第六章平面向量与解三角形专题期末复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教版高一数学必修第二册第六章平面向量与解三角形专题 复习讲义 一、本章核心知识点+解题方法总结 知识点1：正、余弦定理基础（边角互化、求角、判定三角形形状） 解题方法 1.正弦定理： -=C一=2R,实现边回角互化： sin A sin B sin C 2.余弦定理：a2=b2+c2-2 bccos A,已知三边求角、两边一角求第三边； 3.判定三角形形状：角化边或边化角，化简判断等边/等腰/直角/钝角三角 形。 知识点2：三角形解的个数判断（已知两边一对角，多解问题) 解题方法 己知a,b,A,根据a与bsin A、b的大小关系，判断三角形一解、两解、无解。 知识点3：三角形面积最值与范围（结合基本不等式、三角函数值域） 解题方法 1. 面积公式S=)absinC: 2.余弦定理结合均值不等式求边长最值，进而得面积最值： 3.锐角三角形限定角范围，结合正弦定理转化为三角函数求取值范围。 知识点4：解三角形实际应用（测量高度、河宽、不可到达物体测距测高） 解题方法 提取几何模型，标注仰角、俯角、坡角，构造多个三角形，正弦/余弦定理联立求 解。 知识点5：三角形综合判定多选题（边角关系、恒等式、三角形类型判断） 解题方法 逐一利用正余弦定理、内角和定理、余弦符号判断角的类型，举反例排除错误选 项。 知识点6：三角形内线段模型（角平分线、中线、三等分点、边上动点） 解题方法 拆分两个小三角形，分别对两个子三角形使用正、余弦定理，联立方程求解边长、 面积。 知识点7：解三角形综合解答（证明边角等式、角平分线/中线模型、面积最值、 锐角三角形范围) 解题方法 1.第一问边角互化求指定角： 2.第二问结合中线、角平分线、分点构造双三角形： 3.利用不等式、三角函数值域求边长、面积取值范围或最值。 二、分知识点对应习题 知识点1：正、余弦定理基础（边角互化、求角、判定三角形形状） 1.记△ABC中的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,已知△ABC的面积 s-6+e-.则m4-() 8 A B.3 c P. 3 【答案】A 【解折】因为S-（6+c2-a）csnA, 又由余弦定理b2+c2-a2=2 becos A, 2 所以×2 becos A=号besin A, 所以4 3cos 4=-sin' 1 则tanA=sin4_3_8 cos4 1 3 2 2 故选：A 2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c已知(b+c+a)b+c-a)=3bc, 且2 cos Bsin C=sinA,则△ABC是() A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 【答案】A 【解析】由(b+c+ab+c-a)=3bc,得到(b+c)2-a2=b2+c2+2bc-a2=3bc, b2+c2-a21 化简2+c2-d2=bc'余弦定理得到2hc =c0sA, 2 而4e0.则A 3 2cos Bsin C=sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B 化简得到，0=sin(B-C),则B=C, 因此B=C=A= 3,则△4BC是等边三角形， 故选：A. 3在△4BC巾，角AB.C所对的边分刿为c·若in号， 2=2c，则△4BC的形 状为() A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角 形 【答案】B 【解析】由sin2号，b得-cosA_smC-si加B 2=2c得2 2sin C' (1-cos A)sin C=sin C-sin B cos Asin C=sin B=sin(A+C)=sin AcosC+cos AsinC, 所以sin Acos C=0, 在aABC中，snA≠0：所以cosC-0,C= 1 即△ABC 形状为直角三角形 故选：B. 知识点2：三角形解的个数判断（已知两边一对角，多解问题) 4已知ac分别为A1BC内角人BC的对边，且a=24=名，则使得A1BC有 两组解的b的值可以是 (写出满足条件的一个值即可)· 【答案】3（答案不唯一，只要在区间(2,4）上均可) 【解析】由正弦定理得 sin A sin B 8=4,所以sinB=b 要使△ABC有两组解， 1 <1,解得2<b<4' 则2inB=4 所以使得△ABC有两组解的b的值可以是3. 故答案为：3（答案不唯一，只要在区间(2,4）上均可)· 知识点3：三角形面积最值与范围（结合基本不等式、三角函数值域） 5.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,D是AB上的点，CD平分 ∠ACB,且CD=1,csinA+V3 acosC=0,则△ABC面积的最小值为() A.1 B.3 C.2 D.25 【答案】B 【解析】因为csin A+V3 acosC=0,由正弦定理得sin Csin A-+V3 sin AcosC=0, 又sinA≠0，可得sinC+V3cosC=0,即tanC=-V3, 因为0<C<x'所以C=20, 3, cD平分∠ACB且GD小符xsm120-x1xn6+ax1xsn60. 整理得：ab=b+a,所以ab≥2√ab,解得√ab≥2 所以b≥4则S,c=2 absinC2V5,当且仅当a=b=2时等号成立， 故△ABC面积的最小值为5， 故选：B 6在aBC中，角4，及，C的对边分别为a,。,G,c=2云+5=2 -absinC+4 3 ,则△ABC面积的最大值为() 2 B.1 C. D.25 【答案】C 【解析】因为。=2且a+-25mC+4,即+分-2 3 absinC+, 3 整理可得a2+b-c2-2 absinC, 3 由余弦定理可得2 abcosC=25。 3 2 absinC,则tanC=3, 且Ce0,,可知C-骨，则+= absinC+4=ab+4, 3 又因为a2+b2≥2ab,当且仅当a=b=2时，等号成立， 则ab+4≥2ab,即ab≤4， 所以。18C面积的最大值为×4x5-5 1 2 故选：C 7.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=2V3, (a-3c)sin(B+C)=(sin B-sinC)(b+c). (1)求B: (2)若△ABC为锐角三角形，求a2-V3aC+2c2的取值范围. 【答案1(4)B=君 (2)（48,60) 【解析】【1】由sin(B+C)=sinA,(a-V5c)sinA=(sinB-sinC)(b+c), 由正弦定理角化边可知，(a-√5c)a=(b-c)b+c), a-acb cosB 2ac=2,又B∈(0，π) 所以B= 6 a2+c2-12V3 【2】2ac =2,得5ac=a2+c2-12所以a2-5ac+2c2=c2+12'由 B=π π<C< ,且△4BC是锐角三角形，所以3于 2 b=c=4W3,得c=4W5sinC∈(6,4W5) 由正弦定理sin BsinC 所以c2+12∈(48,60)，所以a2-V3ac+2c2的取值范围为(48,60). 1 8在△ABC中，角4，B,C的对边分别为a,b,c.已知C=bc0sM+ -a (1)求角B的大小： (2)若△ABC为锐角三角形. (i)求角A的取值范围； (i)设a=6,求△ABC面积的取值范围. 【管14B=号 (2)(i) 62 ( 【解析】(1)因为C=bcosA+ 1 所以sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=sin Bcos A+。sinA, 所以sincoB=2sinA, 而Ae0)从面nA>0所以cosB-子 又因为B∈(0，)，所以B= (2)①显然B=3是锐角， 0<A< 2 需满足 2π π’解得 0<B= -A 3 2 <A< 6 2 ππ 故角A的取值范围为 62: (面因为B= 3’a=6'所以5 2acsin B=33 2c, a 6sin 由正弦定理有sin A sinC 2π sin 所以 C= 3 sin A 3 所以5=3 cos 4+1 -sin A 2c=9V5.2 —=93 1,5 2 sin A 2 2tan A 因为角A的取值范围为 62 /3 所以 的取值范围为 +o0 3 1 tan A tan A 的取值范围为(0，V3) 3 的取值范围为 2tan A 的取国 3 9.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b(cos2C-cos2A)=(a-b)sin2B. (1)求角C; (2)若△ABC的边c上的高等于sinC. (i)当C=2时，求cos Acos B的值： (ii)求△ABC面积的最小值， 【省14)C-骨 4 【解析】(1)由b(cos2C-cos2A)=(a-b)sin2B得b(sin2A-sin2C)=(a-b)sin2B 在△ABC中，由正弦定理得b(a2-c2)=(a-b)b2, 即a2-c2=(a-b)b=ab-b2,所以cosC-a+-c_1 2ab 2 因为0<C<元'所以C 3 (2)由)知C-骨，因为61BC的边e上的离等于血C:且e=2 所以ABC的面积s-esinc-bsnC,所以。=ab-2 2 2416 因为在 中，a.b=c2,即sin AsinB33 △4BC sin A sin B sin2C 4 3 所以sin Asin B= 8 又△ABC中，cosC=-cos(4+B)=sin Asin B-cos Acos B=} 所以coscos=sin Asin B-1=3_1-_1 2828 (i)由(1)及知C=交 3,c=ab:在△4BC中，由余弦定理得 c2=a2+b2-2 abeos5=d2+b2-ab所以d+=C+b=b+b 3 因为a2+b2≥2ab,所以a2b2+ab≥2ab,解得ab≥1，当且仅当a=b=1时，等号成立. 所S=5bs如c≥xIx5-5即 2 x1x2=即△4BC面积的最小值为4 l0.已知△ABC是锐角三角形，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 (c-2b)sinC=asin A-bsin B. (1)求A; (2)若C=4,求△ABC面积的取值范围. 【答案】（①）4=平 (2)(4,8) 【解析】(1)(c-V2b)sinC=asin A-bsinB, 故(c-V2b)c=a2-b,即b2+c2-a2=V2bc, 故cosA=+c2-a2-V5 2bc 2 且0<4<牙敢4-妥 4 b (2)由正弦定理 sin B sinC得， 4sin (3-C b=csin B 4 2(cosC+sinC)=2 sin C sinC sinC c 因为△ABC是锐角三角形，· 改0-C<0<C受即晋<C 2 mCr故2c6=2司6ic小45， 所以S.4c=2 besin1=V2be(4,8). 故△ABC面积的取值范围为(4,8). 知识点4：解三角形实际应用（测量高度、河宽、不可到达物体测距测高) 11.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测 量基点C与D.设∠BCD=a,∠BDC=B,CD=s,在点C测得塔顶A的仰角为O ,则塔高AB为() 000 s.sin B.tan s.sin B A. sin(a+β) B. sin(a+B).tan s.sin(a+B).tane s.sin(a+B) C. D. sin B sin B.tan 【答案】A 【解析】在△BCD中，由正弦定理可知： BC CD BC S →BC=s.sinB sin∠BDC sin∠CBD sin B sin(π-a-β) sin(a+β)' 在直角三角形ABC中， tan∠ACB=B →BA=s-sin Btan0 C sin(a+β)' 故选：A 12.如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C,在C处测得A处的无 人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处 无人机测得点M的仰角为15°，点B,C,N在同一条直线上，则该塔的高度W 为 米 15 中 45X30° B 【答案】90 【解析】Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=45,则AC=2AB=90, 由图可知∠MAC=15°+30°=45°，∠MCA=180°-45°-30°=105， 则∠CMA=180°-105°-45°=30°， AC MC AMC中，由正弦定理sinC4snM4C,得MC=ACs1mAC=90V2 sin∠CMA Rt△MNC中，MN=MCsin45°=90（米）， 故答案为：90 13.如图，MN是底部N不可到达的一座塔，M为塔的最高点，某同学为测量塔的 高度，在塔的正东方向找到一座建筑物AB,高约为6m,在点C处(B,C,N三 点共线)测得建筑物顶部A、塔顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得塔顶 部M的仰角为15°，则塔MN的高度约为. 1m. 15.☑A 45 30° 【答案】12 【解析】在Rt△ABC中，AB=6,∠ACB=30°， 所以AC=2AB=12, 在△AMC中，∠MAC=15°+30°=45°，∠ACM=180°-45°-30°=105°， 所以∠AMC=180°-105°-45°-30°， AC MC 12 MC 由正弦定理得sin∠AMC"sin,∠M4c,所以sin30-sin45o,得MC=12V2, 在RAMNC中，sin∠MCW=,sin45°= MN MC' 12W2’ 所以MW=12V2×2 =12, 故答案为：12 知识点5：三角形综合判定多选题（边角关系、恒等式、三角形类型判断） 14.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,下列说法中正确的是( ) A.若A>B,则a>b B.sin(A+B)=sin C C.若a2+b2>c2,则△ABC是锐角三角形 D.若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】对于A,在△ABC中，A>B台a>b,A正确： 对于B,sin(A+B)=sin(r-C)=sinC,B正确； 附于C,由，2、2，得cosC=。一>0，则∽是锐角，显然4B是香 2ab 是锐角无法确定，C错误： 于D,由，222，得cosC=。<0,则是钝角，AC是钝角 2ab 角形，D正确 故选：ABD 知识点6：三角形内线段模型（角平分线、中线、三等分点、边上动点） sin A b+c 15.已知△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinB--sincb-a: (1)求C的大小； (2)若C=3,∠ACB的角平分线交AB于点D,且CD=2,求△ABC的面积. 【答案】(1)C- 3V3 Γ3 (2)SAABC= 2 sinA b+c a b+c 【解析】【1】sin8-sinC=b-a,由正弦定理可得b-c=b-a' 整理可得a2+b2-c2=ab, 由余弦定理可得cosC=4+b2-c2-1 2ab2' 且C∈(0，π)，所以C= 3 【2】5c- ab.sin I=3 in3-4ab,9-a+b-ab=(a+b)-3ab 又因为∠4CD=∠aCD-则5m0,Sw0, 且5+8o=则+0= 024 h,即a+b=5b, 2 与9=(a+b-3ab联立，解得b=6（负值舍去)，则Sac .ab= 2 c-b sin A+sin B 16.记。4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知a= sin C+sin B (1)求角C大小： (2②)若点D为18靠近点B的三等分点，且B:6∠4CD 2,求。4BC的面 积 【答案】(1)C=2 (2)35 【解折】【山因为。-品4 c-b a+b 由正弦定理可得 a c+b' 整理可得a2+b2-c2=-ab, 由余弦定理可得cosC=a+b-c2-ab、1 2ab 2ab2' 且C∈(0，)，所以C-2 【2】由题意可知D2BD=4'Z4CD-=3∠6CD-,8=A, 3 CD BD 在△BCD中，由余弦定理 sinB sin.∠BCD可得 CD=BD-sin B=4sin sin∠BCD =25cos4-2sn4, 在RtABCD中，可得CD=ADsin A=4sinA, 则2N3cosA-2sin4=4sin4可得an1S3 3 且Ae0,,则A=若可得cD=2AC=25, 所以1BC的面积s-w2x26=35 17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c-已知a cos B=(2c-b)cosA. (1)求A: (2)若D是AC的中点，且AD=5,BD=7,求a. 【答案】(1) -3 (2)2√21 【解析】【1】因为a cos B=(2c-b)cosA, 又正弦定理可得sin Acos B=(2sinC-sinB)cosA, sin Acos B+sin B cos A=2sin Ccos A. 即sin(A+B)=2 sin Ccos A,所以sinC=2 sin Ccos4, 义Ce0所以C>0所似osA分又4e0,小所似A 3 【2】在△ABD中，由余弦定理可得BD=AD+AB2-2AD·ABcos A, 1 即49=25+AB-2x5AB×2解得1B=8或AB=-3(舍去)， 在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AC2+AB-2AC·ABcos A, 即=82+10-2x8x10×}4,所以a-2N 18.如图，△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,C,D为边BC上一点，且AD⊥AC, ∠ACB=∠BAD (1)已知sin∠ACB=5 CD (①求BD的值： ()若BD=V5,求△ABC的面积： b2+c2 (2)求a2 的最小值 【答案】(1)(i)3;(i)12 (2)4v2-5 【解析】【1】()由题意得， CD SACD= AD-b-sin∠CAD 2 b BD S.ABD sin B=5sin B ADc-sin∠BAD csin∠ACB sin'∠ACB 2 因为4D1AC'∠ACB=∠B4D'所以Cos∠ACB2V5 5 B=元-∠BAC-∠ACB=元- 径+∠BD ∠ACB=T-2∠ACB, 2 所以sinB=sin -2∠4CB=cos2Z4CB=1-2sin2∠4cB- CD 所以BD =5sin B=3: (i)由i)得CD=3BD=3W5,在Rt△ACD中， AD=CDsin C=3,AC=CD2-AD2=6, S.ACD_CD 所以SMCD=AD·AC=9,又S0BD =3,所以SABD=3” 所以SABc=SABD+SACD=12: b2+c2sin2B+sin2C 【2】由正弦定理得 a2 sin2∠BAC' 由4)得B=7-2C,∠BAC=+C, 2 b2+c2 sin2I-2C 2 +sin'C cos22C+sin2C (2cos2C-1)+1-cos2C cos2 C cos2C sin ,=sC因为8=至-2C>0.所以0<C<:所以=csc[} 则b3+c? (2cos2C-1+1-c0s2C4H2+2-5t a2 cos2C t =+2-5≥22-5=4W5-5,当且仅当=2，即6 时取等号， t 2 b2+c2 所以a2的最小值为4N2-5 19.已知△ABC的内解A,B,C所对的边分别为a,b,C,满足bcosA-acosB=a, (1)求证：B=2A: (2)若D为AB上一点，且BD=BC=2,求△ACD的面积的最大值. 【答案】（1)证明见解析 (2)2 【解析】(1)因为bcosA-acosB=a, 由正弦定理可得sinBcosA-sin4cosB=sinA,即sin(B-A)=sinA, 因为0<A<元，0<B<元，所以sin(B-A)=sinA>0, 所以0<B-A<π，所以B-A=A或B-A=π-A. 若B-A=A,则B=2A;若B-A=兀-A,则B=π，舍去： 所以B=2A成立. (②)在△BCD中，因为BC=BD'B-2A所以∠BCD=∠BDC=-A, 2 2 CD 由正弦定理得BC CD,即sin sin2A,所以 sin∠BDC sinB CD=4sinA B BC AC 在△ABC中，由正弦定理得 sinA sinB' wg-2有以c--o8wgA sinA 又∠BCD+∠4CD=∠BCA所以∠4ACD=-2A, 2 所dC0的面积SCD-CM:sn∠ACD写×4sn4×4osxD =2sin4A 2 又0<B+A=3A<x'所以0<4< ,所以0<4A<4 , 所以当41=受，即4 8时，A4CD的面积最大值为2 知识点7：解三角形综合解答（证明边角等式、角平分线/中线模型、面积最值、 锐角三角形范围) 20.已知a,c分别为A4BC三个内角4B.C的对边，且5sinC+cosC-6 a (l)求sinA: (2)若BC=V3,BC边上的高为1，求△ABC的周长. 【答案】(1) § (2)3+5 【解析】【l】由正弦定理，V3sinC+cosC=b+c=sinB+sinC 0 sinA,即 3sin Asin C+sin Acos C=sin B+sin C, sin B=sin(A+C)=sin AcosC+sin Ccos A, 结合两式可得，V3 sin Asin C+sinAcosC=sin AcosC+sin CcosA+sinC, 则V3 sin AsinC=sin Ccos A+sinC,又C∈(0，m),则sinC≠0， 枚yn4am1闻25sm号co号2o1+1, 又2c0孕，则cos号≠0， A A 2 上式化简为tan 2 【2】根据三角形面积公式S您) 5x1x5=号besin4,可得c=2: 2 由余弦定理，b2+c2-2 bccosA=a2,即b2+c2-bc=3, 于是b2+c2+2bc=9=(b+c)2,故b+c=3, 于是△ABC的周长为3+V5 21.已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足 bcosC+ccos B=2acos A (1)求A; (2)若a=2W5,sinC=2sinB,求△ABC的周长. 【答案】()4=号 (2)25+6 【解析】【1】因为bcosC+ccos B=2 acosA, 所以由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=2 sin Acos A, 即sin(B+C)=2 sin AcosA,又因为A+B+C=元， 所以sn4=2 sin dcos4”且5nA生0所以eos=2, 由因为AE@,所以4=子 【2】由(1知4-行，因为snC-2sng:所以由正弦定理得c=2b: 由余弦定理得a2=b2+c2-2 becos A, 即12=公+46-46×，解得6=2所以e=4 故△ABC的周长为Q+b+c=2W3+2+4=2V3+6. 22.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b(cosC+1)=c(2-cosB) (1)证明：a+b=2c; (2)若c=5,cosC=9 =16,求△4BC的面积. (2) 15v7 【答案】(1)证明见解析 4 【解析】【1】法一：根据正弦定理 b(cosC+1)=c(2-cosB)=sinBcosC+sinB=2sinC-sinCcosB. 整理得sinBcosC+sinCcosB-+sinB=2sinC→sin(B+C)+sinB=2sinC, 因为A+B+C=元，所以sin4=sin(B+C)→sinA+sinB=2sinC, 由正弦定理可得a+b=2c: 法二：由b(cosC+l)=c(2-cosB),bcosC+ccosB+b=2c, 由射影定理知bcosC+ccosB=a(因为sinBcosC+sinCcosB=sinA), 故a+b=2c. 【2】因为cosC=9 16,由余弦定理可得c2=a2+b2-2 abcosC, 即25=a2+b_9 ab,又c=5,故a+b=10' 从而25+2三h=(a+b=10,解得b=24 8 因为osC-名，所以mC-看-cwC- 16’ 所以S.uc=)absinC=x24x 5V7157 2 2 1641 23.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,bcosC+ccos B=√7，且 b=2c=2 (1)求a,A: (2)求△ABC的面积及sinB. 【答案】（4)a=V万A- -Sin B= V21 3 (2)S.ABC= 2 1 【解析】(1)由bcosC+ccosB=√7及余弦定理，得 bxaitbi-orexaito-- 2ab 2ac 即+-c,+b=万，即a=万 2a 2a 由余弦定理，得cOSA= +c2-a22+12-(N71 2bc 2×2×1 又Ae0,,所以4= (2 S.cbesinxxsin2 ,2πV3 321 法1：南5ccs血B 号，将snB=5.5= acV7×17 2 法2：由正弦定理，得si加B-bsin4_2×si 3=2 a 7 7 24.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcos C+ccos B=2 acosA. (1)求角A的大小： (2)若a=V7,b=2,求△ABC的面积. 35 【答案】(1) 3 (2) 2 【解析】(1)由正弦定理化简bc0sC+ccosB=2 acosA可得： sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA 由两角和的正弦公式可得sin(B+C)=2 sinAcosA, 因为在△ABC中，B+C=元-A,则sin(B+C)=sin(π-A)=sin4, 所以sinA=2 sinAcosA, 因为A(0小所以2co84=1”即c0s4 2 又因为A∈(0，)，所以A= 2)已知g=7:6=2A= 3,根据余弦定理代入可得： (W7)2=22+c2-2×2×c×co 3,化简可得c2-2c-3=0 解得c=3或c=1(舍) 根整三布秀面积公式可为S-×2x3xs如背-×2×3×535 32 22 人教版高一数学必修第二册第六章 平面向量与解三角形专题复习讲义 一、本章核心知识点+解题方法总结 知识点1：正、余弦定理基础（边角互化、求角、判定三角形形状） 解题方法 1. 正弦定理：，实现边↔角互化； 1. 余弦定理：，已知三边求角、两边一角求第三边； 1. 判定三角形形状：角化边或边化角，化简判断等边/等腰/直角/钝角三角形。 知识点2：三角形解的个数判断（已知两边一对角，多解问题） 解题方法 已知，根据与、的大小关系，判断三角形一解、两解、无解。 知识点3：三角形面积最值与范围（结合基本不等式、三角函数值域） 解题方法 1. 面积公式； 1. 余弦定理结合均值不等式求边长最值，进而得面积最值； 1. 锐角三角形限定角范围，结合正弦定理转化为三角函数求取值范围。 知识点4：解三角形实际应用（测量高度、河宽、不可到达物体测距测高） 解题方法 提取几何模型，标注仰角、俯角、坡角，构造多个三角形，正弦/余弦定理联立求解。 知识点5：三角形综合判定多选题（边角关系、恒等式、三角形类型判断） 解题方法 逐一利用正余弦定理、内角和定理、余弦符号判断角的类型，举反例排除错误选项。 知识点6：三角形内线段模型（角平分线、中线、三等分点、边上动点） 解题方法 拆分两个小三角形，分别对两个子三角形使用正、余弦定理，联立方程求解边长、面积。 知识点7：解三角形综合解答（证明边角等式、角平分线/中线模型、面积最值、锐角三角形范围） 解题方法 1. 第一问边角互化求指定角； 1. 第二问结合中线、角平分线、分点构造双三角形； 1. 利用不等式、三角函数值域求边长、面积取值范围或最值。 2、 分知识点对应习题 知识点1：正、余弦定理基础（边角互化、求角、判定三角形形状） 1. 记中的内角，，所对的边分别为，，，已知的面积，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，且，则是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 3. 在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 知识点2：三角形解的个数判断（已知两边一对角，多解问题） 4. 已知分别为内角的对边，且，，则使得有两组解的的值可以是_____________（写出满足条件的一个值即可）. 知识点3：三角形面积最值与范围（结合基本不等式、三角函数值域） 5. 在中，角所对的边分别为，是上的点，平分，且，，则面积的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则面积的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，． （1）求B； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求角B的大小； （2）若为锐角三角形． （ⅰ）求角A的取值范围； （ⅱ）设，求面积的取值范围． 9. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角C； （2）若的边c上的高等于. （i）当时，求的值； （ii）求面积的最小值. 10. 已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，求面积的取值范围. 知识点4：解三角形实际应用（测量高度、河宽、不可到达物体测距测高） 11. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.设，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°.无人机距地面的高度AB为45米，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上，则该塔的高度MN为________米. 13. 如图，MN是底部N不可到达的一座塔，M为塔的最高点，某同学为测量塔的高度，在塔的正东方向找到一座建筑物AB，高约为，在点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A、塔顶部M的仰角分别为和，在A处测得塔顶部M的仰角为，则塔MN的高度约为__________m． 知识点5：三角形综合判定多选题（边角关系、恒等式、三角形类型判断） 14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 知识点6：三角形内线段模型（角平分线、中线、三等分点、边上动点） 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求C的大小； （2）若，∠ACB的角平分线交AB于点D，且，求的面积． 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角C大小； （2）若点D为AB靠近点B的三等分点，且，，求的面积. 17. 记的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求； （2）若是的中点，且，，求. 18. 如图，内角的对边分别为，为边上一点，且，. （1）已知. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积； （2） 求的最小值. 19. 已知的内解所对的边分别为，满足． （1）求证：； （2）若为上一点，且，求的面积的最大值． 知识点7：解三角形综合解答（证明边角等式、角平分线/中线模型、面积最值、锐角三角形范围） 20. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，边上的高为1，求的周长． 21. 已知内角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求； （2）若，，求的周长. 22. 在中，内角的对边分别为，且. （1）证明：； （2）若，求的面积. 23. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且． （1）求a，A； （2）求的面积及． 24. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $