3.1 导数的概念及运算（精讲）-备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

该高中数学讲义聚焦导数的概念及运算这一高考核心模块，系统梳理导数的定义、几何意义、基本公式、运算法则及复合函数求导，构建从概念到运算再到切线应用的知识体系。通过知识复习夯实基础，典例精讲突破重点，真题训练强化应用，助力学生形成完整的解题思路。 资料以数学思维培养为核心，创新设计“概念辨析-运算技巧-切线综合”三阶教学活动，如结合常用结论中的切线方程推导重要不等式，提升学生逻辑推理与模型建构能力。设置分层例题覆盖基础到压轴题，配合即时方法总结，帮助学生高效突破考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

3.1 导数的概念及运算（精讲） 第一部分：知识复习 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 【注意】求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4．导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)； (4)[cf(x)]′＝cf′(x). 5．复合函数的定义及其导数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数．复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． [常用结论] 几类重要的切线方程 （1）直线y＝x－1是曲线y＝ln x的切线，直线y＝x是曲线y＝ln(x＋1)的切线，如图1. (2)直线y＝x＋1与直线y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图2. (3)直线y＝x是曲线y＝sin x与y＝tan x的切线，如图3. (4)直线y＝x－1是曲线y＝x2－x，y＝xln x及y＝1－的切线，如图4. 由以上切线方程可得重要不等式，如ln x≤x－1，x＋1≤ex等． 第二部分：典型例题 典例一：导数的概念 1．（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知，则函数在处的瞬时变化率为____________． 2．（25-26高二下·山东青岛·期末）一个物体从高处做自由落体运动，时该物体距离地面的高度（单位：m）为，则该物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知函数，则（   ） A． B． C．3 D．5 4．（25-26高二下·河北承德·期中）设函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）（多选）下列命题正确的有（      ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 6．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知函数满足，则（ ） A． B． C．2 D．4 典例二：导数的四则运算 7．（25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测）已知下列四个命题，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·山东聊城·期中）（多选）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·江苏·期中）已知函数，则（    ） A．3 B．1 C．0 D．-1 11．（25-26高二下·河北保定·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D．3 12．（25-26高二下·四川眉山·期中）函数，则（    ） A． B． C． D． 典例三：求在曲线上一点处的切线方程 13．（2026·全国一卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知曲线，那么曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．2 D．2或 16．（2026·广东湛江·二模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 17．（2026·河北邢台·一模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·广东珠海·阶段检测）已知函数，则函数在处的切线方程是_____________. 典例四：求过曲线上一点处的切线方程 19．（25-26高二下·广东江门·期中）过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 20．（25-26高二下·河南焦作·期末）过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 21．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（    ） A．无数条 B．3条 C．2条 D．1条 22．（2026·河北·三模）若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高二下·河北邢台·期中）已知函数，曲线在点处的切线方程是． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 24．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）已知函数，则过点且与曲线相切的直线的方程为________. 典例五：已知切线方程（或斜率）求参数 25．（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 26．（2026·河北雄安·三模）过点可向曲线作三条切线，则实数的取值范围为________． 27．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知曲线有两条过点的切线，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）已知函数，若过点可以作曲线的3条切线，则实数的取值范围是___________. 29．（25-26高二下·天津·阶段检测）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数________． 30．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知函数，直线与曲线相切，则实数a=______． 典例六：共切点的公切线问题 31．（2026·江苏连云港·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________． 32．（25-26高二下·甘肃·期中）已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 33．（25-26高二下·山东临沂·期中）已知过点的直线是曲线与的公共切线，则实数的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 34．（25-26高三·北京·一轮复习）已知函数.若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线， 求的值. 35．（25-26高二下·山东临沂·期中）已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是______ 36．（25-26高二下·全国·课后作业）若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 典例七：不同切点的公切线问题 37．（2026·福建泉州·模拟预测）已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 38．（25-26高二下·湖北·阶段检测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 39．（25-26高二下·四川成都·期中）若直线与曲线相切于点P，与曲线相切于点Q，则__________． 40．（2026·广西河池·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________． 41．（25-26高二下·江西·期中）（多选）已知函数的公切线为，则的值可能是（    ） A．2 B． C．3 D． 42．（25-26高二下·天津·阶段检测）若直线是曲线与曲线的公切线，则______ 典例八：与切线有关的其他问题 43．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 44．（2026·山东东营·模拟预测）已知，则函数与公切线斜率的最大值为_________． 45．（25-26高二下·江西抚州·期中）已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是___________． 46．（25-26高二下·河南·期中）函数图象上的点到直线的距离的最小值为___________. 47．（2026高二·全国·专题练习）已知函数，的导函数为．判断经过点的曲线的切线有多少条. 48．（25-26高二下·江苏南通·期中）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 导数的概念及运算（精讲） 第一部分：知识复习 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 【注意】求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4．导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)； (4)[cf(x)]′＝cf′(x). 5．复合函数的定义及其导数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数．复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． [常用结论] 几类重要的切线方程 （1）直线y＝x－1是曲线y＝ln x的切线，直线y＝x是曲线y＝ln(x＋1)的切线，如图1. (2)直线y＝x＋1与直线y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图2. (3)直线y＝x是曲线y＝sin x与y＝tan x的切线，如图3. (4)直线y＝x－1是曲线y＝x2－x，y＝xln x及y＝1－的切线，如图4. 由以上切线方程可得重要不等式，如ln x≤x－1，x＋1≤ex等． 第二部分：典型例题 典例一：导数的概念 1．（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知，则函数在处的瞬时变化率为____________． 【答案】 【分析】由函数在某点的瞬时变化率等于该点的导数值，即可求解. 【详解】由，可得： ，， 将代入导函数得：， 即在处的瞬时变化率为. 2．（25-26高二下·山东青岛·期末）一个物体从高处做自由落体运动，时该物体距离地面的高度（单位：m）为，则该物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】对求导，得. 将代入导函数，得. 3．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知函数，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】由题得，，令，因为，所以，则 . 4．（25-26高二下·河北承德·期中）设函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用导数在处的定义，与导函数在处导数值相等即可求解. 【详解】==， 而，所以，. 5．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）（多选）下列命题正确的有（      ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【分析】根据导数的定义即可判断A；利用复合函数的求导法则即可判断B；利用导数的四则运算即可判断CD. 【详解】对于A，已知，根据导数的定义，， 所以，故A错误； 对于B，已知函数，则， 又因为，则，解得，故B正确； 对于C，根据导数的四则运算，，故C错误； 对于D，已知，其中是一个常数， 所以，令，则有，解得，故D正确. 6．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）已知函数满足，则（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】由题设结合导数定义可得答案. 【详解】 . 典例二：导数的四则运算 7．（25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测）已知下列四个命题，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本函数的求导公式以及复合函数的求导法则即可结合选项求解. 【详解】，A选项正确； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项错误； 8．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以A运算正确，不符合题意； ，所以B运算错误，符合题意； ，所以C运算正确，不符合题意； ，所以D运算正确，不符合题意． 9．（25-26高二下·山东聊城·期中）（多选）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，，，，故AC正确，BD错误. 10．（25-26高二下·江苏·期中）已知函数，则（    ） A．3 B．1 C．0 D．-1 【答案】B 【分析】对函数求导，代入求解即可. 【详解】由求导可得：， 将代入导函数，可得： 整理得：，即. 11．（25-26高二下·河北保定·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】首先根据简单的复合函数的导数求得，再将代入即可得解. 【详解】因为，所以， 所以． 12．（25-26高二下·四川眉山·期中）函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，故. 典例三：求在曲线上一点处的切线方程 13．（2026·全国一卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 14．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数求导，得到，再结合，即可得解． 【详解】，则，又， 则所求切线方程为，即． 故选：A． 15．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知曲线，那么曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【分析】求出曲线的导数，代入切点坐标即可求出对应切线斜率. 【详解】，， 根据导数几何含义可知曲线在点处的切线斜率为2. 故选：C. 16．（2026·广东湛江·二模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，可得，结合导数的几何意义求切线方程. 【详解】由，得， 则， 所以曲线在点处的切线方程为． 故选：B. 17．（2026·河北邢台·一模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. 18．（25-26高二下·广东珠海·阶段检测）已知函数，则函数在处的切线方程是_____________. 【答案】 【分析】先应用导数运算律得出，进而根据导函数的几何意义结合条件得出切线方程. 【详解】由题可得：，所以，解得：， 又， 则函数在的切线方程是，即. 典例四：求过曲线上一点处的切线方程 19．（25-26高二下·广东江门·期中）过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 【答案】D 【分析】分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解． 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或． 20．（25-26高二下·河南焦作·期末）过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设切点为，利用切点坐标表示出切线方程，然后代入点，求出即可得解. 【详解】设切点为，因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又该切线经过点，所以， 整理得，解得或， 所以切线方程为或. 故选：C 21．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（    ） A．无数条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】B 【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，利用导数的几何意义求出过原点的切线方程即可. 【详解】设过原点作函数的切线的切点为， 而，则， 因此切线方程为， 由切线过原点，得， 则或，当时，切线方程为； 由，得或， 当时，切线方程为； 当时，切线方程为， 所以过原点可作函数图象的切线条数为3. 22．（2026·河北·三模）若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，由已知建立方程，利用方程无解列式求解. 【详解】函数，求导得， 则函数的图象在处的切线方程为， 由原点不在该切线上，得关于切点横坐标的方程无解， 即无解，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 23．（25-26高二下·河北邢台·期中）已知函数，曲线在点处的切线方程是． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）结合切点既在曲线上又在切线上的条件，列方程组即可求解； （2）通过设切点，利用切线方程过已知点的条件，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 则， 解得，． （2）由（1）可知，则． 当切点是时，所求切线斜率， 则所求切线方程为，即． 当切点不是时，设与曲线相切的切点为， 由导数的几何意义可得， 整理得，即， 解得（舍去）， 则所求切线斜率， 故所求切线方程为，即． 综上，所求切线方程为或． 24．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）已知函数，则过点且与曲线相切的直线的方程为________. 【答案】或 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，设切点为， 则切线方程为， 整理得， 故有， 整理得， 故或， 当时，直线的方程为，即； 当时，直线的方程为， 即； 即直线的方程为或. 典例五：已知切线方程（或斜率）求参数 25．（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最大值. 【详解】由，求导得， 设直线与曲线相切于点，则有， 解得，则，而为正实数， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 26．（2026·河北雄安·三模）过点可向曲线作三条切线，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】设切点坐标为，借助导数的几何意义计算可得切线方程为，将点代入，可得，构造相应函数，则可得该函数的图象与直线有三个不同交点，借助导数研究单调性后计算即可得解. 【详解】设曲线的切点坐标为，， 则切线方程为， 点在该直线上，有， 整理得， 由题意可得函数的图象与直线有三个不同交点， ， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， ，， 又当时，，时，， 故当时，函数的图象与直线有三个不同交点， 即实数的取值范围为. 27．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知曲线有两条过点的切线，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点，求出切线方程，将点代入切线方程，得到关于的一元二次方程；曲线有两条过点的切线等价于方程有2个不等实根，得到，解不等式即可. 【详解】. 设切点坐标为，其中. 在切点处的切线斜率为， 则切线方程可表示为. 又切线过点，则， 因为，所以，整理得. 因为曲线有两条过点的切线，等价于关于的方程有2个不等实根，即， 而，所以， 解得或. 故实数t的取值范围是. 28．（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）已知函数，若过点可以作曲线的3条切线，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】先求出过点的切线方程，原题等价于有3个不同的实数根，设，求的单调性，极值，列式解不等式即可求出实数的取值范围. 【详解】设切点坐标为，由题可得，所以切线的斜率， 切线方程为，因为切线过点， 所以，即. 原题等价于上述关于的方程有3个不同的实数根， 设，则， 令，得，， 当时，，单调递增，当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，， 所以， 解得，所以的取值范围是. 29．（25-26高二下·天津·阶段检测）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数________． 【答案】/ 【分析】对函数求导数，然后根据切线与已知直线垂直建立方程求解即可. 【详解】因为直线的斜率为：， 又曲线在点处的切线与直线垂直， 所以曲线在点处的切线的斜率为：， 由，则， 所以，解得：. 30．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知函数，直线与曲线相切，则实数a=______． 【答案】 【详解】函数的定义域为，对其求导可得：， 设直线与曲线的切点横坐标为：， 根据导数的几何意义，切线斜率等于切点处的导数值，因此有：，即， 又切点同时在曲线和切线上，因此函数值满足：， 结合两式得，解得， ，解得. 典例六：共切点的公切线问题 31．（2026·江苏连云港·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________． 【答案】 【详解】，. 设曲线与曲线在点处有公切线， 所以，即，解得，. 所以，正数的值为5. 32．（25-26高二下·甘肃·期中）已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 【答案】D 【分析】根据切线重合列方程，求得切点的横坐标，进而求得的值. 【详解】设两函数，的图象公共点的坐标为，则有①. 分别对两函数求导可得及， 由两函数在公共点处的切线重合，可得两函数在处的斜率相等， 即，即，解得或. 将代入①可得；将代入①可得，解得， 所以的值为0或1. 33．（25-26高二下·山东临沂·期中）已知过点的直线是曲线与的公共切线，则实数的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 【答案】A 【分析】先设切点坐标为，再求切线方程，再将点代入切线方程中，构造函数，通过其单调性求出，进而求出切线方程，再联立切线方程与，利用即可求得. 【详解】设曲线的切点坐标为， 因，则切线斜率为， 故切线方程为， 将点代入切线方程中得，即， 若，则，故，则， 若，则，，，则，即， 令， 则， 则得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，即，等号成立时， 故， 故切线方程为， 联立，得， 则，得或. 故选：A 34．（25-26高三·北京·一轮复习）已知函数.若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线， 求的值. 【答案】， 【分析】根据导数的几何意义可知，结合切点坐标可构造方程组求得. 【详解】函数，求导得，， 则，， 由曲线与曲线在交点处具有公共切线，得， 又，即，解得， 所以，. 35．（25-26高二下·山东临沂·期中）已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是______ 【答案】 【分析】由题意可知在存在公切线，由同一条切线的斜率相等，截距相等可将问题转化为方程在上有解，构造函数，利用导数求得的值域，结合题干条件可求得实数a的取值范围. 【详解】由题意可知在上分别存在两个点，使得在处的切线与在处的切线为同一条直线， 因为，由同一条切线的斜率相等可得， 由同一条切线的截距相等，可得， 即， 将斜率相等的表达式代入可得， 即方程在上有解， 令，则， 令，得，当时，；当时，， 且当时，；当时，， 所以存在极大值同时也是最大值，所以的值域为， 若方程在上有解，则， 又，所以. 故答案为：. 36．（25-26高二下·全国·课后作业）若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点，根据导数求解斜率，可得和，进而将问题转化为与函数的图象有交点，即可根据导数求解. 【详解】由得，曲线在点处的切线斜率为 由得在点处的切线斜率为， 如果两条曲线存在公共切线，那么． 又由斜率公式可得，由此得到，则有解， 所以直线与函数的图象有交点即可． 当直线与函数的图象相切时， 设切点为，则，且，得，即有切点，此时， 故实数a的取值范围是．    故选：D． 典例七：不同切点的公切线问题 37．（2026·福建泉州·模拟预测）已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 【答案】 【分析】根据两条曲线的其中一条公切线为，结合导数的几何意义求出，设出另一条切线的两条曲线的切点坐标，得到切线方程，联立方程组求解即可. 【详解】对，求导得， 设切点为，切线斜率，解得，则切点为，切线方程为，满足条件. 对，求导得. 设切点为，则切线斜率为，所以，故切点坐标为， 代入切线中得，，则. 设另一条公切线与相切于，则切线方程为， 即. 设该公切线与相切于，则切线方程为， 即. 所以，解得或. 当时，对应切线方程为，即已知切线方程； 当时，对应切线方程为. 故另外一条公切线的方程为. 38．（25-26高二下·湖北·阶段检测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 【答案】 【分析】先求出曲线在处的切线方程，再利用该切线与第二条曲线相切的条件，结合导数的几何意义联立方程求解参数. 【详解】函数的定义域为，求导得 ， 当时，导数值 ，即切线斜率为； 由点斜式得切线方程为，整理为， 设直线与相切于点， 对，求导得， 由导数的几何意义，切点处导数值等于切线斜率，即 ，解得， 因此切点坐标为 ，又切点在切线上， 代入得： ，解得. 39．（25-26高二下·四川成都·期中）若直线与曲线相切于点P，与曲线相切于点Q，则__________． 【答案】 【分析】对两个曲线函数求导，设出切点坐标，根据导数的几何意义列出方程，进而计算即可. 【详解】对曲线函数求导得，对曲线函数求导得， 设切点，， 因为直线与曲线相切于点P，所以. 因为直线与曲线相切于点Q，所以. 所以，得到， 化简得，解得，所以. 40．（2026·广西河池·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________． 【答案】 【分析】先利用公切线斜率求出的切点，代入得的值，再设上的切点，结合导数的几何意义和切点在函数图象上联立方程，利用函数单调性求，进而得，最后代入计算结果. 【详解】设直线与的切点为， 对求导得，由切线斜率为，得，解得， 故切点为，代入得，解得， 设直线与的切点为， 对求导得， 由切线斜率为，得 ， 又切点在图象上，故 ， 则， 设，则，故在上单调递增， 又，故，则，解得， 因此. 41．（25-26高二下·江西·期中）（多选）已知函数的公切线为，则的值可能是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】CD 【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义得到切线方程，得到，，联立求出或，从而得到切线方程，求得答案. 【详解】设与相切于点， ，故切线斜率， 在点处的切线方程为， 即，故， 设与相切于点， ，则，所以，解得， 在处的切线方程为， 即，故， 所以， 将代入上式得， 整理得，解得或， 当时，切线方程为，此时，所以； 当时，切线方程为，故，，所以； 综上所述：或3. 42．（25-26高二下·天津·阶段检测）若直线是曲线与曲线的公切线，则______ 【答案】 【分析】设切线与的切点为和，利用导数的几何意义，分别求得切线方程和，结合题意，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数和，可得和， 设公切线与的切点为， 可得，所以切线方程为，即， 因为公切线的方程为，可得，解得， 所以与的公切线的方程， 设公切线与的切点为，可得， 所以切线方程为，即， 因为公切线的方程为，可得，解得. 典例八：与切线有关的其他问题 43．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义分别求出切线方程，从而得出，利用换元法把问题转化为有两个不同解，求导并分析函数的单调性和最大值，结合极限分析求出的取值范围． 【详解】设曲线上的切点为，求导得， 则切线方程为，即， 设该切线与曲线切于点，求导得， 则切线方程为，即， ，即①，②， 把①代入②消去得，由得，解得， 令，则，代入①得， 令，问题转化为有2个不同解， 求导，时，，单调递增； 时，，单调递减； 最大值，和时，， ，， ，即． 44．（2026·山东东营·模拟预测）已知，则函数与公切线斜率的最大值为_________． 【答案】 【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义写出切线方程，根据公切线的概念，表示出切线斜率，再构造函数，求函数的最大值即可. 【详解】设公切线与的切点为，与的切点为. 因为，. 所以公切线方程为， 也可以写成. 由， 所以（）. 设，， 则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 即公切线的斜率. 45．（25-26高二下·江西抚州·期中）已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【详解】要使得两点之间的距离最小，可使直线与平行，且直线与曲线相切时， 与的距离即两点之间的最小距离， 由，解得． 由得直线的方程为，即， 则与的距离， 即两点之间距离的最小值是． 46．（25-26高二下·河南·期中）函数图象上的点到直线的距离的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】求解导数令求解，可得曲线在切点处的切线与直线平行，再由两平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】将函数求导得 令，得（负值舍去），又， 则曲线在点处的切线方程为，即， 依题意，该函数图象上的点到直线的距离的最小值即直线与的距离， 因为 则函数图象上的点到直线的距离的最小值为. 47．（2026高二·全国·专题练习）已知函数，的导函数为．判断经过点的曲线的切线有多少条. 【答案】2条 【分析】利用导数的几何意义求函数图象上任意一点的切线方程，把代入整理，将问题化为判断有几个根，即可得. 【详解】因为，所以曲线在点处的切线方程为． 将代入，整理得， 因为，所以，又， 所以方程有两个不同的根，即方程共有2个不同的根， 所以经过点的曲线的切线有2条． 48．（25-26高二下·江苏南通·期中）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】设公切线与的切点为， 因为，所以， 因为，所以， 则，得. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $