第4讲 一元二次方程的概念衔接讲练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册【暑假预习】

第4讲 一元二次方程的概念 知识点一：一元二次方程的概念 定义：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 知识点二：一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如ax2+bx+c=0（a≠0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 要点：(1)只有当a≠0时，方程ax2+bx+c=0才是一元二次方程； 　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 知识点三：一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 题型一：判断是否为一元二次方程 【典例精讲】（2026春•拱墅区校级月考）下列方程为一元二次方程的是（　　） A．x﹣2＝0 B．x2+3x＝2 C．ax2+bx+c＝0 D．x+3x+2＝0 【变式训练1】（2026春•余姚市期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2y+1＝0 B．x2＝2+3x C． D．x（x﹣1）﹣x2＝2 【变式训练2】（2026春•牟平区期中）下列方程中：①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：利用一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】（2026•长春模拟）若关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程，则a的取值范围（　　） A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a＞3 【变式训练1】（2026春•姑苏区校级期中）若方程（m﹣1）x2﹣3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m≠1 C．m＞0 D．m≠0 【变式训练2】（2025秋•榆阳区校级期末）已知（m﹣2）x|m|+3x+2＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　 　 ． 题型三：一元二次方程的一般形式 【典例精讲】（2026春•柯城区校级期中）将一元二次方程3x2＝﹣2x+1化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，2，﹣1 B．3，﹣2，1 C．3，2，1 D．3，﹣2，﹣1 【变式训练1】．（2026春•义乌市校级月考）将一元二次方程（x﹣1）（2x+3）＝1化为一般形式为 　 　 ． 【变式训练2】（2026春•温岭市期中）一元二次方程2x2﹣4x＝5化为一般式ax2+bx+c＝0后，a，b，c的值分别为　 　 ． 题型四：一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（2025秋•荣昌区期末）已知方程x2+（3+m）x﹣m﹣1＝0有一个根是2，则m的值是（　　） A．9 B．2 C．﹣9 D．﹣18 【变式训练1】（2026•细河区二模）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣1＝0的一个根，则m的值为　 　 ． 【变式训练2】（2026春•西湖区校级期中）关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为　 　 ． 题型五：一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（2026春•浙江期中）若x＝1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0的一个根，则2026+2a﹣2b的值为（　　） A．2024 B．2025 C．2027 D．2028 【变式训练1】（2026•邗江区校级模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0的一个解是x＝﹣3，则代数式3a﹣b﹣2的值为　 　 ． 【变式训练2】（2026•鼓楼区校级模拟）已知a是方程x2+2x﹣5＝0的解，则（a2+2a）2+（a2+2a）﹣2026＝　 　 ． 1．（2026春•高新区校级月考）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2÷y＝1 D． 2．（2026•淄博模拟）若方程（a+3）x|a|﹣1﹣x＝2是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．不存在 3．（2026春•沙坪坝区校级期中）若方程（m+3）x|m|﹣1+2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣3 D．3 4．（2026•珠海三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+2＝0有一个根是x＝2，则k的值为（　　） A．0 B．2 C．3 D．﹣3 5．（2025秋•游仙区期末）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足，则ax2+bx+c＝0必有一根为（　　） A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3 6．（2026春•义乌市校级期中）已知关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣9＝0的常数项为0，则k的值为　 　 ． 7．（2026春•萧山区期中）将方程（1﹣x）（x+3）＝1化成一般形式是 　 　 ． 8．（2026春•苏州校级期中）已知方程（m2﹣5m）x|m|﹣3﹣x﹣9＝0，当m＝　 　 时，是关于x的一元二次方程． 9．（2025秋•武汉期末）一元二次方程x2﹣c＝0的一个根是3，则常数c的值是　 　 ． 10．（2026•南沙区二模）若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个根，则a的值为 　 　 ． 11．（2026•武威）已知m是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则代数式2m2+4m的值是　 　 ． 12．（2026•岳麓区校级三模）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+2mx+n＝0的解，则4m+2n＝　 　 ． 13．填表（要求改写后二次项系数为正）： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 2x2＝7x 　 　 　　 　　 　　 5﹣3x2＝6x 　 　 　 　　 　　 　　 （x+1）（x﹣3）＝3x+4 　 　 　　 　　 　　 14．判断下列关于x的方程的类型，确定方程的各项系数和常数项： （1）2x（3x﹣2）＝3（2x2﹣1）； （2）23﹣5x＝x（2﹣ax）（a≠0）； （3）3x2﹣5＝x（mx﹣7）+2x． 15．判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，分别指出它们的各项系数和常数项． （1）2x（x﹣3）＝10； （2）3m2+2＝2（2m+1）； （3）x（3+x2）+1＝5； （4）3y﹣5＝4（2﹣y）； （5）（2k﹣3）（k+5）＝7k； （6）2x（x+3）＝6x． 16．判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根． （1）x2﹣2＝x（x1＝﹣1，x2＝0，x3＝2）； （2）． 17．（2025秋•独山子区校级期中）方程． （1）当m取何值时是一元二次方程？ （2）当m取何值时是一元一次方程？ 18．（2025秋•大荔县月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m2﹣2m+5＝0的一个根为x＝2，求m的值． 19．（2026•仪征市一模）先化简，再求值：，其中x是方程x2+3x﹣2＝0的根． 20．（2026•高新区校级模拟）先化简．再求值：．其中a是方程x2+x﹣2＝0的解． 21．（2025秋•朝阳区期末）已知m是方程2x2+7x﹣1＝0的一个根，求代数式4m2+14m﹣3的值． 22．（2026春•裕安区校级月考）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0， （1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程； （2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程． 23．（2026春•寿县月考）已知m是关于x的一元二次方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，求代数式的值． 24．（2026春•蒙城县月考）已知关于x的一元二次方程mx2+（m2﹣2）x+2m+4＝0的一个根为x1＝2，求m的值． 25．（2026春•西湖区校级月考）已知a是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根． （1）求2a2+2a的值； （2）求a3﹣2a+2026的值． 26．（2025秋•杜尔伯特县期末）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程2x2+9x+7＝0是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“联合方程”，若﹣2是此“联合方程”的一个根，求m和n的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 一元二次方程的概念 知识点一：一元二次方程的概念 定义：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 知识点二：一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如ax2+bx+c=0（a≠0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 要点：(1)只有当a≠0时，方程ax2+bx+c=0才是一元二次方程； 　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 知识点三：一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 题型一：判断是否为一元二次方程 【典例精讲】（2026春•拱墅区校级月考）下列方程为一元二次方程的是（　　） A．x﹣2＝0 B．x2+3x＝2 C．ax2+bx+c＝0 D．x+3x+2＝0 【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可． 【解答】解：A．x﹣2＝0，属于一元一次方程，故选项A不符合题意； B．x2+3x＝2，变形为x2+3x﹣2＝0，是一元二次方程，故选项B符合题意； C．ax2+bx+c＝0，当a＝0时，方程为﹣bx+c＝0，不是一元二次方程，故选项C不符合题意； D．x+3x+2＝0变形为4x+2＝0，是一元一次方程，故选项D不符合题意． 故选：B． 【变式训练1】（2026春•余姚市期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2y+1＝0 B．x2＝2+3x C． D．x（x﹣1）﹣x2＝2 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【解答】解：A、方程含有x和y两个未知数，不符合一元二次方程定义，不符合题意； B、方程整理为x2﹣3x﹣2＝0，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义，符合题意； C、方程含，分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不符合题意； D、方程展开化简得x（x﹣1）﹣x2＝﹣x＝2，即﹣x＝2，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义，不符合题意． 故选：B． 【变式训练2】（2026春•牟平区期中）下列方程中：①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可． 【解答】解：①2x2﹣1＝0是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，它是一元二次方程， ②ax2+bx+c＝0中当a＝0时，它不是一元二次方程， ③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3整理得﹣x﹣6＝﹣3，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个， 故选：B． 题型二：利用一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】（2026•长春模拟）若关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程，则a的取值范围（　　） A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a＞3 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，可得3﹣a≠0，再解即可． 【解答】解：∵关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程， ∴3﹣a≠0， 解得a≠3． 故选：B． 【变式训练1】（2026春•姑苏区校级期中）若方程（m﹣1）x2﹣3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m≠1 C．m＞0 D．m≠0 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0的要求，即可求解． 【解答】解：∵方程（m﹣1）x2﹣3x﹣2＝0是关于x的一元二次方程， ∴m﹣1≠0． 解得：m≠1， 故选：B． 【变式训练2】（2025秋•榆阳区校级期末）已知（m﹣2）x|m|+3x+2＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　﹣2　 ． 【分析】先求出使得未知数最高次数为2的m的值，再排除二次项系数为0的情况． 【解答】解：∵（m﹣2）x|m|+3x+2＝0是关于x的一元二次方程， ∴， 解得：， ∴m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 题型三：一元二次方程的一般形式 【典例精讲】（2026春•柯城区校级期中）将一元二次方程3x2＝﹣2x+1化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，2，﹣1 B．3，﹣2，1 C．3，2，1 D．3，﹣2，﹣1 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【解答】解：原方程化成一元二次方程一般式是：3x2+2x﹣1＝0， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，2，﹣1． 故选：A． 【变式训练1】．（2026春•义乌市校级月考）将一元二次方程（x﹣1）（2x+3）＝1化为一般形式为 　2x2+x﹣4＝0　 ． 【分析】首先去括号，移项，合并同类项，把右边化为0，变为一般式即可． 【解答】解：（x﹣1）（2x+3）＝1， 2x2+3x﹣2x﹣3＝1， 2x2+x﹣4＝0， 故答案为：2x2+x﹣4＝0． 【变式训练2】（2026春•温岭市期中）一元二次方程2x2﹣4x＝5化为一般式ax2+bx+c＝0后，a，b，c的值分别为　2，﹣4，﹣5　 ． 【分析】首先把方程化为2x2﹣4x﹣5＝0，再根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【解答】解：原方程整理得：2x2﹣4x﹣5＝0， 则a，b，c的值分别为2，﹣4，﹣5． 故答案为：2，﹣4，﹣5． 题型四：一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（2025秋•荣昌区期末）已知方程x2+（3+m）x﹣m﹣1＝0有一个根是2，则m的值是（　　） A．9 B．2 C．﹣9 D．﹣18 【分析】根据方程解的定义，把x＝2代入方程转化为关于m的方程求解． 【解答】解：∵方程x2+（3+m）x﹣m﹣1＝0有一个根是2， ∴4+2（3+m）﹣m﹣1＝0， 解得m＝﹣9． 故选：C． 【变式训练1】（2026•细河区二模）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣1＝0的一个根，则m的值为　1　 ． 【分析】已知x＝﹣2是给定一元二次方程的一个根，将x＝﹣2代入原方程，可得到关于m的一元一次方程，解该方程即可得到m的值． 【解答】解：由条件可得（﹣2）2+m•（﹣2）﹣m﹣1＝0， 整理得 4﹣3m﹣1＝0， 即 3﹣3m＝0， 解得 m＝1． 故答案为：1． 【变式训练2】（2026春•西湖区校级期中）关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为　±2　 ． 【分析】将x＝0代入x2+x+a2﹣4＝0求解即可． 【解答】解：由条件可知02+0+a2﹣4＝0， 解得：a＝±2． 故答案为：±2． 题型五：一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（2026春•浙江期中）若x＝1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0的一个根，则2026+2a﹣2b的值为（　　） A．2024 B．2025 C．2027 D．2028 【分析】代入数据求解即可． 【解答】解：若x＝1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0的一个根， 把x＝1代入方程ax2﹣bx﹣1＝0得：a﹣b﹣1＝0， ∴a﹣b＝1， ∴2026+2a﹣2b＝2026+2（a﹣b）＝2026+2＝2028． 故选：D． 【变式训练1】（2026•邗江区校级模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0的一个解是x＝﹣3，则代数式3a﹣b﹣2的值为　﹣3　 ． 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到a与b的关系式，整理得出3a﹣b的值，再利用整体代入的方法计算代数式的值． 【解答】解：有条件可得a•（﹣3）2+b•（﹣3）+3＝0， 整理得9a﹣3b+3＝0， 等式两边同时除以3得3a﹣b+1＝0， 可得3a﹣b＝﹣1， 所以3a﹣b﹣2＝﹣1﹣2＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【变式训练2】（2026•鼓楼区校级模拟）已知a是方程x2+2x﹣5＝0的解，则（a2+2a）2+（a2+2a）﹣2026＝　﹣1996　 ． 【分析】先根据一元二次方程的解可得a2+2a﹣5＝0，再变形为a2+2a＝5，最后整体代入求值． 【解答】解：由条件可知a2+2a﹣5＝0， 即a2+2a＝5， 则（a2+2a）2+（a2+2a）﹣2026＝52+5﹣2026＝﹣1996． 故答案为：﹣1996． 1．（2026春•高新区校级月考）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2÷y＝1 D． 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断，即可解答． 【解答】解：A、ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）是一元二次方程，故A不符合题意； B、x2﹣3x+1＝0是一元二次方程，故B符合题意； C、x2÷y＝1不是一元二次方程，故C不符合题意； D、x不是一元二次方程，故D不符合题意； 故选：B． 2．（2026•淄博模拟）若方程（a+3）x|a|﹣1﹣x＝2是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．不存在 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【解答】解：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程， ∵方程（a+3）x|a|﹣1﹣x＝2是关于x的一元二次方程， ∴|a|﹣1＝2且a+3≠0， 解得a＝3， 故选：B． 3．（2026春•沙坪坝区校级期中）若方程（m+3）x|m|﹣1+2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣3 D．3 【分析】根据一元二次方程的定义得出|m|﹣1＝2且m+3≠0，即可求出m的值． 【解答】解：若方程（m+3）x|m|﹣1+2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程， 则|m|﹣1＝2且m+3≠0， 解得m＝3， 故选：D． 4．（2026•珠海三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+2＝0有一个根是x＝2，则k的值为（　　） A．0 B．2 C．3 D．﹣3 【分析】把x＝2代入一元二次方程得到4﹣2k+2＝0，然后解一元一次方程即可． 【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣kx+2＝0得4﹣2k+2＝0， 解得k＝3． 故选：C． 5．（2025秋•游仙区期末）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足，则ax2+bx+c＝0必有一根为（　　） A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3 【分析】根据可得，然后代入到原方程中得到，可得（3ax﹣c）（x﹣3）＝0，由此即可得到答案． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴3ax2﹣（9a+c）x+3c＝0， ∴3ax2﹣9ax+3c﹣cx＝0， ∴3ax（x﹣3）﹣c（x﹣3）＝0， ∴（3ax﹣c）（x﹣3）＝0， ∴ax2+bx+c＝0必有一根为3， 故选：C． 6．（2026春•义乌市校级期中）已知关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣9＝0的常数项为0，则k的值为　﹣3　 ． 【分析】由二次项系数非零及常数项为零，可列出关于k的不等式及方程，解之即可得出k的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣9＝0的常数项为0， ∴， 解得：k＝﹣3， ∴k的值为﹣3． 故答案为：﹣3． 7．（2026春•萧山区期中）将方程（1﹣x）（x+3）＝1化成一般形式是 x2+2x﹣2＝0　 ． 【分析】先去括号，再根据等式的性质移项，最后合并同类项即可． 【解答】解：（1﹣x）（x+3）＝1， ﹣x2﹣3x+x+3﹣1＝0， x2+2x﹣2＝0， 故答案为：x2+2x﹣2＝0． 8．（2026春•苏州校级期中）已知方程（m2﹣5m）x|m|﹣3﹣x﹣9＝0，当m＝　﹣5　 时，是关于x的一元二次方程． 【分析】利用一元二次方程的定义，即可得出关于m的一元二次不等式及一元一次方程，解之即可得出m的值． 【解答】解：∵关于x的方程（m2﹣5m）x|m|﹣3﹣x﹣9＝0是一元二次方程， ∴， 解得：m＝﹣5， ∴当m＝﹣5时，原方程是关于x的一元二次方程． 故答案为：﹣5． 9．（2025秋•武汉期末）一元二次方程x2﹣c＝0的一个根是3，则常数c的值是　9　 ． 【分析】将x＝3代入原式即可求出c的值． 【解答】解：将x＝3代入x2﹣c＝0， ∴9﹣c＝0， ∴c＝9， 故答案为：9． 10．（2026•南沙区二模）若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个根，则a的值为 　2　 ． 【分析】根据方程解的定义求解． 【解答】解：∵x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个根， ∴4﹣2a＝0， ∴a＝2． 故答案为：2． 11．（2026•武威）已知m是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则代数式2m2+4m的值是　6　 ． 【分析】将x＝m代入原方程，可得出m2+2m﹣3＝0，进而可得出m2+2m＝3，再将其代入原式＝2（m2+2m）中，即可求出结论． 【解答】解：将x＝m代入原方程得：m2+2m﹣3＝0， ∴m2+2m＝3， ∴原式＝2（m2+2m）＝2×3＝6． 故答案为：6． 12．（2026•岳麓区校级三模）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+2mx+n＝0的解，则4m+2n＝　﹣2　 ． 【分析】将方程的解x＝1代入原一元二次方程，求出2m+n的值，再对所求代数式变形计算即可． 【解答】解：由条件可得12+2m×1+n＝0， 整理得2m+n＝﹣1， ∴4m+2n＝2（2m+n）＝2×（﹣1）＝﹣2． 故答案为：﹣2． 13．填表（要求改写后二次项系数为正）： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 2x2＝7x 　2x2﹣7x＝0　 　2　 　﹣7　 　0　 5﹣3x2＝6x 　3x2+6x﹣5＝0　 　3　 　6　 　﹣5　 （x+1）（x﹣3）＝3x+4 x2﹣5x﹣7＝0　 　1　 　﹣5　 　﹣7　 【分析】利用等式的性质和一元二次方程的有关概念解答即可． 【解答】解：方程2x2＝7x化成一般形式为：2x2﹣7x＝0，其中二次项系数为2，一次项系数为﹣7，常数项为0． 故答案为：：2x2﹣7x＝0；2；﹣7；0； 方程5﹣3x2＝6x化成一般形式为：3x2+6x﹣5＝0，其中二次项系数为3，一次项系数为6，常数项为﹣5． 故答案为：3x2+6x﹣5＝0；3；6；﹣5； 方程（x+1）（x﹣3）＝3x+4化成一般形式为：x2﹣5x﹣7＝0，其中二次项系数为1，一次项系数为﹣5，常数项为﹣7． 故答案为：x2﹣5x﹣7＝0；1；﹣5；﹣7． 14．判断下列关于x的方程的类型，确定方程的各项系数和常数项： （1）2x（3x﹣2）＝3（2x2﹣1）； （2）23﹣5x＝x（2﹣ax）（a≠0）； （3）3x2﹣5＝x（mx﹣7）+2x． 【分析】根据去括号、移项、合并同类项，可得一元二次方程的一般形式，根据在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【解答】解：（1）方程整理，得：﹣4x+3＝0，是一元一次方程； 一次项系数为﹣4，常数项为3； （2）方程整理，得：ax2﹣7x+23＝0（a≠0）， 二次项系数为a，一次项系数为﹣7，常数项为23； （3）方程整理，得：（m﹣3）x2﹣5x+5＝0， 二次项系数为m﹣3，一次项系数为﹣5，常数项为5． 15．判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，分别指出它们的各项系数和常数项． （1）2x（x﹣3）＝10； （2）3m2+2＝2（2m+1）； （3）x（3+x2）+1＝5； （4）3y﹣5＝4（2﹣y）； （5）（2k﹣3）（k+5）＝7k； （6）2x（x+3）＝6x． 【分析】（1）根据一元二次方程的相关概念解答即可； （2）根据一元二次方程的相关概念解答即可； （3）根据一元二次方程的相关概念解答即可； （4）根据一元二次方程的相关概念解答即可； （5）根据一元二次方程的相关概念解答即可； （6）根据一元二次方程的相关概念解答即可． 【解答】解：（1）2x（x﹣3）＝10， 原方程整理，得：2x2﹣6x﹣10＝0，是一元二次方程，它的二次项系数为2、一次项系数﹣6、常数项﹣10； （2）3m2+2＝2（2m+1）； 原方程整理，得：3m2﹣4m＝0，是一元二次方程，它的二次项系数为3、一次项系数﹣4、常数项0； （3）x（3+x2）+1＝5； 原方程整理，得：x3+3x﹣4＝0，不是一元二次方程； （4）3y﹣5＝4（2﹣y）； 原方程整理，得：7y﹣13＝0，不是一元二次方程； （5）（2k﹣3）（k+5）＝7k； 原方程整理，得：2k2﹣15＝0，是一元二次方程，它的二次项系数为2、一次项系数0、常数项﹣15； （6）2x（x+3）＝6x． 原方程整理，得：2x2＝0，是一元二次方程，它的二次项系数为2、一次项系数0、常数项0． 16．判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根． （1）x2﹣2＝x（x1＝﹣1，x2＝0，x3＝2）； （2）． 【分析】（1）根据方程根的定义进行判断可以得解； （2）根据方程根的定义进行判断可以得解． 【解答】解：（1）当x1＝﹣1时，x2﹣2＝（﹣1）2﹣2＝﹣1，则x2﹣2＝x，所以x1＝﹣1是方程x2﹣2＝x的根； 当x2＝0时，x2﹣2＝02﹣2＝﹣2，则x2﹣2≠x，所以x2＝0不是方程x2﹣2＝x的根； 当x3＝2时，x2﹣2＝22﹣2＝2，则x2﹣2＝x，所以x3＝2是方程x2﹣2＝x的根． ∴x1＝﹣1，x3＝2是方程x2﹣2＝x的根，x2＝0不是方程x2﹣2＝x的根． （2）当x1＝﹣1时，2x2+x﹣1＝2﹣1﹣1＝0； 当x2＝1时，2x2+x﹣1＝2+1﹣1＝2≠0； 当x3时，2x2+x﹣1＝21＝0， ∴x1＝﹣1，x3是2x2+x﹣1＝0的根，x2＝1不是2x2+x﹣1＝0的根． 17．（2025秋•独山子区校级期中）方程． （1）当m取何值时是一元二次方程？ （2）当m取何值时是一元一次方程？ 【分析】（1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出m的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分m＝0和m≠0两种情况讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵方程是一元二次方程， ∴， ∴m＝1； （2）当m＝0时，原方程为x﹣3x﹣1＝0，是一元一次方程，符合题意； 当m≠0时， ∵方程， ∴， ∴m＝﹣1； 综上所述，m＝0或m＝﹣1． 18．（2025秋•大荔县月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m2﹣2m+5＝0的一个根为x＝2，求m的值． 【分析】先将x＝2代入方程中得到m2﹣2m﹣3＝0，再利用因式分解法解方程即可求解． 【解答】解：由条件可知22﹣6×2+m2﹣2m+5＝0， 即m2﹣2m﹣3＝0， 解得m1＝3，m2＝﹣1， ∴m的值为3或﹣1． 19．（2026•仪征市一模）先化简，再求值：，其中x是方程x2+3x﹣2＝0的根． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再进行约分得到最简结果，最后将方程进行变化并将其整体代入计算即可求出值． 【解答】解：原式 ， 由题意得，x2+3x﹣2＝0， x2+3x＝2， x（x+3）＝2， ∴． 20．（2026•高新区校级模拟）先化简．再求值：．其中a是方程x2+x﹣2＝0的解． 【分析】因此此题可先化简分式，然后根据一元二次方程的解可求解． 【解答】解：原式 ； ∵a是方程x2+x﹣2＝0的解， ∴a2+a﹣2＝0，即a2+a＝2， ∴原式． 21．（2025秋•朝阳区期末）已知m是方程2x2+7x﹣1＝0的一个根，求代数式4m2+14m﹣3的值． 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到2m2+7m＝1，再把4m2+14m﹣3变形为2（2m2+7m）﹣3，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵m是方程2x2+7x﹣1＝0的一个根， ∴2m2+7m﹣1＝0， ∴2m2+7m＝1， ∴4m2+14m﹣3＝2（2m2+7m）﹣3＝2×1﹣3＝﹣1． 22．（2026春•裕安区校级月考）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0， （1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程； （2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程． 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：（1）∵关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程， ∴k2﹣1≠0， ∴k≠±1， 所以k≠±1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程； （2）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程， ∴k2﹣1＝0且k﹣1≠0， ∴k＝﹣1， ∴k＝﹣1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程． 23．（2026春•寿县月考）已知m是关于x的一元二次方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，求代数式的值． 【分析】由m是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根可得m2﹣2025m＝m﹣1，m2+1＝2026m，，然后逐步代入求解即可． 【解答】解：由条件可知m2﹣2026m+1＝0． ∴m2﹣2025m＝m﹣1，m2+1＝2026m， ∵m＝0时，方程左边等于1，不等于右边， ∴m≠0， 把m2+1＝2026m的两边都除以m得，． ∴． 24．（2026春•蒙城县月考）已知关于x的一元二次方程mx2+（m2﹣2）x+2m+4＝0的一个根为x1＝2，求m的值． 【分析】将x＝2代入方程计算可得． 【解答】解：将x＝2代入可得： 4m+2（m2﹣2）+2m+4＝0， m2+3m＝0， m（m+3）＝0， 解得m1＝﹣3，m2＝0（不符合题意，舍去）， 故m＝﹣3． 25．（2026春•西湖区校级月考）已知a是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根． （1）求2a2+2a的值； （2）求a3﹣2a+2026的值． 【分析】（1）根据a是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根，得到a2+a＝1，整体代入法求值即可； （2）利用降幂和整体代入法进行计算即可． 【解答】解：（1）由条件可知a2+a﹣1＝0， ∴a2+a＝1， ∴2a2+2a＝2（a2+a）＝2； （2）由条件可知a2＝1﹣a， ∴a3﹣2a+2026＝a•a2﹣2a+2026 ＝a•（1﹣a）﹣2a+2026 ＝a﹣a2﹣2a+2026 ＝﹣a2﹣a+2026 ＝﹣（a2+a）+2026 ＝﹣1+2026＝2025． 26．（2025秋•杜尔伯特县期末）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程2x2+9x+7＝0是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“联合方程”，若﹣2是此“联合方程”的一个根，求m和n的值． 【分析】（1）根据“联合方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． 【解答】解：（1）该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程2x2+9x+7＝0中，a＝2，b＝9，c＝7， ∵a﹣b+c＝2﹣9+7＝0， ∴一元二次方程2x2+9x+7＝0是“联合方程”； （2）由条件可知3﹣（﹣m）+n＝0， ∵﹣2是此“联合方程”的一个根， ∴3×（﹣2）2﹣m×（﹣2）+n＝0， 即， 解得， ∴m的值为﹣9，n的值为6． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $