第08讲 一元二次方程的解法——因式分解法（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材苏科版

第08讲 一元二次方程的解法——因式分解法（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+1个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 因式分解法 同学们，数学不仅是纸面上的符号，更是描述自然规律的钥匙.在物理学中，如果我们把一个物体从地面以10m/s的初速度竖直向上抛出，那么经过秒后，物体离地面的高度（单位：米）可以用代数式104.9来表示.现在请大家思考一个关键问题：物体经过多少秒后会落回地面？ 当物体落回地面时，它离地面的高度显然是0米.因此，我们可以列出一个方程：104.9=0.面对这个方程，如果我们用之前学过的配方法，计算过程会比较繁琐.但如果我们仔细观察这个方程的左边，会发现它有一个非常明显的特征——每一项都含有字母.我们可以利用提公因式法，将它提取出来，把方程变形为：(10-4.9)=0. 此时，方程变成了两个因式相乘等于0的形式.在数学中有一个基本常识：如果ab=0，那么必定有a=0或b=0.因此，我们可以将这个一元二次方程巧妙地转化为两个一元一次方程：=0或10-4.9=0，从而轻松求出它的解.像这样，通过将方程一边化为0，另一边分解为两个一次因式的乘积来求解的方法，就是我们今天要学习的新本领——因式分解法. 【知识点 因式分解法解一元二次方程】 1. 定义：当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这个一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法． 2. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 【题型1 因式分解法的理解】 【例1】用因式分解法解方程，若将左边分解后有一个因式是，则的值是（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】C 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．根据题意得到，即可求出p的值． 【详解】解：根据题意得：， ∴，，解得：，则． 故选C． 【变式1-1】若方程的根是2和3，那么代数式可分解因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解法解一元二次方程的方法得到，进而可求解． 【详解】∵关于的方程的根是2和3， ∴原方程为， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 【变式1-2】（24-25九年级上·重庆万州·阶段检测）用因式分解法解方程，若将左边分解后有一个因式是，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．根据用因式分解法解方程，若将左边分解后有一个因式是，设另一个因式为，根据的常数项是，可知，从而可求的值． 【详解】解：，若将左边分解后有一个因式是， 设另一个因式为， 的常数项是， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【变式1-3】我们知道多项式可分解成，所以方程有两根，．已知多项式有一个因式是，则________． 【答案】 【分析】根据多项式x3+3x2-3x+k有一个因式是x+2，可知方程x3+3x2-3x+k=0有一个解是x=-2，再把x=-2代入此方程，进而可求k的值． 【详解】解：∵多项式x3+3x2−3x+k有一个因式是x+2， ∴方程x3+3x2−3x+k=0就有一个解是x=−2， 把x=−2代入x3+3x2−3x+k=0中，得 −8+12+6+k=0， 解得k=−10. 故答案为−10. 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据因式分解法解一元二次方程. 【题型2 不因式分解直接解一元二次方程】 【例2】方程的根是____． 【答案】， 【分析】由因式分解法直接求解即可． 【详解】解：， 或， 解得，． 【变式2-1】（25-26九年级上·天津·阶段检测）方程的两根分别为__________． 【答案】， 【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，根据零乘积性质，两个因式的乘积为零，则每个因式可能为零，分别求解即可． 【详解】解：由， 得或， 解得，． 故答案为， 【变式2-2】（25-26九年级上·贵州遵义·阶段检测）关于的一元二次方程的其中一个解是_________． 【答案】2（或9） 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或， 解得或， 故答案为：2（或9）． 【变式2-3】（2026·福建泉州·模拟预测）一元二次方程的根是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴或， 解得：，． 【题型3 因式分解法解一元二次方程——提公因式型】 【例3】（2026·江苏常州·模拟预测）方程的解是（    ） A． B． C．， D．无实数根 【答案】C 【分析】利用因式分解法即可解答． 【详解】∵ 移项得 提取公因式得 ∴或 解得． 【变式3-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的根是（    ） A． B．0 C．或5 D．1或5 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，通过移项将方程变形为便于提取公因式的形式，进而转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 故选：C． 【变式3-2】（2026·河南周口·一模）新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 【答案】， 【分析】本题属于新定义运算题目，考查一元二次方程的解法，根据新定义的运算规则将原方程整理为标准一元二次方程，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解： ，且 ， ， 整理得 ， 因式分解得 ， 即 或 ， 解得 ，． 【变式3-3】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）方程：的解为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用因式分解法解答即可． 【详解】解：， 或 解得：． 故答案为： 【题型4 因式分解法解一元二次方程——完全平方公式型】 【例4】（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）若实数x满足，则_____ ． 【答案】5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化，变得容易处理． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的二次方程，并利用完全平方公式求解． 【详解】解：设， 则原方程化为． 因式分解得， 解得． ∴， 即． 故答案为：5． 【变式4-1】（2026·陕西西安·模拟预测）方程的根是______． 【答案】 【分析】将方程左边利用完全平方公式变形，再通过直接开平方法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 直接开平方得， 解得． 【变式4-2】（2025·广东深圳·一模）当___________时，代数式与的值相等． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，根据题意得：，然后把方程化简，并求出方程的解即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了用公式法因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将方程左边因式分解，利用完全平方公式求解即可． 【详解】解： ， ， ， 即 ， ∴ ． 故答案为 ：3． 【题型5 因式分解法解一元二次方程——平方差公式型】 【例5】一元二次方程的根为________． 【答案】，/， 【分析】将方程左边利用平方差公式因式分解，再分别令各一次因式等于零即可得到方程的根. 【详解】解： 或， 解得，． 【变式5-1】（24-25九年级下·全国·暑假作业）运用平方差解方程： 【答案】，． 【分析】此题考查了解一元二次方程—因式分解法，方程移项后，左边利用平方差公式分解，再利用两数相乘积为两数至少有一个为转化为两个一元一次方程求出解即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：方程移项得：， 分解因式得：， 整理得：， 所以或， 解得：，． 【变式5-2】（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解是_____． 【答案】 ， 【分析】将方程移项后，利用平方差公式分解因式，转化为两个一元一次方程，进而求解方程的根. 【详解】解：， ， ， 或 ； 解得 ，. 【变式5-3】（24-25八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内定义一种新运算，规定：，则方程的解为____ 【答案】，． 【分析】结合新定义的运算法则得到关于的一元二次方程，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 或， 解得：，． 【题型6 因式分解法解一元二次方程——十字相乘型】 【例6】（2026·河南周口·二模）一元二次方程 的一个根为，则另一个根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的定义，先把代入一元二次方程 中，求出参数，再解这个一元二次方程，即可得到另一个根． 【详解】解：是方程的一个根， 将代入原方程中，得 ， 化简得 ， 解得， 将代入原方程中，得， 对左边因式分解得， 解得，， 因此方程的另一个根为． 【变式6-1】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）解方程：，_______ 【答案】，． 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程．先将方程分解为，再根据“若两个因式的积为0，则至少一个因式为0”，分别求解两个一次方程，即可得到方程的解． 【详解】解：， 因式分解得， 则或， 解得，． 故答案为：，． 【变式6-2】（25-26八年级上·上海奉贤·期末）小明发明了一个魔术盒，当任意有理数对进入其中时，会得到一个新的有理数：，例如把放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到，则___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴，即， ∴， 解得或， 故答案为：或． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）关于x的方程的常数项是0，则m的值为___________． 【答案】3或5 【分析】本题考查了方程的定义，解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 根据方程常数项为0的条件，列出关于m的方程，再解方程即可． 【详解】解：方程的常数项是， ，即， 解得或． 当时，原方程为符合题意， 当时，原方程为符合题意， 故答案为：3或． 【题型7 换元法解一元二次方程】 【例7】（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 【答案】B 【分析】本题利用换元法将看作整体求解，再根据平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】设， ∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数， ∴， 原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去， 即． 【变式7-1】（25-26九年级上·山西忻州·阶段检测）一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了换元法． 通过变量代换将原方程化为完全平方形式，再比较选项即可． 【详解】解：设，则原方程化为， ∴， ∴， 故原方程可化为． 故选：C． 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若关于x的一元二次方程两根分别为，，则关于x的一元二次方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，关键是将新方程转化为已知方程的形式． 通过换元法，将新方程转化为原方程的形式，利用已知根求解． 【详解】解：设，则方程变为． ∵原方程的两根为和， ∴方程的两根为和． ∴或， 解得：，． 故选：B． 【变式7-3】（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为：，解得，，当时，，，当时，，．∴原方程有四个根是：，，，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． 已知实数，满足，试求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟练掌握换元法是解题的关键．设，则原方程可化为，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设，则原方程可化为， 因式分解，得， ∴或， 解得， ∵，， ∴， ∴． 【题型8 因式分解法解一元二次方程与几何结合】 【例8】（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知菱形的两条对角线长分别是方程的两个实数根，则与该菱形面积相等的正方形的边长为（） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】先求解一元二次方程得到菱形两条对角线的长度，再利用菱形面积等于对角线乘积的一半求出菱形面积，最后根据正方形面积与菱形面积相等，计算正方形的边长即可． 【详解】解：解方程，得，， ∴菱形两条对角线长分别为和， ∴菱形面积． 设所求正方形的边长为，则， 解得或（不合题意，舍去）， ∴正方形的边长为2． 【变式8-1】（25-26八年级下·山东东营·期中）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 【答案】B 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边，最后计算周长即可得到答案. 【详解】解：∵ ， ∴ 因式分解得 ， 解得 ， ∵ 三角形两边长分别为3和6， ∴ 当第三边长为时，，不满足三角形三边关系，此种情况舍去， 当第三边长为时，满足三角形三边关系，此时三角形周长为 . 【变式8-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）将两张长为，宽为的长方形纸片沿对角线剪裁后，和两张边长为的小正方形纸片按如图的方式拼成一个边长为的大正方形，若阴影部分的面积与图中空白部分的面积之比为，则（   ） A．1 B．5 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，因式分解法解一元二次方程等知识，根据题意表示出阴影部分的面积与图中空白部分的面积是解题的关键． 先根据题意结合图形表示出阴影部分和空白部分的面积，然后再根据他们之比为列式，再运用因式分解求解即可． 【详解】解：根据题意结合图形可得： 图中阴影部分的面积为， 图中空白部分的面积为， 阴影部分的面积与图中空白部分的面积之比为， ， ， 整理得， 或， 或（舍）， 故选：B． 【变式8-3】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图①中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，正方形的性质，仿照题目中的运算方法，进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ， 四个矩形的长为，宽为， 大正方形的面积可以表示为，中间小正方形的面积为， ， 大正方形的面积还可以表示为， ， ， 综上所述，， 故选：D． 模块三 课后作业 1．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【详解】解：， 则或， 解得：，． 2．（25-26八年级下·安徽六安·期中）一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】使用因式分解法解题，先移项变形，提取公因式分解后，即可求出方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 3．（25-26八年级下·广西百色·期中）若一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，得到方程的两个根后即可求出另一个根． 【详解】解：∵ ∴原方程变形为 ， 解得：, ， ∵已知其中一个根为1， 因此另一个根为2025． 4．（25-26九年级下·江西九江·期中）已知一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（   ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根，根据方程根的定义，将已知根代入原方程求出的值，再将代回原方程求解，即可得到另一个根，解题需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件. 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是 ∴将代入原方程得， 化简得，即，解得. ∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 满足该条件，符合要求. 将代入原方程，得， 提取公因式得解得， ∴方程的另一个根是. 故选：D. 5．（25-26八年级下·山东东营·期中）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 【答案】B 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边，最后计算周长即可得到答案. 【详解】解：∵ ， ∴ 因式分解得 ， 解得 ， ∵ 三角形两边长分别为3和6， ∴ 当第三边长为时，，不满足三角形三边关系，此种情况舍去， 当第三边长为时，满足三角形三边关系，此时三角形周长为 . 6．（25-26九年级上·山东德州·期中）方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法， 移项后，运用因式分解法即可求得方程的解． 【详解】解： ， ， ， ， ，． 故答案为：，． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知长方形相邻两边的长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的周长是___________． 【答案】10 【分析】先求解一元二次方程得到两个根，即为长方形相邻两边的长度，再根据长方形周长公式计算即可得到结果． 【详解】解： 因式分解得 解得 即长方形相邻两边的长分别为和 长方形周长为 8．（25-26九年级上·广东惠州·期中）我们规定一种运算：．依据以上规定计算：当____时，． 【答案】1 【分析】本题主要考查了新运算规则、解一元二次方程等知识点，理解新运算法则是解题的关键． 根据规定的运算规则将行列式转化为关于x的一元二次方程，然后解方程求得x的值即可． 【详解】解：由运算规则，得， 整理得：． 解得：． 故答案为1． 9．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知，则 _________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键． 根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设， ∵ 则， ∴， 则或， ∴或（舍去）； ∴． 故答案为：2． 10．（25-26八年级下·山东青岛·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“牵手方程”,例如方程和有且仅有一个相同的实数根,所以这两个方程为“牵手方程”．若方程和为“牵手方程”,则m的值为__________． 【答案】3或 【分析】先求出一元二次方程的解，，根据方程和为“牵手方程”,分情况求解即可． 【详解】解：， ， 解得：，， 当相同的根是时， 代入方程可得， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 代入方程得， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； ∴m的值是3或． 11．（25-26八年级下·浙江金华·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 12．（25-26八年级下·安徽·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴或 ∴，． 13．（24-25八年级下·河北张家口·期末）计算 习题课上老师给了一道解方程的题目：．嘉嘉和琪琪的解法如下： 嘉嘉的解法 原方程可化为：……第一步 ……第二步 ，……第三步 琪琪的解法 原方程可化为：……第一步 两边都除以……第二步 ……第三步 (1)她们的解法都是错误的，嘉嘉从第________步开始错误，琪琪从第________步开始错误； (2)写出方程正确的解答过程． 【答案】(1)二；二 (2)见解析 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法和等式的基本性质求解即可； （2）利用十字相乘法将左边因式分解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：嘉嘉从第二步开始错误，因为方程左边因式分解出现了错误； 琪琪从第二步开始错误，因为她方程两边同时除以时，没有分情况讨论． （2）解：按嘉嘉的解法：原方程可化为：， ∴， ∴或, 解得：； 按琪琪的解法：原方程可化为：， 当时，， 当时，两边都除以，得， ∴． 14．（25-26九年级上·河南信阳·期中）已知一元二次方程． (1)求该方程的根． (2)若该方程较小的根为一元二次方程的一个根，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程的解，求参数的值，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）因式分解法解方程即可； （2）将（1）中的较小的根代入方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）由（1）可知，是一元二次方程的一个根， ∴， 解得． 15．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）阅读并解答问题： 解方程时，可以把看作一个整体， 设，则， 原方程化为，解方程，得，． 当时，，，即； 当时，，，即． 综上所述，原方程的解为，，，． 解答问题： (1)在由原方程得到方程的过程中，利用换元的方法达到了降次的目的，体现了______的数学思想； (2)解方程：． 【答案】(1)转化 (2)或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握利用换元法解一元二次方程的方法是解题的关键. （1）根据换元法解一元二次方程的过程及意义，即可得出结论； （2）设，则原方程可化为，解方程求出值，进而得出的值. 【详解】（1）解：在原方程得到方程的过程中，利用了换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想． 故答案为：转化． （2）设，则原方程可化为， 解之得：，， 当 时，无解； 当 时，， 解得：，． ∴原方程的解为或． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 一元二次方程的解法——因式分解法（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+1个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 因式分解法 同学们，数学不仅是纸面上的符号，更是描述自然规律的钥匙.在物理学中，如果我们把一个物体从地面以10m/s的初速度竖直向上抛出，那么经过秒后，物体离地面的高度（单位：米）可以用代数式104.9来表示.现在请大家思考一个关键问题：物体经过多少秒后会落回地面？ 当物体落回地面时，它离地面的高度显然是0米.因此，我们可以列出一个方程：104.9=0.面对这个方程，如果我们用之前学过的配方法，计算过程会比较繁琐.但如果我们仔细观察这个方程的左边，会发现它有一个非常明显的特征——每一项都含有字母.我们可以利用提公因式法，将它提取出来，把方程变形为：(10-4.9)=0. 此时，方程变成了两个因式相乘等于0的形式.在数学中有一个基本常识：如果ab=0，那么必定有a=0或b=0.因此，我们可以将这个一元二次方程巧妙地转化为两个一元一次方程：=0或10-4.9=0，从而轻松求出它的解.像这样，通过将方程一边化为0，另一边分解为两个一次因式的乘积来求解的方法，就是我们今天要学习的新本领——因式分解法. 【知识点 因式分解法解一元二次方程】 1. 定义：当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这个一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法． 2. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 【题型1 因式分解法的理解】 【例1】用因式分解法解方程，若将左边分解后有一个因式是，则的值是（   ） A． B．1 C． D．5 【变式1-1】若方程的根是2和3，那么代数式可分解因式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·重庆万州·阶段检测）用因式分解法解方程，若将左边分解后有一个因式是，则的值是_____． 【变式1-3】我们知道多项式可分解成，所以方程有两根，．已知多项式有一个因式是，则________． 【题型2 不因式分解直接解一元二次方程】 【例2】方程的根是____． 【变式2-1】（25-26九年级上·天津·阶段检测）方程的两根分别为__________． 【变式2-2】（25-26九年级上·贵州遵义·阶段检测）关于的一元二次方程的其中一个解是_________． 【变式2-3】（2026·福建泉州·模拟预测）一元二次方程的根是（  ） A． B． C． D． 【题型3 因式分解法解一元二次方程——提公因式型】 【例3】（2026·江苏常州·模拟预测）方程的解是（    ） A． B． C．， D．无实数根 【变式3-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的根是（    ） A． B．0 C．或5 D．1或5 【变式3-2】（2026·河南周口·一模）新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 【变式3-3】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）方程：的解为__________． 【题型4 因式分解法解一元二次方程——完全平方公式型】 【例4】（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）若实数x满足，则_____ ． 【变式4-1】（2026·陕西西安·模拟预测）方程的根是______． 【变式4-2】（2025·广东深圳·一模）当___________时，代数式与的值相等． 【变式4-3】（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则__________． 【题型5 因式分解法解一元二次方程——平方差公式型】 【例5】一元二次方程的根为________． 【变式5-1】（24-25九年级下·全国·暑假作业）运用平方差解方程： 【变式5-2】（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解是_____． 【变式5-3】（24-25八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内定义一种新运算，规定：，则方程的解为____ 【题型6 因式分解法解一元二次方程——十字相乘型】 【例6】（2026·河南周口·二模）一元二次方程 的一个根为，则另一个根是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）解方程：，_______ 【变式6-2】（25-26八年级上·上海奉贤·期末）小明发明了一个魔术盒，当任意有理数对进入其中时，会得到一个新的有理数：，例如把放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到，则___________． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）关于x的方程的常数项是0，则m的值为___________． 【题型7 换元法解一元二次方程】 【例7】（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 【变式7-1】（25-26九年级上·山西忻州·阶段检测）一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若关于x的一元二次方程两根分别为，，则关于x的一元二次方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-3】（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为：，解得，，当时，，，当时，，．∴原方程有四个根是：，，，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． 已知实数，满足，试求的值． 【题型8 因式分解法解一元二次方程与几何结合】 【例8】（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知菱形的两条对角线长分别是方程的两个实数根，则与该菱形面积相等的正方形的边长为（） A． B．4 C．2 D． 【变式8-1】（25-26八年级下·山东东营·期中）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 【变式8-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）将两张长为，宽为的长方形纸片沿对角线剪裁后，和两张边长为的小正方形纸片按如图的方式拼成一个边长为的大正方形，若阴影部分的面积与图中空白部分的面积之比为，则（   ） A．1 B．5 C．3 D．4 【变式8-3】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图①中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（    ） A． B． C． D． 模块三 课后作业 1．（25-26八年级下·安徽淮南·期中）一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 2．（25-26八年级下·安徽六安·期中）一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 3．（25-26八年级下·广西百色·期中）若一元二次方程的一个根是1，则另一个根是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 4．（25-26九年级下·江西九江·期中）已知一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（   ） A． B．2 C．1 D．0 5．（25-26八年级下·山东东营·期中）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 6．（25-26九年级上·山东德州·期中）方程的解是______． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知长方形相邻两边的长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的周长是___________． 8．（25-26九年级上·广东惠州·期中）我们规定一种运算：．依据以上规定计算：当____时，． 9．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知，则 _________． 10．（25-26八年级下·山东青岛·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“牵手方程”,例如方程和有且仅有一个相同的实数根,所以这两个方程为“牵手方程”．若方程和为“牵手方程”,则m的值为__________． 11．（25-26八年级下·浙江金华·期中）解下列方程： (1)； (2)． 12．（25-26八年级下·安徽·期中）解方程：． 13．（24-25八年级下·河北张家口·期末）计算 习题课上老师给了一道解方程的题目：．嘉嘉和琪琪的解法如下： 嘉嘉的解法 原方程可化为：……第一步 ……第二步 ，……第三步 琪琪的解法 原方程可化为：……第一步 两边都除以……第二步 ……第三步 (1)她们的解法都是错误的，嘉嘉从第________步开始错误，琪琪从第________步开始错误； (2)写出方程正确的解答过程． 14．（25-26九年级上·河南信阳·期中）已知一元二次方程． (1)求该方程的根． (2)若该方程较小的根为一元二次方程的一个根，求m的值． 15．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）阅读并解答问题： 解方程时，可以把看作一个整体， 设，则， 原方程化为，解方程，得，． 当时，，，即； 当时，，，即． 综上所述，原方程的解为，，，． 解答问题： (1)在由原方程得到方程的过程中，利用换元的方法达到了降次的目的，体现了______的数学思想； (2)解方程：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $