江苏省常州市2025-2026学年八年级下册期末数学模拟试卷

**基本信息** 本卷以苏科版八年级下册内容为核心，融合文化传承（周易卦象概率）、现实应用（辽宁非遗面人采购）与数学探究（矩形折叠综合），凸显数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|概率、分式、菱形判定|转盘概率题考查随机观念，沙棘成活率题体现数据意识| |填空题|10/20|分式意义、因式分解、菱形性质|二十四节气事件类型题关联生活，折叠问题考查空间观念| |解答题|10/84|分式方程、统计图表、几何证明|周易卦象概率题渗透文化，红色文创采购题强化应用意识，矩形折叠综合题提升推理能力|

2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级下册全部内容。 第一部分（选择题共16分） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，转动三个可以自由转动的转盘转盘均被等分，当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】指针落在阴影区域内的可能性是：，比较灰色部分的面积即可． 【详解】解：由图可知：“指针落在灰色区域内”的可能性为；“指针落在灰色区域内”的可能性为；“指针落在灰色区域内”的可能性为； 因为， 所以指针落在灰色区域内的可能性从大到小的顺序为：． 2.山西是中国沙棘资源的第一大省，沙棘果中含有丰富的维生素、多种氨基酸以及黄酮类化合物等生物活性物质，某林业局考察某种沙棘树苗的移植成活率，将在一定条件下沙棘树苗成活的数据绘制成统计图，由此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】依据“大量重复试验中，事件的稳定频率可作为其概率的估计值”的统计原理，观察折线统计图中沙棘树苗的成活频率最终稳定在 附近，以此估计该种沙棘树苗成活的概率即可． 【详解】解：从折线统计图可以看出，随着试验的推进，沙棘树苗成活棵数的占比即成活频率逐渐稳定在 附近，因此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为 ． 故选：． 3.若代数式是最简分式，则表示的可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】先利用平方差公式分解分子，再结合分式定义和最简分式定义，判断分母是否符合要求．最简分式要求分子分母没有公因式，且原式为分式要求分母含有字母． 【详解】解：首先对分子因式分解： ， 逐个判断选项： 对于选项：当时，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式，不符合题意； 对于选项：当时，分母为常数，原式不是分式，不符合题意； 对于选项：当时，分母与分子的因式没有公因式，且分母含字母，原式是最简分式，符合题意； 对于选项：当时，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式，不符合题意． 4.下列运算结果正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据二次根式的性质及运算进行解答得到答案． 【详解】．，错误； B.，正确； C.，错误； D.，错误； 故选B． 本题主要考查二次根式的性质与化简，仔细检查是关键． 5.如图，在中，对角线相交于点，，添加下列条件，能判定为菱形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：，， 当或时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，能判定为菱形． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 6.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 7.如图， 中，点为 的中点，连接 ， ，点为 的中点，连接 交 于，若 ，则 的长为     ． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】取 中点，根据平行四边形的性质对边平行且相等及三角形中位线得出四边形 是平行四边形，利用平行四边形对角线平分且相等进而求出 的长． 【详解】解：取 中点为，连接 ，如图所示， 点为 的中点，点为 的中点，  是 的中位线，  ， ， 四边形 是平行四边形，  ， ，  ， 点为 的中点，  ，  ， ， 四边形 是平行四边形，  ，  ，  ． 8.已知中，，，，点是的中点，将沿着直线翻折，使点翻折到点，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】利用直角三角形斜边中线定理求出长，结合翻折性质可知垂直平分，利用面积法求出到的距离，通过构造全等三角形和矩形求解的长． 【详解】解：如图，连接交直线于点， 过点作交直线于点， 为中点 由翻折性质可知，垂直平分 又 ，解得 在中， ， 点，在直线异侧，点，关于直线对称 点，在直线同侧 ， 四边形是平行四边形 又 四边形是矩形 ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.如果代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是          ． 【答案】  【解析】略 10.分解因式：           ． 【答案】  【解析】解：先提取公因式后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案为：． 11.为了落实“健康第一”的教育理念，某学校组织全体学生参加体质健康测试，现随机抽取了名同学的测试成绩进行分组整理后，它们分别落在个小组内，前个小组的频数分别为、、，第个小组的频率是，那么第个小组的频数是        ． 【答案】  【解析】解：由题意得第小组的频数为， 第个小组的频数为． 故答案为：． 利用所有分组的频数之和等于总样本数，结合“频数总数频率”先求出第小组的频数，再计算第小组的频数． 本题考查频数与频率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12.“二十四节气”是中国传统历法体系的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”在“清明”这个节气会下雨是          事件填“确定”或“不确定”． 【答案】不确定  【解析】根据事件的分类概念，判断该事件能否事先确定发生，即可得出结论． 【详解】解：在“清明”这个节气会下雨可能发生，也可能不发生，无法事先确定是否发生， 因此属于不确定事件． 13.若，则的值为        ． 【答案】  【解析】解：根据二次根式有意义的条件可得： ， 解得：， ， ． 故答案为：． 根据二次根式有意义的条件得出，进而求出，即可求出的值． 本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握该知识点是关键． 14.如图，在平面直角坐标系中，已知菱形，且，，则点的坐标为          ． 【答案】  【解析】利用勾股定理求出的长，再根据菱形的性质得出的长，进而即可求解． 【详解】解：，， ，， ， 四边形是菱形， ，轴， 点的纵坐标为，横坐标为， 点的坐标为． 15.如图，菱形的对角线相交于点是的中点，，连接若，则           ． 【答案】  【解析】根据菱形的性质得出，，根据直角三角形斜边中线性质和三角形中位线定理得到，则，进而利用勾股定理可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 点是的中点 ， ． 16.如图，已知梯形中，，点和分别在和上，和相交于点，和相交于点，，，则阴影部分的面积为      ． 【答案】  【解析】解：梯形中，，点和分别在和上，和相交于点，连接， ，， ，，即， 同理： ． 故答案为：． 如图：连接，因为，所以两平行线间的距离处处相等，易得、的面积与的面积，即可解决． 本题主要考查三角形面积、平行线的性质等知识点，发现等底等高的两三角形是解题的关键． 17.如图，将矩形沿按图的方式折叠，点的对应点落在上；再按如图所示将所得梯形纸片沿折叠，边恰好与折痕完全重合已知，的长为下列结论： ； ； 四边形的面积为； ． 其中一定正确的结论有             填写序号即可． 【答案】．  【解析】解：四边形是矩形，  ，  由图的所示方式折叠得：，  由图所示的方式折叠得：，  故结论一定正确；  四边形是矩形，  ，  是直角三角形，  在中，，  由图所示的方式折叠得：，  ，  ，  在中，，，  是等腰直角三角形，  ，  故结论一定正确；  ，  设，则，  在矩形中，，，，  是直角三角形，  在中，，  是等腰直角三角形，  ，  ，  ，，  ，  ，，  ，  由图所示的方式折叠得：，，，      ，  故结论不正确；  ，，  ：：，  故结论一定正确  综上所述：一定正确的结论有  故答案为：． 由矩形性质得，由图的所示方式折叠得，由图所示的方式折叠得，据此得结论一定正确；  由矩形性质得，在中得，由图所示的方式折叠得，进而得，由此得是等腰直角三角形，据此得结论一定正确；  设，则，证明是等腰直角三角形得，则为，由此得，，，继而得，据此结论不正确；  由，得结论一定正确，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，灵活利用三角形的面积公式计算是解决问题的关键． 18.给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为为正整数已知，并规定：，如：，则下列结论：；若，则；若则；若的值为整数，则满足条件的整数共有个．其中正确的结论有          填写所有正确结论的序号 【答案】  【解析】先计算前几项得到数列每个数为一个周期循环，再逐一判断每个结论即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 该数列以个数为一个周期循环， ， ，故符合题意；  ，  ， ，故符合题意； ，即一个周期的乘积为，  ， ，  ， ， ，故符合题意； ，，  ，， ，  原式的值为整数，为整数， 是的约数， ，即， 由数列定义及各项表达式可知，分母均不能为， ， 根据分式有意义可知，分母，即，则， 排除，符合条件的共个，故符合题意； 综上，符合题意的有． 三、解答题：本题共10小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题6分解分式方程： ； ． 【答案】(1)解：去分母得， 去括号得， 解得， 经检验，是原方程的解；   (2)解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得， 经检验，是原方程的增根，故原方程无解．   【解析】 详细解答和解析过程见【答案】  详细解答和解析过程见【答案】 20.本小题6分计算： ； ． 【答案】    【解析】 ； ． 先化简，然后合并同类项和同类二次根式即可； 先算乘除法，再算减法即可． 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 21.本小题6分先化简：，再从，，中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，．  【解析】解： ， ， ，， ，， 当时，原式． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的的值代入进行计算即可 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 22.本小题分 某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”“良好”“合格”“不合格”． 本次抽查总人数为          人，“合格”人数的百分比为           补全条形统计图 扇形统计图中“不合格”人数的度数为           在“优秀”中有甲、乙、丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲、乙两人的概率为          ． 【答案】(1)50; 40%   (2)“不合格”人数为50-8-6-20=16(人),补全条形统计图略  (3)​​​​​​​  (4)  【解析】  解：本次抽查的总人数为人， “合格”人数的百分比为， 故答案为：，  略   扇形统计图中“不合格”人数的度数为，故答案为：  略 23.本小题分 如图，我国古代典籍周易用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”八个卦象．每个卦象由三个爻组成，其中“”表示阳爻，“”表示阴爻． 若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是          ； 现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率． 【答案】(1)  (2)解：记“乾、坤、震、巽”分别为，，，． 列表法： 第一卦象第二卦象     树状图： 由表或树状图可得，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 其中满足条件的结果有：，，，，，共6种． 所以所求概率为．   【解析】  观察图形，可得只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个，进而根据概率公式，即可求解； 【详解】解：共有八个卦象，只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个， 从中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是   记“乾、坤、震、巽”分别为，，，，根据列表法或画树状图法求解即可． 24.本小题分 如图，的边上有一点，过点作  请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：在上截取，使，作的平分线交于点保留作图痕迹，不写作法  在所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】解：如图所示，，即为所求；    证明：如图所示，连接，  由作图得，，，  ，  ，  ，  ，  ，  又，  四边形是平行四边形，  ，  四边形是菱形．  【解析】解：如图所示，，即为所求；    证明：如图所示，连接，  由作图得，，，  ，  ，  ，  ，  ，  又，  四边形是平行四边形，  ，  四边形是菱形． 根据尺规作线段和角平分线的方法求解即可；  根据角平分线的概念和平行线的性质得到，推出，，然后结合和即可证明四边形是菱形． 此题考查了尺规作线段和角平分线，角平分线的概念，平行线的性质和等角对等边性质，菱形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 25.本小题分 【阅读理解】 爱思考的小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 计算：           ； 计算：； 若，求的值． 【答案】(1)​​​​​​​  (2)解：对原式中每一项分母有理化，可得， 原式   (3)解：， ， 两边平方得，即， 整理得 代入得．   【解析】  本题参照例题方法，利用分母有理化、裂项相消和整体代入思想解题． 利用平方差公式对原式进行分母有理化即可得到结果； 解：  先对每一项进行分母有理化，再通过裂项相消合并计算得到结果；  先将分母有理化，再变形得到的值，整体代入所求代数式计算即可． 26.本小题10分 我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． 将分式分解的结果为          ； 若可以分式分解为其中是常数，则           ，           ； 化简：． 【答案】(1)  (2)3;1  (3)解：∵， ， 原式 ， ∵ ， ∴原式 ．   【解析】  本题主要考查了分式的加减运算，解二元一次方程组，掌握知识点的应用是解题的关键． 仿照题干提供的解题思路分解分式即可； 解：     ， 故答案为：；  仿照题干得，比较分母，得，比较分子，得，解得，从而求解； 解：      ， ， 比较分母，得， 比较分子，得，解得 故答案为：，；  分别求出， ，则，然后计算，从而求解． 27.本小题12分 项目名称：红色文创匠心算理辽宁非遗面人采购探究 一、项目情境 “如果你有时间，一定要来一趟辽宁：在抗美援朝烈士陵园致敬英烈，走进中国工业博物馆触摸钢铁脊梁，感受共和国长子的时代担当” 国庆黄金周，辽宁红色旅游线路备受青睐沈阳中街某非遗面人工作室里，承载着雷锋精神、辽宁舰记忆的文创面人供不应求为满足市场需求，工作室的王师傅计划采购两款粘土制作精品面人： 他用元购进的款普通粘土，和用元购进的款改良粘土已知两种粘土购进的数量相同，且每份款改良粘土的进价比款粘土的进价多元． 二、项目任务 任务：核算原料成本 请根据情境，求、两款粘土每份的进价分别是多少元？ 任务：制定采购计划 王师傅决定追加投入，计划用不超过元的总费用，购进这两款粘土共份用于赶工请问款改良粘土最多能购进多少份？ 【答案】款粘土每份的进价是元，则款改良粘土每份的进价是元  份  【解析】解：设款粘土每份的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 元， 答：款粘土每份的进价是元，则款改良粘土每份的进价是元； 设购进份款改良粘土， 根据题意可得：， 解得：， 答：最多可以购进份款改良粘土． 设款粘土每份的进价是元，则款改良粘土每份的进价是元，根据用元购进的款普通粘土，和用元购进的款改良粘土，两种粘土购进的数量相同，列出分式方程进行求解即可； 设购进份款改良粘土，根据计划用不超过元的总费用，列出不等式进行求解即可． 本题考查分式方程的应用，正确进行计算是解题关键． 28.本小题12分 如图，在矩形中，、，点在线段上点不与点重合，连结，将沿翻折得到、点的对应点为． 求的长度； 求证：当时，四边形为正方形； 若点在线段上，且，连接、将沿翻折得到、点的对应点为，设点与点之间的距离为，求的取值范围． 【答案】(1)解：沿翻折得到， ∴， 又∵， ∴；   (2)证明：法一：沿翻折得到， ∴， ∴ ∴四边形是菱形， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是正方形； 法二： ∵四边形是矩形， ∴． 又∵△沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形；   (3)解：①当与重合时， 此时． ②当点与点重合（点与点重合）时， ∵四边形是矩形，、， ∴，，， ∴， 由折叠可得 ，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴． ∴．   【解析】  根据翻折得到；   根据翻折得到，，则推出四边形是菱形，最后根据得到四边形是正方形；   当与重合时，此时最小．当点与点重合点与点重合时，根据折叠证明四边形是矩形，得到，此时最大，即可得到点与点之间的距离为的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新教材苏科版八年级下册全部内容。 第一部分（选择题共16分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，转动三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内” 的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为() A.①③② B.②①③ c.③①② D.②③① 2.山西是中国沙棘资源的第一大省，沙棘果中含有丰富的维生素C、多种氨基酸以及黄酮类化合物等生物活 性物质，某林业局考察某种沙棘树苗的移植成活率，将在一定条件下沙棘树苗成活的数据绘制成统计图， 由此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为() A成活棵数占比 0.99 0.98 0.97 0.96 24 68101214移植数量（千棵） A.0.96 B.0.97 C.0.98 D.0.99 3若代数式。'是最简分式，则△表示的可以是() A.x+y B.2 C.xy D.(x-y)2 第1页，共8页 4.下列运算结果正确的是() A.√(-3)2=-3 B.(-V②2=2C.V6÷V3=2D.√16=±4 5.如图，在☐ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AB=5,添加下列条件，能判定口ABCD为菱形的 是() D B A.BD=5 B.AC=5 C.AD=5 D.B0=5 6.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是() A.a2-9b2 B.x2y2-25 C.-m2-n2 D.1-m2 7.如图，口ABCD中，点E为AD的中点，连接BE,CE,点F为BE的中点，连接DF交CE于G,若GE=2, 则CG的长为(). G B A.4 B.5 C.6 D.8 8.己知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,点D是AB的中点，将△ABC沿着直线CD翻折，使 点B翻折到点E,则AE的长为() C A.1 B.1.2 C.1.4 D.V2 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 )如果代数式一在实数范国内有意义，那么x的取值范围是一 第2页，共8页 10.分解因式：2a2-4a+2=_ 11.为了落实“健康第一”的教育理念，某学校组织全体学生参加体质健康测试，现随机抽取了100名同学 的测试成绩进行分组整理后，它们分别落在5个小组内，前3个小组的频数分别为15、15、18，第4个 小组的频率是0.2，那么第5个小组的频数是一· 12.“二十四节气”是中国传统历法体系的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”在“清明”这个节 气会下雨是事件（填“确定”或“不确定”） 13.若y=Vx-4+√4-x+3,则x的值为一· 14.如图，在平面直角坐标系中，己知菱形ABCD,且A(3,0),B(0,4),则点C的坐标为一· 15.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是DC的中点，BE1DC,连接OE.若OE=2,则 BE= 4 D 16.如图，己知梯形ABCD中，AD//BC,点E和F分别在AD和BC上，BE和AF相交于点G,CE和DF 相交于点H,S△4BG=2,S△DHc=3.5,则阴影部分的面积为一· A 17.如图，将矩形ABCD沿AE按图1的方式折叠，点B的对应点B落在AD上：再按如图2所示将所得 梯形纸片AECD沿AG折叠，边AD恰好与折痕AE完全重合.已知AD=√2AB,CE的长为1.下列结论： ①∠GAD=22.5°； ②CE=CG: ③四边形AECG的面积为3+2V2: ④DG:CG=V2:1. 其中一定正确的结论有（填写序号即可）· 第3页，共8页 E(D)C 图1 图2 18.给定一列数，我们把这列数中第一个数记为a1,第二个数记为a2,第三个数记为a3,以此类推，第n个 数记为a,(m为正整数).已知01=x,a2=2+3x,并规定：a+2=a,如：a,=号a4=号则下列结论： an @00s安@若是=5，则。一6，⑧若a644s=2则加a学⑧若导的值为 整数，则满足条件的整数x共有6个.其中正确的结论有_一·（填写所有正确结论的序号） 三、解答题：本题共10小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题6分)解分式方程： (四六+2=2 (②+品品 2 12 20.(本小题6分)计算： aWs-2+-6原 (am×居-6厚 21(体小题6分)先化简：平÷1-品)再从-1,2,3中选择一个合适的数作为x的值代入求值 第4页，共8页 22.(本小题8分) 某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”“良好”“合格”“不合格” ↑人数 24 20 20 16 不合格 合格 12 32% 8 8 6 16% 4 12% 等级 优秀 0 良好 优秀 良好合格不合格 (1①)本次抽查总人数为一人，“合格”人数的百分比为； (2)补全条形统计图； (3)扇形统计图中“不合格”人数的度数为； (4)在“优秀”中有甲、乙、丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲、乙两人的概率为 23.(本小题8分) 如图，我国古代典籍凋易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽（ù）、坎、离、艮 (gn)兑”八个卦象.每个卦象由三个爻y0)组成，其中“一”表示阳爻，“■■”表示阴爻. 乾 塔 (1)若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是一： (2)现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至 少有一个阳爻的概率， 第5页，共8页 24.(本小题8分) 如图，LAOB的边上有一点P,过点P作PC/IOB. (1)请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：在OB上截取OE,使OE=OP,作LAOB的平分线交PC 于点D(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图形中，连接DE,求证：四边形OPDE是菱形. A P -B 25.(本小题8分) 【阅读理解】 爱思考的小明在解决问题：已知a=2十√万求2a2-8a+1的值.他是这样分析与解答的： 2-V3 a=2+72+v8e-同=2-V3,a-2=-V3. (a-2)2=3,即a2-4a+4=3. ∴.a2-4a=-1. 2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 1 (4)计算：2+= (2☒计算：本+3+本+…+0+N示 1 1 1 1 (3)若a=2万求a2-4a+5的值. 第6页，共8页 26.(本小题10分) 我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形.类似的，“几个分式相加”与“将一个分式 化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分 式分解” 例如，将分式分解：司-十司+号 (@)将04号分式分解的结果为一 (②者可以分式分解为号十品（供中mp是常数，则卫一g一 (同倒化简：兴+ 2x+1 27.(本小题12分) 项目名称：红色文创匠心算理一一辽宁非遗面人采购探究 一、项目情境 “如果你有时间，一定要来一趟辽宁：在抗美援朝烈士陵园致敬英烈，走进中国工业博物馆触摸钢铁脊梁， 感受共和国长子的时代担当.” 国庆黄金周，辽宁红色旅游线路备受青睐沈阳中街某非遗面人工作室里，承载着雷锋精神、辽宁舰记忆的 文创面人供不应求为满足市场需求，工作室的王师傅计划采购两款粘土制作精品面人： 他用500元购进的A款普通粘土，和用750元购进的B款改良粘土.已知两种粘土购进的数量相同，且每 份B款改良粘土的进价比A款粘土的进价多5元. 二、项目任务 任务1：核算原料成本 (1)请根据情境，求A、B两款粘土每份的进价分别是多少元？ 任务2：制定采购计划 (2)王师傅决定追加投入，计划用不超过1320元的总费用，购进这两款粘土共100份用于赶工.请问B款改 良粘土最多能购进多少份？ 第7页，共8页 28.(本小题12分) 如图，在矩形ABCD中，AB=√3、AD=1,点P在线段CD上（点P不与点D重合），连结AP,将△ADP 沿AP翻折得到、点D的对应点为D. B B (1)求AD'的长度： (2)求证：当DP=1时，四边形AD'PD为正方形： (3)若点Q在线段AB上，且BQ=DP=a(0<a≤V3,连接CQ、将aBCQ沿CQ翻折得到△B'CQ、点B 的对应点为B',设点B'与点D'之间的距离为d,求d的取值范围 第8页，共8页 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级下册全部内容。 第一部分（选择题共16分） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，转动三个可以自由转动的转盘转盘均被等分，当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为(    ) A. B. C. D. 2.山西是中国沙棘资源的第一大省，沙棘果中含有丰富的维生素、多种氨基酸以及黄酮类化合物等生物活性物质，某林业局考察某种沙棘树苗的移植成活率，将在一定条件下沙棘树苗成活的数据绘制成统计图，由此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为(    ) A. B. C. D. 3.若代数式是最简分式，则表示的可以是(    ) A. B. C. D. 4.下列运算结果正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，对角线相交于点，，添加下列条件，能判定为菱形的是(    ) A. B. C. D. 6.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是(    ) A. B. C. D. 7.如图， 中，点为 的中点，连接 ， ，点为 的中点，连接 交 于，若 ，则 的长为     ． A. B. C. D. 8.已知中，，，，点是的中点，将沿着直线翻折，使点翻折到点，则的长为(    ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.如果代数式在实数范围内有意义，那么的取值范围是          ． 10.分解因式：           ． 11.为了落实“健康第一”的教育理念，某学校组织全体学生参加体质健康测试，现随机抽取了名同学的测试成绩进行分组整理后，它们分别落在个小组内，前个小组的频数分别为、、，第个小组的频率是，那么第个小组的频数是        ． 12.“二十四节气”是中国传统历法体系的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”在“清明”这个节气会下雨是          事件填“确定”或“不确定”． 13.若，则的值为        ． 14.如图，在平面直角坐标系中，已知菱形，且，，则点的坐标为          ． 15.如图，菱形的对角线相交于点是的中点，，连接若，则           ． 16.如图，已知梯形中，，点和分别在和上，和相交于点，和相交于点，，，则阴影部分的面积为      ． 17.如图，将矩形沿按图的方式折叠，点的对应点落在上；再按如图所示将所得梯形纸片沿折叠，边恰好与折痕完全重合已知，的长为下列结论： ； ； 四边形的面积为； ． 其中一定正确的结论有             填写序号即可． 18.给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为为正整数已知，并规定：，如：，则下列结论：；若，则；若则；若的值为整数，则满足条件的整数共有个．其中正确的结论有          填写所有正确结论的序号 三、解答题：本题共10小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题6分解分式方程： ； ． 20.本小题6分计算： ； ． 21.本小题6分先化简：，再从，，中选择一个合适的数作为的值代入求值． 22.本小题分 某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”“良好”“合格”“不合格”． 本次抽查总人数为          人，“合格”人数的百分比为           补全条形统计图 扇形统计图中“不合格”人数的度数为           在“优秀”中有甲、乙、丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲、乙两人的概率为          ． 23.本小题分 如图，我国古代典籍周易用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”八个卦象．每个卦象由三个爻组成，其中“”表示阳爻，“”表示阴爻． 若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是          ； 现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率． 24.本小题分 如图，的边上有一点，过点作  请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：在上截取，使，作的平分线交于点保留作图痕迹，不写作法  在所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形． 25.本小题分 【阅读理解】 爱思考的小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 计算：           ； 计算：； 若，求的值． 26.本小题10分 我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． 将分式分解的结果为          ； 若可以分式分解为其中是常数，则           ，           ； 化简：． 27.本小题12分 项目名称：红色文创匠心算理辽宁非遗面人采购探究 一、项目情境 “如果你有时间，一定要来一趟辽宁：在抗美援朝烈士陵园致敬英烈，走进中国工业博物馆触摸钢铁脊梁，感受共和国长子的时代担当” 国庆黄金周，辽宁红色旅游线路备受青睐沈阳中街某非遗面人工作室里，承载着雷锋精神、辽宁舰记忆的文创面人供不应求为满足市场需求，工作室的王师傅计划采购两款粘土制作精品面人： 他用元购进的款普通粘土，和用元购进的款改良粘土已知两种粘土购进的数量相同，且每份款改良粘土的进价比款粘土的进价多元． 二、项目任务 任务：核算原料成本 请根据情境，求、两款粘土每份的进价分别是多少元？ 任务：制定采购计划 王师傅决定追加投入，计划用不超过元的总费用，购进这两款粘土共份用于赶工请问款改良粘土最多能购进多少份？ 28.本小题12分 如图，在矩形中，、，点在线段上点不与点重合，连结，将沿翻折得到、点的对应点为． 求的长度； 求证：当时，四边形为正方形； 若点在线段上，且，连接、将沿翻折得到、点的对应点为，设点与点之间的距离为，求的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：120分） 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12. 不确定  13.   14.   15.   16.   17. ．  18.   19. 【小题】 解：去分母得， 去括号得， 解得， 经检验，是原方程的解； 【小题】 解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得， 经检验，是原方程的增根，故原方程无解．   20.     21. ，．  22. 【小题】 【小题】 “不合格”人数为人，补全条形统计图略 【小题】 【小题】   23. 【小题】 【小题】 解：记“乾、坤、震、巽”分别为，，，． 列表法： 第一卦象第二卦象     树状图： 由表或树状图可得，总共有种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 其中满足条件的结果有：，，，，，共种． 所以所求概率为．   24. 解：如图所示，，即为所求；    证明：如图所示，连接，  由作图得，，，  ，  ，  ，  ，  ，  又，  四边形是平行四边形，  ，  四边形是菱形．  25. 【小题】 【小题】 解：对原式中每一项分母有理化，可得， 原式 【小题】 解：， ， 两边平方得，即， 整理得 代入得．   26. 【小题】 【小题】 【小题】 解：， ， 原式 ， ， 原式 ．   27. 款粘土每份的进价是元，则款改良粘土每份的进价是元  份  28. 【小题】 解：沿翻折得到， ， 又， ； 【小题】 证明：法一：沿翻折得到， ， 四边形是菱形， 又四边形是矩形， ， 四边形是正方形； 法二： 四边形是矩形， ． 又沿翻折得到， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； 【小题】 解：当与重合时， 此时． 当点与点重合点与点重合时， 四边形是矩形，、， ，，， ， 由折叠可得 ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， ， ． ．   【解析】 1. 指针落在阴影区域内的可能性是：，比较灰色部分的面积即可． 【详解】解：由图可知：“指针落在灰色区域内”的可能性为；“指针落在灰色区域内”的可能性为；“指针落在灰色区域内”的可能性为； 因为， 所以指针落在灰色区域内的可能性从大到小的顺序为：． 2. 依据“大量重复试验中，事件的稳定频率可作为其概率的估计值”的统计原理，观察折线统计图中沙棘树苗的成活频率最终稳定在 附近，以此估计该种沙棘树苗成活的概率即可． 【详解】解：从折线统计图可以看出，随着试验的推进，沙棘树苗成活棵数的占比即成活频率逐渐稳定在 附近，因此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为 ． 故选：． 3. 先利用平方差公式分解分子，再结合分式定义和最简分式定义，判断分母是否符合要求．最简分式要求分子分母没有公因式，且原式为分式要求分母含有字母． 【详解】解：首先对分子因式分解： ， 逐个判断选项： 对于选项：当时，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式，不符合题意； 对于选项：当时，分母为常数，原式不是分式，不符合题意； 对于选项：当时，分母与分子的因式没有公因式，且分母含字母，原式是最简分式，符合题意； 对于选项：当时，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式，不符合题意． 4. 根据二次根式的性质及运算进行解答得到答案． 【详解】．，错误； B.，正确； C.，错误； D.，错误； 故选B． 本题主要考查二次根式的性质与化简，仔细检查是关键． 5. 解：，， 当或时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，能判定为菱形． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 6. 略 7. 取 中点，根据平行四边形的性质对边平行且相等及三角形中位线得出四边形 是平行四边形，利用平行四边形对角线平分且相等进而求出 的长． 【详解】解：取 中点为，连接 ，如图所示， 点为 的中点，点为 的中点，  是 的中位线，  ， ， 四边形 是平行四边形，  ， ，  ， 点为 的中点，  ，  ， ， 四边形 是平行四边形，  ，  ，  ． 8. 利用直角三角形斜边中线定理求出长，结合翻折性质可知垂直平分，利用面积法求出到的距离，通过构造全等三角形和矩形求解的长． 【详解】解：如图，连接交直线于点， 过点作交直线于点， 为中点 由翻折性质可知，垂直平分 又 ，解得 在中， ， 点，在直线异侧，点，关于直线对称 点，在直线同侧 ， 四边形是平行四边形 又 四边形是矩形 ． 9. 略 10. 解：先提取公因式后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案为：． 11. 解：由题意得第小组的频数为， 第个小组的频数为． 故答案为：． 利用所有分组的频数之和等于总样本数，结合“频数总数频率”先求出第小组的频数，再计算第小组的频数． 本题考查频数与频率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12. 根据事件的分类概念，判断该事件能否事先确定发生，即可得出结论． 【详解】解：在“清明”这个节气会下雨可能发生，也可能不发生，无法事先确定是否发生， 因此属于不确定事件． 13. 解：根据二次根式有意义的条件可得： ， 解得：， ， ． 故答案为：． 根据二次根式有意义的条件得出，进而求出，即可求出的值． 本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握该知识点是关键． 14. 利用勾股定理求出的长，再根据菱形的性质得出的长，进而即可求解． 【详解】解：，， ，， ， 四边形是菱形， ，轴， 点的纵坐标为，横坐标为， 点的坐标为． 15. 根据菱形的性质得出，，根据直角三角形斜边中线性质和三角形中位线定理得到，则，进而利用勾股定理可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 点是的中点 ， ． 16. 解：梯形中，，点和分别在和上，和相交于点，连接， ，， ，，即， 同理： ． 故答案为：． 如图：连接，因为，所以两平行线间的距离处处相等，易得、的面积与的面积，即可解决． 本题主要考查三角形面积、平行线的性质等知识点，发现等底等高的两三角形是解题的关键． 17. 解：四边形是矩形，  ，  由图的所示方式折叠得：，  由图所示的方式折叠得：，  故结论一定正确；  四边形是矩形，  ，  是直角三角形，  在中，，  由图所示的方式折叠得：，  ，  ，  在中，，，  是等腰直角三角形，  ，  故结论一定正确；  ，  设，则，  在矩形中，，，，  是直角三角形，  在中，，  是等腰直角三角形，  ，  ，  ，，  ，  ，，  ，  由图所示的方式折叠得：，，，      ，  故结论不正确；  ，，  ：：，  故结论一定正确  综上所述：一定正确的结论有  故答案为：． 由矩形性质得，由图的所示方式折叠得，由图所示的方式折叠得，据此得结论一定正确；  由矩形性质得，在中得，由图所示的方式折叠得，进而得，由此得是等腰直角三角形，据此得结论一定正确；  设，则，证明是等腰直角三角形得，则为，由此得，，，继而得，据此结论不正确；  由，得结论一定正确，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，灵活利用三角形的面积公式计算是解决问题的关键． 18. 先计算前几项得到数列每个数为一个周期循环，再逐一判断每个结论即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 该数列以个数为一个周期循环， ， ，故符合题意；  ，  ， ，故符合题意； ，即一个周期的乘积为，  ， ，  ， ， ，故符合题意； ，，  ，， ，  原式的值为整数，为整数， 是的约数， ，即， 由数列定义及各项表达式可知，分母均不能为， ， 根据分式有意义可知，分母，即，则， 排除，符合条件的共个，故符合题意； 综上，符合题意的有． 19.  详细解答和解析过程见【答案】  详细解答和解析过程见【答案】 20. ； ． 先化简，然后合并同类项和同类二次根式即可； 先算乘除法，再算减法即可． 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 21. 解： ， ， ，， ，， 当时，原式． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的的值代入进行计算即可 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 22.   解：本次抽查的总人数为人， “合格”人数的百分比为， 故答案为：，  略   扇形统计图中“不合格”人数的度数为，故答案为：  略 23.   观察图形，可得只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个，进而根据概率公式，即可求解； 【详解】解：共有八个卦象，只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个， 从中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是   记“乾、坤、震、巽”分别为，，，，根据列表法或画树状图法求解即可． 24. 解：如图所示，，即为所求；    证明：如图所示，连接，  由作图得，，，  ，  ，  ，  ，  ，  又，  四边形是平行四边形，  ，  四边形是菱形． 根据尺规作线段和角平分线的方法求解即可；  根据角平分线的概念和平行线的性质得到，推出，，然后结合和即可证明四边形是菱形． 此题考查了尺规作线段和角平分线，角平分线的概念，平行线的性质和等角对等边性质，菱形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 25.   本题参照例题方法，利用分母有理化、裂项相消和整体代入思想解题． 利用平方差公式对原式进行分母有理化即可得到结果； 解：  先对每一项进行分母有理化，再通过裂项相消合并计算得到结果；  先将分母有理化，再变形得到的值，整体代入所求代数式计算即可． 26.   本题主要考查了分式的加减运算，解二元一次方程组，掌握知识点的应用是解题的关键． 仿照题干提供的解题思路分解分式即可； 解：     ， 故答案为：；  仿照题干得，比较分母，得，比较分子，得，解得，从而求解； 解：      ， ， 比较分母，得， 比较分子，得，解得 故答案为：，；  分别求出， ，则，然后计算，从而求解． 27. 解：设款粘土每份的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 元， 答：款粘土每份的进价是元，则款改良粘土每份的进价是元； 设购进份款改良粘土， 根据题意可得：， 解得：， 答：最多可以购进份款改良粘土． 设款粘土每份的进价是元，则款改良粘土每份的进价是元，根据用元购进的款普通粘土，和用元购进的款改良粘土，两种粘土购进的数量相同，列出分式方程进行求解即可； 设购进份款改良粘土，根据计划用不超过元的总费用，列出不等式进行求解即可． 本题考查分式方程的应用，正确进行计算是解题关键． 28.   根据翻折得到；   根据翻折得到，，则推出四边形是菱形，最后根据得到四边形是正方形；   当与重合时，此时最小．当点与点重合点与点重合时，根据折叠证明四边形是矩形，得到，此时最大，即可得到点与点之间的距离为的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $