精品解析：甘肃天水市育生中学2023-2024学年度第二学期期中质量检测卷 八年级数学

育生中学2023—2024学年度第二学期期中质量检测卷 八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数式有意义时自变量的取值范围．此题考虑分母 不为0即可． 【详解】 自变量的取值范围只要满足分母 即． 故选：C． 2. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. 0 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分子等于 ，且分母不等于 ． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，解得， 故选D． 3. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟，芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为 的数字前面的 的个数所决定；解题时只要明确用科学记数法可以表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为 的数字前面的 的个数所决定即可． 【详解】解：对于来说 前面有个 ， ； 故选：B 4. 若反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键． 5. 如图，在四边形 中，，要使四边形 是平行四边形，下列添加的条件不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：A、当， 时，四边形 可能为等腰梯形，所以不能证明四边形 为平行四边形，故A符合题意； B、，，一组对边分别平行且相等，可证明四边形 为平行四边形，故B不符合题意； C、，，两组对边分别平行，可证明四边形 为平行四边形，故C不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形 为平行四边形，故D不符合题意． 故选：A． 6. 如果点和都在直线上,则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数增减性问题.根据题意可知, 随增大而减小,越大 越小,继而选出答案． 【详解】解:∵,都在直线上, 又∵, ∴ 随增大而减小, ∵, ∴, 故选:A． 7. 若关于x的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程分母为0的根． 【详解】解： 方程两边都乘得 当分母即时，方程有增根 把代入得 ． 故选：A． 8. 在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. 方程的解是 C. 当 时， D. 不等式的解集是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据函数的图象直接进行解答即可判断求解，利用数形结合求解是解题的关键． 【详解】解：一次函数的图象与轴， 轴的交点为，， 当时， ，故错误，不符合题意； 方程的解是，故 正确，符合题意； 当 时，，故错误，不符合题意； 不等式的解集是 ，故错误，不符合题意； 故选： ． 9. 如图，四边形是平行四边形，在平面直角坐标系中，点，，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的性质等知识．由平行四边形的性质得 ，，由，，求得点的坐标为，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴ ，， ，点 在轴上且， ，， ， 故选：C． 10. 如图，在四边形 中， ，，，点在边上以每秒的速度从点向点 运动，点在 边上，以每秒 的速度从点 向点运动，当直线在四边形 内部截出一个平行四边形时，点运动了（ ） A. 2秒 B. 2秒或3秒 C. 2秒或4秒 D. 4秒 【答案】B 【解析】 【分析】构成平行四边形有两种情况，情况一：PD=QC；情况二：AP=BQ 【详解】设点、运动的时间为秒，依题意得， ，，，， ①当时，四边形是平行四边形，即，解得． ②当时，四边形是平行四边形，即，解得． 所以当直线将四边形 截出一个平行四边形时，点运动了2秒或3秒， 故选B． 【点睛】本题考查梯形上动点构成平行四边形的问题，注意分情况讨论是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知点在第二象限，且，，则点P的坐标是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质，各象限内点的坐标的符号特征．根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数结合绝对值的性质求出x、y的值，然后写出即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵点在第二象限， ∴ ， ， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 12. 已知等腰三角形的周长是，则底边长和腰长的函数关系式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，列函数关系式，理解等腰三角形的“腰”为相等的两边是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故答案：． 13. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点，过点的直线分别交AD和BC于点、E，若设该平行四边形的面积为2，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的性质证明可得，进而可得阴影部分面积等于 的面积，即为面积的一半，由此可解． 【详解】解：∵平行四边形 中，对角线，相交于点， ∴ ，， ， 又∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积等于 的面积，即为面积的一半， ∴阴影部分面积为， 故答案为：1． 14. 在平面直角坐标系中，将直线 沿y轴向上平移3个单位后恰好经过原点，则b的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移规律得到平移后的直线为，然后把代入解得即可． 【详解】解：将直线 沿x轴向上平移3个单位后得到， ∵经过原点， ∴，解得， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确把握变换规律是解题关键． 15. 如图，在平行四边形 中，的平分线交于点E，则 的长为 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，由平行四边形的性质可得， ，由平行线的性质和角平分线的性质可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴， ． ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∴， 故答案为：6． 16. 如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别相交于两点，分别连接，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，设交 轴于点，根据反比例函数的几何意义，得出，即可求解． 【详解】解：如图，设交 轴于点， ，， 则， 故答案为：． 三、解答题：本大题共6小题，共44分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据零指数幂的运算法则，负整数指数幂的运算法则，算术平方根的概念进行计算即可求解，掌握零指数幂的运算法则，负整数指数幂的运算法则，算术平方根的概念是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 18. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，是解题的关键．先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边都乘得：， 解得： ， 检验：当 时，， ∴原方程的根是 ． 19. 先化简：，再从， ， 中选择一个适合的数作为代入求值． 【答案】，当 时，原式 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定可代入的x值，最后代入计算得到结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 由分式有意义的条件得， ， ， ∴， ； 结合题意，只能选择 代入，当 时，原式 ． 20. 某数学小组在一次活动中写出了一组有趣的算式： ①；②；③；④；…… 仔细观察、思考，回答下列问题： （1）按照以上等式的规律，请你写出第5个等式：______； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并说明等式成立； （3）在第（2）问的前提下，请用你发现的规律，化简下面的式子． 【答案】（1） （2），理由见详解 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的减法运算、分式的减法及数字规律问题，解题的关键是理解题中所给的规律； （1）根据题中所给式子可进行求解； （2）由题意可直接进行求解； （3）根据（2）中的结论及分式的减法可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：第5个等式是； 故答案为； 【小问2详解】 解：由题意可知：第n个等式是； ∵， ∴原等式成立； 【小问3详解】 解： ． 21. 如图，直线与直线相交于点． 的值为________； 不解关于 ， 的方程组，请你直接写出它的解：________； 当时，求直线、直线与 轴所围成的三角形的面积． 【答案】（1）3；（2）；（3）1 【解析】 【分析】（1）将点P代入直线，即可得出的值； （2）点P的坐标即为方程组的解； （3）当时，即与 轴交点坐标为，将代入得，当时，y=4，即与 轴交点坐标为，又；可求，与 轴围成三角形面积． 【详解】∵在直线上， ∴ 当时，． 故答案为：． ∵直线与直线相交于点； 当时，代入方程得； ∴ 方程组的解是， 故答案为：． ， 当时，即与 轴交点坐标为； ：且； 将代入得； 当时，y=4，即与 轴交点坐标为； 又； ∴，与 轴围成三角形面积． 【点睛】此题主要考查一次函数与二元一次方程组的综合运用，涉及三角形面积问题，熟练掌握，即可解题. 22. 已知：如图，四边形 是平行四边形，，是对角线上的两个点．且 ．求证： ． 【答案】证明：连接，交于点O，连接 ， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ． 【解析】 【分析】连接，交于点O，连接 ，证明四边形 是平行四边形，证明即可． 【详解】略 四、解答题：本大题共5小题，共52分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示． （1）甲组比乙组多挖掘了__________天． （2）求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 【答案】（1）30 （2） （3）10天 【解析】 【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可； （2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围； （3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可． 【小问1详解】 解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做， ∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天， （天） ∴甲组比乙组多挖掘了30天， 故答案为：30； 【小问2详解】 解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为， 将和两个点代入，可得， 解得， ∴ 【小问3详解】 解：甲组每天挖（米） 甲乙合作每天挖（米） ∴乙组每天挖 （米），乙组挖掘的总长度为 （米） 设乙组己停工的天数为a， 则， 解得 ， 答：乙组已停工的天数为10天． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键． 24. 如图，四边形ABCD中，BC∥AF，∠ABC=90°，AD=5，BC=13，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F． （1）求证：四边形BDFC是平行四边形； （2）若BD=BC，求四边形BDFC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）四边形BDFC的面积为156． 【解析】 【分析】(1)根据BC∥DF，利用“AAS”证明△BEC和△FCD全等，可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； (2)根据BD=BC=13，利用勾股定理可求得AB的长，即可求得四边形BDFC的面积． 【详解】(1)∵BC∥AD， 即BC∥DF， ∴∠CBE=∠DFE， ∵E是线段CD的中点， ∴CE=DE， 在△BEC与△FED中， ， ∴△BEC≌△FED， ∴BE=FE， ∴四边形BDFC是平行四边形； (2)∵四边形BDFC是平行四边形， ∴DF=BC=13， ∵BC∥AD，∠ABC=90°， ∴∠BAD=90°， ∵BD=BC， ∴BD=BC=13， 在Rt中， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，确定出△BEC≌△FED是解题的关键． 25. 如图，已知、是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线 与轴的交点 的坐标及的面积； （3）求不等式的解集（直接写出答案） 【答案】（1）， （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，确定反比例函数解析式为以及，再利用待定系数法即可求解一次函数解析式． （2）先确定点，得到 ，再根据，计算即可． （3）利用数形结合思想，根据交点的横坐标求解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ∴ ， ∴反比例函数的解析式为， 代入得，， ∴， ∵一次函数经过、两点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：对于直线， 令，则 ，解得， ∴点， ∴ ， ∴． 【小问3详解】 解：由图象得，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 故不等式的解集为或． 26. 某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表： 商品 甲 乙 进价（元/件） 售价（元/件） 200 100 若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同． （1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？ （2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为件（），设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为元，求与之间的函数关系式，并求出的最小值． 【答案】（1）分别是120元，60元；（2），当a=30件时，=3200元 【解析】 【分析】（1）根据用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同列出方程，解方程即可； （2）根据总利润＝甲种商品一件的利润×甲种商品的件数+乙种商品一件的利润×乙种商品的件数列出与之间的函数关系式，再根据一次函数的性质即可求出的最小值． 【详解】解：（1）依题意可得方程：， 解得 ， 经检验 是方程的根， ∴元， 答：甲、乙两种商品的进价分别是120元，60元； （2）∵销售甲种商品为件， ∴销售乙种商品为件， 根据题意得：， ∵， ∴的值随值的增大而增大， ∴当时，（元）． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系． 27. （1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点E，使，连接，可得四边形，求证：四边形是平行四边形． （2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点M（不与点A重合），过点M、点C分别作， ，连接 ．求证：四边形是平行四边形． （3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点D是 的中点，点M是直线上的动点，且， ，当取最小值时，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明； （2）延长到点F，使，连接，利用证明，得，，可说明四边形是平行四边形，得，即可证明结论； （3）延长到点F，使，连接，由（2）知，，,则取最小值时， 最小，故 时， 最小，利用等面积法求出 的长，再利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：延长到点F，使，连接， ∵是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形； （3）解：延长到点F，使，连接， 由（2）知，, ， 则取最小值时， 最小，故 时， 最小，如图， ∵是的中线， ， 由勾股定理得， 利用等面积法得， 解得， 在 中，由勾股定理得，， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，倍长中线构造全等三角形及运用等面积法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 育生中学2023—2024学年度第二学期期中质量检测卷 八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. 0 C. D. 3 3. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟，芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列添加的条件不正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如果点和都在直线上,则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 7. 若关于x的分式方程有增根，则的值是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8. 在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. 方程的解是 C. 当 时， D. 不等式的解集是 9. 如图，四边形是平行四边形，在平面直角坐标系中，点，，点 的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中， ，，，点在 边上以每秒的速度从点 向点 运动，点在 边上，以每秒 的速度从点 向点 运动，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时，点运动了（ ） A. 2秒 B. 2秒或3秒 C. 2秒或4秒 D. 4秒 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知点在第二象限，且，，则点P的坐标是______________． 12. 已知等腰三角形的周长是，则底边长和腰长的函数关系式为_________． 13. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点，过点的直线分别交AD和BC于点、E，若设该平行四边形的面积为2，则图中阴影部分的面积为______． 14. 在平面直角坐标系中，将直线 沿y轴向上平移3个单位后恰好经过原点，则b的值为______． 15. 如图，在平行四边形中，的平分线交 于点E，则 的长为 _____． 16. 如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别相交于两点，分别连接，则的面积为______． 三、解答题：本大题共6小题，共44分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解分式方程：． 19. 先化简：，再从， ， 中选择一个适合的数作为代入求值． 20. 某数学小组在一次活动中写出了一组有趣的算式： ①；②；③；④；…… 仔细观察、思考，回答下列问题： （1）按照以上等式的规律，请你写出第5个等式：______； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并说明等式成立； （3）在第（2）问的前提下，请用你发现的规律，化简下面的式子． 21. 如图，直线与直线相交于点． 的值为________； 不解关于 ， 的方程组，请你直接写出它的解：________； 当时，求直线、直线与 轴所围成的三角形的面积． 22. 已知：如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两个点．且 ．求证： ． 四、解答题：本大题共5小题，共52分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示． （1）甲组比乙组多挖掘了__________天． （2）求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 24. 如图，四边形ABCD中，BC∥AF，∠ABC=90°，AD=5，BC=13，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F． （1）求证：四边形BDFC是平行四边形； （2）若BD=BC，求四边形BDFC的面积． 25. 如图，已知、是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线 与轴的交点 的坐标及的面积； （3）求不等式的解集（直接写出答案） 26. 某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表： 商品 甲 乙 进价（元/件） 售价（元/件） 200 100 若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同． （1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？ （2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为件（），设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为元，求与之间的函数关系式，并求出的最小值． 27. （1）【问题探究】如图1，已知 是的中线，延长 至点E，使，连接， 可得四边形，求证：四边形是平行四边形． （2）【拓展提升】如图2，在的中线 上任取一点M（不与点A重合），过点M、点C分别作， ，连接．求证：四边形是平行四边形． （3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点D是 的中点，点M是直线 上的动点，且， ，当取最小值时，求线段 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $