甘肃省武威市凉州区发放、吴家井中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年甘肃凉州区八年级下期中数学试卷，覆盖二次根式、勾股定理、平行四边形等核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合实际应用与几何探究，培养抽象能力、推理意识和空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式定义、勾股定理逆定理、平行四边形性质|基础概念辨析，如第5题直角三角形边长判断| |填空题|8/24|二次根式有意义条件、多边形内角和、折叠问题|能力提升，如第17题平行四边形折叠求AC长| |解答题|9/66|作图、二次根式计算、几何证明（矩形、正方形判定）|创新应用，如27题动点探究四边形判定，21题木板截正方形实际应用|

2025-2026学年甘肃省武威市凉州区发放、吴家井中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1．（3分）下列是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）计算等于（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，将△ABC沿直线DE折叠，折痕DE交AB于点D，交BC于点E（　　） A． B． C．3 D．4 5．（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．6，8，10 B．7，24，25 C．1.5，2，3 D．9，12，15 6．（3分）九边形的内角和为（　　） A．40° B．360° C．810° D．1260° 7．（3分）如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（　　） A．2：1 B．3：2 C．5：3 D．3：1 8．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，则△BOC的周长是（　　） A．5 B．7 C．10 D．11 9．（3分）下列式子中，能表示y是x的函数的是（　　） A．|y|＝1+|x| B．|y|＝1+x C．y＝1+|x| D．|y|＝1+x2 10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，其面积分别用S1，S2，S3表示．若S1＝34，S3＝9，则CM的长为（　　） A．8 B． C．9 D． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　 ． 12．（3分）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有　 　 个． 13．（3分）已知，则x3•y2＝　 　 ． 14．（3分）如图，在△ABC中，BA＝BC＝6，AD垂直于BC于点D，则CD的长是　 　 ． 15．（3分）如图，△ABC在正方形网格中，若小方格边长为1　 　 ． 16．（3分）如果一个n边形的内角和比外角和多900°，那么n的值是　 　 ． 17．（3分）在▱ABCD中，∠ADC＝75°，E为CD的中点，将△ECF沿着EF折叠，点C恰好落在AC上点G处，则AC的长为　 　 ． 18．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点A作AD⊥AC交AB的平行线CD与点D，F为AC上一动点，连接BE，则BE的最小值是 　 　 ． 三、解答题（共66分） 19．（7分）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1 （1）在图1中画一个平行四边形ABCD，使BC边长为（点C、D都在格点上）； （2）在图2中画一个平行四边形ABCD，使点O是它的对称中心． 20．（7分）计算： （1）． （2）． 21．（7分）现有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？ 22．（7分）已知：，，求： （1）ab； （2）a2﹣b2． 23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO的顶点分别为点A（0，﹣4），B（3，﹣4），C（3，0），O（0，0），连接BE并延长交x轴于点F，将△ABE沿直线BE翻折到△GBE （1）求证：DF＝DB； （2）当OF＝2时，求OD的长． 24．（7分）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝5，DE是AB的垂直平分线，AB于点E，D． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）求CE的长． 25．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，分别过点A，C作AE⊥BD，垂足分别为E，F，AC平分∠DAE． （1）若∠AOE＝40°，求∠ACB的度数； （2）求证：AE＝CF． 26．（7分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF． （1）求证：BE＝BF； （2）若AB＝6，AD＝8，求AE的长． 27．（10分）如图△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠GCA的平分线于点F． （1）说明EO＝FO． （2）当点O运动到何处，四边形AECF是矩形？说明你的结论． （3）当点O运动到何处，AC与BC具有怎样的关系时，四边形AECF是正方形？为什么？ 2025-2026学年甘肃省武威市凉州区发放、吴家井中学八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共30分，每小题3分） 1．（3分）下列是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． 【解答】解：∵选项A中，被开方数﹣1＜0，∴，排除A； ∵选项B中，a的符号不确定，被开方数为负数，∴，排除B； ∵对任意实数a，都有|a|≥0，被开方数恒为非负数，∴； ∵选项D中，当|a|＜5时，a2﹣1＜2，被开方数为负数，∴，排除D． 故选：C． 2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断各选项即可． 【解答】解：A．，选项式子不是最简二次根式； B．，选项式子是最简二次根式； C．，被开方数含分母，不符合题意； D．，被开方数含分母，不符合题意． 故选：B． 3．（3分）计算等于（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 【分析】根据二次根式的运算法则化简即可． 【解答】解：原式＝ ＝10﹣3 ＝7． 故选：C． 4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，将△ABC沿直线DE折叠，折痕DE交AB于点D，交BC于点E（　　） A． B． C．3 D．4 【分析】根据折叠的性质得到AE＝BE，设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x，在Rt△ACE中，根据勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：由折叠知：AE＝BE， 设CE＝x，则AE＝BE＝8﹣x， ∵AC2+CE2＝AE2， ∴66+x2＝（8﹣x）7， 解得， 故选：A． 5．（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．6，8，10 B．7，24，25 C．1.5，2，3 D．9，12，15 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解答】解：A、62+32＝102，故是直角三角形，故此选项不合题意； B、248+72＝254，故是直角三角形，故此选项不合题意； C、22+2.52≠72，故不是直角三角形，故此选项符合题意； D、96+122＝152，故是直角三角形，故此选项不合题意． 故选：C． 6．（3分）九边形的内角和为（　　） A．40° B．360° C．810° D．1260° 【分析】利用初中所学的多边形内角和定理，代入边数计算即可得到结果． 【解答】解：（9﹣2）×180°＝8×180°＝1260°． 故选：D． 7．（3分）如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（　　） A．2：1 B．3：2 C．5：3 D．3：1 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC，EF＝BC，再求出OE与BC的关系，然后利用三角形的面积公式解答即可． 【解答】解：∵EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，EF＝， ∵OE＝5OF， ∴OE＝×BC＝， 设点A到BC的距离为h， 则S△ABC＝BC•h，S△AOC＝OE•h＝×BC•h， ∴△ABC的面积与△AOC的面积之比＝8：1． 故选：D． 8．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，则△BOC的周长是（　　） A．5 B．7 C．10 D．11 【分析】直接利用平行四边形的性质得出AC＝2CO，BD＝2BO，BC＝AD＝3，再求出2OB+2OC＝8，得出OB+OC＝4，即可得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2OC，BD＝2OB． ∵AC+BD＝3，AD＝3， ∴2OC+4OB＝8． 即OC+OB＝4． △BOC的周长为：OB+OC+BC＝8+3＝7． 故选：B． 9．（3分）下列式子中，能表示y是x的函数的是（　　） A．|y|＝1+|x| B．|y|＝1+x C．y＝1+|x| D．|y|＝1+x2 【分析】对于x的每一个确定的值，若y有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，据此分析各选项即可 【解答】解：根据函数概念逐项分析判断如下： A、当x＝0时，可得y＝1或y＝﹣5，不符合定义； B、当x＝0时，可得y＝1或y＝﹣2，不符合定义； C、对任意x的确定值，因此y都有唯一确定的值和x对应； D、当x＝0时，可得y＝1或y＝﹣6，不符合定义 故选：C． 10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，其面积分别用S1，S2，S3表示．若S1＝34，S3＝9，则CM的长为（　　） A．8 B． C．9 D． 【分析】连接AE，根据正方形的面积得出，，进而求得BC，证明△BCM≌△BEA（SAS），进而得到CM＝AE，证明A、C、D三点共线，根据勾股定理，即可求解． 【解答】解：连接AE， ∵S1＝34，S3＝5， ∴AB2＝34、AC2＝5， ∴AC＝3， ∵BC2＝AB7﹣AC2＝34﹣9＝25， ∴BC＝2， 由题意可得：BC＝CD＝DE＝BE＝5、AB＝BM， ∴∠ABM+∠ABC＝∠CBE+∠ABC， ∴∠CBM＝∠ABE， 在△BCM和△BEA中， ， ∴△BCM≌△BEA（SAS）， ∴CM＝AE， ∴∠ACB＝90°、∠BCD＝90°， ∴∠ACB+∠BCD＝180°， ∴A、C、D三点共线， AD＝AC+CD＝3+6＝8， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥9　 ． 【分析】二次根式中的被开方数是非负数． 【解答】解：由题意得x﹣9≥0， 解得x≥3． 故答案为：x≥9． 12．（3分）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有　2　 个． 【分析】根据最简二次根式的定义，即被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式是否符合条件即可． 【解答】①：被开方数3不含分母，为最简二次根式； ②，不是最简二次根式； ③，不是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； ⑤：被开方数x2+7不含分母，且不含能开得尽方的因式． 故答案为：2． 13．（3分）已知，则x3•y2＝　2　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x，进而得出y，然后代入x3•y2求解即可． 【解答】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴x＝2， ∴， 将x＝2，代入． 故答案为：3． 14．（3分）如图，在△ABC中，BA＝BC＝6，AD垂直于BC于点D，则CD的长是　　 ． 【分析】由等边对等角和勾股定理，得出，即可得解． 【解答】解：由条件可知AD＝BD，， ∵BA＝BC＝6， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（3分）如图，△ABC在正方形网格中，若小方格边长为1　直角三角形　 ． 【分析】根据正方形网格求出三角形的边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【解答】解：∵根据勾股定理的逆定理得，， ， ， ∴根据勾股定理得，AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 16．（3分）如果一个n边形的内角和比外角和多900°，那么n的值是　9　 ． 【分析】根据多边形内角和公式，任意多边形的外角和为360°，结合题意列出关于n的一元一次方程，解方程即可得到n的值． 【解答】解：根据题意列方程得：180（n﹣2）＝360+900， 解得n＝9． 故答案为：8． 17．（3分）在▱ABCD中，∠ADC＝75°，E为CD的中点，将△ECF沿着EF折叠，点C恰好落在AC上点G处，则AC的长为　　 ． 【分析】连接DG，由折叠的性质可得，CG＝EG，结合CG＝EG，可判定△CEG是等边三角形．由于E为CD的中点，因此△CDG是直角三角形，使用勾股定理计算出DG．结合∠ADC＝75°，可证明△ADG是等腰直角三角形，则DG＝AG，进而求出AC． 【解答】解：如图，连接DG， 由折叠的性质可知，EC＝EG， ∵CG＝EG， ∴∠ECG＝∠CEG＝∠CGE＝60°， ∴∠DEG＝180°﹣∠CEG＝120°， ∵， ∴CG＝EG＝DE＝1， ∴， ∴∠CGD＝∠CGE+∠EGD＝90°， ∴∠AGD＝180°﹣∠CGD＝90°， ， ∵∠ADC＝75°， ∴∠ADG＝∠ADC﹣∠EDG＝45°， ∴△ADG是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：+1． 18．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点A作AD⊥AC交AB的平行线CD与点D，F为AC上一动点，连接BE，则BE的最小值是 　4　 ． 【分析】连接AE，利用三角形的外角的性质和直角三角形斜边上的中线的性质得出∠EAB的范围，从而得出当F与C重合时，BE取得最小值，再利用勾股定理解答即可得出结论． 【解答】解：连接AE，如图， ∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4， ∴∠CAB＝∠ACB＝45°， ∵CD∥AB， ∴∠DCA＝∠CAB＝45°． ∵DA⊥DC，E为DF中点， ∴AE＝DF＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA， ∵F为AC上一动点， ∴∠EFA≥∠ACD， ∴∠EFA≥45°． ∴∠EAF≥45°， ∴∠EAB＝∠CAB+∠EAF≥90°． ∴当∠EAB＝90°时，BE取得最小值， 当∠EAB＝90°时，F与C重合， ∴BE＝＝7． 故答案为：4． 三、解答题（共66分） 19．（7分）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1 （1）在图1中画一个平行四边形ABCD，使BC边长为（点C、D都在格点上）； （2）在图2中画一个平行四边形ABCD，使点O是它的对称中心． 【分析】（1）取格点C、D，连接AD，BC，CD，由AB＝CD，AB∥CD可得四边形ABCD是平行四边形，由勾股定理可得； （2）取格点C、D，连接AD，BC，CD，由AB＝CD，AB∥CD可得四边形ABCD是平行四边形，由网格的特点可得点O既是BD的中点，又是AC的中点，即点O是四边形ABCD的对称中心． 【解答】解：（1）BC边长为的四边形ABCD； （2）点O是它的对称中心的四边形ABCD，如图2即为所求． 20．（7分）计算： （1）． （2）． 【分析】（1）根据二次根式的运算法则化简即可； （2）根据二次根式的运算法则化简即可． 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝； （2） ＝ ＝ ＝ ＝． 21．（7分）现有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？ 【分析】根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是2和3，显然只需比较两个正方形的边长的和与7.5的大小即可． 【解答】解：＝2， 由于＜7.5＜6×1.5＝6.5，3， 答：能够在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板． 22．（7分）已知：，，求： （1）ab； （2）a2﹣b2． 【分析】（1）将a、b的值代入式子，根据二次根式的运算法则求出结果； （2）将a、b的值代入式子，根据二次根式的运算法则求出结果． 【解答】解：（1）∵，， ∴ab＝（）× ＝5﹣3 ＝2； （2）∵，， ∴a2﹣b2＝（﹣（ ＝5﹣2+3﹣7﹣2 ＝﹣4． 23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO的顶点分别为点A（0，﹣4），B（3，﹣4），C（3，0），O（0，0），连接BE并延长交x轴于点F，将△ABE沿直线BE翻折到△GBE （1）求证：DF＝DB； （2）当OF＝2时，求OD的长． 【分析】（1）求得AB∥x轴，得到∠ABE＝∠DFB，结合∠ABE＝∠DBF，即可证明结论； （2）设OD＝x，则DF＝2+x，CD＝3﹣x，根据勾股定理可得到DB2＝16+（3﹣x）2，结合DF＝DB，即可求得答案． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，四边形ABCO的顶点分别为点A（0，B（3，C（2，O（0， ∵点A，B的纵坐标相同， ∴AB∥x轴， ∴∠ABE＝∠DFB． 根据图形折叠的性质可知∠ABE＝∠DBF， ∴∠DFB＝∠DBF． ∴DF＝DB． （2）∵点B，C的横坐标相同， ∴BC∥y轴． ∴∠BCD＝∠AOC＝90°． 设OD＝x，则DF＝2+x． ∵DB5＝BC2+CD2＝16+（7﹣x）2，DF＝DB， ∴（2+x）7＝16+（3﹣x）2． ∴x＝8.1． ∴OD＝2.8． 24．（7分）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝5，DE是AB的垂直平分线，AB于点E，D． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）求CE的长． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可； （2）连接BE，根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，设CE＝x，则AE＝12﹣x，BE＝12﹣x，根据勾股定理进行计算即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝13，AC＝12， 则AC2+BC2＝128+52＝144+25＝169， AB3＝132＝169， 则AC2+BC4＝AB2， 故△ABC是直角三角形； （2）解：连接BE，如图： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， 由（1）可得△ABC是直角三角形， 即∠ACB＝90°， 设CE＝x，则AE＝AC﹣CE＝12﹣x， 即BE＝12﹣x， 在Rt△BCE中，CE2+CB4＝BE2， 即x2+42＝（12﹣x）2， 解得：． 即CE的长为． 25．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，分别过点A，C作AE⊥BD，垂足分别为E，F，AC平分∠DAE． （1）若∠AOE＝40°，求∠ACB的度数； （2）求证：AE＝CF． 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠EAO，利用角平分线的定义求出∠DAC，再利用平行线的性质解决问题即可． （2）证明△AEO≌△CFO（AAS）可得结论． 【解答】（1）解：∵AE⊥BD， ∴∠AEO＝90°， ∵∠AOE＝40°， ∴∠EAO＝50°， ∵AC平分∠DAE， ∴∠DAC＝∠EAO＝50°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ACB＝∠DAC＝50°； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°， 在△AEO和△CFO中， ， ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴AE＝CF． 26．（7分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF． （1）求证：BE＝BF； （2）若AB＝6，AD＝8，求AE的长． 【分析】（1）根据折叠的性质、矩形的性质得出∠BEF＝∠BFE，根据等腰三角形的判定即可得解； （2）根据折叠的性质、勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：根据折叠的性质得到，∠BEF＝∠DEF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB， ∴∠BEF＝∠BFE， ∴BE＝BF； （2）解：根据折叠的性质得到，DE＝BE， ∵AD＝8， ∴DE＝BE＝AD﹣AE＝8﹣AE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴AB6+AE2＝BE2， ∵AB＝5， ∴62+AE3＝（8﹣AE）2， ∴AE＝． 27．（10分）如图△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠GCA的平分线于点F． （1）说明EO＝FO． （2）当点O运动到何处，四边形AECF是矩形？说明你的结论． （3）当点O运动到何处，AC与BC具有怎样的关系时，四边形AECF是正方形？为什么？ 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质，推出∠ECB＝∠CEO，∠GCF＝∠CFO，∠ECB＝∠ECO，∠GCF＝∠OCF，通过等量代换即可推出∠CEO＝∠ECO，∠CFO＝∠OCF，便可确定OC＝OE，OC＝OF，可得OE＝OF； （2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，根据矩形的判定定理（对角线相等且互相平分的四边形为矩形），结合（1）所推出的结论，即可推出OA＝OC＝OE＝OF，求出AC＝EF后，即可确定四边形AECF为矩形； （3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，根据（2）所推出的结论，由AC⊥BC，MN∥BC，确定AC⊥EF，即可推出结论． 【解答】解：（1）∵MN∥BC， ∴∠ECB＝∠CEO，∠GCF＝∠CFO， ∵CE，CF分别为∠BCA， ∴∠ECB＝∠ECO，∠GCF＝∠OCF， ∴∠CEO＝∠ECO，∠CFO＝∠OCF， ∴OC＝OE，OC＝OF， ∴OE＝OF， （2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形， 理由：∵O点为AC的中点， ∴OA＝OC， ∵OE＝OF，OC＝OE＝OF， ∴OA＝OC＝OE＝OF， ∴AC＝EF， ∴四边形AECF是矩形， （3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时， 理由：∵O点为AC的中点， ∴OA＝OC， ∵OE＝OF，OC＝OE＝OF， ∴OA＝OC＝OE＝OF， ∴AC＝EF， ∵AC⊥BC，MN∥BC， ∴AC⊥EF， ∴四边形AECF是正方形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/21 21:46:44；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $