函数的对称性 基础模块练习 2027届高三数学一轮复习（全国通用）

**基本信息** 聚焦函数对称性的判定、解析式求解、性质综合及参数求值，构建从基础证明到综合应用的递进训练体系，体现数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断或证明对称性|3题（含2024新课标Ⅰ卷真题）|结合导数、单调性考查对称中心与对称轴判定|从定义出发，通过函数值关系证明对称性，培养几何直观| |由对称性求解析式|2题（含2003辽宁高考真题）|利用原点对称、奇偶性求分段函数解析式|基于对称变换规则，建立原函数与对称函数的关系，发展模型观念| |对称性与单调性综合|7题（含2026模拟预测题）|结合奇偶性、零点、不等式考查性质应用|整合对称性与单调性，解决比较大小、解不等式等问题，提升推理能力| |由对称性求参数/值|6题（含2026多地模拟题）|利用对称中心、对称轴求参数或函数值|通过对称关系建立方程，深化对函数性质的理解，强化数学抽象|

函数的对称性 题型一：判断或证明函数的对称性 1．（2026·四川广安·模拟预测）（多选）已知函数，是其导函数，则（    ） A． B．的单调递减区间为 C．是的极小值点 D．的图象的对称中心为 【答案】ABD 【分析】求出函数的导数后讨论其符号从而可判断ABC的正误，根据可判断D的正误. 【详解】，故A正确； 当或时，；当时，， 故的单调递减区间为，故B正确； 由符号变化可得是的极大值点，故C错误； 又 ， 故的图象的对称中心为，故D正确. 2．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）已知函数，则（   ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】AC 【分析】的定义域为．由于，从而对的研究可转化为对二次函数的研究．因为，所以在上单调递增，在上单调递减，直线是的图象的对称轴．从而排除B，D． 【详解】,则，解得. ，设，可知在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，在上单调递减，故A 正确，B错误. 因为，，且，因此的图象关于直线对称，故C正确，D错误. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 题型二：由对称性求函数的解析式 4．（2003·辽宁·高考真题）与曲线关于原点对称的曲线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在与曲线关于原点对称的曲线上任取一点，可知点在曲线，将点的坐标代入曲线的方程，化简可得结果. 【详解】在与曲线关于原点对称的曲线上任取一点， 则点关于原点的对称点在曲线上，所以，， 化简得， 因此，与曲线关于原点对称的曲线为. 故选：A. 5．（25-26高一上·湖北·阶段检测）（多选）已知函数的定义域为，且是偶函数，函数的图象关于坐标原点对称，当时， 则（        ） A．函数在上单调递减 B．当时， C．直线是函数图象的一条对称轴 D． 【答案】BC 【分析】根据是偶函数，可以判断选项C；根据的图象关于坐标原点对称，结合选项C可得到的一个周期，从而判断选项D；当时，通过，与已知的解析式建立联系，可判断选项B；当时，通过，与B中的解析式建立联系，可判断选项A. 【详解】因为是偶函数， 所以，即，亦即， 所以直线是函数图象的一条对称轴，故C正确. 因为的图象关于坐标原点对称，所以是奇函数， 所以，又，所以， 所以，即的一个周期为4， 所以，故D错误. 当时， ； 当时，，又，的一个周期为4，所以，故B正确. 当时，，所以，由复合函数的单调性知，在上单调递增，故A错误. 故选：BC. 题型三：函数的对称性与单调性综合应用 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，求的取值范围． 【答案】 【分析】由二次函数性质得，即，解不等式即可得解. 【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴直线方程为， 因为，所以，即， 即， 即或， 解得或， 解得． 7．（2025高三·全国·专题练习）已知函数与的图象关于点对称，求的解析式. 【答案】 【分析】在函数上取点，设为关于点的对称点，利用对称关系列出变换方程组，求得，代入，整理即得的解析式. 【详解】设为上任一点，为关于点的对称点， 则解得 因为点在的图象上，所以. 把代入上式，可得，整理得， 即. 8．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数． (1)若函数与的图象关于点对称，求的解析式； (2)当时，求的最大值； (3)判断函数在的零点个数，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)1，理由如下： 令，则，整理得， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 又，，所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点. 当时，，，两个不等式等号无法同时成立， ，此时函数无零点， 综上所述，在上存在唯一零点， 即函数在上的零点个数为． 【分析】（1）由对称性可得，计算即可得； （2）求导后可得函数单调性，即可得其最大值； （3）令，可得，构造函数，借助导数可研究其单调性，利用单调性与零点存在性定理即可得解. 【详解】（1）由题意得，； （2）由题意得，，，令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为； （3）略 9．（25-26高一下·上海·期末）已知函数，下列命题： ①函数是奇函数； ②函数的图像是轴对称图形； ③函数在区间上共有13个零点； ④函数在区间上是严格增函数； 其中真命题有______（填所有真命题的序号）． 【答案】②③ 【分析】①利用奇偶性定义判断；②若，则函数关于对称，通过计算，得，从而判断关于对称；③令，根据分母恒大于，只需分子等于即可，求满足条件的取值；④结合②中函数的对称性判断 【详解】对于①，依题意，定义域为，满足奇函数定义域关于原点对称， 对任意，， 而，显然，故函数不是奇函数，命题①为假； 对于②，计算，得， 满足，说明函数图像关于直线对称，是轴对称图形，命题②为真； 对于③，由于分母恒成立，因此等价于， 解得，，在区间中，， 故可取，共13个零点，命题③为真； 对于④，由②知，函数关于对称，所以在区间和上的单调性相反，命题④为假， 综上，真命题为②③ 10．（25-26高二下·湖南郴州·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义，结合对称性及已知确定函数的单调性，再将不等式转化为不等式组求解. 【详解】由函数是定义在上的偶函数，得，即函数的图象关于直线对称， 由函数在上单调递增，得函数在上单调递减， 且，则当或时，；当时，， 不等式等价于或， 即或，解得或， 所以的解集为. 11．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可. 【详解】，即， ， 令，解得：， 当时，，，则在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减； ， 即， 关于对称， ， ，即， 两边平方得， 解得， 则实数的取值范围是. 12．（25-26高二下·山东日照·阶段检测）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若函数的图象关于点对称，则对定义域内任意满足，结合函数定义域先确定对称中心横坐标的可能值，再代入验证即可. 【详解】∵ 要使函数有意义，则，即，解得，故函数定义域为. 若函数存在对称中心，则横坐标为区间中点，接下来验证的值： ， ， ∴ ， 即对任意定义域内的，都满足，故函数的图象的对称中心为. 【点睛】方法点睛：求解函数对称中心时，若函数定义域为对称区间，可先猜想对称中心横坐标为区间中点，再利用对称中心的性质代入验证，计算时可结合对数运算、奇偶函数的性质简化运算. 13．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知定义域为的函数满足：，且，都有，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在时取最小值 D． 【答案】D 【详解】令，则，故，故A错误； 因为，所以的函数图象关于点中心对称，故B错误； 因为，都有， 所以在上单调递增， 因为的函数图象关于点中心对称，所以在上单调递增， 则在上单调递增，则无最小值，故C错误； ，故D正确. 题型四：由函数的对称性求函数的值或参数 14．（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 【答案】 【详解】已知函数的图象关于点对称， 则对任意有，则 ， 化简得， ，解得， 若，则，与题设矛盾，舍去； 若，则，解得， ． 15．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由及可得，进而可得的一个对称中心，再由是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值. 【详解】因为．所以， 又因为，所以， 即，所以的图象关于点对称，且． 又因为的图象关于直线对称，所以，且 所以，则， 所以，所以是函数的一个周期． 所以． 又因为，所以． 所以，所以. 16．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 【答案】0 【分析】先利用偶函数的对称性得到，再结合奇函数性质及即可推出结果. 【详解】因为为偶函数，所以， 则， 又因为是上的奇函数，所以. 17．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知函数的定义域为，若满足，且函数图象关于中心对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，得到和，结合选项，利用赋值法和累加法，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，因为函数的定义域为，且函数图象关于中心对称， 所以， 又因为，所以， 取可得， 因为，所以，所以A正确； 对于B，由且，可得，， 累加之后，可得，所以B正确； 对于C，由和，可得周期不是2026，所以C错误； 对于D，由且， 因为函数图象关于中心对称，且， 由，可得， 所以，所以D正确．] 18．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线关于直线对称，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】C 【分析】先求出函数定义域，再根据对称性得出，再代入解析式得出，最后代回验证即可. 【详解】令，由，得或，故函数的定义域为． 由曲线关于直线对称，得定义域关于直线对称，则， 此时必有，即，解得， 此时， 因此函数的图象关于直线对称，即，满足题意，故． 19．（2026·山东·二模）已知函数的图象关于点对称，则_______________． 【答案】2 【详解】，关于点对称， 由题意可知函数关于点对称，所以解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的对称性 题型一：判断或证明函数的对称性 1．（2026·四川广安·模拟预测）（多选）已知函数，是其导函数，则（    ） A． B．的单调递减区间为 C．是的极小值点 D．的图象的对称中心为 2．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）已知函数，则（   ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 题型二：由对称性求函数的解析式 4．（2003·辽宁·高考真题）与曲线关于原点对称的曲线为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖北·阶段检测）（多选）已知函数的定义域为，且是偶函数，函数的图象关于坐标原点对称，当时， 则（        ） A．函数在上单调递减 B．当时， C．直线是函数图象的一条对称轴 D． 题型三：函数的对称性与单调性综合应用 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，求的取值范围． 7．（2025高三·全国·专题练习）已知函数与的图象关于点对称，求的解析式. 8．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数． (1)若函数与的图象关于点对称，求的解析式； (2)当时，求的最大值； (3)判断函数在的零点个数，并说明理由． 9．（25-26高一下·上海·期末）已知函数，下列命题： ①函数是奇函数； ②函数的图像是轴对称图形； ③函数在区间上共有13个零点； ④函数在区间上是严格增函数； 其中真命题有______（填所有真命题的序号）． 10．（25-26高二下·湖南郴州·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·山东日照·阶段检测）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（     ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知定义域为的函数满足：，且，都有，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在时取最小值 D． 题型四：由函数的对称性求函数的值或参数 14．（2026·河南郑州·模拟预测）函数的图象关于点对称，且，则______． 15．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 17．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知函数的定义域为，若满足，且函数图象关于中心对称，则（   ） A． B． C． D． 18．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线关于直线对称，则（    ） A． B．2 C．0 D．1 19．（2026·山东·二模）已知函数的图象关于点对称，则_______________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $