第十章 课时3 回归分析讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦回归分析高考核心考点，依据课标要求系统梳理变量相关关系、样本相关系数、线性回归方程及非线性回归分析等知识，通过基础回顾、考点扫描、真题训练等环节，帮助学生构建知识体系，突破最小二乘法应用等难点，体现复习系统性与针对性。 资料以培养数据观念和模型意识为核心，创新采用“考点解析+真题案例+分层训练”教学模式，如在非线性回归分析中引导学生通过比较相关系数选择最优模型，强化用数学语言表达现实问题的能力。设置基础巩固与能力提升练习，配合即时反馈，确保高效复习，为教师把控节奏提供指导，助力学生提升应考能力。

课时3 回归分析 一、课标要求 1．结合实例，了解样本相关系数的统计含义. 2．结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关统计软件. 3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测. 二、知识梳理 1．变量间的相关关系 （1）两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为 . （2）常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性函数关系，另一类是 ；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系． （3）从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，就称这两个变量 ；当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，就称这两个变量 . （4）一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，那么我们就称这两个变量 . 2．回归分析 （1）样本相关系数r r＝，用它来衡量两个变量间的线性相关关系的强弱． r具有如下性质：①|r|≤1；②当时，称成对样本数据呈正相关，当时，称成对样本数据呈负相关；③|r|越接近1，x，y的线性相关程度 ，|r|越接近0，x，y的线性相关程度 ． （2）回归方程 ①最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的 最小的方法叫最小二乘法． ②线性回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为，则，，其中，称为回归 ，称为回归 ，称为 ． ③对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 【拓展知识】 1. 在散点图中，如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，那么就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，那么变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系． 2. 判定两个变量正、负相关性的方法 （1）画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量呈正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量呈负相关． （2）相关系数：r>0时，呈正相关；r<0时，呈负相关． （3）线性回归方程中：当>0时，呈正相关；当<0时，呈负相关． 3. 决定系数 越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差. 三、基础回顾 1．判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）假如女儿身高(单位：cm)关于父亲身高(单位：cm)的回归方程为.已知父亲身高175cm，则女儿的身高一定是167.57cm. （ ） （2） 相关系数越小，相关程度越小. （ ） （3） 回归直线方程不一定经过样本点的中心 . （ ） （4） 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好. （ ） 2．已知两个变量的相关关系有:①正相关；②负相关；③不相关.则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系依次是(　 　) 　　　　 A．①②③ B．②③① C．②①③ D．①③② 3．（多选题）对于两个变量x和y进行回归分析，得到一组样本数据：，，…，，则下列说法正确的有（ ） A. 由样本数据得到的回归直线必经过样本点中心 B. 用决定系数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好 C. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D. 用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于1，相关性越弱 4．(2025·福建福州市统考)已知变量x和y的统计数据如下表： x 6 7 8 9 10 y 3.5 4 5 6 6.5 若由表中数据得到线性回归方程为＝0.8x＋，则x＝10时的残差为________.(注：实际观测值减去预测值称为残差) 四、考点扫描 考点一 相关系数 例1 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得． （1）试估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数.（精确到0.01） 参考公式和数据：相关系数． 对点训练 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，，，，．求： （1） 该地区这种野生动物数量的估计值；（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数） （2） 样本的相关系数.（精确到） 参考公式和数据：相关系数，． 考点二 线性回归方程 例2（2025·四川成都市模拟）某公司使用虚拟角色直播带货，销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2025年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计． 年月 2025年8月 2025年9月 2025年10月 月份编号x 1 2 3 销售金额y/万元 15.4 25.4 35.4 年月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 月份编号x 4 5 6 销售金额y/万元 85.4 155.4 195.4 若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，回答下面问题： (1) 试求变量y与x的样本相关系数r(结果精确到0.01)； (2) 试求y关于x的经验回归方程，并据此预测2026年2月份该公司的销售金额(，均保留一位小数)． 参考数据：xiyi＝2 463.4，＝20． 对点训练 （2025·上海高考）2024年东京奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列． 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 （1）求这组数据的极差与中位数； （2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； （3）若比赛成绩关于年份的回归方程为，年份的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）． 考点三 非线性回归分析 例3(2025·浙江台州市二模)台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势．某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入，该公司近 5年的年广告费xi(单位：百万元)和年销售量yi(单位：百万辆)关系如图所示． 令vi＝lnxi(i＝1,2，…，5)，数据经过初步处理如下： yi vi (xi－)2 (yi－)2 44 4.8 10 40.3 (vi－)2 (xi－)(yi－) (yi－)(vi－) 1.612 19.5 8.06 现有①y＝bx＋a和②y＝nlnx＋m两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数． (1) 请从样本相关系数的角度分析哪一个模型拟合程度更好. (2) 根据(1)的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求y关于x的经验回归方程，并预测年广告费为6百万元时，产品的年销售量是多少. 参考数据：＝8.06，≈20.1，ln5≈1.6，ln6≈1.8． 对点训练 近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2021年至2025年的利润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图．其中2021年至2025年对应的年份代码依次为1,2,3,4,5． (1) 根据散点图判断，y＝a＋bx和y＝c＋dx2哪一个适宜作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由) (2) 根据(1)中的判断结果，建立y关于x的回归方程； (3) 根据(2)的结果，估计2026年的企业利润． 参考数据：x＝55，x＝979，yi＝390，xiyi＝1 221，xyi＝4 607.9． 课时3 回归分析参考答案 二、知识梳理 1．（1） 相关关系 （2） 相关关系 （3）正相关 负相关 （4）线性相关 2．（1） 越强 越弱 （2） ①距离的平方和 ②截距 系数 回归值 三、基础回顾 1．（1）×【解析】将175代入回归方程得到的167.57cm是估计值. （2）×【解析】|r|越接近1，x，y的线性相关程度越强，|r|越接近0，x，y的线性相关程度越弱． （3）×【解析】回归直线方程一定经过样本的中心. （4）√【解析】残差平方和越小，模型的拟合效果越好；残差平方和越大，模型的拟合效果越差. 2. D【解析】 第一个散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，是正相关；第三个散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，是负相关；第二个散点图中的点的分布没有什么规律，是不相关．故选D. 3．AC【解析】样本中心点在回归直线上，A正确； 越大拟合效果越好，B错误； 残差平方和越小的模型，拟合效果越好，C正确； 用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，|r|越接近于1，相关性越强，D错误.故选AC. 4．－0.1【解析】　＝＝8，＝＝5，则＝5－0.8×8＝－1.4，所以＝0.8x－1.4，当x＝10时，＝6.6，所以当x＝10时的残差为6.5－6.6＝－0.1. 四、考点扫描 例1【解】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值.样本中10棵这种树木的材积量的平均值.据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为. （2） .则. 对点训练 【解】（1）样区野生动物平均数为，地块数为，该地区这种野生动物的估计值为． （2）样本的相关系数为． 例2【解】＝＝，＝＝85.4，x－62＝1＋4＋9＋16＋25＋36－6×＝17.5，所以r＝＝＝≈0.96． （2）由题意知 ＝＝≈38.3，所以＝85.4－×38.3≈－48.7，所以y关于x的经验回归方程为y＝38.3x－48.7，所以预测2026年2月份该公司的销售金额为y＝38.3×7－48.7＝219.4(万元)． 对点训练【解】（1）数据从小到大排列为：206.78，207.46，207.95，209.34，209.35，210.68，213.73，214.84，216.93，216.93，所以这10个数据的极差为，中位数为． （2）由题意知，10个数据中在211以上有4个，从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率． （3）由题意知，，则，所以.令，得．故预测2028年冠军队的成绩为204.56． 例3 【解】（1）设模型①和②的样本相关系数分别为r1，r2．由题意可得r1＝＝≈≈0.97，r2＝＝＝＝1，所以|r1|＜|r2|．由样本相关系数的性质可得，模型②的拟合程度更好． （2）由＝＝＝5，＝vi＝0.96，＝yi＝8.8，得m＝－5＝8.8－5×0.96＝4，所以y＝5v＋4，即经验回归方程为y＝5lnx＋4．当x＝6时，y＝5ln6＋4≈13，因此当年广告费为6百万元时，产品的年销售量大概是13百万辆． 对点训练【解】 （1）由散点图的变化趋势，知y＝c＋dx2适宜作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的回归方程类型． （2） 设＝x2＋，则由题意得＝x＝11，＝yi＝78， ＝＝＝＝0.85，＝－×＝78－0.85×11＝68.65，所以＝68.65＋0.85x2． （3） 令x＝6，则＝68.65＋0.85×62＝99.25，故估计2026年的企业利润为99.25亿元． . 学科网（北京）股份有限公司 $