广东广州大学附属中学2025-2026学年高二下学期6月学情调研数学试题

理数 序号 题号 试题形式 LBDZ: 试题形式：主观题和客观题 题型 分值 题型 知识模块 知识点 认知水平 核心素养 预计难度 1 1 客观题 选择题 5 单选题 复数 复数虚部的求解 掌握 逻辑推理 易 2 2 客观题 选择题 5 单选题 集合 集合真子集个数的求解 掌握 数学运算 易 3 3 客观题 选择题 5 单选题 计数原理 二项式定理的应用 掌握 数学运算 逻辑推理 易 4 4 客观题 选择题 5 单选题 统计概率 概率计算 掌握 数学运算 易 5 5 客观题 选择题 5 单选题 数列 等差数列的实际应用 理解 数学运算 中 6 6 客观题 选择题 5 单选题 圆锥曲线与方程 直线与圆和基本不等式综合 理解 数学运算 中 7 7 客观题 选择题 5 单选题 函数概念与基本初等函数Ⅰ 抽象函数与函数性质综合 理解 数学运算 逻辑推理 中 8 8 客观题 选择题 5 单选题 计数原理 排列组合综合 理解 数学运算 逻辑推理 难 9 9 客观题 选择题 6 多选题 圆锥曲线与方程 双曲线综合 掌握 数学运算 数据分析 易 10 10 客观题 选择题 6 多选题 统计概率 条件概率与全概率综合 掌握 数学运算 逻辑推理 中 11 11 客观题 选择题 6 多选题 一元函数的导数及其应用 函数导数综合 理解 数学运算 逻辑推理 难 12 12 客观题 选择题 5 填空题 统计概率 正态分布求概率 掌握 数学运算 易 13 13 客观题 填空题 5 填空题 数列 等差等比数列综合 掌握 数学运算 数据分析 中 14 14 客观题 填空题 5 填空题 空间向量与立体几何 立体几何与球综合 理解 数学运算 逻辑推理 数据分析 难 15 15 客观题 填空题 13 解答题 统计分析 独立性检验 掌握 数学运算 数据分析 易 16 16 客观题 填空题 15 解答题 导数及其应用 函数导数综合 掌握 数学运算 数据分析 中 17 17 主观题 解答题 15 解答题 统计概率 回归方程综合 理解 数学运算 逻辑推理 直观想象 中 18 18 主观题 解答题 17 解答题 数列 数列求解证明 了解 数学运算 逻辑推理 难 19 19 主观题 解答题 17 解答题 圆锥曲线与方程 椭圆的计算 了解 数学运算 逻辑推理 数据分析 难 $高二学情调研 数学参考答案及解析 三、填空题 120.15【解析】由对称性得P4<X<6)=P(2<X<4)=0.5-P(X<2)=0.15.故答案为0.15 8 4a=a1+a4+16=a1 13.18【解析】由题得 +3a,+a,设a,的公比为9，则 8 4a,g=a1+39+g】 ,即 数，所以9=3，所以0，=a9=18故答案为18 10m【解析】设PA,PB,PC方向上的单位向量分别为，马，飞，由题意知 14. 日8=6g=6G2.且PA=3汇，P丽=26，PC=g设该三棱锥外接球的球心为0，半径为R, PO=x阳+y吧+z,由外接球的性质得 Ao-Pp-,丽-o-P-2 c而-网，*y. 2.即2x+y+z=3 3 s3 22-1 1 x+2y+z=2,x+y+2z=1,三式相加得4x+y+2)=6,则 x+y+Z 2,解得2，y 所以R=P可=+y2+2+y+z+2x -*44] 所以该三棱锥外接球的表面积S=4πR2=10π.故答案为10m, 四、解答题 P= 3 15.解：(1)抽到的两把刀具质量均较好的概率为 .(3分) -2=352=6 (2)由题得6白 ,(5分) 27=1+49+16+25+6=9 ,(7分) 2-00y-)2-6y 6= 1 543.3-6×3.5×26.1=-48 20- 22-6 91-6×3.52 175 所以 ，(9分) a=y-6i=1353 50,(10分) =-4841353 -t+ 所以y关于t的经验回归方程为 17550,(11分) =- 48 ×7+1353=25.14 当t=7时， 175 50 故可预测时间为7h时刀具的厚度为25.14mm.(13分) (结果是分式或者化简成小数都正确，保留一位小数扣一分) 16据，当a=1.--+m,e 1 则四=3x-4+3-4r+1-Bx-s- ,(2分) 令=0得=1或x=5,(3分 对当卡所.网0，年该.4分 当r∈，+0)时，f>0,f)单调递增，(5分 所以在区间+上的最小值为⑩=2.<6分了 (x)=3x-4a+a ,x>0 (2)由题得 因为/代在=2处取得楼小值，所以了2)=6-4如+ -=0 2 ,(7分) 解得a=2或a=6.(8分) 当a=2时，f()-3x-8+4-3r-8x+4_3x-20x-2) 2 令f()=0,得x=3或x=2,(9分) 则当x∈03时，"(x)>0,f()单调递增 当得2.四<0，刊同减 当re2,+o)时，f()>0,四单调递增， 此时)在x=2处取得极小值，符合题意：（山分） 当a=6时，f(6)=3x-24+36-3-24x+36_3x-6)0x-6 令f"()=0,得x=2或x=6,(12分) 则当e02》时，f>0,f四单调递增 当xe(2,O时，f<0,f单调递减： 当e6+o时，f>0,单调递增。 此时0)在×=2处取得极大值，在=6处取得极小值，不符合题意.(14分) 综上，a=2.(15分) 17,解：(1)零假设H。:学生的学习成绩与心理情况无关， Y00060-45X158x15639>08283 125×75×95×105 19×7 所以依据小概率值Q=0.001的独立性检验，推断H不成立，即认为学生的学习成绩与心理情况有关，此 推断犯错误的概率不超过0.001.(5分) 7× 3 45 (2)由题可得抽取的7人中，心理情况较好的人数为105 60 7x- =4 心理情况较差的人数为105，(8分) 则X的可能取值为0,1,2,3， Px=0=2-35 C=I P(X=1)-GC1-12 C335 P=2)-Cg-18 C35 (12分) 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 2 1 35 35 35 35 12 E(X)=0×35+1×3 18 412 +2× +3× 35 35 35 =7 (15分) (结果是分式或者化简成小数都正确) 18解：(1)因为Sn=n0n+n-1a,=1 所以当n=2时，4+a,=1+a,=2a,+1,得4，=0；(2分) 1 当n=3时.a+a,+a,-=1+a,=3如，+2得4=2.(4分) (2)因为S。=n0n+n-1 所以Sm+1=(n+1)a1+n. 两式相减得a1=(n+1)a1-na,+1 则20，- 1 n.(6分) 当n=1时，a+n1=1∈(0，；(7分) 当n≥2时， a=a-ata-*+4-a+4=a-++1-2 设8(x)=x-ln(1+x),x≥0， 则8)=1=0 1+x1+x, 所以g()在[0，+o)上单调递增，(10分) 所以由 s0=0,a女之nt2-a- 故a,<1-[n2-lnl++lnn-lhnn-l]=1-lhn,n≥2， 则a,+lnn<1,n≥2，(12分) ()=E,-ln(1+x 设 x+1 ,x≥0 '(x)=-,x 则 +)Ps0 所以(x)在[0，+0)上单调递减，(14分) 所以由 <Inn-in(n-1) ,得n n≥2. 则4，>1-l-血2-lhl+…+ln(n-)-lnn-2]=-ln(n-）, 则a,+ln(n-1)>0 故a,+l血m>0,n≥2.(16分) 综上，0<a.+lnn≤1.(17分) 19解：(1)设P(x,y), 由题得 x-2y+y=2x-5列 m-2y+y2=x-5 -+ =1 整理得4 3 (-D 所以T的方程为43 .(4分) (2)(i)由题得 MO-=-×2=3 (5分) 当'的斜率为0时，可取A(-1,0),B(3,0) 则40BO=1x3=3=MOFO,符合题意， 此时1'的方程为y=0；(6分) 当'的斜率不为0时，设'：x=my,A(,乃)B(x2,2). 3(x-1)2+4y2=12 联立(x=my ,得(3m2+4)y2-6my-9=0 则△=36(4m2+4)>0 6m 9 片+h=3m+4,= 3m2+4.(8分) 40=Vx+=Vm2+1y BOl=Vx+号=Vm2+1y 9m2+D=3 所4oBo=+l为3w+43. 即3m2+3=3m2+4,不成立.(10分) 综上，1'的方程为y=0.(11分) (ii)假设点N在定直线上， 由椭圆的对称性可知该定直线必然与x轴垂直.(12分) 由题可知'的斜率不为0，且直线BN:y=, 3 M:x=2y-3 x1+ 直线 2 ,(14分) 3 x 2y-3 2 联立(y=2 ,(15分) 3 3 2y2一 x=222= 得当， 3 3 my+20-）_my+20y+%)-3y y y -9m.36m =3m2+423m2+4-3=-3 y ,(16分) 所以点N在定直线x=-3上.(17分) 高二学情调研 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数的虚部为 A． B． C． D． 2．已知集合，，则的真子集个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 3．的展开式中的系数为 A．80 B．60 C．40 D．20 4．从点，，，中随机抽取2个点，恰有1个点在直线上的概率为 A． B． C． D． 5．在垄断条件下，常需要考虑边际要素成本，记边际要素成本为，成本为L，当要素供给函数为线性函数（且a，b均为常数）时，可得，这里记b为供给公差．当时，供给公差为 A． B． C． D． 6．已知直线与圆有公共点，则该圆面积的最小值为 A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，则关于x的方程的实数解的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 8．某博物馆有A，B，C，D四个不同的展厅，安保机器人每天需巡逻6次（某展厅可能未巡逻），每次只访问一个展厅，若要求机器人不能连续两次访问同一个展厅，且每天A展厅恰好被访问2次，则满足条件的巡逻路线共有 A．270条 B．360条 C．402条 D．480条 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线：的左焦点为，右顶点为，其右支上有一点位于第一象限，，，，则 A．点的坐标可表示为 B． C．的渐近线方程为 D．点到的右焦点的距离与之差为 10．已知集合，从其所有子集中依次等可能地选取两个不同子集，，记事件为“是的真子集”，事件为“子集中恰有2个元素”，则 A． B． C． D． 11．已知函数，则下列说法正确的是 A．若，则函数无极值点 B．若，则函数恰有1个极值点 C．若，则曲线存在1条斜率最小的切线 D．若，则曲线恰有2条斜率为0的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若随机变量服从正态分布，且，则______________． 13．在公比为整数的等比数列中，，，成等差数列，且，则_____________． 14．在三棱锥中，，，，，若该三棱锥的4个顶点均在一个球面上，则该球的表面积为_________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 为测定常用刀具的磨损速度，每隔一个小时对刀具的厚度进行测量，记时间为，刀具的厚度为，得到如下数据： 时间 1 2 3 4 5 6 厚度 26.7 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 关于的经验回归方程为． （1）现有五把刀具，其中三把质量较好，两把质量较差，从这五把中随机抽取两把，求这两把质量均较好的概率； （2）求关于的经验回归方程，并预测时间为时刀具的厚度． 参考数据：． 参考公式：对于经验回归方程，，． 16．（本小题满分15分） 已知函数． （1）当时，求在区间上的最小值； （2）若在处取得极小值，求的值． 17．（本小题满分15分） 某校对200名学生的心理情况与学习成绩进行问卷调查，通过对照表得到学生的心理测评分数，经过统计得到下表． 学习成绩较好 学习成绩较差 心理情况较好 80 45 心理情况较差 15 60 （1）依据小概率值的独立性检验，分析学生的学习成绩是否与心理情况有关； （2）从上述学习成绩较差的学生中采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中心理情况较差的人数为，求的分布列与数学期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18．（本小题满分17分） 记为数列的前项和，已知，． （1）求； （2）证明：． 19．（本小题满分17分） 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线：的距离之比为，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）点，过点的直线与交于，两点． （ⅰ）当时，求的方程； （ⅱ）直线与过点且垂直于的直线交于点，判断点是否在定直线上，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $高二学情调研 数学答题卡 学校： 班级： 姓名： 正确填涂 填 准考证号 考场号 ■ 涂范 错误填涂 ☒X 0II①I0M00)①I0I 座位号 图) DDDDDDDIDD 2刃刃2刀2刀2刃2刀2I2刃2刀2 ■ 姓名XXX 考号XXXXXXXXX 33I3I33I3I3333 4四④4I4四4④4④四4I4四4 ■ 贴条形码区 555515]515515 6的66的66的6616的661 7 1707 070707 7777 考场号XX 座位号XX 88I8888I8I888 99991999999 缺考 (填涂说明，缺考考生由监考员用2B 标记 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记) 选择题（每题5分，共40分） 1IB图CD 6AIB图D 2AB图UU 7 A BI CD 3AB图CMDI 8AIB图COD 4)B图D ■ 5IB图CUD 选择题（每题6分，共18分） ■ ■ 9IB图CID四 10AIB图CMD四 11 A B CD 非选择题（每题5分，共15分） 12 13 14. 请勿在此区域作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学第2页（共6页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学第6页（共6页）高二学情调研 数学参考答案及解析 一、选择题 1.D2.D3.C4.C5.B6.A7.B8.C 二、选择题 9.ACD 10.ACD 11.ABD 三、填空题 12.0.1513.1814.10元 四、解答题 C_3 P= 15.解：(1)抽到的两把刀具质量均较好的概率为 (3分) 1=4=35=22y=26.1 (2)由题得6台 61 (5分) 22-1+4+9+16+25+36=91 (7分) 2-0y-列 6 2y-6 543.3-6×3.5×26.148 所以 2- -6 91-6×3.52 175 (9分) =y-6i=1353 则 50 (10分) =-48,+1353 所以y关于t的经验回归方程为 =175+50, (11分) 、48 当t=7时， 125*7 1353 50 =25.14 故可预测时间为7h时刀具的厚度为25.14mm (13分) 16解：1)当0=1尉， 则=3x-4+3-4+1_3x-0- (2分) 令f'()=0,得x=1或3， A680.0w 当x∈(，+o)时，∫'()>0，f()单调递增， (5分) 「1， 所以四在区间l5*切 )上的最小值为 0 (6分) (2)由题得 '()=3r-4a+ x,x>0, 因为f()在x=2处取得极小值， f'(2)=6-4a+ 所 30 ，解得a=2或a=6. (8分) 当0=2.f)=3-8+年3-8r+4_6x-20-2 2 令)=0.粉=有成x=2. -0 amum 当xe(2,+∞时，(>0，f()单调递增， 此时f()在x=2处取得极小值，符合慰意， (11分) 当0=6时./)=3x-24+36-3-24r+36_6x-60x- 令f()=0,得x=2或x=6, 则当x(0,2)时，'（四）>0.f(单调递增： 当x∈(2,6)时，'()0，f()单调递减： 当x∈(6，+o)时，f'()>0,f(x)单调递增， 此时/(：)在x=2处取得极大值，在x=6处取得极小值，不符合题意. (14分) 综上，a=2」 (15分) 17.解：(1)零假设H:学生的学习成绩与心理情况无关， 2=-200x(80×60-45x152_8×11×5 125×75×95×105 19×7 ≈36.391>10.828=001 (3分) 所以依据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H,不成立，即认为学生的学习成绩与心理情况有关，此 推断犯错误的概率不大于0.001」 (5分) 45 7x- =3 (2)由题可得抽取的7人中，心理情况较好的人数为105 7x60 =4 心理情况较差的人数为105 (8分) 则X的可能取值为0,1,2,3， P(K=0)= 1 C35 P(X=1)=CC-12 C35 P(x=2)-cSC-18 C35 Px=动8 4 (12分) 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 1 1 1 P 35 35 35 35 x=051+2 +3× 4_12 则 35357 (15分) 18.解：(1)因为Sm=na,+n-1.a=1 所以当n=2时，4+a2=1+a2=2a2+1 得4，=0. (2分) 当n=3时，a+a+03=1+4=3,+2 1 3=- 得 2. (4分) (2)因为Sm=na,+n-1 所以S1=(n+1)a1+n 两式相减得a+1=(n+)a1-na,+1 1a,-1 则 n (6分) 当n=1时，a+lhl=1e(0,； (7分) 当 n≥2时 a=aa+a-4*4-4+4=4-++0司1- (8分) 设8()=x-h(1+),x≥0， 则8'10 1+x1+x, 所以8(x)在[0，+）上单调递增。 (10分) >n1+=ln(a+1）-ln 得nn 救a,<1-[n2-lnl++ln-lh(n-月=l-lnn,n≥2. 则a,+lnn<1,n≥2， (12分) )=本0+.x≥0. 设 ≤0 则 (x+1)2 所以h()在[0，+)上单调递减， (14分) -0 所以由 <in-in(n-1 得n n≥2， 则a,>1-1-[h2-lhl++ln(n-l)-n(n-2]=-ln(m-1)】 则a,+lh(n-1)>0 故a,+lnn>0,n≥2. (16分) 综上，0<a,+lnn≤1 (17分) 19.解：(1)设P(xy) 由题得 0x-2+y--到 即x-2y+=4x- (2分) s-+上- 整理得43 所以T的方程为4 3 (4分) (2)(i)由题得 01p0-22=5 (5分) 当的斜率为0时，可取4(1,0)B(3,0) 则40-BO=1x3=3=MO-FO,符合题意， 此时'的方程为y=0, (6分) 当的斜率不为0时，设1：x=my,A(x,乃)，B(:,) 3(x-1)2+4y2=12 联立( x=my 得(3m2+4）y2-6my-9=0 则A=36(4m2+4)>0 61m 9 y+⅓3m+4,%=3m+4. (8分) 40l=VR+=Vm2+1l. B0=V+=Vm2+12 9(m2+1 AO:B0=(m2+1yy2= =3 所以 3m2+4 即3m2+3=3m2+4,不成立. (10分) 综上，1'的方程为y=0, (11分) (ⅱ)假设点N在定直线上， 由椭圆的对称性可知该定直线必然与x轴垂直. (12分) 由题可知'的斜率不为0，且直线BN:y=y2, 3 七 X=- 2y-3 直线AM: y 2 (14分) 3 1+ 2 3 X=- y 2 联立( y=y2 3 3 1+ X=- .3my+ 3 得 2y22 2y2-2 3 m4+20%-） y 3 m%+2(y+)-3y 出 9m,36m =3m2+423m2+4-3=-3 为 所以点N在定直线x=-3上. (17分)