数，则（ ） A. 的实部为 B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 18. （多选题）已知复数（）的实部为，则（ ） A. 复数的共轭复数 B. C. D. 在复平面内对应的点位于第三象限 知识点4：复数模的计算与基本代数性质 解题方法： 1. ； 1. 模运算：。 19. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 20. 若复数z满足 （i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 21. （多选题）已知，则（ ） A. 为纯虚数 B. C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 22 （多选题）已知为虚数单位，复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 所对应的点在第一象限 B. 所对应的点在第二象限 C. D. 23. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则或 24. 已知复数，则下列命题正确的是（   ） A. 若，则 B. 若z是纯虚数，则 C. 若，则 D. 若，则，或 知识点5：复平面与复数对应点坐标、象限判断 解题方法： 对应点，根据横纵坐标正负判断象限。 25. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 26. 若，则在复平面对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 27. （多选题）复数（其中i为虚数单位，），则（ ） A. B. 的最大值为6 C. 当时，复数对应的点在第四象限 D. 当时，是实系数方程的一个虚数根，则 28. 复数z在复平面内对应的点为，且（i为虚数单位）的实部为4，则（ ） A. 复数z的虚部为2 B. 复数z的共轭复数对应的点在第四象限 C. 若，则的最大值为 D. 复数z是方程的一个根 知识点6：复数几何意义（轨迹为圆，模长最值） 解题方法： 1. ：以对应点为圆心，为半径的圆； 1. 最值=圆心到距离±半径。 29. 若，则的最大值为_________． 30. 若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为________． 知识点7：实系数一元二次方程虚根成对定理 解题方法： 实系数方程有虚根，则也是根，韦达定理直接使用。 31. 若是关于x的方程的一个根，则_______. 知识点8：欧拉公式（复数三角指数形式拓展） 解题方法： ，转化为标准复数形式分析实虚部、模、周期。 32. （多选题）欧拉公式是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若，则（ ） A. 的虚部为1 B. C. D. 知识点9：复数命题辨析（举反例判断等式/结论正误） 解题方法： 对抽象复数等式，赋值举反例快速排除错误选项。 33. （多选题）设为复数（为虚数单位），下列结论正确的是（ ） A. 对任意复数，，有 B. 对任意复数，，若，则 C. 设，若，则复数在复平面内对应的点位于第一象限 D. 设，在复平面内对应点为，满足条件的点的集合所构成区域的面积为 学科网（北京）股份有限公司 $