第六章平面向量专题期末复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教版高一数学必修第二册第六章 平面向量专题复习讲义 一、本章核心知识点+解题方法总结 知识点1：平面向量线性运算（基底表示、中点向量、几何图形向量分解） 解题方法： 1. 利用向量加减法三角形法则、平行四边形法则转化； 1. 中点公式：； 1. 统一基底，用已知向量表示未知向量。 知识点2：向量坐标运算（坐标加减、数乘、三点共线、平行判定） 解题方法： 1. 向量坐标：若，则； 1. 平行：； 1. 三点共线：对应向量共线，列方程求参数。 知识点3：向量数量积基础运算（模、垂直条件、夹角计算） 解题方法： 1. ； 1. ； 1. ，展开平方求模长。 知识点4：投影与投影向量（数量投影、投影向量坐标求解） 解题方法： 1. 在上投影数量：； 1. 投影向量：。 知识点5：单位向量、垂直单位向量求解 解题方法： 1. 单位向量：； 1. 设垂直向量，满足数量积为0，结合模长为1联立方程。 知识点6：向量夹角范围判断（锐角、钝角、共线反向区分） 解题方法： 1. 夹角为锐角：且不共线同向； 1. 夹角为钝角：且不共线反向。 知识点7：向量与逻辑命题（充分必要条件判断） 解题方法：分别证明充分性、必要性，举反例排除。 知识点8：解三角形基础（正弦定理、余弦定理、边角互化） 解题方法： 1. 正弦定理：； 1. 余弦定理：； 1. 边角统一，求角、求边长。 知识点9：三角形面积、外接圆、内切圆相关计算 解题方法： 1. ； 1. 外接圆半径； 1. 内切圆。 知识点10：解三角形实际应用（测量高度、距离、坡度、仰俯角） 解题方法：提取几何三角形，标注角度边长，正弦/余弦定理求解。 知识点11：平面向量综合解答题（向量条件结合解三角形、最值、证明） 解题方法：向量垂直/平行转化为边角关系，结合正余弦定理、均值不等式求最值。 二、分知识点对应习题 知识点1：平面向量线性运算（基底表示、中点向量、几何图形向量分解） 1. 在中，，点平分线段．设，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，记，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，记，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，若D为BC边的中点，则______． 知识点2：向量坐标运算（坐标加减、数乘、三点共线、平行判定） 6. 已知点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，若，则的值为___________. 8. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知向量，，若，则（ ） A. -2 B. C. D. 1 11. 已知向量，，若，则（ ）． A. 4 B. C. 1 D. 12. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则x的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 13. 已知向量，若，则实数___________. 14. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 15. 已知，为单位向量，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 16. 已知向量，若，则的值为___________. 17. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 18. 已知向量，，，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 19. 在中，，，，则等于（ ） A. 12 B. 6 C. －6 D. －12 20. 已知向量，，若，则_______． 21. 已知向量，若，则m=______． 22 已知，，则 ________． 23. （多选题）已知平面向量，，则（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则 24. （多选题）在平面直角坐标系中，向量如图所示，则（ ） A. B. C. D. 存在实数，使得与共线 25. 在圆中，已知弦，则_________． 知识点4：投影与投影向量（数量投影、投影向量坐标求解） 26. 已知|，，，则下列结论错误的是（   ） A. B. 若，则 C. D. 在上的投影向量为 27. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为_____. 28. 已知，，且在上的投影的数量为，则（ ） A. B. C. D. 29. 已知，均为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 30. 已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 31. 若向量在单位向量上的投影向量为，则______. 32. 已知，则与垂直的单位向量可以为（ ） A. B. C. D. 知识点6：向量夹角范围判断（锐角、钝角、共线反向区分） 33. （多选题）已知为非零向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则为锐角 D. 若，则 34. （多选题）已知向量，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为2 B. 若，则的值为 C. 若与的夹角为锐角，则 D. 若，则与的夹角的余弦值为 35. （多选题）已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为钝角，则的取值范围为 D. 若，则在上的投影向量的坐标为 知识点7：向量与逻辑命题（充分必要条件判断） 36. 若，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 知识点8：解三角形基础（正弦定理、余弦定理、边角互化） 37. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C=（ ） A. B. C. D. 38. 已知的面积为，，，则（ ）． A. B. C. D. 1 39. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（ ） A. B. C. D. 或 40. 已知在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 或 41. 记的内角，，所对的边分别为，，.已知，，则______. 知识点9：三角形面积、外接圆、内切圆相关计算 42. 记的内角，，所对的边分别为，，.已知，，则______. 知识点10：解三角形实际应用（测量高度、距离、坡度、仰俯角） 43. 解放阁是山东省的“国防教育基地”．如图，为测量解放阁的高度，某人取了一条水平基线，使在同一条直线上．在两点用测角仪器测得的仰角分别是，并测得米，则约为（ ）（参考数据：） A. 30米 B. 35米 C. 45米 D. 70米 44. 如图所示，从热气球上测得地面上点的俯角为，点的俯角为，图中各点在同一铅垂平面内，已知，两点间距离为，则热气球距地面的高度为（ ） A. B. C. D. 45. 如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达B处，在B处测得C对于山坡的斜度为，若，山坡与地平面的夹角为θ，则（ ） A. B. C. D. 知识点11：平面向量综合解答题（向量条件结合解三角形、最值、证明） 46. 记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． （1）求； （2）若为的中点，求的长． 47. 在中，角A，B，C所对的边分别为，. （1）求； （2）已知. （i）若，求的值； （ii）若为的外接圆的圆心，且，求的面积. 48. 已知锐角三个角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量，，且． （1）求A； （2）若的面积，且，求的周长； （3）求的最小值． 49. 记锐角的内角，，的对边分别为，，.已知，且. （1）证明：； （2）若，，且，求，； （3）若存在最小值，求实数的取值范围. 50.已知，，分别为三个内角，，的对边， （1）求角； （2）若，为平面内一点，满足，求面积的最大值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $人教版高一数学必修第二册第六章平面向量专题复习讲义 一、本章核心知识点+解题方法总结 知识点1：平面向量线性运算（基底表示、中点向量、几何图形向量分解） 解题方法： 1.利用向量加减法三角形法则、平行四边形法则转化： 2.中点公式：AD=(AB+AC): 3.统一基底，用已知向量表示未知向量。 知识点2：向量坐标运算（坐标加减、数乘、三点共线、平行判定） 解题方法： 1.向量坐标：若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x,y2-y1: 2.Q=(x1,y1,b=(x2,y2)平行：x1y2-x2y1=0: 3.三点共线：对应向量共线，列方程求参数。 知识点3：向量数量积基础运算（模、垂直条件、夹角计算） 解题方法： 1.a⊥bab=0: 2.a-b=a b cose: 3.|a=a·a,展开平方求模长。 知识点4：投影与投影向量（数量投影、投影向量坐标求解） 解题方法： a·b 1.a在b上投影数量：b1 a·b 2.投影向量： 知识点5：单位向量、垂直单位向量求解 解题方法 1,单位向量：e=a 2.设垂直向量，满足数量积为0，结合模长为1联立方程。 知识点6：向量夹角范围判断（锐角、钝角、共线反向区分） 解题方法： 1.夹角为锐角：a·b>0且a,b不共线同向： 2.夹角为钝角：a·b<0且a,b不共线反向。 知识点7：向量与逻辑命题（充分必要条件判断） 解题方法：分别证明充分性、必要性，举反例排除。 知识点8：解三角形基础（正弦定理、余弦定理、边角互化） 解题方法： a b 1.正弦定理：sin A sin B sinC =2R: 2.余弦定理：a=b2+c2-2 bccos A; 3.边角统一，求角、求边长。 知识点9：三角形面积、外接圆、内切圆相关计算 解题方法： 1.s=号absinC: 2.外接圆半径2R=Q sin A: 3.内切圆S=(a+b+cr。 知识点10：解三角形实际应用（测量高度、距离、坡度、仰俯角） 解题方法：提取几何三角形，标注角度边长，正弦/余弦定理求解。 知识点11：平面向量综合解答题（向量条件结合解三角形、最值、证明) 解题方法：向量垂直/平行转化为边角关系，结合正余弦定理、均值不等式求最 值。 二、分知识点对应习题 知识点1：平面向量线性运算（基底表示、中点向量、几何图形向量分解） 在ABC中，DB,点B平分线CD设：a'4C=5'则E= A+ 1 2 c-38-38 D3+6 【答案】D 【解折1因为4D=名4B,即D=B, 3 又点E平分线段CD, 2 2 3 2 故选：D 2.如图，在△ABC中，BD=2DC,则AD=() D 心 3- A. B.4 B+AC 4 B+二AC C.3 0 B+- AC 【答案】D 【解1由丽-0C:可行80-号C-号C-画)， 所以40=B+D=而+(aC-四-丽+号c 故选：D 3.在△ABC中，记AB=m,AC=n,若BC=3DC,则AD=() Am+2元 2,1 1 B.二m+n D. 33 33 【答案】A 【解析】由已知有 D-=BD}3BD-6c-3DC)Bc-BaC)子8c-子4c-号 牧而-孤+后c--+后-号m+ 故选：A. 4在C中，D-兮C,过=后D=分则G-《) 3 A.3m-2n B.3n-2m C.4m-3 D.4n-3m 【答案】D 【解析1因为D=DC,所以BD=BC, 4 所而-孤+D-西+}8C-孤+aC-到-子孤+}c, 所以4AD=3AB+AC,则AC=4AD-3AB=4抗-3m. 故选：D 5.在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3,AC=2,若D为BC边的中点，则AD=一 【答案】 v19 2 【解析】由D为BC边的中点，则4D=(AB+AC), (+)+2cos6O 3+2+2x3x2 1-9 -2 2 V19 故答案为： 2 知识点2：向量坐标运算（坐标加减、数乘、三点共线、平行判定） 6.已知点4(-1,3)，B(0,2),则B=（) A.（-2,-1) B.（-2,1) c（-1,2) D.(2,-1) 【答案】D 【解析】由点A(-1,3),B(1,2),得AB=(2,-1) 故选：D 7.已知向量a=(x,1),b=(L,-2),若a/6,则x的值为 1 【答案】2#0.5 【解析】因为ā/乃，所以-2x-1=0,解得x=号 2 1 故答案为： 8.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a/6,则a+36=() A.(-5,-10) B.（-4,-8) C.(-3,-6) D.（-2,-4) 【答案】A 【解析】因为a=(1,2),b=(-2,m),且a/b, 所以m+4=0,m=-4,a+3b=(1,2)+3(-2,-4)=(-5,-10), 故选：A. 9.已知向量a=(12),万=(2，元+2)，若a16,则元=() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】已知向量a=(1,2),b=(2,元+2)，若a/6,则2元=元+2，解得元=2 故选：B. 6 10.已知向量a=(m,2),b=(1,m+1),若a16,则m=() 2 2 A.-2 B.3 C D.1 【答案】B 【解】曲aL万得：a万=0→m+2m+）=0:解得：m= 3 故选：B 11.已知向量a=(1,2),万=(-2，)，若a1/6,则t=() A.4 B.-4 C.1 D.-1 【答案】B 【解析】已知向量a=(1,2),万=(（-2，)，若a/6,则1×t-2×(-2)=0,解得1=-4 故选：B 12.已知点A1,4),B(2,3),C(x,1),若A,B,C三点共线，则x的值是() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】AB=(1,-1),AC=(x-1,-3),若A,B,C三点共线，则AB,AC共线 即-3×1=-1×(x-1),则x=4. 故选：C 13.已知向量a=(-2,2),b=(m+1,2m),c=(2,-1),若(2a+b)11c,则实数m= 【答案】-1 7 【解析】由题意得2a+b=(m-3,2m+4), 由(2a+b)/1c得-1x(m-3)=2(2m+4), 解得m=-1 故答案为：-1. 14己知ā=(2,4)，b=(x,1),a1b,则x=() 1 B.2 c号 D.2 【答案】A 【解析】已知a=(2,4),b=(x,1),⊥b,则2x+4=0,解得x=-2 故选：A. 15.已知a,方为单位向量，且3a-5列=7，则a与方的夹角为() 2π B. 3 C6 5π D. 6 【答案】B 【解折1因为3a-56=7,所以(3a-5°=49，所以902-30a6+2562=49 又因为后为单位向量，所以0-6=片所以0s位，)=号 又因为0≤(，)s不，所以a.)-牙 故选：B. 8 16.已知向量a=(x,1),b=(L,-2),若a/石，则x的值为 1 【答案】2#0.5 【解析1因为/石·所以-2x-1=0·解得x=号 故答案为： 2 17.已知向量BC=(2,1),AB=(0,-),则AC=() A.2 B.3 cv2 D.2W2 【答案】A 【解析】根据题意，AC=AB+BC=(0,-1)+(2,1)=(2,0), 所以AC=V22+02=2. 故选：A 18已知向量a=(,m),万=(4,6)，c=(1,1,若a/(6-2c),则m=() A.2 B.2 C.1 D.2 【答案】A 【解析】因为=(1，m),b=(4,6),c=(1,1), 所以b-2=(4,6)-2(1,1)=(2,4), 9 又a/(6-2c）,所以2m=1x4,解得m=2 故选：A 19.在△ABC中，AB=3,BC=4,∠B=60°，则BA.BC等于() A.12 B.6 C.-6 D.-12 【答案】B 【解折】aA.aC=BBC-ceos∠B=3x4×=6, 故选：B 20己知向量a=(,1),万=(2，x),若61/（⑥-4），则x=一 【答案】2 【解析】由题意有b-4a=(2,x)4(1,1)=(-2,x-4), 因为61/(6-4a,所以-2x=2(x-4)→x=2, 故答案为：2. 21.己知向量a=(-1,m),b=(3,2),若a16,则=. 【1月 【解析】向量a=（-1,m),b=(3,2),由a16,得a.b=-3+2m=0, 3 所以m=2故答案为：2 10 22己知AB=(L,-),BC=(-1,2),则cos(AB,BC)= 【答案】 3v10 10 【解析】因AB=(1,-1),BC=(-1,2), 则BC.-1-2=-34@-VP+(-=2,Bd=1+22-V5, 所以cos(AB,BC AB·BC -3 310 3v10 故答案为： 10 23.(多选题)已知平面向量ā=(1,2)，b=（-2,x),则() A当x=2时，a+b=(-1,4) B.若a∥b,则x=-1 C.若aLb,则x=1 D.若ā与b的夹角为钝角，则 x∈(-∞，-4)U(-4,1) 【答案】ACD 【解析】对A,当x=2时，b=（-2,2),所以ā+b=(-1,4),故A正确： 对B,若a∥6，则x-2×(-2)=0,解得x=-4,故B错误； 对C,若a1b,则l×(-2)+2x=0,解得x=1,故C正确： 对D,若a与b的夹角为钝角，则a·b=-2+2x<0且a与b不共线， 11 解得x<1且x≠-4，即x∈(-o,-4)U(-4,1),故D正确， 故选：ACD 24(多选题)在平面直角坐标系中，向量a,b如图所示，则() A.a⊥b B.2a-b=5 c.a.(2a-b)=5 D.存在实数2，使得a+b与a-b共线 【答案】BCD 【解析】由题意可得：à=(2,1)，b=(4,-3) 对于选项A:因为b=2×4+1×(-3)=5≠0，所以a,b不垂直，故A错误： 对于选项B:因为2a-b=2(2,1)-(4,-3)=(0,5),所以2a-b=V0+52=5,故B正 确； 对于选项C:因为a(2a-b)=2×0+1x5=5,故C正确： 对于选项D:因为ā+b=元(2,1)+(4，-3)=(21+4，元-3)， a-b=(2,1)-(4,-3)=(-2,4), 若a+6与a-b共线，则(2元+4)×4=-2(2-3)，解得元=-1， 12 所以当入=-1时，a+b与a-b共线，故D正确， 故选：BCD 25.在圆C中，己知弦AB=1,则AB·AC= 【答案】2 【解析】如图，设C圆心，AC为半径，AB为弦， 故4C在上的投影为码 ABAC-B6=×1x1=2 故答案为：2 知识点4：投影与投影向量（数量投影、投影向量坐标求解） 26.已知同=万=1，l=5,a-26-c=0,则下列结论错误的是(） A aLb B若(aa+36)/(a+b+c,则元=6 c.a+B-8+2 D.C在)上的投影向量为-2b 【答案】B 【解析】对于A,a-2b-c=0,则a-2b=c, 13 所以=5=(a-25-a2-4i-6+4奶，又凤==1， 所以ai=0,故a⊥万，故A正确： 对于B,因为a-2b=c,则a+i+c=2a-b, 又(aa+3b)"(a+b+c）.即(aa+36)n(2a-b）, 「2=2k 设(aā+36)=(2a-6列，则3=-k,解得=6：故B错误： 对于c,a+=a2+2a5+万=2. 由a-26=c可得6+=a-=2-2i-6+62-2,即la+=5+d,故c正确： cb b 对于D,c-6=(a-26)万=a6-22=2所以：在6上的投影狗量为可同 =-26 ，故D正确 故选：B。 27.已知向量d=(2,0),万=(2,2)，则ā在6上的投影向量的坐标为一 【答案】(，) 【解析】因为à=(2,0)，万=(2,2），所以ā.万=2×2+0×2=4，=V22+2=2W2, 所以在上的投影向量为 a b 6--- 故答案为：（但，） 14 28已知日=3，同=4，且万在a上的投影的数量为-2，则0+=() A.V37 B.V31 c19 D.√13 【答案】D 【解析】由题意可得向量b在向量a上的投影数量为： Bcosa,B=-2, 日-帆-4月sa5-语之而6 所以a+=Va+=Va+2a-6+6P-v32+2x(-6)+4=丽. 故选：D. 29.已知a,石均为单位向量，6在a方向上的投影向量为a,则日-2=() A.3 B.3 C.2 D.7 【答案】D 【解标】因为a,万均为单位向量，所以=同=1， a6 又在方向上的投影向量为 a=- b a 20,所以a6=- 2 所以a-26=Va-2}=Va-4a6+46 -44=万 故选：D 15 30,己知向量d=1,=2,且a与6的夹角为45°，则6在a方向上的投影向量为() 2 B.2a C2 【答案】B 【解析】由题意知， a.B=acos45= 所以石在。上的投影向至为 ab-2a-V2a -q= 1 故选：B 31.若向量ā在单位向量b上的投影向量为-b,则ā·b= 【答案】-1 【解析】由题意： acos(a,}=-l=-1, 所以a-6=-l×=-1 故答案为：-1 32.己知a=(2,1),则与a垂直的单位向量可以为() a(3店】 e 【答案】C 16 【解析】设与a垂直的单位向量为b=(x,y), = 则a-6=2x+y=0,解得 5 6=V2+y=1 、26或 2V5 5 5 -5)5) 故选：C 知识点6：向量夹角范围判断（锐角、钝角、共线反向区分） 33.(多选题)已知a,b为非零向量，则() A若2a+=a-2b,则a1i B若a+b=(a-b),则a/历 c若a6>0,则(a,b)为锐角 D.若a-=a,则a/6 【答案】BD 【解析】对于A:由2ā+=a-26得 2a+6=(a-2b→4a2+4a.6+62=a2-4a-6+462→3a2+8a-6-362=0 →(3a-b)(a+36)=0,所以(3a-b)1(a+36),故A错误： 对于B,由于a,6为非专向站，由+6=行-可)可知A不等于1.放云=.所以 a/b,故B正确： 对于C:当a,6=0时，a万=>0，但a,6不是锐角，故c错误； 17 对TD,图5=的所uwa5-的 5 .嘴以a5=0或a=x所议 a/1b,故D正确， 故选：BD 34.(多选题)已知向量石=(2，-1)，b=(1,),其中t∈R,则下列说法正确的是() A.若a⊥b,则t的值为2 B.若a/6则，的值为2 C.若a与i的夹角为锐角，则t∈(-∞，2) 10 D若{=1则。与6的夹角的余弦值为 10 【答案】ABD 【解析】对于A,aLb,则ab=2-t=0→t=2,故A正确： 对于B,若石6：则21-()x1=0→1故B正确 对于C,a与b的夹角为锐角，所以a,b=2-t>0→t<2, 又t=2时，a与方的夹角为0， 形。与：的夹m(》行习 故C错误； 18 对于D1=1万=， a-话-西 万V5V2=10,故D正确： 故选：ABD. 35.(多选题) 已知平面向量ā=(V3,1),6=(x,-3),则下列说法正确的是() A.若a∥b,则x=3 B.若alb,则x=√3 C若a与6的夹角为钝角，则x的取值范围为(-0，V⑤) 35 3 D若x=-5则，在。上的投影向录的坐标为 b a 2，-2 【答案】BD 【解析】对于A,若a∥6，则V3×(-3)=1×x,即x=-3,故A错误： 对于B,若a16,则V3x+lx(-3)=0,即x=V3,故B正确： 对于C,若ā与b的夹角为钝角， 则a.万=V3x+lx(-3)=V5x-3<0,即x<V3,且a与6不反向， 当a∥b时，x=-33,b=-3a,a与6反向，所以x≠-33， 所以x的取值范围为(，-3V5U(-35,V5),故c错误， 对于D,x=-5时，6=(V5,-3) 19 在上的投影向量为 a.6a_-3-3（5, b a daV3+13+1 故D正确 故选：BD 知识点7：向量与逻辑命题（充分必要条件判断） 36.若a,6为非零向量，则a+引=回+是“a/6"的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析1a+-+风两边平方得a+2a-6+方=回+2d,月+。 xd-可，6-，故a6- 其中a-i=同cos(a,6）, 所以c0s(a,=L,故a,万的夹角为0， 而a/b,则a,b的夹角为0或元， 故则a+-同+是“a/仍的充分不必要条件。 故选：B 知识点8：解三角形基础（正弦定理、余弦定理、边角互化) 37记AABC的内角4，R,C的对边分别为a,么。，若元=osB=5s加4，对角C( 20 元-6 A 2π 5π B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】由2a =c0sB有c=2ac0sB, 由正弦定理有sinC=2 sin AcosB' sinC=sin-(4+B)=sin(4+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以sinAcosB-cos Asin B=sin(A-B)=0,又A,B为△ABC的内角，所以A-B=0, 即A=B, 又由cosB=V5s如A所以cosA=5sinA今amA=5 又0<A<红所以4-石所以C=-21=x-2×- 63 故选：C 38已知△4BC的面积为、5'BC=2AB: Bs =3,则AC=()· A.6 B.√3 c2 D.1 【答案】A 【解析】设△ABC中角A,B,C所对边分别为a,b,C, 因为二的面积为5·B=3,所以5=2Csin公=V3 ac=,:ac=4, 4 又BC=2AB,所以a=2c,结合上式得：a=22,c=√2， 21 由余弦定理得：b2=a2+c2-2 accos B=10-8x号 =6,故4C=6 2 故选：A a-b sinC 39在△ABC中，角1，B,C的对边分别为a,6,c,若c-bsin4+sinB, 则A=() A 2π 元2π 6 B. D.3或3 【答案】B a-b sinC a-b c 【解析】因为 -bsi1+sinB由正孩定理得。-ba十6： 整理得b+c2-a2=bc 由余弦定理得cosA= b2+c2-a2_bc-1 2bc2bc 2' 又因为A∈(0，)，所以A= 3 故选：B. 40.已知在A4BC中， B1r4C=6 3， C= 3, () B= 3π 3π B. D. 6 4 4 或4 【答案】A 【解析】在 ，由正弦定理得B=4C,得s如B=ACs1nC- sin 3 3 √2 △ABC sin C sin B AB 1 22 又8>4C六C>B而Be0利：B 4 故选：A 41.记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a2=b2+2c2, sin2B=sinAsinC,cosB 【答案】4 【解析】sinB=sinAsinC由正弦定理得b2=ac,结合题设， 所以a2-ac-2c2=0→(a+c)(a-2c)=0→a=2c, 所以cosB= a2+c2-b2b2+2c2+c2-b23c23 2ac 2ac 4c24 3 故答案为： 4 知识点9：三角形面积、外接圆、内切圆相关计算 42.记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a2=b2+2c2, sin2B=sinAsinC,cosB 3 【答案】 【解析】sinB=sin4sinC由正弦定理得b2=ac,结合题设， 所以a2-ac-2c2=0→(a+c)(a-2c)=0→a=2c, 所以cosB=a+c2-B_+2c2+c2-b3c23 2ac 2ac 4c2=4 23 3 故答案为： 4 知识点10：解三角形实际应用（测量高度、距离、坡度、仰俯角） 43.解放阁是山东省的“国防教育基地”.如图，为测量解放阁的高度CD,某人取了一条水平 基线AB,使A,B,D在同一条直线上.在A,B两点用测角仪器测得C的仰角分别是 ∠CAD=30°，∠CBD=53°，并测得AB=35米，则CD约为()（参考数据： sin53°≈0.8，sin23°≈0.4) A.30米 B.35米 C.45米 D.70米 【答案】B 【解折】市题弦可得在aCBD中，CB=C即。-手CD. sin53°4 AB CB 在A4BC中，∠4CB=∠CBD-∠C4D=230,则由正弦定理可得sin23°sin30°， CD 即35-4 ，解得 千米，故B正确 0.40.5 CD=35 故选：B. 44.如图所示，从热气球A上测得地面上点B的俯角为60°，点C的俯角为45°，图中各点在 同一铅垂平面内，已知B,C两点间距离为l0Om,则热气球距地面的高度AO为() 24 459 A(100+50W3)m B.200V3m c150+503)m D.(150-50W3)m 【答案】C 【解折】在R40B中，∠01B=30e,所以08=0Aam∠01B= 3 0A, 在RtAOAC中，∠0AC=45°，所以OC=OA, 因为B,C两点间距离为100m, 所以0C-0B=01-5o1=10,解得0A=(150+50N5)m 故选：C 45.如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向 山顶前进100m到达B处，在B处测得C对于山坡的斜度为30°，若CD=60m,山坡与地平 面的夹角为8，则c0s8=() 30 D 3 +V2 A2-1 B. 4 56 4 【答案】C 25 【解析】由题意可知，△ABC是等腰三角形，所以BC=AB=I00, CD BC sin30sin∠BDC,得sin∠BDC= 60 100 △BCD中，sin∠CBDsin∠BDC, 6 sin∠BDC=sin∠BDE=cosB= 5 6 故选：C 知识点11：平面向量综合解答题（向量条件结合解三角形、最值、证明) 46记△ABC的内角A'B'C的对边分别为a‘b'c:已知a=7”方=8：cosB=- (1)求A; (2)若D为AC的中点，求BD的长. 【答案】(1) π-3 (2)3 【解析】(d)因为cosB=-】<0,则sinB=V-c0sB-4W5 sinA sinB,得到sinA=asinB a b 由正弦定理 b 43 又 7× a=7b=8 82 (2②)由条弦定理)=d+e2-2ac0osB得以64=49+e2-2ex7x》 整理得到c2+2c-15=0,解得c=3或c=-5(舍)， 26 又D为AC的中点，所以BD={BA+BC), n而-@+ac+x）9+2x》的- 所以BD=3,即BD的长为V3 47.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m=(a,b+c),n=(N3sinC+cosC,1) ,mn=2b+3c. (1)求： (2)已知BM=2MC,AM=2. ()若Sac= 5，求e+2b的： (ii)若O为△ABC的外接圆的圆心，且AO·AM=6,求△ABC的面积 【答案】(1)A=2π 3 (2)(①c+2b=12:(i)35 【解析】【1】由m-n=2b+3c得V3 asinC+acosC+b+c=2b+3c, 所以V3 asin C+acosC=b+2c 由正弦定理得V3 sin AsinC+sin AcosC=sinB+2sinC 3sin Asin C+sin Acos C=sin Acos C+cos Asin C+2sin C 所以V3 sin AsinC=sinC(cosA+2) 因为C∈(0，x,sinC≠0：所以5sinA-cosA=2整理得sin 27 【21自-2派C钓W-+号C 因为AB=C,AC=b,AM=2,即|AM=2 所以4=。c2+46+ 4 9 b·ccos 2=1c2+4-2b- 99 3991 即36=c2+4b2-2bc=(c+2b)2-6bc 为c5,时45，从s 1 所以c+2b=12 (ii)令边AB,AC的中点分别为E,F,由点O为△ABC的外接圆圆心， 得OE⊥AB,OF⊥AC 00=(c+00=正.- A0.AC-(AF+FO)AC-AF.AC-4 箭以40W=4oG+号4C号4oB+号40-4C=名2+)-6 即2b2+c2=36 又c2+4b2-2bc=36 28 联立方程组，解得b=0(舍)或b=c=2√3 所5版cn4=3G 48已知锐角△ABC三个角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知向量m=(2sinA-V3b,1) n=(1,2asin B-3),mn. (1)求A: (②)若AHC的面积S=5 2,且a+V5c=V5b:求△4BC的周长： 3 (3)求4sin2B+sin2C的最小值. 【答案】(1)A= 1 3 (2)15+35 3)2: 【解析】【1】由m⊥n,得m-n=2sinA-3b+2 asin B-√3=0， a b 由正弦定理sinsin B,得asin B=bsinA,则2sinA-V36+2 bsin A-V5=0: 圈26》sn4Bb+D=0:显然60经7 2,而4e0,. 双1务 【2】由三角形面积公式Sc-)besin4=5bc-55 -bc= 4 bc=2,得bc=10 由余弦定理a2=b2+c2-2 becos A,得a2=b2+c2-bc, 由a+V3c=V3b,得a=5(b-c),两边平方得a2=3b-c)2=3b2-6bc+3c2, 29 于是3b2-6bc+3c2=b2+c2-bc,解得b2+c2=25,则a=V15. 又(b+c)2=b2+c2+2bc,解得b+c=3V5, 所以△ABC的周长为a+b+c=√15+3V5. 【3】由sinA=3 3 sin2A 4(sin B+sin C)sin?B+sin C sin2A a2 6+c2-bc=1- bc 由正弦定理和余弦定理得 sin2B+sin2C b2+c2 b2+c2 2+c2, b2+C21-be、1 1 bc 之1-2bc2,当且仅当b=c时取等号， 3 所以4in2B+sin2C的最小值为2 49.记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知 (a-2c)cosC+ccosA=0,Haxc. (1)证明：B=2C: (2)若BD=)Dc,AD= 3,且cosB 3求bc (3)若cos(A-C)+元sinB存在最小值，求实数的取值范围 【答案】(1)证明见解析 (2)b=2√6，c=3 (3) (-4,-25） 【解析】【1】因为(a-2c)cosC+ccosA=0, 由正弦定理得(sinA-2sinC)cosC+sin CcosA=0, 30 所以sinAcosC+sinCcosA=2 sin CcosC=sin2C, 所以sin(4+C)=sinB=sin2C, 所以B=2C或B+2C=π， 因为a>C,所以A>C,又A+B+C=兀，所以B+2C=π不可能成立， 所以B=2C. 【21由m8-0,80引则如8=-8-2 3 因为g-2C·所以em2=eas2C=2casC-1- 因为ce0》, 以CS,aC=wC 3 cos--cos(B+C)--(cos BcosC-sin BsinC)x 33339’ 因为0-号Dc,则D-C, 3 所以0=西+D=而+兮8C=西+C-6+C, 3 将其两边平方得而-。+。4C+仍C, 9 9 6=c+6+46 所以99 91 81 b①， b 由正弦定理知， sin B sinC' 31 因为B=2C,所以sinB=sin2C=2 sinCcosC, 所以名2amc 2 3②， 联立①②解得b=2V6,c=3. 【3】因为△ABC为锐角三角形，且A>C, 0<A< 2 0<π-3C% 0<B< 2, 0<2C< 所以 即 2 ，解得 0<C<π 0<C<π A>C C<π-3C I<C< 6 所以<2c<至 5 <sin2C<1, 又cos(4-C)+元sinB=cos(π-4C)+元sin2C=-cos4C+2sin2C=2sin22C+sin2C-1, 所以co4-0+2S如B=2r+-1,其中对称轴为=， 因为cos(A-C)+入sinB存在最小值， 所以r子e停，锋架4a5 故实数元的取值范围为(4，-2V3)】 32 50已知a'b'c分别为△MBC三个内角A'BC的对边， acosC+asinC=1 b+c (1)求角A; (2)若a=V6,O为平面ABC内一点，满足OA+OB+OC=0,求△BOC面积的最大 值. 【答案】(1)A= √5 3 (2)2 【解析】(1)由 .asC+y5 SasinC-1得：acosC+5 SasinC=h+c b+c 由正弦定理得sinAcosC+√3 sinAsinC=sinB+sinC sin B=sin(A+C)=sin AcosC+cos AsinC, 代入整理得：V3 sinAsinC=cosAsinC+sinC 因为mc0所以5n-1e印即4-引分 i054K可为名4名0。 6、6,故A-”=π 66,即A= 3 B (2) 如图，由OA+OB+OC=0可得0为△ABC的重心， 1 -bc= -bc 62 12 33 由余弦定理a2=b2+c2-2 becos A可得6=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc, 当且仅当b=c=√6时取等号， 所以5arS众 es5x6- 1212 21 即AB0Cc的面积最大值Y5 34