2.1 函数的概念及其表示（精讲）-备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数概念及其表示核心考点，按“概念—三要素—表示法—分段函数—应用”逻辑梳理知识，通过知识复习系统整合定义域、解析式、值域等关键内容，结合12类典型例题实施考点梳理、方法指导与真题训练，帮助学生构建函数知识网络，突破抽象函数定义域、复合函数值域等难点。 资料采用分层递进教学策略，如典例二抽象函数定义域问题，引导学生通过已知f(x)定义域分析f(g(x))中g(x)的取值范围，培养数学抽象能力与推理意识。设置从具体到抽象、从基础到复杂的例题梯度，配合待定系数法、换元法等方法归纳，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2.1 函数的概念及其表示（精讲） 第一部分：知识复习 1．函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应 关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 2．同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法：解析法、图象法、列表法. 【注意】与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点． 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. [常用结论] 1．注意以下几个特殊函数的定义域： (1)分式型函数，分母不为零的实数集合． (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合． (3)f(x)的解析式为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合． (4)若f(x)＝x0，则f(x)的定义域为{x|x≠0}． (5)正切函数y＝tan x的定义域为. 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为； 当a<0时，值域为. (3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R. 第二部分：典型例题 典例一：具体函数的定义域 1．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数，则的定义域为__________.用区间表示 【答案】 【详解】要使函数有意义， 需使，解得， 故的定义域为. 2．（26-27高三·全国·暑假作业）求函数的定义域． 【答案】 【详解】要使函数有意义，需使，解得， 则函数的定义域是． 3．（2026高二下·浙江温州·学业考试）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域满足，解得或， 则定义域为． 4．（26-27高三·全国·暑假作业）求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式有意义求解即可. （2）根据分式有意义求解即可. （3）根据分式及二次根式有意义求解即可. （4）根据分式及零指数幂有意义求解即可. 【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （2）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （3）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为． （4）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域是. 典例二：抽象函数定义域 5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 【答案】 【分析】由抽象函数定义域的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，则，即的定义域为. 6．（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 7．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 8．（25-26高三上·江西吉安·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抽象函数定义域结合二次函数不等式即可求解 . 【详解】函数的定义域为，则，所以函数的定义域为； 若函数有意义，则，解得． 则函数的定义域为. 典例三：已知函数的定义域求参数 9．（25-26高三上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【分析】将问题转化为一元二次型不等式恒成立问题，然后按照和分类讨论求解即可. 【详解】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 10．（25-26高三上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次项系数是否为零分情况讨论，当系数为零时验证一次函数是否满足要求，当系数不为零时利用二次函数图象在横轴上或上方得出判别式不大于零且开口向上，再综合两种情况解出参数范围. 【详解】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，即解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：D. 11．（25-26高三上·江苏徐州·期末）已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若定义域为，由恒成立求解； （2）若定义域为，则-6，2是一元二次方程的两根，由韦达定理求解； 【详解】（1）若定义域为，则恒成立， 则，或， 解得：； （2）若定义域为， 则-6，2是一元二次方程的两根， 由韦达定理得，解得：； 12．（25-26高二下·重庆江津·期中）函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】讨论的取值以区分函数类型以保证根号下非负即可求解. 【详解】由题意得恒成立，， 当时，由二次函数的性质可得且，解得， 当时，一次函数不恒成立， 综上， . 典例四：待定系数法求解析式 13．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是一次函数，若，则______． 【答案】或 【详解】设，则. 又，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 14．（2026高三·全国·竞赛）设是二次函数，且，则_____. 【答案】 【分析】利用题目条件构建函数结合，求出值后代入即可求出. 【详解】由， 可得： 代入， 所以. 故答案为： 15．（25-26高三上·全国·期末）已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 【答案】 【分析】设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】设， 根据题意得，解得， 所以 ． 故答案为：． 16．（25-26高三·全国·一轮复习）若一次函数满足，求的函数解析式. 【答案】或 【分析】利用待定系数法求函数解析式即可得到答案. 【详解】由题意设， 则， 所以， 解得或， 所以的函数解析式为或. 典例五：换元法求解析式 17．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则，因为，则， ， 所以. 18．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则函数的解析式为_________. 【答案】， 【分析】使用换元法求解即可，设，那么，再代入即可求得函数的解析式. 【详解】设，那么，则 ， 所以，. 19．（25-26高三上·浙江杭州·期中）若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将代入函数解析式计算得解. 【详解】将代入， 得到，解得. 故选：B. 20．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求解函数解析式即可. 【详解】令，可得，由题意得，则， 因为，所以， 则，故D正确. 故选：D 典例六：配凑法求解析式 21．（2027高三·全国·专题练习）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将已知表达式通分后配方，发现它是中间变量的平方，再通过换元得到函数的解析式. 【详解】，所以． 故选：D. 22．（2024高三上·全国·专题练习）已知，求的解析式． 【答案】 【分析】由配凑法求解出的解析式. 【详解】因为， 所以． 23．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则的解析式为______. 【答案】. 【分析】用配凑法求函数解析式，注意的取值范围. 【详解】因为函数，且， 所以. 故答案为：. 24．（25-26高三上·安徽马鞍山·期中）已知，则的解析式是__________. 【答案】， 【分析】把看成一个整体，用配凑方法化简即可得出结果，再利用基本不等式求出定义域范围即可. 【详解】因为，则， 当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，. 故答案为：，. 典例七：方程组消去法 25．（25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 【答案】且 【分析】利用解方程组法，分别用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 26．（2027高三·全国·专题练习）已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 27．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________． 【答案】 【分析】根据方程组法解抽象函数解析式即可． 【详解】， ， 解方程组得． 故答案为：． 28．（25-26高三上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【答案】 【分析】应用方程组法计算求解解析式. 【详解】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为： 典例八：分段函数求值及其求参 29．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，则（    ） A．2026 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【详解】由题意得：当时，， 所以， 则. 30．（2026·山东东营·三模）定义在上的函数满足，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先根据递推关系推导函数周期为6，再计算2026模6的余数，对应周期内的函数值即可求解. 【详解】当时，， 因此，. 当时，递推关系为 ①， 将替换为得 ②， 将①+②可得，即， 因此，故函数在具有周期性，周期为. 因为，所以， 因为， ， ， . 因此. 31．（25-26高三上·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 【答案】B 【分析】按照从内到外的顺序，先计算内层的值，再将所得结果代入函数计算外层值 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 32．（2026·江西·二模）已知函数，则_____． 【答案】 【详解】因为， 所以 33．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数，若，则_________． 【答案】0或2 【分析】根据题意结合指、对数函数性质可得，分类讨论解方程即可. 【详解】因为恒成立，若， 则，且，可得， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：或. 34．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知函数，若，则的值是（     ） A． B． C．或0 D．0 【答案】D 【详解】当 时，由可得 ， 即， 解得，但内，舍去； 当 时， ，解得或（舍去）. 综上，可得. 35．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数，若，则（     ） A．1或3 B．或1 C．0或 D．1或 【答案】D 【详解】当时，，解得； 当时，，解得. 综上所述，或. 36．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数和一次函数的单调性，结合代入法、函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】因为，且函数在上单调递增，函数在上单调递减，， 所以一定有， 由 ，或， 当时，解得， 当时，因为该一元二次方程根的判别式为， 所以该方程没有实数根， 综上所述：. 典例九：常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 37．（25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 【答案】 【详解】（1）函数，在上单调递增， 由，得， 所以函数，的值域. （2）函数，，由二次函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 所以函数，的值域为. （3）， 当时，，由反比例函数的性质可知， 当时，，则，有，即，. 的值域为 38．（25-26高三上·上海·期中）函数的值域为_____． 【答案】 【详解】使用二倍角公式 ，将原函数化为 ， 整理为关于 的二次函数， 令 ，可知 ， 因此， 易知该抛物线的对称轴为， 因此函数 在区间 上是单调递减的， 所以函数最大值在 处取得，即 ， 最小值在 处取得，即 ， 因此，该函数的值域为 ． 39．（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数及二次函数的单调性得出值域. 【详解】当时，单调递增，， 当时，． 综上所述，的值域是． 40．（25-26高三上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，可得的单调性，进而可得的单调性，代入数据，分析计算，即可得答案. 【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的最小值为. 故选：A 41．（25-26高三上·上海虹口·期末）函数的值域为___________． 【答案】 【分析】分别求出分段函数和时的函数值的取值范围，取并集可得答案. 【详解】由于函数，当时，,当时，， 所以函数的值域为 故答案为： 42．（2026高三上·上海·专题练习）函数的值域为______． 【答案】 【分析】利用配方法可求得该函数的值域． 【详解】因为，所以， 因此，函数的值域为． 故答案为：． 典例十：复杂(根式型、分式型等)函数的值域 43．（2026高三·全国·专题练习）函数的值域是_____. 【答案】 【分析】由换元法和判别式法即可求解. 【详解】解法一：（换元法）令，则， ，由图可知： ，即值域为. 解法二：（判别式法） 将函数化为 ①时，方程不成立； ②时，由得， 解得： 综上： 所以函数的值域为. 44．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的值域为，求，的值． 【答案】 【分析】去分母，并整理成关于的一元二次方程的形式，当时，根据一元二次方程有实数根的条件列式，并结合一元二次不等式和一元二次方程的关系列方程组求解，并验证时也符合题意，从而可得最终结果. 【详解】将式子变形为； 当时，；即； 所以1，9是方程的两个根，代入得：；解得； 将代入，当时，方程化为，有实数解，故在值域内，符合题意. 综上，． 45．（25-26高三上·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 【答案】 【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. 46．（2026高三·全国·专题练习）函数的值域是__. 【答案】 【分析】利用配凑法化简，结合基本不等式求解. 【详解】当时，函数 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即函数的值域为. 47．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则的最小值为______． 【答案】4 【分析】构造函数，通过配方，把问题转换成到直线和点的距离之和的倍，即可求解. 【详解】构造函数， 因为恒成立，所以， 则函数可表示点到直线和点的距离之和的倍. 构造抛物线，过点作直线的垂线，垂足为，交抛物线于两点，如图， 此时直线的方程为：，即， 联立方程得，易得交点分别为， 于是当点重合于交点或时，取得最小值. 从而的最小值为4． 48．（2026高三·全国·专题练习）（1）若函数在上的值域是，则实数a的值为______． （2）函数的最小值为______． （3）函数的最大值为______． 【答案】 【分析】（1）利用函数在给定区间单调递增的性质，由区间端点对应值域端点列方程组，求解参数的值； （2）通过配凑分式结构变形函数，运用基本不等式求函数最小值并确定取等条件； （3）换元将根式函数转化为关于的函数，借助对勾函数单调性求出最值，进而得到原函数最大值. 【详解】（1）因为函数在区间上是增函数，值域为. 所以，，即，解得． （2）. 当且仅当，即时，． （3）令，则，所以，所以. 设，则在单调递增. 所以，所以（时取等号），即的最大值为． 典例十一：复合函数的值域 49．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期末）（1）求函数的定义域； （2）求函数的值域； （3）求函数的值域. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据函数解析式列出函数需满足的不等式，结合对数函数单调性，即可求得答案； （2）利用换元，令，将化为关于t的二次函数，结合二次函数性质，即可求得答案； （3）利用换元，令，将化为关于u的二次函数，结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】（1）函数需满足，即， 解得，故函数的定义域为； （2）令，则，则， 故即为，而， 则在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值在时取得，为，无最小值， 故函数的值域； （3）， 令，则，即为， 而， 则在上单调递减，在上单调递增， 故在时取最小值，无最大值， 故函数的值域为. 50．（25-26高三上·广西南宁·阶段检测）已知函数，函数. (1)求函数的值域； (2)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数的运算法则将函数变形为关于的二次函数后即可求值域； （2）把看作一个整体，函数为关于的二次函数（可用换元法），结合二次函数性质求得的最小值，然后解不等式即可. 【详解】（1）. ，即的值域为. （2）由题知：不等式对任意实数恒成立，. ，令，. 设， 由二次函数的单调性可知：当时，取得最小值，即， ，即，， 即，解得， 实数的取值范围为. 51．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的值域是，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】对复合函数进行拆分，由外函数值域得出内函数值域，再通过讨论参数，列出不等式求得参数范围. 【详解】令，则， 要使得的值域为R，则函数的值域满足， 当时，即函数开口向上，且最小值小于等于0， ， 当时，满足题意， 综上所述：. 故答案为：. 52．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助换元法，令，可得，结合二次函数单调性计算即可得； （2）借助换元法，令，可得对于恒成立，参变分离后可得对于恒成立，借助对勾函数性质计算即可得. 【详解】（1）令，当时，， ， 由函数在上单调递减， 则， ， 故当时，求该函数的值域为； （2）由可得， 即对于恒成立， 当时，，恒成立； 当时，， 又在上单调递减，故， 故，即； 综上所述：. 典例十二：根据函数的值域求定义域 53．（2023·上海嘉定·一模）若函数的值域是，则此函数的定义域为______. 【答案】 【分析】分类讨论分两种情况解不等式即可. 【详解】当时，，∴； 当时，，∴，∴. 故答案为：. 54．（25-26高三上·全国·单元测试）已知函数的定义域为，值域为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性列式求解即可. 【详解】解法一：因为在为减函数， 由解得，所以． 解法二：令，得；令，得， 又函数在定义域内单调递减，所以函数的定义域． 故选：B 55．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据二次函数的性质确定函数定义域形式，再结合给定值域求解作答. 【详解】由，得，即，得． 由，得，即或． 故定义域内必须含有1，0与2至少含有一个，且定义域一定是的子集． 设定义域为，若，则，则A成立； 若，则，则B，C成立； D不可能为定义域． 故选：ABC. 56．（23-24高三上·河南开封·期末）已知函数 的值域为，则的定义域可以是______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】解分式不等式得到范围，写出符合题意的定义域即可. 【详解】令，解得或， 则的定义域可以是， 故答案为：（答案不唯一）. 57．（23-24高三上·安徽·阶段检测）（多选）下列判断正确的是（    ） A．若是一次函数，满足，则 B．命题“”的否定是“” C．函数的定义域为，值域，则满足条件的有3个 D．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】BC 【分析】对于A，用待定系数法求函数解析式即可判断；对于B，存在量词命题的否定为全称量词命题；对于C，由函数的值域，解可推断定义域；对于D，由不等式的解集为，由韦达定理得，求解不等式即可. 【详解】对于A：因为是一次函数，设， 则， 可得，解得或 所以或，故选项A错误； 对于B：存在量词命题的否定为全称量词命题，选项B正确； 对于C：，可得， 所以函数的定义域可以是：或或， 满足条件的有3个，故选项C正确； 对于D：关于的不等式的解集为， 则方程的解是或，且， 由韦达定理可得，解得， 则不等式转化为， 因为，所以，解得， 则不等式的解集为，故选项D不正确． 故选：BC． 58．（23-24高三上·江苏镇江·阶段检测）已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有________个. 【答案】9 【分析】根据值域得的取值情况，列举可得答案. 【详解】一个函数的解析式为，它的值域为， 则必取，至少取一个，至少取一个， 这样函数的定义域可为共9 个， 则这样的函数共有个. 故答案为：. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 函数的概念及其表示（精讲） 第一部分：知识复习 1．函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应 关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 2．同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法：解析法、图象法、列表法. 【注意】与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点． 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. [常用结论] 1．注意以下几个特殊函数的定义域： (1)分式型函数，分母不为零的实数集合． (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合． (3)f(x)的解析式为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合． (4)若f(x)＝x0，则f(x)的定义域为{x|x≠0}． (5)正切函数y＝tan x的定义域为. 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为； 当a<0时，值域为. (3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R. 第二部分：典型例题 典例一：具体函数的定义域 1．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数，则的定义域为__________.用区间表示 2．（26-27高三·全国·暑假作业）求函数的定义域． 3．（2026高二下·浙江温州·学业考试）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高三·全国·暑假作业）求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 典例二：抽象函数定义域 5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 6．（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 8．（25-26高三上·江西吉安·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 典例三：已知函数的定义域求参数 9．（25-26高三上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 10．（25-26高三上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·江苏徐州·期末）已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 12．（25-26高二下·重庆江津·期中）函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 典例四：待定系数法求解析式 13．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是一次函数，若，则______． 14．（2026高三·全国·竞赛）设是二次函数，且，则_____. 15．（25-26高三上·全国·期末）已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 16．（25-26高三·全国·一轮复习）若一次函数满足，求的函数解析式. 典例五：换元法求解析式 17．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则函数的解析式为_________. 19．（25-26高三上·浙江杭州·期中）若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 典例六：配凑法求解析式 21．（2027高三·全国·专题练习）若函数，则（    ） A． B． C． D． 22．（2024高三上·全国·专题练习）已知，求的解析式． 23．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则的解析式为______. 24．（25-26高三上·安徽马鞍山·期中）已知，则的解析式是__________. 典例七：方程组消去法 25．（25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 26．（2027高三·全国·专题练习）已知函数对任意的都有，则________． 27．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________． 28．（25-26高三上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 典例八：分段函数求值及其求参 29．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，则（    ） A．2026 B．2026 C．2027 D．2028 30．（2026·山东东营·三模）定义在上的函数满足，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 31．（25-26高三上·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 32．（2026·江西·二模）已知函数，则_____． 33．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数，若，则_________． 34．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知函数，若，则的值是（     ） A． B． C．或0 D．0 35．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数，若，则（     ） A．1或3 B．或1 C．0或 D．1或 36．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 典例九：常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 37．（25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 38．（25-26高三上·上海·期中）函数的值域为_____． 39．（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数则的值域是（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高三上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 41．（25-26高三上·上海虹口·期末）函数的值域为___________． 42．（2026高三上·上海·专题练习）函数的值域为______． 典例十：复杂(根式型、分式型等)函数的值域 43．（2026高三·全国·专题练习）函数的值域是_____. 44．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的值域为，求，的值． 45．（25-26高三上·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 46．（2026高三·全国·专题练习）函数的值域是__. 47．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则的最小值为______． 48．（2026高三·全国·专题练习）（1）若函数在上的值域是，则实数a的值为______． （2）函数的最小值为______． （3）函数的最大值为______． 典例十一：复合函数的值域 49．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期末）（1）求函数的定义域； （2）求函数的值域； （3）求函数的值域. 50．（25-26高三上·广西南宁·阶段检测）已知函数，函数. (1)求函数的值域； (2)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围. 51．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的值域是，则实数的取值范围是__________. 52．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围. 典例十二：根据函数的值域求定义域 53．（2023·上海嘉定·一模）若函数的值域是，则此函数的定义域为______. 54．（25-26高三上·全国·单元测试）已知函数的定义域为，值域为，则为（    ） A． B． C． D． 55．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 56．（23-24高三上·河南开封·期末）已知函数 的值域为，则的定义域可以是______ 57．（23-24高三上·安徽·阶段检测）（多选）下列判断正确的是（    ） A．若是一次函数，满足，则 B．命题“”的否定是“” C．函数的定义域为，值域，则满足条件的有3个 D．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 58．（23-24高三上·江苏镇江·阶段检测）已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有________个. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $