函数的周期性 基础模块练习-2027届高三数学一轮复习（全国通用）

**基本信息** 聚焦函数周期性与奇偶性、对称性的综合应用，通过分层题型构建从具体解析式求解到抽象周期证明的逻辑链条，培养逻辑推理与抽象能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用周期性求解析式|2题|结合奇偶性已知部分区间解析式求另一区间解析式|周期性定义与奇偶性性质推导区间转换关系| |判断证明抽象函数周期性|3题|通过函数关系式推导周期，含多选判断性质|从函数方程抽象周期本质，构建逻辑推理链条| |周期性的应用|5题|求值、判断函数性质，综合奇偶性与对称性|周期性简化复杂问题，体现模型意识与应用能力|

函数的周期性 题型一：利用函数的周期性求解析式 1． （2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称． (1)求证：是周期为4的周期函数； (2)若，求时，函数的解析式． 题型二：判断证明抽象函数的周期性 3．（25-26高二下·浙江宁波·期中）（多选）已知定义域为的函数满足，且，则（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为周期函数 D． 4．（25-26高三上·广西崇左·期末）已知定义在上的函数满足，，则（   ） A． B． C．1 D．2 5．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）已知函数满足，，则（   ） A． B． C．为偶函数 D． 题型三：函数周期性的应用 6． （25-26高一下·贵州遵义·期中）若函数的定义域为，且为奇函数，．若，则的值为________ 7．（2026·福建南平·二模）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A．-2 B． C． D．2 8．（25-26高二下·浙江·期中）已知是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的周期性 题型一：利用函数的周期性求解析式 1．（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【答案】 【详解】当时，， ， 又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， ， ． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称． (1)求证：是周期为4的周期函数； (2)若，求时，函数的解析式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用函数对称以及奇函数的性质证明. (2)通过函数的周期性以及奇函数性质求解. 【详解】（1）证：因为关于直线对称，所以，进而. 因为是定义在上的奇函数，，所以. 因此. 即是周期为4的周期函数. （2）由函数是定义在上的奇函数，有． 当时，，，符合式子， 故时，． 时，，． 从而，时，函数. 题型二：判断证明抽象函数的周期性 3．（25-26高二下·浙江宁波·期中）（多选）已知定义域为的函数满足，且，则（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为周期函数 D． 【答案】ACD 【分析】A选项，因为定义域为R，所以验证，可分别替换，联立方程求解； B选项，取特殊值验证即可； C选项，利用，则为周期函数进行求解； D选项，求得一个周期的和，然后乘以周期数，注意区分剩余的几项. 【详解】依题意：①，定义域为R； 令，①式变形为：， 令，则②； 令，①式变形为：，即：， 用替换，变形得：，则③； A选项，②③联立得：，所以是偶函数，所以A选项正确； B选项，将，代入①式得：， 因为，所以，令， 则时， ，当时， ， 因为，所以不是偶函数，所以B选项错误； C选项， ，用替换得：， 所以是周期为4的函数，所以C选项正确； D选项，由C选项解析可知：是周期为4的函数，所以， 将代入①式得：，即：，所以， 将，代入①式得： ，所以， 所以 ， 则，所以D选项正确. 【点睛】抽象函数的求解，需要反复赋值，再结合奇偶性和周期性进行判断. 4．（25-26高三上·广西崇左·期末）已知定义在上的函数满足，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据得到函数的周期，结合周期函数求值即可. 【详解】由得，， 所以， 所以，因此函数的周期为6. 所以. 故选：B. 5．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）已知函数满足，，则（   ） A． B． C．为偶函数 D． 【答案】ACD 【分析】对于A：令后计算即可判断；对于B：令后计算即可判断；对于C：令和，后计算即可判断；对于D：令，，用替换为，化简后得，可判断. 【详解】对于A：令，则， 又，所以，故A正确； 对于B：令，则， 即，所以，故B错误； 对于C：令，则， 令，则， 所以，则为偶函数，C正确； 对于D：令，则， 即， 将上式中的替换为，得， 上述两式消去，得， 即，D正确. 故选：ACD 题型三：函数周期性的应用 6．（25-26高一下·贵州遵义·期中）若函数的定义域为，且为奇函数，．若，则的值为________ 【答案】4050 【分析】根据函数的奇偶性求出函数的周期，利用函数的周期和赋值法进行求解即可. 【详解】因为为奇函数， 所以，即， 所以函数关于中心对称； 因为，所以关于对称， 所以函数是周期为4的周期函数， 所以在中令，又， 则. 令，则； 令，则， 所以. 则. 7．（2026·福建南平·二模）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据函数的周期性和奇偶性即可求解. 【详解】已知是定义在上且周期为的奇函数，所以有， 令，得， 由于是奇函数，有，所以，即，解得， 当时，，由于，所以， 因此，故B正确. 8．（25-26高二下·浙江·期中）已知是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 是定义在上且周期为的函数，∴ . ∵ 是偶函数，∴ . ∵ 当时，，∴ ，即. 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性推出是以为周期的周期函数，根据周期性计算可得. 【详解】因为是定义在上的奇函数，又为偶函数， 所以，，且， 则，即， 所以，即是以为周期的周期函数， 由，，， 所以，，， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $