第04讲 充分条件与必要条件（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第04讲 充分条件与必要条件 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 命题真假的判定 题型2 四种条件的判断 题型3 由条件关系求参数取值范围 题型4 充要条件的证明 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 命题 充分条件 必要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 1. 理解推出符号的含义，掌握命题中若p则q的真假判断方法，初步区分条件与结论的逻辑关系； 2. 准确理解充分条件、必要条件的定义，能够依据命题推导关系，判断两个命题间的充分、必要关系； 3. 掌握充要条件的概念，能区分充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要四种条件关系； 4. 学会结合集合范围、不等式等知识，解决简单的条件判断问题，提升逻辑推理核心素养. 学习重点：掌握充分条件、必要条件、充要条件的定义，能准确判断两个命题之间的逻辑条件关系. 学习难点：区分四种不同的条件关系，能结合集合包含关系灵活判定和辨析复杂的充分与必要条件. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 命题 1、命题 （1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． （2）分类：判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 2、命题结构 若p，则q”，“如果p，那么q”等形式，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 即时即练 下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【方法总结】 （1）判断一个语句是命题的两个要素：①是陈述句；②可以判断真假； （2）判断一个命题为真命题时，需要通过证明；为假命题时，只需举出一个反例. 知识点02 充分条件与必要条件 命题 “若 ，则 ” 为真命题 “若 ，则 ” 为假命题 推出关系 条件关系 是 的充分条件 （ 的一个充分条件是 ）； 是 的必要条件 （ 的一个必要条件是 ） 不是 的充分条件； 不是 的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件； 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件. 知识点03 四大条件 1、定义：如果 “若 ，则 ” 和它的逆命题 “若 ，则 ” 均是真命题， 即既有 ，又有 ，就记作 ，此时， 既是 的充分条件，也是 的必要条件，我们说 是 的充分必要条件，简称为充要条件。 如果 ，那么 与 互为充要条件 2、条件关系判定的常用结论 条件 与结论 的关系 结论（ 是 的） 等价结论（ 是 的） 且 充要条件 充要条件 且 充分不必要条件 必要不充分条件 且 必要不充分条件 充分不必要条件 且 既不充分也不必要条件 既不充分也不必要条件 即时即练 “四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【方法总结】 判断“”与“”两个命题的真假即可得出结论. 知识点03 从集合角度理解充分条件、必要条件 记法 关系 且 图示 或 或 结论 是的 充分条件 是的 必要条件 是的 充分不必要条件 是的 必要不充分条件 是的 充要条件 是的 既不充分也不必要条件 即时即练 “”是“”的_______________条件. 【方法总结】 将命题等价转化为集合，判断集合之间的关系，根据集合关系得出结论. 题型1 命题的真假判定 【例1】下列命题为真命题的是（    ） A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 B．方程有两个不相等的实数根 C．面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比是1：4 D．在平面内，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 【方法总结】 1. 判定为真命题：需要严谨证明. （1）依据：公理、定理、定义、已证结论、逻辑推理规则； （2）直接证明：从条件出发，通过推理直接推出结论成立； 间接证明（反证法）：先假设结论不成立，推出矛盾，从而证明原结论为真. 2. 判定为假命题：只需举出一个反例 反例要求：满足命题的所有条件，但不满足命题的结论. 【变式1】（多选）下列命题中，不正确的有（    ） A．对角线垂直的四边形是菱形 B．若，则 C．若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比 D．若，则方程有实根 题型2 四种条件的判断 【例2】（1）下列“若, 则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ）个 ① 若是偶数, 则是偶数 ②若，则方程有实根 ③若四边形的对角线互相垂直, 则这个四边形是菱形 ④若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 （2）：为空集，：、至少一个是空集，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （3）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【方法总结】 判断四种关系的三种方法： 方法 1：定义法 ①分清谁是条件 p，谁是结论 q； ②判断 是否成立（看条件能不能推出结论）；判断是否成立（看结论能不能推出条件）； 其中判断为假命题时，常用举反例法. ③根据两个推出关系，确定条件类型. 方法 2：集合法 将命题p和命题q等价转化为集合P和Q，根据集合P与Q关系得出结论. 【变式2-1】老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】已知，那么的一个充分不必要条件是（    ）． A． B． C． D． 题型3 由条件关系求参数取值范围 【例3】（1）已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （2）若不等式的必要不充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 由条件关系求参数取值范围的方法： （1）分别解出条件 对应的解集（集合 / 区间）； （2）根据题意确定集合之间的包含关系； （3）列不等式组（注意空心 / 实心，端点取舍）； （4）解不等式组，得到参数范围. 【变式3-1】“”是“”的充分条件，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】关于的一元二次方程有实数解的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 题型4 充要条件的证明 【例4】已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 【方法总结】 充要条件的证明方法步骤： 第一步：明确命题分清：条件 p、结论 q； 第二步：证明充分性：已知 p 成立，经过推理、论证，推出 q 成立； 第三步：证明必要性：已知 q 成立，经过推理、论证，推出 p 成立； 第四步：下结论：由充分性、必要性均成立，得 p 是 q 的充要条件. 【变式4-1】 证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件是. 一、单选题 1．下列语句中是命题的个数为（    ） ①请起立！    ② ③明天天晴     ④91是质数 ⑤中国是世界上人口最多的国家    ⑥这道数学题有趣吗？ ⑦若，则 ⑧任何无限小数都是无理数 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．“”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．设命题命题则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知两个非空集合，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 7．如果命题“若则”是真命题，那么下列说法一定正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．是的必要条件 D．是的充分条件 8．“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 9．下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C．设，则“”是“且”的充分不必要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 三、填空题 10．已知集合、．若是的必要不充分条件，则的取值范围为______． 11．设，写出“”的一个充分条件：______． 12．在下列所示电路图中，下列说法正确的是______.（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 四、解答题 13．已知集合，． (1)若，求； (2)若______，求实数的取值范围． 请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题． ①；②“”是“”充分不必要条件；③． 14．已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 充分条件与必要条件 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 命题真假的判定 题型2 四种条件的判断 题型3 由条件关系求参数取值范围 题型4 充要条件的证明 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 命题 充分条件 必要条件 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 1. 理解推出符号的含义，掌握命题中若p则q的真假判断方法，初步区分条件与结论的逻辑关系； 2. 准确理解充分条件、必要条件的定义，能够依据命题推导关系，判断两个命题间的充分、必要关系； 3. 掌握充要条件的概念，能区分充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要四种条件关系； 4. 学会结合集合范围、不等式等知识，解决简单的条件判断问题，提升逻辑推理核心素养. 学习重点：掌握充分条件、必要条件、充要条件的定义，能准确判断两个命题之间的逻辑条件关系. 学习难点：区分四种不同的条件关系，能结合集合包含关系灵活判定和辨析复杂的充分与必要条件. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 命题 1、命题 （1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． （2）分类：判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 2、命题结构 若p，则q”，“如果p，那么q”等形式，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 即时即练 下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【解析】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误 【方法总结】 （1）判断一个语句是命题的两个要素：①是陈述句；②可以判断真假； （2）判断一个命题为真命题时，需要通过证明；为假命题时，只需举出一个反例. 知识点02 充分条件与必要条件 命题 “若 ，则 ” 为真命题 “若 ，则 ” 为假命题 推出关系 条件关系 是 的充分条件 （ 的一个充分条件是 ）； 是 的必要条件 （ 的一个必要条件是 ） 不是 的充分条件； 不是 的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件； 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件. 知识点03 四大条件 1、定义：如果 “若 ，则 ” 和它的逆命题 “若 ，则 ” 均是真命题， 即既有 ，又有 ，就记作 ，此时， 既是 的充分条件，也是 的必要条件，我们说 是 的充分必要条件，简称为充要条件。 如果 ，那么 与 互为充要条件 2、条件关系判定的常用结论 条件 与结论 的关系 结论（ 是 的） 等价结论（ 是 的） 且 充要条件 充要条件 且 充分不必要条件 必要不充分条件 且 必要不充分条件 充分不必要条件 且 既不充分也不必要条件 既不充分也不必要条件 即时即练 “四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形， 所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件． 【方法总结】 判断“”与“”两个命题的真假即可得出结论. 知识点03 从集合角度理解充分条件、必要条件 记法 关系 且 图示 或 或 结论 是的 充分条件 是的 必要条件 是的 充分不必要条件 是的 必要不充分条件 是的 充要条件 是的 既不充分也不必要条件 即时即练 “”是“”的_______________条件. 【答案】必要不充分 【详解】根据选项可得“”是“”的真子集， 通过“”，可推出“”，通过“”不可推出“”， 故“”是“”的一个必要不充分条件. 【方法总结】 将命题等价转化为集合，判断集合之间的关系，根据集合关系得出结论. 题型1 命题的真假判定 【例1】下列命题为真命题的是（    ） A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 B．方程有两个不相等的实数根 C．面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比是1：4 D．在平面内，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，选项A中的一角不一定是对应相等两边的夹角，故选项A错误； 因为，所以，所以方程没有实数根，故选项B错误； 面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比是，故选项C错误； 在平面内，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形，这个四边形的对边都等于原来四边形与这组对边相对的对角线的一半，并且和这条对角线平行，故得到的中点四边形是平行四边形. 【方法总结】 1. 判定为真命题：需要严谨证明. （1）依据：公理、定理、定义、已证结论、逻辑推理规则； （2）直接证明：从条件出发，通过推理直接推出结论成立； 间接证明（反证法）：先假设结论不成立，推出矛盾，从而证明原结论为真. 2. 判定为假命题：只需举出一个反例 反例要求：满足命题的所有条件，但不满足命题的结论. 【变式1】（多选）下列命题中，不正确的有（    ） A．对角线垂直的四边形是菱形 B．若，则 C．若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比 D．若，则方程有实根 【答案】ABC 【详解】A 选项，等腰梯形的对角线也可能垂直，则A错误; B选项，当，时，，则B错误. C选项，若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长之比的平方，则C错误. D选项，由，得，即，则方程有实根，故D正确. 题型2 四种条件的判断 【例2】（1）下列“若, 则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ）个 ① 若是偶数, 则是偶数 ②若，则方程有实根 ③若四边形的对角线互相垂直, 则这个四边形是菱形 ④若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】对于①，是偶数，不能保证，均是偶数，也有可能都是奇数，故①不符合题意； 对于②，若方程，则需满足，即，可推出，故②符合题意； 对于③，若四边形是菱形，则四边形对角线互相垂直，故③符合题意； 对于④，若，则，故④符合题意. （2）：为空集，：、至少一个是空集，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】首先，判断对的推出关系：若、至少一个是空集，则必为空集，即； 若为空集，未必有、至少一个是空集(如)，即. 所以：是的必要不充分条件. （3）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，解得， 且是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 【方法总结】 判断四种关系的三种方法： 方法 1：定义法 ①分清谁是条件 p，谁是结论 q； ②判断 是否成立（看条件能不能推出结论）；判断是否成立（看结论能不能推出条件）； 其中判断为假命题时，常用举反例法. ③根据两个推出关系，确定条件类型. 方法 2：集合法 将命题p和命题q等价转化为集合P和Q，根据集合P与Q关系得出结论. 【变式2-1】老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”， 但“做难题”一定可以推出“做容易题”， 故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件. 【变式2-2】已知，那么的一个充分不必要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，， 是的一个充分不必要条件，A正确； 对于B，，， 是的一个既不充分也不必要条件，B错误； 对于C，，， 是的一个必要不充分条件，C错误； 对于D，，， 是的一个必要不充分条件，D错误. 题型3 由条件关系求参数取值范围 【例3】（1）已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因是的充分条件，则，故， 则. （2）若不等式的必要不充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，， 因为不等式的必要不充分条件是， 可得是的真子集， 所以，解得：， 经检验和符合题意，所以. 【方法总结】 由条件关系求参数取值范围的方法： （1）分别解出条件 对应的解集（集合 / 区间）； （2）根据题意确定集合之间的包含关系； （3）列不等式组（注意空心 / 实心，端点取舍）； （4）解不等式组，得到参数范围. 【变式3-1】“”是“”的充分条件，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，“”是“”的充分条件，即，所以． 【变式3-2】关于的一元二次方程有实数解的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若一元二次方程有实数解，则，解得：； 对于A，，，是一元二次方程有实数解的充分不必要条件，A正确； 对于B，是一元二次方程有实数解的充要条件，B错误； 对于C，，，是一元二次方程有实数解的必要不充分条件，C错误； 对于D，，，是一元二次方程有实数解的必要不充分条件，D错误. 故选：A. 题型4 充要条件的证明 【例4】已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】解：先证明充分性： 若，则成立． 所以“”是“”成立的充分条件； 再证明必要性： 若，则， 即， ， ， ， ， 即成立． 所以“”是“”成立的必要条件. 综上：成立的充要条件是． 【方法总结】 充要条件的证明方法步骤： 第一步：明确命题分清：条件 p、结论 q； 第二步：证明充分性：已知 p 成立，经过推理、论证，推出 q 成立； 第三步：证明必要性：已知 q 成立，经过推理、论证，推出 p 成立； 第四步：下结论：由充分性、必要性均成立，得 p 是 q 的充要条件. 【变式4-1】 证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】证明：（1）必要性. 在等腰梯形中，，， 又∵，∴，∴ . （2）充分性. 如图，过点作，交的延长线于点E. ∵，，∴四边形是平行四边形.∴ . ∵，∴，∴. 又∵，∴，∴ . 在和中， ∴.∴. ∴梯形为等腰梯形. 由（1）（2）可得，梯形为等腰梯形的充要条件是. 一、单选题 1．下列语句中是命题的个数为（    ） ①请起立！    ② ③明天天晴     ④91是质数 ⑤中国是世界上人口最多的国家    ⑥这道数学题有趣吗？ ⑦若，则 ⑧任何无限小数都是无理数 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【详解】对①，不是陈述句，故①不是命题； 对②，，为真命题，故②是命题； 对③，明天天晴，是可以判断真假的陈述句，故③是命题； 对④，91是质数，为假命题，故④为命题. 对⑤，中国是世界上人口最多的国家，是可以判断真假的陈述句，故⑤为命题； 对⑥，这道数学题有趣吗？是疑问句，故⑥不是命题； 对⑦，若，则，为假命题，故⑦为命题； 对⑧，任何无限小数都是无理数，是可以判断真假的陈述句，故⑧为命题 2．“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】解：，“”是“”的必要不充分条件. 3．已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 4．“”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，若，不一定有，而，则一定有， 所以是的必要不充分条件，A选项错误； 对于B选项，若，则一定有，反之，若，也一定有， 所以是的充要条件，B选项错误； 对于C选项，若，则不一定有，但时，一定有， 所以是的必要不充分条件，C选项错误； 对于D选项，若，则一定有， 但当时，不一定有， 所以是的充分不必要条件，D选项正确. 5．设命题命题则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当，则，故p是q的充分条件； 当，则可令，不能得到，则p不是q的必要条件. 则p是q的充分不必要条件. 6．已知两个非空集合，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于是的充分不必要条件，故且由题可知， 所以（第2、3个不等式等号不能同时成立），得. 二、多选题 7．如果命题“若则”是真命题，那么下列说法一定正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．是的必要条件 D．是的充分条件 【答案】AC 【详解】命题“若则”是真命题，是指由可以推出， 则是的充分条件，是的必要条件，故AC正确. 又不一定可以推出，故BD不正确. 8．“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】，所以. 设,设选项对应的集合为, 因为选项是“”的一个充分不必要条件， 所以是的真子集. 故选：BC. 9．下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C．设，则“”是“且”的充分不必要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【详解】解：对于A，根据必要不充分条件的定义，可知A正确； 对于B，若，则， 所以一元二次方程有两个根，且一正一负根， 若一元二次方程有一正一负根，则，则，故B正确； 对于C，若“”，则不一定有“且”， 而若“且”，则一定有“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件，故C不正确； 对于D，若，则或， 则若“”，则不一定有“”，而“”时，一定有“”， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 三、填空题 10．已知集合、．若是的必要不充分条件，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】因为是的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以. 11．设，写出“”的一个充分条件：______． 【答案】（答案不唯一）． 【详解】只要是集合的子集即可，如．故答案为：（答案不唯一）． 12．在下列所示电路图中，下列说法正确的是______.（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故（1）正确； （2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故（2）正确； （3）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故（3）正确； （4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误. 四、解答题 13．已知集合，． (1)若，求； (2)若______，求实数的取值范围． 请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题． ①；②“”是“”充分不必要条件；③． 【答案】(1)或,(2)分类讨论，答案见解析. 【详解】（1）当时，， 则， 由于，因此或； （2）因为，所以， 若选取①：因为，所以， 所以，解得， 即的取值范围是. 若选取②：由“”是“”的充分不必要条件， 可得， 则或， 解得， 即的取值范围是. 若选取③：因为， 所以或，解得或， 即的取值范围是. 14．已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 若，则集合， 所以， 则=； （2）∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $