25.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“直接开平方法”解一元二次方程，核心讲解形如\(x^2 = p\)（\(p\geq0\)）和\((mx + n)^2 = p\)（\(p\geq0\)）的方程解法。通过“油漆刷正方体盒子”实际问题导入，结合知识回顾中平方根等旧知，搭建学习支架衔接新旧知识。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，通过“一移二化三开四解五写”口诀培养运算能力与推理意识，当堂小练及拓展延伸（如三角形周长问题、“平均数法”探究）体现模型意识。学生能理解转化思想，教师可借助清晰环节提升教学效率。

第二十五章 一元二次方程 25.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 形如()型方程的解法 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 8. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 形如()型方程的解法 1. 理解并掌握利用平方根的意义解形如 x2=p(p≥0)或 (mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程，实现 “降次” 转化. 2. 学会将一元二次方程变形为直接开平方法的形式，体会转化的数学思想. 学习目标 知识回顾 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的定义 什么是平方根？ 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根. 如果 x2=9，那么 x 等于多少？ 因为32=9，(-3)2=9，所以x=3或-3. 新课导入 一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗? 问题1：本题的等量关系是什么？ 问题2：设正方体的棱长为xdm，请列出方程并化简. 解：设盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程: 整理，得x2=25. 10×6x2=1 500. ① 这个一元二次方程如何解呢？ 新课讲解 知识点1 形如型方程的解法 问题 下面这个一元二次方程怎么解？ x2=25. 解：根据平方根的意义，得 x=±5. 即 x1​=5，x2​=−5. 一般地，对于方程 x2=p， (1) 当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1​=，x2​=−​； (2) 当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1​=x2​=0； (3) 当 p<0 时，因为对任意实数 x，都有 x2≥0，所以方程无实数根. 归纳 两根互为相反数 不能认为只有一个根 新课讲解 例 1. 用直接开平方法解方程 x2－81＝0. 解：移项得x2＝81. 根据平方的意义，得x＝±9， 即x1＝9，x2＝－9. 移项，要变号 开平方降次 方程有两个不相等的实数根 用直接开平方法解一元二次方程的方法： 首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数，然后化完全平方式的系数为1，最后根据平方根的定义求解． 归纳 新课讲解 例 2. 若一元二次方程的两根分别是 和， 则 的值为 ( ) B A. 16 B. C. 25 D. 或 25 解： 一元二次方程的两根分别是 和， ，解得 . ． 新课讲解 练一练 1. 解方程：(1) ； (2) . 解：(1) ， ， ， ， . (2) ， ， ， ， ， . 2. 已知，则 ____. 新课讲解 练一练 新课讲解 知识点2 形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法 对照上面解方程 x2=25 的过程，你认为应怎样解方程 (x+3)2=5 ? 解：(x+3) 2=5， ① 得x+3=， ② 即 x+3=，或 x+3=. 于是，方程(x+3) 2=5的两个根为 x1=-3+，x2=-3-. 由方程①得到②，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了. 探究 新课讲解 例 3. 解下列方程：(1) (x+5)2=25； (2) 4(x-3)2-32=0． 解：(1)直接开平方， 得 x+5=±5, 即x+5=5或x+5=-5. 所以x1=0，x2=-10. (2) 移项，得4(x-3)2=32. 二次项系数化为1，得(x-3)2=8. 直接开平方，得x-3= . 即 或 . 所以 ， . 一移 二化 三开 四解 五写 新课讲解 练一练 D 1. 一元二次方程 可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为 ，则另一个一元一次方程为 ( ) A. B. C. D. 新课讲解 练一练 2. 解下列方程：(1) 2(x+5)2=0； (2) 2(x-3)2-50=0. 解：(1)整理，得(x+5)2=0.开平方， 得x+5=0. 所以x1=x2=-5． 看成一个整体 不能写成x= - 5 (2)移项，得2(x-3)2=50. 二次项系数化为1，得(x-3)2=25. 开平方，得x-3=±5， 即x-3=5，或x-3=-5， 所以x1=8，x2=-2. 新课讲解 归纳 直接开平方法解一元二次方程的“三步法” 开方 求解 变形 将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常数的形式； 利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程； 解一元一次方程，得出方程的根． 课堂小结 直接开平方法 解一元二次方程 x2=p (1) 当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1​=，x2​=−​. (2) 当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1​=x2​=0. (3) 当 p<0 时，因为对任意实数 x，都有 x2≥0，所以方程无实数根. 当堂小练 1. 解下列方程： (1) x2-9=0； (2) 2x2-8=0； (3) 9x2-5=3； (4) (x+6)2-9=0； (5) 3(x-1)2-6=0； (6) x2-4x+4=5. 解：(1) ， . (2) ， ， . (3) ， ， . (4) ， ， . (5) ， ， ， . (6) ， ， . 2. 一元二次方程 (x+6)2=16 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ） A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4 D. x+6=-4 当堂小练 D 3. 方程3x2+9=0的根为（ ） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无实数根 当堂小练 D 4. 如果关于的方程 可以用直接开平方法求解，那么 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 当堂小练 A 2或 5. 在等式（□） 中，□内的数是________. 7 6. 若，则 的值为______. 当堂小练 7. 方程 的根为 ( ) A., B., C., D.无实数根 解：原方程可化为，， . C 将原方程化为后，由，得，避免直接对负数 开方，错选A.开方后的结果为，而不是 ，不要错选B. 点拨 8. 若一元二次方程的两根为， ，则点 位于平面直角坐标系中的 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 当堂小练 B 解：，， ， ，，， 故 在第二象限. 9. 若为方程的一根， 为方程的一根，且，都是正数，则 的值为_______． 当堂小练 6 解：解方程，得 . 解方程，得． ， 都是正数， ， . ． 当堂小练 10. 若方程的一个根是 ，则另一个根是______． 解：将代入，得，解得 ， 则方程为，解得，， 另一个根是 ． 由，得， ，即该方程的两个根互为相反数. 是方程的一个根， 另一个根是 ． 形如 的一元二次方程，若有实数根，则两实数根之和为0，即两实数根互为相反数. 点拨 1. 已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是一元二次方程 的一个根，则该三角形的周长为____. 拓展与延伸 16 解： ，移项，得 ， 直接开平方，得， ，. 当第三边的长为3时， ，不满足三角形的三边关系，不符合题意； 当第三边的长为7时， ，满足三角形的三边关系，符合题意. 故该三角形的周长为 . 解决此类题的两步走原则：先解方程得全根，再验三边弃错根.验三边关系时，只需验证“较短的两条边长的和大于第三边长即可”. 点拨 拓展与延伸 2. 课题探究 【课题】“平均数法”解一元二次方程 示例 解方程： . 解：原方程可变形为 ， 由平方差公式，得 ， 整理，得 ， 直接开平方，得 ， 解得， . 我们把这种解法叫作“平均数法”. 应用 下面是用“平均数法”解方程 的过程. 解：原方程可变形为 ， 由平方差公式，得 ， 移项，得 ， 解得☆， . (1) 上述解题过程中，___，___，☆___， ____________________________； 5 1 （最后两空可交换顺序） 拓展与延伸 (2) 用“平均数法” 解方程： . 解：原方程可变形为 ， 由平方差公式，得 ， 整理，得 ， 直接开平方，得 ， 解得， . $