专题02 平面向量及其应用全章18大题型（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02平面向量及其应用（期末复习讲义） 内容导航 明。期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01平面向量的相关概念理解 题型02向量共线与三点共线的应用 题型03平面向量的基底的判断 题型04用基底表示向量 题型05平面向量基本定理定理的应用 题型06三点共线的推论及应用 题型07平面向量数量积的计算 题型08利用数量积求向量的模长 题型09利用数量积求向量的夹角 题型10利用数量积解决垂直问题 题型11求平面向量的投影向量 题型12平面向量的实际应用 题型13利用正余弦定理解三角形 题型14三角形解的个数问题 题型15三角形的面积问题 题型16利用正余孩定理判断三角形的形状 题型17解三角形的最值与范围问题 题型18解三角形的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 平面向量的基本1、能准确区分向量与数量的区别： 基础必考点，多以小题（选择题、填空题） 概念 2、能清晰判断零向量、单位向量、相等 形式考查，难度较低； 向量、相反向量的特征： 易错点：混淆零向量的方向、共线向量与相 3、能正确理解共线向量（平行向量）的 等向量的关系；忽略单位向量的方向不唯一 定义，区分共线与重合的关系 平面向量的线性 1、能熟练运用三角形法则、平行四边形 高频必考点，小题、大题均可能考查，侧重 运算 法则进行向量加法、减法运算： 考查几何意义的应用： 2、能掌握数乘向量的定义、运算律，明 命题趋势：常结合平面图形（三角形、平行 确数乘向量的几何意义； 四边形)考查向量线性分解，注重数形结合 3、能化简简单的向量线性表达式 思想： 易错点：向量减法方向判断错误；数乘向量 的模长与方向计算失误 平面向量基本定 1、能理解平面向量基本定理的内涵，会 核心高频考点，小题、大题均有涉及，是后 理及坐标表示 选择合适基底表示平面内任意向量； 续向量应用的基础： 2、能熟练进行向量的坐标加减、数乘运 命题趋势：常与平面几何结合，考查基底表 算： 示、坐标运算及共线参数求解； 3、能运用共线向量的坐标条件判断向量 易错点：记错共线向量坐标公式；基底选择 1/49 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 共线、求参数值 不当导致运算繁琐；忽略向量坐标与点坐标 的区别 平面向量的数量 1、能掌握数量积的定义及几何意义，理 重中之重，必考考点，小题侧重模长、夹角 积 解投影的概念； 计算，大题侧重综合应用； 2、能熟练运用数量积坐标公式进行计算； 命题趋势：常与几何图形、函数最值结合， 3、能运用数量积求向量的模长、夹角， 考查数量积的综合应用，凸显向量的工具性： 判断向量垂直 易错点：混淆向量夹角与图形内角；忽略数 量积的符号；模长公式记忆错误 平面向量在平面 1、 能运用向量方法判断平面几何中的平 期末中档难度考点，考查形式灵活，多以解 几何中的应用 行、垂直关系： 答大题为主，偶尔搭配填空小题考查。贴合 2、能运用向量运算求平面图形中线段的 期末命题原则，淡化复杂运算，侧重考查向 长度、角的大小： 量转化几何问题的思维方法，常结合三角形 3、掌握向量法解决平面几何问题的“三步 四边形等常规几何图形命题，是期末大题高 曲”（化几何量为向量→进行向量运算一 频出题方向。 还原几何结论) 易错点：无法将几何问题转化为向量问题； 向量运算失误导致几何结论错误 正弦定理、余弦 1、能熟练掌握正弦定理、余弦定理的文 高频必考考点，小题、大题均有考查，大题 定理 字语言和符号语言： 常单独命题或与向量结合； 2、能运用正弦定理、余弦定理解决三角 命题趋势：侧重基础应用，偶尔结合实际情 形的边长、角度求解问题； 境（仰角、俯角）考查，难度适中： 3、能运用定理解决简单的三角形面积计 易错点：正弦定理中解的个数判断失误； 算问题 忽略三角形内角和为180° 记·必备知识 局知识点01平面向量基本概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模. 2、零向量：长度为0的向量，记作可 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量. 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：可与任一向量平行. 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量。 6、相反向量：长度相等且方向相反的向量 ·易错点：混淆共线向量与相等向量，认为共线向量就是相等向量，忽略方向和长度的双重要求；同时容 易忽略“共线向量包含反向向量” 局知识点2平面向量的线性运算 向量运算 定义 法测（或几何意义） 运算律 a+b b 交换律：a+b=i+a; 加法 求两个向量和的运算 a+b a 结合律：(a+)+c=a+(亿+c) 三角形法则 平行四边形法则 2/49 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 求a与的相反向量 减法 a-i=a+(-b) b的和的运算 几何意义 aa=la, 结合律：1(ua)=(2μ)a; 求实数与向量a的 数乘 当>0时，1a与a的方向相同： 第一分配律：（亿+u)a=1a+ua; 积的运算 当<0时，1a与a的方向相反； 第二分配律：1(a+b)=1a+b 当1=0时，2a=0 ·易错点：向量减法方向判断错误，牢记“起点相同，指向被减向量终点”的口诀. 局知识点3平面向量基本定理及坐标运算 1、平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的定义：如果，，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向 量a,有且只有一对实数2,2，使a=e,+12e2· (2)向量的基底：若，不共线，我们把{，马}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2、向量线性运算的坐标表示 (1)已知a=x,,6=(),则a+b=(x+x出+为)，a-b=(x-x2,月-y2 (2)若a=x,y),则元a=(2x,入y); 3、共线向量的坐标条件 己知a=(x,片)，b=(xy),则向量a,b(6≠0共线的充要条件是x-xy=0. 局知识点04平面向量的数量积 1、向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角. (2)范围：设0是向量a与b的夹角，则0°<0180° (3)共线与垂直：若0=0°，则a与b同向；若0=180°，则a与b反向；若0=90°，则a与b垂直. 2、平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0，则数量alb cose0叫做a与b的数量积（或内积）， 记作-b,即a·b=a b cose0,规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a=0 (2)几何意义：数量积a-b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos0的乘积. 3/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【注意】(1)数量积a-b也等于b的长度b与a在b方向上的投影acos0的乘积，这两个投影是不同的. (2)。在b方向上的投影也可以写成b，投影是一个数量，可正可负可为0，取决于9角的范围。 3、向量数量积的性质 设a,b是两个非零向量，e是单位向量，a是a与e的夹角，于是我们就有下列数量积的性质： <1)e-a-are=lallelcosa =lalcosa. (2)a⊥b台ab=0 (3)a,b同向台ab=lalb:a,b反向台ab=-alb 特别地aa=a=a或a:V石 (4)若0为a,b的夹角，则cos日=a:b 4、向量数量积的运算律 (1)ab=b·a(交换律) (2)1ab=元a-b=a2b (结合律) (3)a+bc=a·c+b·c(分配律) 5、向量数量积的坐标表示 己知非零向量a=(x,y),b=(x2,y2),a与b的夹角为0 结论 几何表示 坐标表示 模 la Va.a a=+明 夹角 a·b cos0= Xx2+yy2 c0s0= ab V好+界V号+好 a⊥b的充要条件 a.b=0 xx2+当y2=0 a6与a-b的关系 la-blslal-bl +≤Vx2+y)x好+) 局知识点5平面向量在几何中的应用 1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系。 4/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2、平面几何中证明问题的具体转化方法 (1)证明线段AB=CD,可转化为证明AB=CD, (2)证明线段AB∥CD,只需证明存在一个实数元≠0，使AB=入CD成立. (3)证明两线段AB⊥CD,只需证明数量积AB.CD=0. (4)证明A,B,C三点共线，只需证明存在一个λ≠0，使AB=入AC成立. 3、向量在物理中的应用主要解题思路 (1)转化问题：将物理问题转化为数学问题； (2)建立模型：建立以向量为载体的数学模型； (3)求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； (4)回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题， 知识点06正弦定理与余弦定理 1、正、余弦定理与变形 定理 正弦定理 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A; 内容 asin A=bsin B=csin C=2R b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C (1)a=2RsinA,b=2Rsin B,c=2Rsin C; cos 4=b2+c2-a22bc; (2)a:b:c=sinA sin B:sin C; 变形 cos B=c2+a2-b22ac; (3)a+b+csin A+sin B++sin C=asin A= cos C=a2+b2-c22ab 2R 【注意】若己知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理。在根据另一边所对角的正弦值确定 角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角 和定理去考虑问题 2、解三角形中的常用结论 (1)三角形内角和定理：在△ABC中，A十B十C=元；变形：A十B2=2-C2 (2)三角形中的三角函数关系 ①sin(A+B)=sinC; ②cos(A+B)=-cosC; ③sinA+B2=cosC2; ④cosA+B2=sinC2 (3)三角形中的射影定理：在△ABC中，a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccosA;c=bcosA十acos B. (4)三角形中的大角对大边：在△ABC中，A>B曰a>b曰sinA>sinB. 3、三角形常用面积公式 (1)S=12ah.(h.表示边a上的高)： 5/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)S=12absin C=12acsin B=12bcsin A; (3)S=12a+b+c)r为内切圆半径) 4、解三角形的实际应用 名称 意义 图形表示 在目标视线与水平视线所成的角中，目标 月标 视线 仰角与俯角 视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视 垂 线在水平视线下方的叫做俯角 目标 视线 从某点的指北方向线起按顺时针方向到 北 方位角 目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位 135°东 角的范围是0°≤0360° 例：(1)北偏东a:(2)南偏西a: 正北或正南方向线与目标方向线所成的 方向角 北 北 锐角，通常表达为北（南）偏东（西） g东 东 破·重难题型 它题型一平面向量的相关概念理解 解|题|技|巧 牢记核心概念的关键细节：零向量方向任意、单位向量仅长度为1、共线向量方向相同/相反（含零向 量)、相等向量需长度+方向都相同； 排除法优先：遇到模糊选项，先排除明显错误的（如零向量有固定方向“共线向量就是相等向量”）； 举例验证：对不确定的选项，举简单例子验证 【典例1】(25-26高一上·黑龙江牡丹江期末)下列说法正确的是（) A.向量AB与向量BA是相等向量 B.若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C.与实数类似，对于两个向量a,五有a=b,a>b,a<b三种关系 D.向量的模是一个非负实数 【答案】D 【解析】对于A,向量AB与向量BA是相反向量，不是相等向量，因此A不正确： 对于B,若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合， 若两个共线向量中含有零向量时，零向量所在直线不确定，故B错误； 对于C,与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此C不正确： 6/49 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于D,向量的模指的是向量的长度，是一个非负实数，因此D正确故选：D 【变式1-1】(25-26高一上湖北武汉期末)。=i”是a=同且4/6的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若“a=6”则园=园且a/乃”成立，即充分性成立； 反之若a与石反向共线时，满足“a=园且ā/厉”，但不满足“a=方”，故必要性不成立， 故“ā=i"是回=同且a1B的充分不必要条件，故选：A 【变式1-2】(25-26高一上·北京顺义期末)设ā，b均为非零向量，则“ā与a+2b共线”是“a与b共线”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D,既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若a与a+2b共线，且a≠0，则存在实数k使得：a+2b=ka. 移项可得：25-使-a即6=片 故a与b共线，充分性成立： 若a与b共线，且a≠0，则存在实数m使得：b=ma. 代入得a+2b=a+2ma=(1+2m)a, 故a与ā+2b共线，必要性成立 综上，“a与a+2b共线”是“a与b共线”的充分必要条件.故选：C 【变式1-3】(24-25高一下·安微准北期末)（多选)关于向量ā，五，下列命题中正确的是() A.若a=b,则a=b B.若a=-b,则a∥b c.若>，则a>6 D.若a=b,b=c,则a=c 【答案】BD 【解析】对于A:向量的长度相等，方向不一定相同， 从而得不出ā=b,即该选项错误； 对于B:若a=-b,则ā∥b,故该选项正确； 对于C:向量有方向不能比较大小，故该选项错误； 7/49 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 对于D:因为a=b,b=c,所以a=c,则该选项正确. 题型二向量共线与三点共线的应用 解|题技|巧 1、向量共线问题：一般地，解决向量(，共线求参问题，可用两个不共线向量（如1，e2)表示向量C, φ(2)=0 飞，设b=元aa≠0)，化为关于e,e2的方程(2)e,=-g(2)e2,由于e1,e2不共线，则 p(2=0 解方程组即可 2、若A,B,C三点共线，则向量AB,AC,BC在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间 存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据 【典例2】(24-25高一下山东泰安期末)已知向量a,五不共线，且向量ā+2b与（亿+1）i+6b共线，则实 数2的值为() A.-2或-3 B.-2或3 C.-3或2 D.2 【答案】C 【解析】因为向量a,五不共线，所以ā+2b≠0， 又向量ā+2b与(2+1)a+6b共线， 所以3μ∈R,使（亿+1）a+6b=μa+1b), 则 2,解得久一3或2故选：℃ 6=24 【变式2-1】(25-26高一上北京期末)已知向量a=(5,-2),b=（-4,-3),且ā+b与a+(22-1)b方向相反， 则实数2的值为() A.1或) B.1或月 C.1 【答案】D 【解析】因为5×-3)≠(-2)×-4， 所以向量a,6不共线，且向量入ā+b,a+(22-1)b方向相反， 所以存在实数k使元ā+万=k[ā+(2元-1)](k<0), 即2ā+b=ka+k(2入-1)b, 8/49 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又因为向量ā，b不共线， [λ=k 所以 1=k(22-1)' 整理得22-入-1=0，解得元=1或元=- 2 又因为质<0，所以1=<0，故舍去2=1，最终得到无=号故选：D 【变式2-2】(24-25高一下·贵州六盘水期末)已知e、e2是平面内的一组基底，0A=4e,+3,, OB=2e,+ke,0C=5e-3e,,若A、B、C三点共线，则实数k的值为() A.9 B.11 C.13 D.15 【答案】D 【解析】因为0A=4e+3e2,0B=2e,+ke2,0C=5e,-3e, 所以AB=0B-0A=(2E+ke)-(4g+36)=-2g+(k-3)6, AC=0C-0A=5e-30,-(4e+3e)=日-60， 又因为A、B、C三点共线，所以存在1eR,使得AB=入AC, 即-2e+(k-3)e2=1(e-6e2, 因为e、e,是平面内的一组基底， λ=-2 所以 -6队=k-3”解得k=15,元=-2.故选：D. 【变式2-3】(24-25高一下·四川成都期末)已知向量a,五，AB=3a+2b,BC=4a-b,CD=5a+7b, 则一定共线的三点是() A.A,B,D B.A,B,C C.A,C,D D.B,C,D 【答案】A 【解析】因为BD=BC+CD=9a+66=3AB,故A,B,D三点共线，A正确； 因为AB=3a+2b,BC=4a-b, 故不存在任何的2eR使得AB=入BC,所以A,B,C不共线，B错误； 因为AC=AB+BC=7a+b,CD=5a+7b, 故不存在任何的2∈R使得AC=入CD,所以A,C,D不共线，C错误： 因为BC=4a-b,CD=5a+7b, 故不存在任何的2∈R使得BC=CD,所以B,C,D不共线，D错误； 故选：A 9/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型三平面向量基底的判断 解|题技|巧 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，平面内的一个基底一旦确定，那 么平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来 【典例3】(24-25高一下·江苏宿迁期末)在下面的四组向量中，能作为一组基底的是() A.a=2,3,b=3,-2 B.a=(2,-2),b=(1,-1 D.a=(1,-3),b=(-3,9 【答案】A 【解析】对于A,因为2×-2)-3×3=-13≠0，则a,b不共线，故A正确； 对于B,因为a=2b,则a,b共线，故B错误； 对于C,因为a=4b,则a,b共线，故C错误； 对于D,因为a=-b,则a,b共线，故D错误故选：A 3 【变式3-1】(25-26高一上辽宁期末)（多选)设e,是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不 能作为基底的是() A.e,+e2和e,-3e2 B.6+26和28+8 C.3e-4e,和6e-8e D.e+6e2和e+e2 【答案】BC 【解析】对于A,假设(g+e)I(g-3e),则元∈R使得+e,=入（日-3e)=元e-32e, 因为e,e,不共线得2=1且1=-32，则2无解， 故e,+e2,-3e2不共线可作为一组基底： 对于B,因为+2运=2日+写所以(+2列+6 不能作为基底； 对于C,因为-466G-闷，所以(3g-4g-8,不能作为基底： 对于D,假设e+6e2I(e+e2,则1eR使得e,+6e2=元e,+e2=元e+e, 则因为e,e不共线得元=1且1=6，则元无解， 故e+6e,和e+e,不共线可作为一组基底故选：BC 10/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3-2】(24-25高一下·河北邢台期末)（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是() A.e=(-1,2),e2=(2,1 B.e1=(4,2),e2=(-6,-3 C.e=(2,5),e=(3,-1 D.g=(7,3),e2=(0,0 【答案】AC 【解析】对于A,-1x1≠2×2，e,e,不共线，可作基底，A是： 对于B,4×(-3)=2×(-6),e∥e,,不能作基底，B不是： 对于C,2×(-1)≠5×3，e,e,不共线，可作基底，C是； 对于D,e∥e不能作基底，D不是.故选：AC 【变式3-3】(24-25高一下·吉林·月考)（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是() A.6=(0,0),e2=(1,-2 B.6=(-1,2),e2=(5,7) C.e=(3,5),e2=(6,10) D.g=(1,1,62=(1,-) 【答案】BD 【解析】对于A选项，已知e,=(0,0),零向量与任意向量共线， 所以E与E,=L,-2)共线，不能作为基底，A选项错误 对于B选项，对于=(-1,2)，e=（5,7),(-1)×7-5×2=-17≠0， 所以e与已，不共线，可以作为基底，B选项正确 对于C选项，对于e=(3,5),e=(6,10),3×10-6×5=0, 所以e,与e,共线，不能作为基底，C选项错误 对于D选项，对于g=,1),g=(L,-1),计算1×(-1-1×1=-2≠0， 所以e,与e,不共线，可以作为基底，D选项正确.故选：BD 它题型四用基底表示向量 解|题技|巧 用基底表示向量的两种基本方法： :1、运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止： 2、通过列向量方程（组），利用基底表示向量的唯一性求解，即若a=e+4e2,且a=入2e,+2e2则 11/49 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 〔入，=：来构建方程（组），使得问题获解 4=42 【典例4】(24-25高一下·黑龙江·期末)已知M为ABC所在平面内的一点，3AB=2AM,CE=EM,则 AE=() C. 1 41 D. 【答案】C 【解析】如图所示， B M 由题意指正-+C-+号C-沥+兮c故选：c 【变式4-1】(24-25高一下·广东汕尾期末)如图，在ABC中，D是BC上靠近B的一个三等分点，记 AB=a,AC=b,则AD可以用a,b表示为() 3 【答案】C 【解折1由题：D-而+面=而+号8c=丽+aC-例-+c-号0+5故迹：c 3 【变式4-2】(24-25高一下·河南郑州期末)如图，在△ABC中，BD=3DC,AF=2FC,E是AD的中点， 则EF=(） D A.14B+7AC 8 24 B.-IAB+AC 6 3 12/49 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.14B+4C 6 3 D. -4B+74C 1 8 24 【答案】D 【解析】在△ABC中，BD=3DC,AF=2FC,E是AD的中点， 则承-亚-孤Cc号而号C-丽+c丽放选：D 【变式4-3】(24-25高一下·广西河池·期末)如图所示，已知在正方形ABCD中，E、F分别是边AB、 BC的中点，AF与DE交于点M.设ABa,AD=b,下列选项错误的是() D M E B A.AC=a-B B.AF=a+16 c.m--6 D.AF⊥DE 【答案】A 【解析】对于A选项，由平面向量加法的平行四边形法则可得AC=AB+AD=a+b,A错； 对于B选项，A正=AB+BF=a+i,B对； 2 对于C选项，DE=A正-AD=a-i,C对； 对于D选项，由题意可得d=,a-6=0, 所以F-正-a+)--=0，1DE,D对减选：A 题型五平面向量基本定理的应用 解题技|巧 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算， 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的 13/49 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 形式，再通过向量的运算来解决 【典例5】(25-26高一上江苏盐城期末)在ABC中，E为AC上一点，AC=3AE,P为线段BE上任 点，若AP=xAB+yAC,则x+3y的值是() A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】D 【解析】由题意得B,P,E三点共线，则AP=入AE+(1-2)AB, 又AP=xAB+y4C,AC=3AE,则AP=1-2)AB+2AC, 3 =y ,∴x+3y=1故选：D 1-元=x 【变式5-1】(24-25高一下·四川眉山期末)如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC,BD的交点， 4E=40,FC-4C,若F=而±y,则*y=《) D C 0 A.1 B. C.2 D. 【答案】A 【解折】在平行四边形CD中，0是对角线4C,BD的交点，E-40,FC=4C, 国为F=正-亚-c-}0-(西+而}而-0+0-0+孤， 则x=3 4’x+y=1故选：A 【变式5-2】(24-25高一下·广西南宁.期末)在ABC中，D是BC边上靠近点C的三等分点，E是AD的 中点，若AE=1AB+μAC,则2入+4() A.0 B.1 3 c D.1 【答案】C 【解析】 14/49 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C 因为D是BC边上靠近点C的三等分点，E是AD的中点， 所以E-D-0c+网列-君c-}c-孤+0列-}c=若-}c, 6 所以AE=元AB+uAC=-DE=AB+AC, 6 3 因为，C不共线，所以2=石“ 28+u 1 2故选：C 【变式5-3】(25-26高一上·辽宁沈阳·期末)如图：在平行四边形ABCD中，M、N分别为边AB、AD上 的点，且AM=3B,N=D,连接AC,MN交于点P,若P=九4C,则元=一 4 D "s M B 【答案】 6 17 【解析】由题意可得，AP=入AC=入AB+入AD, 因为M,N,P三点共线，所以设MP=uMN, 则M=MN=(aN-4)=居4D- 43 233 由平面向量基本定理可，号弘子子弘=成，得=治 它题型六三点共线的推论及应用 解题技|巧 已知平面内O,A,B,C四，点，其中A,B,C三点共线，且OC=xOA+yOB,则x+y=1,反之也成立 15/49 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例6】(24-25高一下·湖南岳阳·期末)如图，在ABC中，AN=2NC,P是BN上一点，若 AP=tAB+AC,则实数t的值为() A. 2 B. c.4 D.I 6 【答案】A 【解】：=2c,小孤-2(c-.0孤。 AP=14B+IAC,AP=(AB+x3 AN=(AB+IAN, 32 :P是线段BN上一点， ÷B,P,N三点共线，t+】=1,解得1=故选A 【变式6-1】(25-26高一上河南安阳期末)己知ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，过点0的直 线分别交直线AB,4C于不同的两点M,N,设AB=mM,AC=n,其中m>0,n>0,则1+的最小值 m n 是() A.4 B. 3+2 C.1+22 D.3+22 3 【答案】C 【解析】 ⊙ M 由O是BC边上靠近B的三等分点， 可得：0C=2B0→AC-A0=240-B)→A0=4C+2AB, 又因为B=mAM,AC=n,所以A0=nA+mAM, 3 16/49 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又因为M,N,0三点共线，所以兮n+亏m= 12 又因为m>0,n>0, 3 当且仅当0=20，甲m32-。 3m 3n 2,n=3V2-1时取得等号， 所以上+的最小值为1+25，故选：C m n 3 【变式6-2】(24-25高二下·河北邯郸期末)如图，在ABC中，点P在边BC上，过点P的直线与AB, AC所在的直线分别交于点M,N,且P是MN的中点，若AM=mAB,AN=nAC(m,n>0),则 上+2的最小值为 m n M 【答案)+万 【解析】因为点P在BC上，所以AP=入AB+(1-)AC, 因为P是MN的中点，所以-+N, 又因为AM=mAB,AN=nAC(m,n>0), 所以P=1m ImAB+n4C, 2 1 所以州三入1元，计算可得m+n=2 mn2（mn 当且仅当2”=”，即n=2m=4-2W反时等号成立， n m 所以+2的最小值为万 m n 17/49 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式6-3】(24-25高一下·河南漯河期末)如图，在ABC中，B0=20C,过点0的直线分别交直线 AB,AC于不同的两点M,N,设丽=m,C=y,则上+4的最小值为 x y B M 【答案】3+42 【解析】因为M,O,N三点共线，则A0=入AM+μAN,且元+4=1， 且B=xA,AC=yAN,即AM=上AB,AN=AC, 可得A0=2AB+业AC, y 又因为0=20cC,则40=西+80=西+号8c-6+引C-西+号C。 3 A=x 可得 42 则 可得入+u= 2y=1, 33 y 3 4= 3x 3y 3 当且仅当 义=“，即y=2x=引4-2)时，等号成立， 3x 3v 所以上+4的最小值为3+4 x V 3 它题型七平面向量数量积的计算 解引题技|巧 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的 形式，再通过向量的运算来解决. 【典例7】(24-25高一下·天津西青期末)平面向量a=3,在a上的投影为-2ā，则a.b= 3 18/49 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】-6 【】ā上影为子，则百专，所以6=号到-6 a.b a 2- 【变式7-1】(24-25高一下·辽宁丹东·期末)在ABC中，∠ACB=90°，AC=2,AB=4,点D满足 CD=AB,则AD.AB=() 2 A.6 B.8 C.83 D.12 【答案】D 【解析】由题意可得而=AC+C而=AC+号B, 所以0孤=(C+孤=C.B+孤=C+号孤=4+8=2故选：D 【变式7-2】(24-25高一下河北雄安期末)已知圆0为ABC的外接圆，且AB+AC=2A0,∠A0B= 3 ,A0=2,则BA.BC=() A.1 B.2 C.25 D.4 【答案】D 【解析】AB+AC=2AO,0为BC中点，则AB⊥AC,BC=2A0=4, A =2 又∠40B-骨所以∠4CB=名∠ABc-骨AB=Bcas∠hBc=4as号 3 19/49 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以BA·BC=BABC cos,∠ABC=2×4×=4.故选：D 【变式7-3】(24-25高一下·吉林松原·期末)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠DAB=60°，E为CD上靠近 于C的三等分点，则AD·AE的值是 【答案】3 6 【解析】因为E为CD上靠近于C的三等分点，所以DE-号DC-号， 所以AE=AD+DE=AD+2AB, 又AB=AD=2,∠DAB=60°，所以AB.AD=2×2×c0s60°=2， 所以而亚=而而+号而+号而=2+2 3 它题型八利用数量积求向量的模长 解|题|技|巧 (1)解决向量模长常利用模的平方与数量积的联系求解； (2)利用a~a=a2a或a=√a2,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 【典例8】(24-25高一下·辽宁期末)已知向量a在五上的投影的数量为-4，且a,6=120°，则=（) A.4 B.8 C.10 D.12 【答案】B 【解析】由题意得cos(a,=lcos120=-d=-4,所以d=8故选：B 【变式8-1】(25-26高一上江苏无锡期末)已知向量a,b满足a=(cos0,sin0),b=2,且a与的夹角为 60°，则ā+2b= 【答案】√2I 【解析】因为向量a,万满足a=(cos0,sin0),5=2,则ad=Vsin0+cos20=1, 20/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又a与的夹角为60°， 所以ab=1×2×cos60°=1， 则a+26=Va+25)}'=V后2+462+4a万=+4×4+4=V2 【变式8-2】(25-26高一上北京海淀期末)已知同=2，=1，ā与的夹角为120，则ā+26的值为() A.2 B.3 C.2 D.7 【答案】A 【解析】由题意知a=2,1b=1,a与的夹角为120°， 所以a-6=acos120=2x1×-1 a+2b2=ā2+4a.6+41b2=4-4+4=4, ā+2b=V4=2,故选：A 【变式8-3】(25-26高一上湖南衡阳期末)a,6均为单位向量，且ā16，向量c满足E-ā-=1，则 的取值范围是 【答案】「V2-1,2+1 【解析】由题意，a,b均为单位向量，且ā1b, 则a+=va+b2+2a万=1+1+0=√2， 由-a-≥l-a+列，则1≥l-,解得2-1≤≤2+1， 则的取值范围是2-1,2+1 题型九利用数量积求向量的夹角 解|题|技|巧 求向量C与夹角的思路： （1)求向量夹角关键时计算a-b及a‖b,在此基础上结合数量积的定义或性质计算c0s日=a:b ,最 abl 后借助6∈[0，π]，求出的值； 21/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)在个别含有|a|,|b|的等量关系式中，常利用消元思想计算cos0的值 【典例9】(25-26高一上浙江宁波期末)已知a,6均为单位向量，且3ā+b=√7，则a,6的夹角为 【跨案】 【解析】因为a,B均为单位向量，且3ā+=V7, 所以3ā+=9d2+('+6ā.i=7, 所以9a2+)+6a万=9+1+6a.万=7， 所以ab=-1 ab 1 所以ā，的夹角余弦值为 丙交所以ā，夹角为 【变式9-1】(25-26高一上安徽合肥期末)已知单位向量ā，6满足a-2=√万，则向量ā与向量的夹角 为() A. B. C. p 2π 6 2 【答案】D 【解析】由单位向量ā，6，a-26=V7,可知同=l6=1,a-2=7, 故a-26=(a-25)=-4a.6+46=5-4a-6, 设向量a与向量的夹角为0，则la-2=5-4i-万=5-4，cos0=5-4cos0, 所以5-4c0s0=7,解得c0s0=-1 由0e0,,可知0=2，故选：D 3 【变式9-2】(25-26高一上云南昭通期末)已知向量a,乃满足d=v5，=1,a-=5,则向量a, 的夹角的余弦值为() A.3 3 B.-3 3 C. D.② 2 【答案】A 22/49 命学科网·上好课 wWw,Zx×k.com 上好每一堂课 【解析】a=3,=1,la-=2,(a-°=a-=d-2ab+=3-25x1xcos(a,+1=2 所以cosa,6-5,故选：A 3 【变式9.3】(24-25高一下新疆期末)已知向量a,乃满足a-=2a+,2=,则向量a与6-a的 夹角的余弦值() A.52 B.V6 C.-5v2 D.-V6 8 4 8 4 【答案】D 【解析】因为a-b=2a+b1,两边平方得1āP-2a.b+6P=41ā2+4a.b+b2, 所以a6=2a,则a-6-=a6-a-a, 2 1i-a=6-a2=6P-2a.b+aP=√61a, 则向量a与b-a的夹角的余弦值为d(仍-a)_ 多aP6故选：D 1a川6-a61ap=-4 题型十利用数量积解决垂直问题 解|题|技|巧 两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b台a·b=0 【典例10】(2425高-下重庆期末)已知向量示，满足回=1，=2，<a6>胥，ā1(a+a),则 实数入=() A.-1 B.1 C. D. 2 【答案】A 【解析】因为a=1,=2,<ā，6>=灭 3 1 所以a-6=l,6cos=1x2x 1 因为a⊥a+b,所以āa+26=a2+2a,b=1+2=0, 23/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以2=-1.故选：A 【变式10-1】(24-25高一下·山东青岛·期末)在四边形ABCD中，若AC=AB+AD,则“AC⊥BD”是“四 边形ABCD是菱形”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 【答案】D 【解析】在四边形ABCD中，由AC=AB+AD,可得四边形ABCD为平行四边形， 若AC⊥BD,则平行四边形ABCD对角线垂直，所以口ABCD为菱形，反之也成立， 故“AC⊥BD”是“四边形ABCD是菱形的充要条件.故选：D. 【变式10-2】(24-25高一下-广东汕头期末)已知向量a,乃满足a=1,=2,且(3ā+6)1(26-a, 则ab= 【答案】-1 【解析】由(3a+6)1(26-a得，(3ā+(26-=0， 化简得-3a2+5a6+26=0,因为=1，=2， 所以-3+5a.b+8=0,解得a.b=-1 【变武103】(2425商一下江西宜春期末)已知平面向量a,满足：=3，=2，(a,)-红 ()求a-6: 2)当(a+)1(a-)时，求实数k的值. 【答案】0--i:ak-号 【解折】1因为-3，=2，a5=子，则a6=eos号-3x2x》-3, 又因为a-=(a-°=2-2a.6+2=9+6+4=19,所以a-=i9. (2)因为(a+5)1(a-),则（ā+6）a-)=0, 可得a2+(k-1)ab-k52=0, 即9+k-川-引-4=0，解得-号 24/49 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 它题型十一 求平面向量的投影向量 解|题技|巧 :1、求一个向量在另一个向量方向上的投影向量时，首先要根据题意确定向量的模及两个向量的夹角，然后 代入公式计算即可. b 2、设向量AB是向量在向量上的投影向量，则有A,B,=a|cos<a,b>· =a小ab.b-ab .b lallbl1bl 1b12 则14，B,=ab1 1bl 【典例11】(24-25高一下·甘肃临夏·期末)己知a.6=-16且b=2,则向量a在向量五上的投影向量为() A.2b B.-2b C.4b D.-4b 【答案】D 【解析】因为āb=-16且=2， 所以向量a在向量五上的投影向量为 a.6=-166=-4. 故选：D, 【变式11-1】(24-25高一下福建福州期末)已知向量a,乃满足d=1,=2,a-=万，则a+方在 五上的投影向量是() A五 B. 36 C. D. 【答案】B 【解析】由题可知，向量a,乃满足回=1，=2，a-=V万， 所以a-=7→a2-2a.i+6=7→a-b=-1, 则a+b在方上的投影向量为 4 【变式1-2】(25-26高一上湖南长沙期末)已知向量a与的夹角是子且同=V2,=2,则向量ā在 25/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 向量石上的投影向量是 【答架1 【解行】由题意，6-啊o子-x2x =2, 则肉量石在向量方上的投影向量为疗月左×分力 【变式11-3】(25-26高一上·广东深圳期末)己知向量a,五满足|ā=b=2,且ā1(a-4b),则向量a在 向量五方向上的投影向量为() A知 B.5 C. a 2 D. 2 【答案】B 【解析】：ā⊥（ā-4b), a(a-4b)=aa-4a.b=a-4ab=0,解得a.6=1, 故选：B. 题型十二平面向量的实际应用 易错|点|拨 :1、忽略向量方向：实际场景中，向量方向（如方位角、夹角）直接影响运算结果，需准确标注方向，避免 :方向混淆导致错误。 :2、建模不规范：未明确向量的实际意义，导致向量与实际量对应错误（如将速度向量误作为位移向量）。 【典例12】(24-25高-下福建福州期末)一条河两岸平行，河的宽度500m,一艘船从河岸边的A地出 发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度，的大小为10km/h,水流速度，的大小为6km/h,那么当航程 最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为() A.62.5 min B.50min C.3.75 min D.3min 【答案】C 【解析】设航船方向与河岸夹角为O, 所以ysin9=y2,所以sin9=3 va=v cos0=v v1-sin20 =8km/h, 26/49 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1=d=3.75分钟故选：C V各 【变式12-1】(24-25高一下·甘肃白银期末)己知三个力E=(3,4,F=（2,-5),F=（3,1同时作用于某 质点上，若对该质点再施加一个力F,该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则F=() A.(8,0 B.(8,-8) C.（-8,0 D.-8,8) 【答案】C 【解析】由题意，作用在该质点上的三个力E=(3,4),F=(2,-5),F=(3,1, 则F+F+F=(3+2+3,4-5+1=(8,0). 想要该质点恰好达到平衡状态，只需F:=(8,0)=(-8,0),故选：C. 【变式12-2】(24-25高一下·广西河池期末)（多选)在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两 个人共提一个行李包假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为F,瓦，且=F, E与F的夹角为9∈(0，π)给出以下结论，其中正确的是() A.O越大越费力，O越小越省力 B.当0=时，=G c.当0=时，同月=26 D.当0-时.=G 【答案】AD 【解析】对于A,由GE+F为定值， 所以G=+F+2Fcos0=2(1+cos0), 解得1FP=。1GP 2(1+cos0) 由题意知9∈(0，时，y=cos0单调递减，且为定值，由符合函数的单调性可得瓦？单调递增， 即O越大越费力，O越小越省力，故A正确： 27/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于B,当0=时，1RlG 21+2 ，故B错误 对于C当0-号时，-，所以9G,放c错谈： 对于D,当0= 子时，FaG,所以-G,故D正确放选：AD 【变式12-3】(24-25高一下广东佛山期末)若物体在共点力F=(2,-1),F=(4,2),的作用下产生位移 8=(2,1),则合力对物体所做的功为 【答案】13 【解析】己知共点力F=（2,-1),F=(4,2), 则合力为F=E+F,=(2,-1)+(4,2)=(6,1), 又已知位移为s=(2,), 所以合力对物体所做的功W=F.了=6×2+1×1=13 它题型十三利用正余弦定理解三角形 解|题技|巧 :1、选定理 (1)己知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； (2)已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； (3)己知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； (4)已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； (5)已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间 的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并 注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。 【典例13】(24-25高一下.甘肃临夏期未)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 a=2b,sin A= 3,则sinB=() 28/49 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点昌 B. D.5 【答案】A 【解析】由正弦定理b。可得sinB=6sin4_x2_1 =。故选：A sin A sin B a233 【变式13-1】(24-25高一下四川成都期末)ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,G,A=2 3 ,b+c=3,sinC=2sinB,则角A的对边a= 【答案】√万 【解析】在ABC中，因为sinC=2sinB,所以根据正弦定理有c=2b, 又b+c=3,则b=1,c=2, 由a2=b2+c2-2 bccosA, 得a2=P+2-2×1×2×cos2红=7→a=V万 3 【变式13-2】(25-26高一上北京东城期末)在ABC中，若A=120,AB=5,BC=7,则AC等于() A.8 B.6 C.4 D.3 【答案】D 【解析】在ABC中，A=120°，AB=5,BC=7, 由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA, 2整理得AC2+5AC-24=0, 1 即72=52+AC2-2×5AC×- 解得AC=3或AC=-8(舍去)，故AC=3.故选：D 【变式13-3】(2425高一下北京顺义期末)在A8C中，A=, 5’c0sC三27BC=V7,则4B=(》 A.4 B.3 C.2W3 D.2 【答案】D 【解析】在ABC中，cosC 2v .ceo.2) 所以sinc=-cos2c=V片- 3V21 AB √7 又因为BC=√7，A=号，则由正弦定理得√21√3，解得AB=2.故选：D, 3 7 2 29/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型十四三角形解的个数问题 解|题|技|巧 在△ABC中，已知a,b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 C C b 6 0 a a 0 B A A B--- B B A B 关系式 a=bsinA bsinA<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 一解 两解 解 一解 无解 【典例14】 (24-25高一下·安徽合肥期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别根据下列 条件解三角形，其中有两解的是() A.a=5,A=40°，B=75° B.a=4,b=5,c=6 C.a=3,b=4,A=30° D.a=2,c=V2,C=60° 【答案】C 【解析】对于A,a=5,A=40°，B=75°，则C=180°-A-B=180°-40°-75°=65°，只有一解，A不符合题 意； 对于B,a=4,b=5,c=6,满足a+b>C,a+c>b,b+c>a,只有一解，B不符合题意； 对于C,a=3,b=4,A=30,则a=b sin A sin B 故sinB=bsin4_4sin30°_2、1 a 5>2结合a=3<b=4, 3 故B有两解，分别在30°一90°以及90°~150°之间，C符合题意： 对于D,a=2,c=2,C=60°，则a=c sin A sin C' sin -asin C=2sin60 √22 >1,此时无解，D不符合题意，故选：C 【变式14-1】(24-25高一下·福建龙岩期末)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则满足以下 条件的三角形的解个数为两个的是() A.a=V6,c=3,C=60 B.b=2,A=45°，C=75 C.a=2V3,b=2,C=30° D.b=2,c=√2，C=30° 30/49 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】D 【解析】对于A中，由正弦定理a si0=万，可得sinA=asnC=V6·sin60=V6>1, √3 2 则这样的三角形不存在，所以A错误： 对于B中，由A=45°，C=75°，可得B=180°-(A+C)=60°， 又由b=2,则这样的三角形是唯一的，所以B不符合题意： 对于C中，由余弦定理，可得c2=a2+b2-2 abcosC=12+4-2x25×2×5 =4, 所以c=2,则这样的三角形是唯一的，所以C不符合题意： sinsinC,可得sinB-bsin C_2-sim30_V2 对于D中，由正弦定理b=c √2 2 因为b>c,可得B>C,所以B=45或B=135°， 则这样的三角形有两个，所以D符合题意故选：D 【变式14-2】(24-25高一下·陕西商洛·期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=60°， b=35,ABC只有一个解，则C的取值范围为() A.0,3V3 B.(0,35 C.33,6 D.(0,33U{6 【答案】D 【解析】 ABC的外接阀0的半径R-2sn82×5号， =3 2 如图所示，AC=3V3,AB'是圆的直径 B 可知点B在优弧AC上（不包括端点）， 当B为B时，此时C取到最大值2R=6; 当点B从点A到B时，此时C越来越大，且c∈(0,6)； 当点B从点B到C时，此时c越来越小，且c∈3V5,6) 综上所述：若ABC只有一个解，则c的取值范围为0,35]U{6)故选：D 31/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式14-3】(24-25高一下·黑龙江哈尔滨期末)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=6, A-行，若ABC有两解，则a的取值范围为〈) A.(35,+∞B.3,3W5 C.(3,+0】 D.(（35,6) 【答案】D 【解析】 C 6 B 如图：三角形中，b=6,A=3, 则ABC有两解的充要条件为：bsinA<a<b, 即3√3<a<6.故选：D 贮题型十五三角形的面积问题 解|题|技巧 在求三角形的面积时，若存在三角形边长平方和的情况，一般联想到用余弦定理解决；若存在边长乘积的 情况，一般联想到用公式S=-absinC=-besin A=-acsin B. 1 2 【典例15】(24-25高一下湖南·期末)在ABC中，AB=2,BC=1,∠ABC=60°，则ABC的面积为() A.2 B.√5 c.3 D.2W3 2 【答案】C 【解析】依题意，在ABC中，AB=c=2,BC=a=1,LABC=B=60°， 则4Bc的面积为S=)acsinB=×1x2xsin60°=5故选：C 2 【变式15-1】(24-25高一下·云南曲靖期末)在ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若 a=2,A=30°，b=c,则ABC的面积为() A.2+V5 B.5 C.1+ D.3 2 【答案】A 32/49 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【解析】由题设a2=b2+c2-2 bccos A,即4=b2+c2-√3bc,又b=c, 万则8c份积为血4-2万2+5成适：A 所以b2=c2=4 【变式15-2】(24-25高一下·辽宁大连·期末)已知三角形ABC中，点D在边BC上，AD平分∠BAC,且 SABD=2SADC,若AD=√2CD=2,则AC=（) A.1 B.2 C.2 D.22 【答案】C 【解析】△ABC中，点D在边BC上，S。ABD=2S.ADc, 则5AB:AD-sin∠BAD=2分4CAD-sin∠CD, 又AD平分∠BAC,∠BAD=∠CAD,.AB=2AC, 又由SA8D=2S.ADc,△ABD和△ADC的高相同，设为h, 则3BD-h=2CDh,8D=2CD AD=2CD=2,CD =2,BD=22, 在△ABD中，由余弦定理，cos∠BDA=BD+AD2-AB_22+2-AB 2·BD.AD 2×2W2×2 在a4CD中，由余弦定理，cos∠CDA=CD+AD2-AC2_2+2-AC2 2.CD·AD 2×√2×2 :∠BDA+∠CDA=π，cos∠BDA=-cos∠CDA, 即+2-48_（+2-AC,化简得2AC+A8=24, 2×2V2×2 2×√2×2 把AB=2AC代入，计算即得AC=2.故选：C. 【变式15-3】(24-25高一下·福建福州期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 a=(cosC+3sin C,-1),b=(a,b+c),aLb (I)求A; (2)若a=2,则ABC的面积为√，求b,c 【答案】()A=；(2)b=2,c=2 【解析】(1)a⊥b,ab=0, .acosC+3asin C-b-c=0, 33/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由正弦定理得：sin AcosC+√3 sin Asin C-sinB-sinC=0, :A+B+C=π， .sin A cos C+3 sin Asin C-sin(A+C)-sin C=0, .sin Acos C+3 sin Asin C-sin Acos C-cos Asin C-sin C=0, .3 sin Asin C-cos Asin C-sin C=0, s如C0,5s4-csA=1,即2sm4--1, :Ae0,,4-g石，即4=骨 66 2)ABC的面积为V3,besin元=Y3bc=V3,即bc=4 34 由余弦定理得：a2=b2+c2-2 bccosA, 4=b2+c2-bc=(b+c)2-12, .b+c=4,.b=c=2 它题型十六利用正余弦定理判断三角形的形状 解|题技|巧 1、判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形（如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等）： 2、判断三角形的形状特征，必须从研究三角形边与边的关系，或角与角的关系入手，充分利用正弦定理与 余弦定理进行边角转化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，得出边与边或角与角的关系，从而作 出正确判断； 3、对于给定条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边 的关系，要么统一为角的关系.再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转 化、化简，从而得出结论. 【典例16】(24-25高一下·河南安阳·期末)在ABC中，sinA= sinC-sinB 则ABC的形状为() cosB-cosC A.直角三角形B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】方法一：sin4=sinC-sinB ,A+B+C=π， cosB-cosC .'.sinAcosB-sinAcosC =sin(4+B)-sin(4+C), .sinAcosB-sinAcosC sinAcosB+cosAsinB-sinAcosC cosAsinC, 34/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.cosA(sinB-sinC)=0,.cosA=0或sinB-sinC=0, 又由sinA=sinC-sinB 可知，sinC-sinB≠0，.cosA=0, cosB-cosC 4-受648C为直角三角形，故A正确 方法二：记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, c-b 由正弦定理、余弦定理及题设条件可得a=a2+c2-b2a2+b2-c2,且c-b≠0， 2ac 2ab 化简得(b-c(b2+c2-a2）=0,b2+c2-a2=0,即b2+c2=a2, “△ABC为直角三角形故A正确故选：A 【变式16-1】(24-25高一下·河北承德·期末)在ABC中，已知2 sinAsinC(cosB-1+sin2B=0,则ABC 一定是() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.锐角三角形 【答案】B 【解析】因为2 sinAsinC(cosB-1+sin2B=0,所以由正弦定理得2ac(cosB-1)+b2=0, 又b2=a2+c2-2 ac cos B, 所以a2+c2-2ac=0,(a-c)2=0,即a=c, 所以ABC一定是等腰三角形，故选：B. 【变式16-2】(24-25高一下·福建福州期末)记ABC的内角A、B、C的对边分别为Q、b、c,且 bcosC+C cos B=sinA,则ABC是(） A.直角三角形B.锐角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 【答案】A 【解析】因为bcosC+C cosB=sinA,所以bcosC+ccosB=asin, a 由正弦定理得sin B cos C+sin Ccos B=sin2A, 整理得sinA=sinB+C)=sinπ-A)=sinA, 因为4e0列，所以sin4>0,故sin4=1,故4=号 所以ABC为直角三角形.故选：A. 35/49 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式16-3】(24-25高一下·天津滨海新区·期末)在ABC中，记角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 acosA-bcosB=sin(A+B+C),则ABC的形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】因为acosA--bcosB=sin(A+B+C)=sinπ=0，所以a cosA=bcosB, 所以sin Acos A=sin B cos B,所以sin2A=sin2B, 因为A,B∈(O,π)，所以sinA,sinB>0,所以cosA,cosB符号相同， 若cosA≤0，则c0sB≤0，而这会导致A+B≥π，这与三角形内角和矛盾， 从而只能0<48<受，所以0<24,28<元， 所以2A=2B或2A+2B=π， 所以A=B或A+B= 2 所以ABC的形状是等腰三角形或直角三角形.故选：D 它题型十七解三角形的最值与范围问题 解|题|技|巧 三角形中的最值、范围问题的解题策略 (1)定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角 或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围， (2)构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示， (3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值， 【典例17】(2425高一下·安徽合肥期末)O,G分别为ABC的外心和重心，∠BAC=30°，若 AO·AG=3,则ABC的面积的最大值() 9 A.2 B4 c. D. 【答案】B 【解析】设D为BC边中点，连接OD,作OH⊥AC于H,即H为AC中点， B G H 36/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为4Ao.AC=A04Ccos∠0AC=mAC-24C. 同理A0AB=AO,A6cos∠0AB=AB2, 则40.4G=4o-40=号406+4G 40(+40-石6+64C-名0+c）=3 所以b2+C2=18,因为∠BAC=30°， 所以ABC的面积为二besin30°=bc≤ 1b2+c29 =40C≤42=4 当且仅当b=c=3时取等号.故选：B 【变式17-1】(24-25高一下·黑龙江大庆·期末)在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 a-b sin C 则tan A tan B的取值范围为() b sinA+sin B A.（0,1 B.1,w⑤ C.(1,+o D.(V5,+o】 【答案】C 【解析】a-b三 如1+5m9由正张定理行：2合-6即。-分 sinC b 由余弦定理知：a2=b2+c2-2 becos A,∴.b2+bc=b2+c2-2 becos A, ∴c2=bc+2 bccos A,即c=b+2 b cos A, 由正弦定理得：sinC=sinB+2 sin B cosA, .sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=sin B+2sin Bcos A, 整理可得：sin Acos B-sin Bcos A=sin(A-B)=sinB, :48C为概角三角形，4引B0引4-B(引】 A-B=B,即A=2B, tan Atan B=tan2Btan B=2tan'B 1-tan'B 0<A=2B< 2 0<B< 2 0<C=-(4+=x-3B<月 37/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 <B< .5 1 6 ’ 3 <mB<1.<tB<1. ∴.tan Atan B= 2tan2B 2 -tan2B1-1' tan2B 2 1<1 <3,0<1 2-1<2,1 ->1 tan2B tan2B 即tan A tan B的取值范围为(1，+oo）.故选：C 【变式17-2】(24-25高一下·辽宁丹东期末)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2, (2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则ABC周长的取值范围是 【答案】(4,6 【解析】因为a=2,所以(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC, 由正弦定理得a2-b2=c2-bc→bc=b2+c2-a2, 则由余弦定理待cosA=6+c一a=),又Ae0,π，所以4= 2bc 4 a+b+c=2+-a(sin B+sin C)=2+ (sin B+sin C) sin A 因8+c=行，则C-经-8,8e02） ，由和差化积公式得： 3 3 sn+snc=s8+sm--2moa-引-5cB- 3 从而sinB+sinC∈ , 则a+b+ce(4,6] 【变式17-3】(24-25高一下·吉林长春期末)已知ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且满足 sin'A-sin'B-sin B sin C sin'C. ()求角A: (2)设点D为边BC中点，且AD=2,求b+c最大值； :②8 【答案】（①A=2 【解析】(1)由正弦定理得：a2-b2-bc=c2,即b2+c2-a2=-bc, 38/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 b2+c2-a21 ∴.C0SA= 2bc =2又4e0,,A=2红 (2):D为边BC中点，D=(B+AC), .(B+AC)(+b+2becos )=4[(b+c)-3bc]=4. w=6+-16s329+. :b+c≤8（当且仅当b=c时取等号），：b+c最大值为8 题型十八解三角形的实际应用 易|错点拨 1、方位角、仰角、俯角判断错误：牢记方位角顺时针从正北起算，仰角/俯角与水平线夹角，避免混淆导致 角度转化错误。 :2、忽略解的个数：SSA场景（已知两边及其中一边的对角），需结合实际场景判断解的合理性（如距离、 高度为正，角度在0°180°)，排除不合理的解。 3、单位不统一：边长、角度单位不一致直接导致运算错误，解题前先统一单位. 【典例18】(24-25高一下·江苏无锡期末)位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的B处 有一艘游轮遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西30，且与甲船相距 1Ok的C处的乙船.则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线CA的夹 角的正弦值为 【答案】 > 【解析】依题意可得如下图： 北 A 20 B 10 C 其中AB=20km,AC=10km,∠BAC=90°+30°=120°， 在ABC中，由余弦定理可得BC=√AC2+AB2-2AC·ABcos120° 102+202-2x10x20× =10√万(km), 39/49 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10√720 BC AB 由正弦定理可得 sinC, sin∠BAC sinC 即√3 解得sinC=V2 所以乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线） 与直线CA的夹角的正弦值为 7 【变式18-1】(24-25高一下·福建福州期末)如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在C处观测到河对岸塔 在北偏东75°方向，顶部A的仰角为6=30°，往正东方向前进90m到达D处，测得该塔在北偏西45°方向， 底部B和C,D在同一水平面内，则该建筑物的高AB为() D A.30√2m B.30√3m C.90v2m D.30v6m 【答案】A 【解析】由题设及图知：a=15°，B=45°，则∠CBD=120°， CD BC 在△BCD中 sin∠CBD-sin B'可得BC=30V6m, 又tanB=AB、1 FBC5,可得AB=30W2m故选：A 【变式18-2】(24-25高一下·湖南衡阳期末)某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建 模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处 A点处固定一旗帜，然后从A点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到B点处固定一旗帜，并在红外线角度测量 仪的帮助下从B点逆时针走至C点处，此时测得∠ABC=120°，且测得BC=20米，AB=10米 B (I)求该人工圆形湖泊的直径； (2)若D为人工圆形湖泊优弧AC上一动点（异于A,C两点），求四边形ABCD周长的取值范围. 40/49 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(0)该人工圆形湖泊的直径为20√2 (②)四边形ABCD周长的取值范围为30+10V万，30+20V7](米) 【解析】(1)在ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC cosLABC, 即AC2=102+202-2×10×20× =700,故AC=10√7米， AC10W7_20W21 设该人工圆形湖泊的半径为R,故2R= in∠ABCV3 3， 2 所以该人工圆形湖泊的直径为20、21米. (2)因为A,B,C,D四点共圆，∠ABC=120°，所以∠ADC=180°-∠ABC=60°， 在△ADC,由余弦定理可得，AC2=AD2+CD2-2AD.CD cos∠ADC, 700=AD2+CD2-AD.CD=(AD+CD)2-3AD.CD, 所7w-40+6-30c20+cm-〔nc0, 所以700≥D+CD,当且仅当4D=CD时取等号， 所以AD+CD≤20V7,又AD+CD>AC=10V7,又BC=20,AB=10, 所以四边形ABCD周长的取值范围为30+10W7,30+20V7(米). 【变式18-3】(24-25高一下·广东云浮·期末)如图，某河流两边有A,B,C,D(在同一个平面内)四点，已 知C,D两个观察点在河的南岸，二者间的距离为10m,为了测量在河的北.岸A,B两个目标点间的距离，某 小组测得∠ACB=75°，∠ACD=120°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，则A,B两个目标点间的距离为() A.10v2m B.5v15m C.10v15 3 D.10v3m 【答案】C 【解析】在△ACD中，由∠ACD=120°，∠ADC=30°， 则∠CAD=30°，AC=CD=10,AD=2CDc0s30°=10V5 在△BCD中，可得∠BCD=120°-75°=45°，∠CBD=180°-45°-30°-45°=60°， 41/49 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CD BD BD 由正弦定理 sin∠CBD sin∠BCD?可得l0 sin60sin45,解得BD=10W6 3 在△ABD中， 由余弦定理AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB, 2 可得AB2=10V5)2+ 106 3 3×c0s45°=5 -2x10v5x10W6、 3,解得AB=1015 3 所以4B两个目标点间的距离为10下故选：C 3 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(24-25高一下.北京通州期中)已知平面向量a,五是不共线的两个向量，AB=a+2b,AC=4a-46, CD=-a+2b,则() A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 【答案】D 【解析】由题意，AB=a+2b,AC=4a-4b,CD=-a+2b, 不存在唯一的实数入使得AB=入AC,所以A,B,C三点不共线，故A错误， 由于BC=Ac-AB=4a-46-(a+2b)=3a-66, 所以BC=-3CD,则B,C,D三点共线，故D正确 由于AD=AB+BC+CD=a+2b+3a-6b-a+2b=3a-2b, 不存在唯一的实数入使得AB=入AD, 不存在唯一的实数2使得AC=入AD,故BC错误，故选：D 2.(24-25高一下·山东威海期末)已知P是ABC所在平面内一点，满足PA+PB+PC=0,若AB1AC, 42/49 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB=6,则AB.CP=() A.-12 B.12 C.-18 D.18 【答案】B 【解析】设D是AB的中点，由PA+PB+PC=0,则PC=-(PA+PB)=-2PD, 所以CP=2CD,又AB⊥AC, 3 则丽印-号8.而-+列-号丽P=12故选：B 2 31 D B 3.(24-25高一下·湖南衡阳期末)在三角形ABC中，AC=3,AB=4,∠CAB=120°，则 (AB-CA.AB= 【答案】10 【解析】AB-CAAB=AB-CA·AB, AB2=AB=42=16, C.AB=CdxA6l×cs(Ca,AB=3×4×cos60°=12x=6, 2 因此AB-CA·AB=16-6=10 4.(24-25高一下北京房山期末)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2=2c2,则 cosC的最小值为() A司 B.② c.3 D.1 2 【答案】A 样析1由余弦定理得cosC+-c2口+6-Q+0+、2ab 2ab 2ab 4ab 4ab 2 当且仅当a=b时等号成立，所以cosC的最小值为).故选：A 5.(24-25高一下山东潍坊·期末)在ABC中，若c-acosB=(2a-b)cosA,则ABC的形状一定是() A.等腰三角形 B.等腰或直角三角形 43/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.等腰直角三角形 D.不含60的直角三角形 【答案】B 【解析】由c-acosB=(2a-b)cosA和正弦定理，可得sinC-sin AcosB=2 sin A cos A-sin B cosA, 因sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,代入上式，化简得：2 sin B cosA=2 sin AcosA, 即(sinB-sin 4cos A=0,故得cosA=0或sinB-sinA=0, 当c054=0时，0<4<T,所以4=行此时ABC是直角三角形： 当sinB-sinA=0时，sinB=sinA,又0<A<π，0<B<π， 则A=B或B=π-A(舍去)，此时ABC为等腰三角形 综上：可得ABC的形状一定是等腰或直角三角形故选：B. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（25-26高一上浙江台州期末)若非零向量a的夹角为写8=6+66，(6-列石=0，则4的值 为() A. 3 B.1 C.3 D.2V5 3 【答案】A 【解析】由题意可知：a-b=os号， 因为c=a+,则c-b=ba+(a-b, 可得(c-小-b=（la+a-pb=la-b+a-b=f+a-=0. 又因为回≠0，≠0，则d+d-1=0,解得d=号故选：A 2.(24-25高一下·江苏无锡·期末)（多选)已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度AB,先在河岸边定 好一条基线CD=s,在点C测得山顶A的仰角为a,在点D测得山顶A的仰角为B.测得∠BCD=Y, LBDC=8在D点后移至E点，测得仰角为O,DE=a,则山高AB为() 44/49 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A. 1 1 2sin(y+δ) B. 1 2cos(y+δ) tan'a'tan2B tano tanB Vtan2atan2β tano tanB atanOtanβ asin0sinB C. D. tanB tan sin(B-0) 【答案】BD CB'所以CB= h h 【解析】设AB=h,因为tana= tang 因为tanB= DB ,所以DB=h tan B 在△BCD中，Cos(π-Y-δ)=-cos(y+δ)， h2 h2 由余弦定理得：-cosg+8)=tan'a tan2B。, 2h2 tan a tan B h= 解得 1 1 2cos(y+6),故A错误，B正确： tan2a tan2B'tana tan B 因为tan0= ,所以BE- h tan ,又因为DB= tan B' 所以DE=BE-DB= =0, tan0tanβ sin sin B 0 atan0 tan B "cos0cosβ asin0 sin B 解得h= asin0sin B 1 tanβ-tan0sinβsin0 sin B cos0-cosβsin0sin(β-θ) tan 0 tan B cos B costθ 故C错误，D正确. 4.(24-25高一下·吉林长春期末)如图，在梯形ABCD中，AB‖CD,AB⊥AD,AB=2CD=4,E,F分 别为DC,CB的中点，且AC·EF=2,P是线段AB上的一个动点. 45/49 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求∠EAF; (②)求(PE+PF)·PA的取值范围. 【答案1子：0-216 【解析】(1)以A为原点，AB为x轴正半轴，AD为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， 400,B4.0,设D0,>0,则E.C2,小，F3空 D A B主 由4CEF=2,则4-公=2，即乃=4， 又y>0,y=2,AD=2, E1,2),F(3,1),AE=L,2),AF=(3,1), .cos∠EAF= AE·AF 1√2 4E4FV5o2=2, 又∠EaF为锐角，∠E4P-牙： (2)设P(x,0(0≤x≤4，.PE=(1-x,2),PE=(1-x,2), .PE+PF=(4-2x3),PA=(-x,0), ∴(PE+PF)PA=(4-2x,3(-x,0)=(4-2xo)(-x)=2x6-4 =2(6-12-1=2(x-1°-2， :0≤x≤4，(PE+PF)-PAe-2,16] 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 46/49 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.(2025全国二卷高考真题)在ABC中，BC=2,AC=1+√5，AB=√6，则A=() A.45° B.60° C.120° D.135 【答案】A 【解析】由题意得cosA=4B+4C-BC2_V6+1+V2-2_V2 2AB.AC 2×V6×(1+V5) 2 又0°<A<180°，所以A=45故选：A 2.(2025天津高考真题)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a sin B=V3 bcosA,c-2b=1, a=7. (I)求A的值； (2)求c的值； (3)求sin(A+2B)的值. 【答案】0写@3：45 【解析】(1)已知a sin B=√5 bcos A,由正弦定理a b sin A sin B' 得a sin B=bsin A=√3 bcos 4,显然cosA≠0， 得tanA=V3,由0<A<π， 故4= 1 (2)由(1)知cos4=2,且c=2b+1,a=V万， 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA, 则7=+(2b+1-2×2b+)=30+36+1, 解得b=1(b=-2舍去)， 故c=3; sinsinB,且6=la=V万，sin4=5 (3)由正弦定理。 b 得sinB-bsim4-V2,且a>b,则B为锐角， a14 故c0sB=5V万，故sn2B=2 sin cos-55 14 14 47/49 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 且cos2B=1-2sin2B=1-2× V2111 14=4 sin(A+2B)=sin Acos 2B+cos Asin 2B=- 511,15543 2142x14=7 B,(2025北京高考真题)在4BC中，cosA=.asinC=4V2 (1)求c的值： (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC存在，求BC边上的高. 条件0：a=6:条件②：asinB-102, ；条件③：ABC的面积为10√2. 3 【答案】(1)6；(2)答案见解析 【解折】1D因为osA=子4e0,所以如4=-w-2华 39 由正弦定理有a sin C=csin A= 2 二c=4V2,解得c=6; 3 (2)如图所示，若ABC存在，则设其BC边上的高为AD, D A 若选①，a=6,因为c=6,所以C=A,因为cosA=- 3<0，这表明此时三角形ABC有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时三角形ABC不存在，故BC边上的高也不存在； 10W2 若选②，asinB=10W2 ,由asin C=4V2有sinB 3 5,由正弦定理得=5所以6=5， 3 c61 sin C 42 6 所以由余弦定理得a=Vb2+c2-2 becosA= 25+36-2×5×6× =9 3 此时三角形ABC是存在的，且唯一确定， 所以Sc=)besin A=BC☑D.即5x5x6x2y5-x94D, 2 2 2 32 所以BC边上的高4D=20V 9 若选③，4BC的面积是102，则S4-besin A=bx6x25=10N2, 2 21 3 48/49 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得b=5,由余弦定理可得a=Vb2+c2-2 bccos A= 25+36-2.56 1 3 =9可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得cosB,CosC也可以唯一确定，即B,C可以唯一确定， 这表明此时三角形ABC是存在的，且BC边上的高满足： Sm040-=号40=102，即40=205 2 9 49/49 专题02 平面向量及其应用（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01平面向量的相关概念理解 题型02向量共线与三点共线的应用 题型03平面向量的基底的判断 题型04用基底表示向量 题型05平面向量基本定理定理的应用 题型06三点共线的推论及应用 题型07平面向量数量积的计算 题型08利用数量积求向量的模长 题型09利用数量积求向量的夹角 题型10利用数量积解决垂直问题 题型11求平面向量的投影向量 题型12平面向量的实际应用 题型13利用正余弦定理解三角形 题型14三角形解的个数问题 题型15三角形的面积问题 题型16利用正余弦定理判断三角形的形状 题型17解三角形的最值与范围问题 题型18解三角形的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平面向量的基本概念 1、能准确区分向量与数量的区别； 2、能清晰判断零向量、单位向量、相等向量、相反向量的特征； 3、能正确理解共线向量（平行向量）的定义，区分共线与重合的关系 基础必考点，多以小题（选择题、填空题）形式考查，难度较低； 易错点：混淆零向量的方向、共线向量与相等向量的关系；忽略单位向量的方向不唯一 平面向量的线性运算 1、能熟练运用三角形法则、平行四边形法则进行向量加法、减法运算； 2、能掌握数乘向量的定义、运算律，明确数乘向量的几何意义； 3、能化简简单的向量线性表达式 高频必考点，小题、大题均可能考查，侧重考查几何意义的应用； 命题趋势：常结合平面图形（三角形、平行四边形）考查向量线性分解，注重数形结合思想； 易错点：向量减法方向判断错误；数乘向量的模长与方向计算失误 平面向量基本定理及坐标表示 1、能理解平面向量基本定理的内涵，会选择合适基底表示平面内任意向量； 2、能熟练进行向量的坐标加减、数乘运算； 3、能运用共线向量的坐标条件判断向量共线、求参数值 核心高频考点，小题、大题均有涉及，是后续向量应用的基础； 命题趋势：常与平面几何结合，考查基底表示、坐标运算及共线参数求解； 易错点：记错共线向量坐标公式；基底选择不当导致运算繁琐；忽略向量坐标与点坐标的区别 平面向量的数量积 1、能掌握数量积的定义及几何意义，理解投影的概念； 2、能熟练运用数量积坐标公式进行计算； 3、能运用数量积求向量的模长、夹角，判断向量垂直 重中之重，必考考点，小题侧重模长、夹角计算，大题侧重综合应用； 命题趋势：常与几何图形、函数最值结合，考查数量积的综合应用，凸显向量的工具性； 易错点：混淆向量夹角与图形内角；忽略数量积的符号；模长公式记忆错误 平面向量在平面几何中的应用 1、能运用向量方法判断平面几何中的平行、垂直关系； 2、能运用向量运算求平面图形中线段的长度、角的大小； 3、掌握向量法解决平面几何问题的“三步曲”（化几何量为向量→进行向量运算→还原几何结论） 期末中档难度考点，考查形式灵活，多以解答大题为主，偶尔搭配填空小题考查。贴合期末命题原则，淡化复杂运算，侧重考查向量转化几何问题的思维方法，常结合三角形、四边形等常规几何图形命题，是期末大题高频出题方向。 易错点：无法将几何问题转化为向量问题；向量运算失误导致几何结论错误 正弦定理、余弦定理 1、能熟练掌握正弦定理、余弦定理的文字语言和符号语言； 2、能运用正弦定理、余弦定理解决三角形的边长、角度求解问题； 3、能运用定理解决简单的三角形面积计算问题 高频必考考点，小题、大题均有考查，大题常单独命题或与向量结合； 命题趋势：侧重基础应用，偶尔结合实际情境（仰角、俯角）考查，难度适中； 易错点：正弦定理中解的个数判断失误；；忽略三角形内角和为180° 知识点01 平面向量基本概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2、零向量：长度为0的向量，记作. 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6、相反向量：长度相等且方向相反的向量． ·易错点：混淆共线向量与相等向量，认为共线向量就是相等向量，忽略方向和长度的双重要求；同时容易忽略“共线向量包含反向向量” 知识点02 平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， 结合律：； 第一分配律：； 第二分配律： ·易错点：向量减法方向判断错误，牢记“起点相同，指向被减向量终点”的口诀． 知识点03 平面向量基本定理及坐标运算 1、平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理的定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使． （2）向量的基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 2、向量线性运算的坐标表示 （1）已知，则，． （2）若，则； 3、共线向量的坐标条件 已知，则向量，共线的充要条件是． 知识点04 平面向量的数量积 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量和，作，，则∠AOB就是向量与的夹角． （2）范围：设θ是向量与的夹角，则0°≤θ≤180°. （3）共线与垂直：若θ＝0°，则与同向；若θ＝180°，则与反向；若θ＝90°，则与垂直． 2、平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)， 记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即. （2）几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 【注意】（1）数量积也等于的长度|b|与在方向上的投影的乘积，这两个投影是不同的． （2）在方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负可为0，取决于θ角的范围． 3、向量数量积的性质 设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质： （1）. （2）. （3），同向⇔；，反向⇔. 特别地或. （4）若θ为，的夹角，则. 4、向量数量积的运算律 （1） (交换律)． （2） (结合律)． （3） (分配律)． 5、向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 知识点05 平面向量在几何中的应用 1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系． 2、平面几何中证明问题的具体转化方法 （1）证明线段，可转化为证明． （2）证明线段，只需证明存在一个实数，使成立． （3）证明两线段，只需证明数量积． （4）证明三点共线，只需证明存在一个，使成立． 3、向量在物理中的应用主要解题思路 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题． 知识点06 正弦定理与余弦定理 1、正、余弦定理与变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 2、解三角形中的常用结论 （1）三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. （2）三角形中的三角函数关系 ①sin(A＋B)＝sin C； ②cos(A＋B)＝－cos C； ③sin ＝cos ； ④cos ＝sin . （3）三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. （4）三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 3、三角形常用面积公式 （1）S＝a·ha(ha表示边a上的高)； （2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （3）S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 4、解三角形的实际应用 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 题型一 平面向量的相关概念理解 解｜题｜技｜巧 牢记核心概念的关键细节：零向量方向任意、单位向量仅长度为1、共线向量方向相同/相反（含零向量）、相等向量需长度+方向都相同； 排除法优先：遇到模糊选项，先排除明显错误的（如“零向量有固定方向”“共线向量就是相等向量”）； 举例验证：对不确定的选项，举简单例子验证 【典例1】（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（    ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 【变式1-1】（25-26高一上·湖北武汉·期末）“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（25-26高一上·北京顺义·期末）设均为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（24-25高一下·安徽淮北·期末）（多选）关于向量，，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 题型二 向量共线与三点共线的应用 解｜题｜技｜巧 1、向量共线问题：一般地，解决向量，共线求参问题，可用两个不共线向量（如，）表示向量，，设，化为关于，的方程，由于，不共线，则，解方程组即可 2、若三点共线，则向量在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据． 【典例2】（24-25高一下·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 【变式2-1】（25-26高一上·北京·期末）已知向量，且与方向相反，则实数的值为（    ） A．-1或 B．1或 C．1 D． 【变式2-2】（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知、是平面内的一组基底，，，，若、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 题型三 平面向量基底的判断 解｜题｜技｜巧 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，平面内的一个基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 【典例3】（24-25高一下·江苏宿迁·期末）在下面的四组向量中，能作为一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·辽宁·期末）（多选）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式3-2】（24-25高一下·河北邢台·期末）（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·吉林·月考）（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型四 用基底表示向量 解｜题｜技｜巧 用基底表示向量的两种基本方法： 1、运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止； 2、通过列向量方程（组），利用基底表示向量的唯一性求解，即若，且则来构建方程（组），使得问题获解 【典例4】（24-25高一下·黑龙江·期末）已知为所在平面内的一点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·广东汕尾·期末）如图，在中，是BC上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·河南郑州·期末）如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一下·广西河池·期末）如图所示，已知在正方形中，、分别是边、的中点，与交于点.设，，下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 题型五 平面向量基本定理的应用 解｜题｜技｜巧 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 【典例5】（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式5-1】（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式5-2】（24-25高一下·广西南宁·期末）在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（    ） A．0 B． C． D．1 【变式5-3】（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则_____. 题型六 三点共线的推论及应用 解｜题｜技｜巧 已知平面内四点，其中三点共线，且，则，反之也成立 【典例6】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·河南安阳·期末）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为________. 【变式6-3】（24-25高一下·河南漯河·期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为______． 题型七 平面向量数量积的计算 解｜题｜技｜巧 1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 【典例7】（24-25高一下·天津西青·期末）平面向量，在上的投影为，则______. 【变式7-1】（24-25高一下·辽宁丹东·期末）在中，，，，点D满足，则（    ） A．6 B．8 C． D．12 【变式7-2】（24-25高一下·河北雄安·期末）已知圆为的外接圆，且，，，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【变式7-3】（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是__________. 题型八 利用数量积求向量的模长 解｜题｜技｜巧 （1）解决向量模长常利用模的平方与数量积的联系求解； （2）利用或，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 【典例8】（24-25高一下·辽宁·期末）已知向量在上的投影的数量为，且，则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【变式8-1】（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量满足，且与的夹角为，则_________. 【变式8-2】（25-26高一上·北京海淀·期末）已知与的夹角为，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式8-3】（25-26高一上·湖南衡阳·期末）均为单位向量，且，向量满足，则的取值范围是___________． 题型九 利用数量积求向量的夹角 解｜题｜技｜巧 求向量与夹角的思路： （1）求向量夹角关键时计算及，在此基础上结合数量积的定义或性质计算，最后借助，求出的值； （2）在个别含有，的等量关系式中，常利用消元思想计算的值． 【典例9】（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，均为单位向量，且，则，的夹角为__________. 【变式9-1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知单位向量满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一上·云南昭通·期末）已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 题型十 利用数量积解决垂直问题 解｜题｜技｜巧 两个非零向量垂直的充要条件： 【典例10】（24-25高一下·重庆·期末）已知向量，满足，，，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【变式10-1】（24-25高一下·山东青岛·期末）在四边形ABCD中，若，则“”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【变式10-2】（24-25高一下·广东汕头·期末）已知向量，满足，，且，则______. 【变式10-3】（24-25高一下·江西宜春·期末）已知平面向量，满足：，，． (1)求； (2)当时，求实数k的值． 题型十一 求平面向量的投影向量 解｜题｜技｜巧 1、求一个向量在另一个向量方向上的投影向量时，首先要根据题意确定向量的模及两个向量的夹角，然后代入公式计算即可． 2、设向量是向量在向量上的投影向量，则有，则． 【典例11】（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知向量与的夹角是，且 ，则向量在向量上的投影向量是______ 【变式11-3】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型十二 平面向量的实际应用 易｜错｜点｜拨 1、忽略向量方向：实际场景中，向量方向（如方位角、夹角）直接影响运算结果，需准确标注方向，避免方向混淆导致错误． 2、建模不规范：未明确向量的实际意义，导致向量与实际量对应错误（如将速度向量误作为位移向量）． 【典例12】（24-25高一下·福建福州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25高一下·广西河池·期末）（多选）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（    ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【变式12-3】（24-25高一下·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为__________. 题型十三 利用正余弦定理解三角形 解｜题｜技｜巧 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。 【典例13】（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知的内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25高一下·四川成都·期末）中，角，，所对的边分别为，，，，，，则角的对边____________. 【变式13-2】（25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（24-25高一下·北京顺义·期末）在中，，，，则（    ） A．4 B．3 C． D．2 题型十四 三角形解的个数问题 解｜题｜技｜巧 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 【典例14】（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25高一下·陕西商洛·期末）在中，角的对边分别为，，，若，，只有一个解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型十五 三角形的面积问题 解｜题｜技｜巧 在求三角形的面积时，若存在三角形边长平方和的情况，一般联想到用余弦定理解决；若存在边长乘积的情况，一般联想到用公式． 【典例15】（24-25高一下·湖南·期末）在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知三角形中，点在边上，平分∠，且，若，则=（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式15-3】（24-25高一下·福建福州·期末）在中，角A，B，C的对边分别为，且，，. (1)求； (2)若，则的面积为，求. 题型十六 利用正余弦定理判断三角形的形状 解｜题｜技｜巧 1、判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)； 2、判断三角形的形状特征，必须从研究三角形边与边的关系，或角与角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，得出边与边或角与角的关系，从而作出正确判断； 3、对于给定条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么统一为角的关系．再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论． 【典例16】（24-25高一下·河南安阳·期末）在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【变式16-1】（24-25高一下·河北承德·期末）在中，已知，则一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【变式16-2】（24-25高一下·福建福州·期末）记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【变式16-3】（24-25高一下·天津滨海新区·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 题型十七 解三角形的最值与范围问题 解｜题｜技｜巧 三角形中的最值、范围问题的解题策略 （1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． （2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． （3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 【典例17】（24-25高一下·安徽合肥·期末）分别为的外心和重心，，若，则的面积的最大值（    ） A．2 B． C． D． 【变式17-1】（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】（24-25高一下·辽宁丹东·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围是______. 【变式17-3】（24-25高一下·吉林长春·期末）已知中，分别为内角的对边，且满足. (1)求角； (2)设点为边中点，且，求最大值； 题型十八 解三角形的实际应用 易｜错｜点｜拨 1、方位角、仰角、俯角判断错误：牢记方位角顺时针从正北起算，仰角/俯角与水平线夹角，避免混淆导致角度转化错误． 2、忽略解的个数：SSA场景（已知两边及其中一边的对角），需结合实际场景判断解的合理性（如距离、高度为正，角度在0°~180°），排除不合理的解． 3、单位不统一：边长、角度单位不一致直接导致运算错误，解题前先统一单位． 【典例18】（24-25高一下·江苏无锡·期末）位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________． 【变式18-1】（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 【变式18-2】（24-25高一下·湖南衡阳·期末）某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处点处固定一旗帜，然后从点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从点逆时针走至点处，此时测得，且测得米，米． (1)求该人工圆形湖泊的直径； (2)若为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于两点），求四边形周长的取值范围． 【变式18-3】（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，某河流两边有（在同一个平面内）四点，已知两个观察点在河的南岸，二者间的距离为，为了测量在河的北.岸两个目标点间的距离，某小组测得，则两个目标点间的距离为（    ） A． B． C．， D． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·北京通州·期中）已知平面向量，是不共线的两个向量，，，，则（    ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 2．（24-25高一下·山东威海·期末）已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（    ） A． B．12 C． D．18 3．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）在三角形中，，，，则______． 4．（24-25高一下·北京房山·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 5．（24-25高一下·山东潍坊·期末）在中，若，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．不含的直角三角形 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·浙江台州·期末）若非零向量，的夹角为，，，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高一下·江苏无锡·期末）（多选）已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度,先在河岸边定好一条基线，在点测得山顶的仰角为，在点测得山顶的仰角为.测得，.在点后移至点，测得仰角为，，则山高为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 3．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $