2027届高考数学一轮复习讲义-第九章 课时3 随机事件的概率

该高中数学高考复习讲义聚焦随机事件的概率、古典概型核心考点，依据课标要求系统整合样本点、样本空间、事件关系与运算、古典概型特征及概率计算、频率与概率关系等知识，通过知识梳理构建概念网络，基础回顾夯实根基，考点扫描（含例题精讲与对点训练）突破重点，形成“概念-性质-应用”的复习体系，体现系统性与针对性。 资料注重数学思维与数学眼光的培养，如在古典概型教学中，通过抛掷骰子、摸球等实例引导学生运用推理能力分析样本空间，在频率估计概率中结合蹦床公园、酸奶销售等实际问题培养数据意识与模型观念。设置分层练习（基础判断、选择，综合解答题），配合即时反馈，帮助学生高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

课时3 随机事件的概率、古典概型 一、课标要求 1．理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系. 2．理解有限样本空间中随机事件的交、并运算，掌握概率的基本性质. 3．理解古典概型，会计算古典概型中简单随机事件的概率. 4．理解频率与概率的关系，会用频率估计概率． 二、知识梳理 1．样本点、样本空间、随机事件 (1) 随机试验的每个可能的基本结果称为_______，全体样本点的集合称为试验的__________，用Ω表示．如果一个随机试验有_______个可能结果，那么样本点的集合称有限样本空间． (2) 随机试验中的样本空间的子集称为随机事件，简称_______．只包含一个样本点的事件称为_______事件；当且仅当随机事件中某个样本点出现时，称为事件_______． (3) Ω作为自身的子集，每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为_______；空集不包含任何样本点，每次试验中都不会发生，称为_______． 2．事件的关系与运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图示 包含 A发生导致B_______ AB 相等 A包含B，B_______A A＝B 并事件(和事件) A与B_______发生 AB或A＋B 交事件(积事件) A与B_______发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B_______发生 A∩B＝ 互为对立 A与B_______发生 A∩B＝，AB＝Ω 事件A的对立事件记为_______． 3．古典概型 (1) 古典概型的特征 ① 有限性：样本空间中样本点的个数是_______； ② 等可能性：每个样本点发生的可能性_______． (2) 古典概型的概率 一般地，设试验是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的m个样本点，则事件A的概率P(A)＝_______＝_______． 4．概率的基本性质 (1) 性质1：对任意事件A的概率的取值范围是______________； (2) 性质2：必然事件Ω的概率是_______，不可能事件的概率是_______； (3) 性质3：若事件A与事件B互斥，则A，B和事件的概率P(A＋B)＝______________； (4) 性质4：若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＋P(B)＝_______，P(A)＝_________； (5) 性质5：若事件A包含于事件B，则P(A)_______P(B)； (6) 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，则P(A＋B)＝_____________________． 5．概率与频率 (1) 频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例(A)＝_______为事件A出现的频率．频率是随机的，不同的试验，得到频率可能不同． (2) 概率：对随机事件发生的可能性大小的度量(数值)．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用_______来估计概率P(A)． 【拓展知识】 1．概率加法公式的推广 若事件A是多个互不相容的事件，，…，的和事件，则P(A)＝______________． 2．三个事件和的概率 设A，B，C是一个随机试验中的任意三个事件，则事件A＋B＋C的概率P(A＋B＋C)＝______． 三、基础回顾 1．判断正误.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 在一定条件下，一定发生的事件是必然事件，一定不发生的事件是不可能事件． ( ) (2) 在一次随机试验中，事件A和事件B包含的样本点数相同，那么A＝B． ( ) (3) 掷两枚硬币，样本空间Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，反)}． ( ) (4) 一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品． ( ) 2．甲、乙两个元件构成一并联电路，设E＝“甲元件故障”，F＝“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为 ( ) A．EF B．E∩F C． D． 3．(多选题) 已知Ω为实验E的样本空间，随机事件Ω′Ω，则有 ( ) A．Ω为必然事件，且P(Ω)＝1 B．为不可能事件，且P()＝0 C．若P(Ω′)＝1，则Ω′为必然事件 D．若P(Ω′)＝0，则Ω′不一定为不可能事件 4． 抛掷两枚质地均匀的六面体骰子，记事件A＝“两枚点数之和为8”， 事件B＝“至少有一枚骰 子的点数为5”．则P(AB)＝_____；P(A＋B)＝_____． 四、考点扫描 考点一 样本空间与随机事件 例1 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法如下：从装有2 个红球，和1个白球B的甲箱与装有2个红球，和2个白球，的乙箱中，各随机摸出1 个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖． (1) 用球的标号列出所有可能的摸出结果. (2) 有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由． 对点训练 判断下面问题的解答是否正确. 若不正确，给出正确解答． 问题：拋掷两枚质地均匀的骰子，求事件A＝“两个点数之和是5的倍数”的概率． 解：拋掷两枚骰子，“点数之和”的样本空间Ω＝{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}， A＝{5，10}，所以P(A)＝．即“两个点数之和是5的倍数”的概率为． 考点二 事件的关系与运算 考向1 事件关系的判断 例2 (1)口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则下列事件是互斥而不对立的为(　 　) A．“至少有1个红球”与“至少有1个黑球” B．“至少有1个红球”与“都是黑球” C．“至少有1个红球”与“至多有1个黑球” D．“恰有1个红球”与“恰有2个红球” (2) （多选题）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品，从这批产品中任意抽取5 件．记“恰有一件次品”为事件A；“至少有2件次品”为事件B；“至少有1件次品”为事件C；“至多有1件次品”为事件D．下列结论正确的有 （ ） A．AB＝C B．BD＝Ω C．A∩B＝C D．A∩D＝C 考向2 利用互斥、对立事件求概率 例3 某商场的有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C.求： (1)1张奖券的中奖概率； (2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 规律方法： 对点训练 (1)抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”.下列结论正确的是(　 　) A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥 C．A与B相等 D．P(A)＝P(B) （2）(多选题)已知甲罐中有四个相冋的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为 1，2，3，5，6.现从甲罐、乙罐中分别随机柚取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”．则有 ( ) A．事件A发生的概率为 B．事件AB发生的概率为 C．事件A∩B发生的概率为 D．从甲罐中抽到标号是2的小球的概率为 考点三 古典概型 例4 (1) （2025春·上海高考）有一四边形，对于其四边，，，，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币，如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达点的概率为　　 A． B． C． D． （2）（2024·全国甲卷）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不超过的概率是______． 对点训练 (1)(2025·湖北十一校联考)在“2,3,5,7,11,13,17,19”这8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是(　　) A. B. C. D. （2）(2025·海南四校联考)从不包含大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方片”，且P(A)＝P(B)＝，记事件C＝“抽到黑花色”，则P(C)＝________． 考点四 随机事件的频率与概率 例5 蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动，随着全民健身时代的到来，蹦床越来越受到人们的喜爱.某大型蹦床主题公园为吸引顾客，推出优惠活动,对首次消费的顾客，先注册成为会员，首次按60元收费．对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下： 消费次数 第1次 第2次 第3次 第4次 ≥第5次 收费比例 1 0.95 0.90 0.85 0.80 该蹦床主题公园从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下： 消费次数 1 2 3 4 ≥5 频数 60 20 10 5 5 假设每消费一次，蹦床主题公园的成本为30元.根据所给数据，解答下列问题： (1) 以频率估计概率，估计该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率； (2) 某会员消费6次，求这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润； (3) 以样本估计总体，假设从消费次数为3和4的会员中采用分层抽样的方法共抽取6人进行满意度调查，再从这6人中随机选取2人进一步了解情况，求抽取的2人中恰有1人的消费次数为3的概率． 对点训练 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：°C)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1) 求6月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； (2) 设6月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当6月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 课时3 随机事件的概率、古典概型参考答案 二、知识梳理 1．(1)样本点 样本空间 有限 (2) 事件 基本 发生 (3) 必然事件 不可能事件 2．发生 包含 至少一个 同时 不能同时 有且仅有一个 3．(1)①有限 ②相等 (2) 4．(1) 0≤P(A)≤1 (2)P(Ω)＝1 P()＝0 (3) P(A)＋P(B) (4) 1 1－P(B) (5)≤ (6) P(A)＋P(B)－P(AB) 5．(1) (2) (A) 【拓展知识】 1．P()＋P()＋…＋P() 2．P(A)＋P(B)＋P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)＋P(ABC) 三、基础回顾 1．(1) √【解析】一定发生的事件是Ω，是必然事件，一定不发生的事件是，是不可能事件．故正确． (2)×【解析】事件A和事件B包含的样本点数相同，样本点不一定完全相同．故错误． (3)×【解析】掷两枚硬币，样本空间Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}．故错误． (4)×【解析】事件的频率稳定于概率，不一定等于概率．故错误． 2．B【解析】电路有故障，是在两个元件都有故障的情况下才发生，所以表示电路故障的事件为E∩F．故选B． 3． ABD【解析】对于选项A，当Ω为必然事件，且P(Ω)＝1，A正确． 对于选项B， 为不可能事件，且P()＝0，B正确． 对于选项C，若P(Ω′)＝1，则Ω′不一定为必然事件，若样本空间是区间[0，1]，但质点落在区间(0，1)的概率也是1，此时(0，1)不是必然事件，C错误． 对于选项D，若P(Ω′)＝0，则Ω′不一定为不可能事件，若样本空间是区间[0，1]，但质点落在x＝0处的概率为0，但此时不是不可能事件，D正确．故选ABD． 4．；【解析】抛掷两枚质地均匀的六面体骰子，n(Ω)＝36，n(A)＝5，n(B)＝11，n(AB)＝2，所以P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝．所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝＝． 四、考点扫描 例1【解】(1) 摸球结果的样本空间Ω＝{，，，，，，，，B，B，B，B}． (2) 不正确，理由如下：由(1)知，样本点总数是12．事件“摸出的2个球都是红球”＝{，，，}，共4个样本点．所以中奖的概率为＝，不中奖的概率为1－＝．因为＞，即不中奖的概率大，所以这种说法不正确． 对点训练 【解】不正确. 抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果．I号骰子出现的点数用数字m表示，Ⅱ号骰子出现的点数用数字n表示，则数组(m，n)表示这个试验的一个样本点．所以该试验的样本空间Ω＝{(m，n)m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，共有36个样本点．事件A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(4，6)，(5，5)，(6，4)}，共有7个样本点．所以P(A)＝．即“两个点数之和是5的倍数”的概率为． 例2 (1)D【解析】 对于选项A，不互斥，如“取出2个红球和1个黑球”与“至少有1个黑球”不是互斥事件，所以A不符合题意； 对于选项B，“至少有1个红球”与“都是黑球”不能同时发生，且必有其中之一发生，所以为互斥事件，且为对立事件，所以B不符合题意； 对于选项C，不互斥，如“取出2个红球和1个黑球”与“至多有1个黑球”不是互斥事件，所以C不符合题意； 对于选项D，“恰有1个红球”与“恰有2个红球”不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如“恰有3个红球”，所以D符合题意．故选D. (2)AB【解析】事件AB：至少有一件次品，即事件C，所以A正确． 事件A∩B＝，所以C不正确．事件BD：至少有两件次品或至多有一件次品包括了所有情况，所以B正确． 事件A∩D：恰有一件次品，即事件A，所以D错误．故选AB． 例3 【解】(1)设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A＋B＋C.因为A，B，C两两互斥，所以P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.故1张奖券中奖的概率为. (2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与事件“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件，所以P(N)＝1－P(A＋B)＝1－(P(A)＋P(B))＝1－＝.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 对点训练(1)D【解析】 抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．事件A包含的结果有(正，正)，(正，反)，事件B包含的结果有(正，反)，(反，反)，显然事件A，事件B都含有“(正，反)”这一结果，即事件A，事件B能同时发生，因此，事件A与事件B既不互斥也不对立，故A，B错误；因为事件A，事件B中有不同的结果，所以事件A与事件B不相等，故C错误；由古典概型知，P(A)＝＝，P(B)＝＝，所以P(A)＝P(B)，故D正确．故选D. (2)BC【解析】从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含CC＝20（个）样本点．“抽取的两个小球标号之和大于5”为{(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，3)，(3，5)，(3，6)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6)}，共11个样本点，所以P(A)＝．A错误． “抽取的两个小球标号之积大于8”为{(2，5)，(2，6)，(3，3)，(3，5)，(3，6)，(4，3)，(4，5)，(4，6)}，共8个样本点，所以P(B)＝．所以事件A包含事件B．所以P(A+B)＝P(A)＝．B正确． 所以P(AB)＝P(B)＝．C正确． “从甲罐中抽到标号为2的小球”为{(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，5)，(2，6)}，共5个样本点，所以“从甲罐中抽到标号为2的小球”的概率为．D错误．故选BC． 例4 (1)　B【解析】根据题意，对于其四边，，，，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币，共有（种）情况，要从出发沿着尚未擦去的边能到达点，若保留，两条边，则，可保留也可擦去，共有（种）情况；若保留，两条边，则，可保留也可擦去，共有（种）情况（其中有一种情况与上面重复），则要从出发沿着尚未擦去的边能到达点，共有7种情况，所以可以到达点的概率为．故选． （2）【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有(种)，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，故，故，故.若，则，则为：，故有2种，若，则，则为：，，故有10种，当，则，则为： ， ，故有16种，当，则，同理有16种，当，则，同理有10种，当，则，同理有2种，共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，故所求概率为. 对点训练 (1) C【解析】这8个素数中，任取2个不同的数，有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(2,17)，(2,19)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(3,17)，(3,19)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(5,17)，(5,19)，(7,11)，(7,13)，(7,17)，(7,19)，(11,13)，(11,17)，(11,19)，(13,17)，(13,19)，(17,19)，共28个样本点，这两个数之和仍为素数的样本点有(2,3)，(2,5)，(2,11)，(2,17)，共4个，所以这两个数之和仍为素数的概率是＝.故选C. （2） 【解析】 记事件D＝“抽到红花色”．因为D＝A∪B，且A，B不会同时发生，所以A，B是互斥事件，则P(D)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝.又因为C，D互斥，且C∪D是必然事件，所以C，D互为对立事件，所以P(C)＝1－P(D)＝. 例5【解】(1)随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有20＋10＋5＋5＝40(位)，所以该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率P＝＝． (2) 第1次消费时，蹦床主题公园获取的利润为60－30＝30(元)，第2次消费时，蹦床主题公园获取的利润为60×0.95－30＝27(元)，第3次消费时，蹦床主题公园获取的利润为60×0.90－30＝24(元)，第4次消费时，蹦床主题公园获取的利润为60×0.85－30＝21(元)，第5次或第6次消费时，蹦床主题公园获取的利润为60×0.80－30＝18(元)．所以这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润为＝23(元)． (3) 由题意知，从消费次数为3和4的会员中抽取的人数分别为4，2，这6人中，将消费3次的会员分别记为a，b，c，d，消费4次的会员分别记为e，f．从6人中随机抽取2人的情况有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f) ,(e，f)，共15种．设“抽取的2人中恰有一人的消费次数为3”为事件A，则事件A包含的.情况有(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，共8种．根据古典概型的概率计算公式可得P(A)＝． 对点训练【解】(1) 这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25．由表格数据知，最高气温低于25的频率为＝0.6， 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.6． (2) 当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间 [20,25），则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100；所以Y的所有可能值为900，300，－100．Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8． . 学科网（北京）股份有限公司 $