第一周 第3天 并集与交集 暑假自学讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第一周 第3天 并集与交集 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.(重点) 2.能使用Venn图或数轴表达集合的关系及运算.(难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 并集 ❓ 问题1　观察集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，C={1，2，3，4}.你能说出集合A，B中的元素与集合C中的元素有什么关系吗？ 💬提示　集合A中的元素都属于集合C，集合B中的元素都属于集合C；集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成. 💡知识梳理 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B={x|x∈A，或x∈B} 图形语言 性质 A∪B=B∪A，A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=A⇔B⊆A，A⊆A∪B ⚠️ 注意点： (1)A∪B仍是一个集合. (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性. 🎯例1-1　(1)(课本例1)设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B. 解　A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8} ={3，4，5，6，7，8}. (2)(课本例2)设集合A={x|-1<x<2}，集合B={x|1<x<3}，求A∪B. 解　A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3} ={x|-1<x<3}. 🎯例1-2　(1)设A={1，2，4，8}，B={1，4，9}，求A∪B. 解　A∪B={1，2，4，8}∪{1，4，9} ={1，2，4，8，9}. (2)设集合A={x|0≤x<4}，集合B={x|1≤x<5}，求A∪B. 解　A∪B={x|0≤x<4}∪{x|1≤x<5} ={x|0≤x<5}. 并集运算的关注点 (1)若集合中元素个数有限，求并集时可直接根据并集的定义求解. (2)若集合是无限连续的数集，可利用数轴分析求解，要注意端点应为实心点还是空心点 反思 归纳 跟踪训练　(1)集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则A∪B等于(　　) A.{x|x≥2} B.{x|2≤x<3} C.{x|3≤x<4} D.{x|2<x<4} 答案　A 解析　由B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3}，得A∪B={x|x≥2}. (2)已知集合A={-1，0，1}，则满足A∪B={-1，0，1，2，3}的集合B可能是(　　) A.{-1，2} B.{-1，0，1，3} C.{-1，0，1} D.{0，2，3} 答案　D 解析　{-1，0，1}∪{0，2，3}={-1，0，1，2，3}，故D符合题意. 知识点2 交集 ❓ 问题2　观察集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，D={2，3}，你能说出集合A，B中的元素与集合D中的元素有什么关系吗？ 💬提示　集合A中的元素与集合B中的元素的公共部分属于集合D，集合D是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成. 💡知识梳理 文字语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B={x|x∈A，且x∈B} 图形语言 性质 A∩B=B∩A，A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B ⚠️ 注意点： (1)A∩B仍是一个集合. (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B=∅. 🎯例2-1　(课本例4)设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系. 解　平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合. (1)直线l1，l2相交于一点P可表示为L1∩L2={点P}； (2)直线l1，l2平行可表示为L1∩L2=∅； (3)直线l1，l2重合可表示为L1∩L2=L1=L2. 🎯例2-2　例1(1)(2)的条件不变，问题改为求A∩B. 解　(1)A∩B={1，2，4，8}∩{1，4，9}={1，4}. (2)A∩B={x|0≤x<4}∩{x|1≤x<5}={x|1≤x<4}. 📐延伸探究1　若将例2(2)条件改为“A={x|0≤x<4}，B={-1，0，1，2}”，求A∩B. 解　A={x|0≤x<4}，B={-1，0，1，2}， 则A∩B={0，1，2}. 交集运算的关注点 (1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法. (2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示. 反思 归纳 知识点3 根据并集与交集运算求参数范围 🎯例3　(1)已知集合A={x|x2-px-2=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∪B={-2，1，5}，A∩B={-2}，则p+q+r等于 (　　) A.12 B.6 C.-14 D.-12 答案　C 解析　因为A∩B={-2}， 所以-2∈A且-2∈B，将x=-2代入x2-px-2=0，得p=-1， 所以A={1，-2}， 因为A∪B={-2，1，5}，A∩B={-2}， 所以B={-2，5}， 所以q=-[(-2)+5]=-3，r=(-2)×5=-10， 所以p+q+r=-14. (2)已知集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|a<x<4}，若A∪B=R，则实数a的取值范围是(　　) A.3≤a<4 B.-1<a<4 C.a≤-1 D.a<-1 答案　C 解析　利用数轴，若A∪B=R，则a≤-1. 📐延伸探究2　将例3(2)中的A∪B=R变成A∪B=A，求实数a的取值范围. 解　由A∪B=A，得B⊆A， 当B=∅时，有a≥4，满足题意； 当B≠∅时，有即3≤a<4， 综上，实数a的取值范围为{a|a≥3}. 📐延伸探究3　将例3(2)中的集合B变为B={x|a<x≤4-a}，且A∪B=R变为A∩B=∅，求实数a的取值范围. 解　①当B=∅时，有a≥4-a，即a≥2，满足题意； ②当B≠∅时，有即1<a<2， 综上，实数a的取值范围为{a|a>1}. 由集合的运算结果求参数范围的一般步骤 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系. (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组). (3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围. 反思 归纳 自学小结 并集与交集 1.知识清单： (1)并集的概念及运算. (2)交集的概念及运算. (3)根据集合间的运算求参数范围. 2.方法归纳：观察法、图示法、数形结合、分类讨论. 3.常见误区：在根据运算求参数范围时，容易遗忘空集这一重要的情况. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1.若集合A={x|0<x<4}，B={x|-4<x≤2}，则A∩B等于(　　) A.{x|0<x<4} B.{x|-4<x≤2} C.{x|0<x≤2} D.{x|-4<x<4} 答案　C 解析　∵A={x|0<x<4}，B={x|-4<x≤2}， ∴A∩B={x|0<x≤2}. 2.集合M={1，2，3，4，5}，集合N={1，3，5}，则(　　) A.N∈M B.M∪N=M C.M∩N=M D.M>N 答案　B 解析　因为NM，所以M∪N=M. 3.满足{1，3}∪A={1，3，5}的所有集合A的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　由{1，3}∪A={1，3，5}，知A⊆{1，3，5}且A中一定有元素5，因此集合A可以是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}. 4.集合A={x|x2-2x+1=0}，B={x|ax-1=0}，A∩B=B，则a=　　　　. 答案　1或0 解析　A={x|x2-2x+1=0}={1}， ∵A∩B=B，∴B={1}或B=∅， 故a=1或a=0. 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第一周 第3天 并集与交集 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.(重点) 2.能使用Venn图或数轴表达集合的关系及运算.(难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 并集 ❓ 问题1　观察集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，C={1，2，3，4}.你能说出集合A，B中的元素与集合C中的元素有什么关系吗？ 💡知识梳理 文字语言 一般地，由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的 ，记作 (读作“ ”) 符号语言 A∪B= 图形语言 性质 A∪B=B∪A，A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=A⇔B⊆A，A⊆A∪B ⚠️ 注意点： (1)A∪B仍是一个集合. (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性. 🎯例1-1　(1)(课本例1)设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B. (2)(课本例2)设集合A={x|-1<x<2}，集合B={x|1<x<3}，求A∪B. 🎯例1-2　(1)设A={1，2，4，8}，B={1，4，9}，求A∪B. (2)设集合A={x|0≤x<4}，集合B={x|1≤x<5}，求A∪B. 并集运算的关注点 (1)若集合中元素个数有限，求并集时可直接根据并集的定义求解. (2)若集合是无限连续的数集，可利用数轴分析求解，要注意端点应为实心点还是空心点 反思 归纳 跟踪训练　(1)集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则A∪B等于(　　) A.{x|x≥2} B.{x|2≤x<3} C.{x|3≤x<4} D.{x|2<x<4} (2)已知集合A={-1，0，1}，则满足A∪B={-1，0，1，2，3}的集合B可能是(　　) A.{-1，2} B.{-1，0，1，3} C.{-1，0，1} D.{0，2，3} 知识点2 交集 ❓ 问题2　观察集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，D={2，3}，你能说出集合A，B中的元素与集合D中的元素有什么关系吗？ 💡知识梳理 文字语言 一般地，由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的 ，记作 (读作“ ”) 符号语言 A∩B= 图形语言 性质 A∩B=B∩A，A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B ⚠️ 注意点： (1)A∩B仍是一个集合. (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B=∅. 🎯例2-1　(课本例4)设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系. 🎯例2-2　例1(1)(2)的条件不变，问题改为求A∩B. 📐延伸探究1　若将例2(2)条件改为“A={x|0≤x<4}，B={-1，0，1，2}”，求A∩B. 交集运算的关注点 (1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法. (2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示. 反思 归纳 知识点3 根据并集与交集运算求参数范围 🎯例3　(1)已知集合A={x|x2-px-2=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∪B={-2，1，5}，A∩B={-2}，则p+q+r等于 (　　) A.12 B.6 C.-14 D.-12 (2)已知集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|a<x<4}，若A∪B=R，则实数a的取值范围是(　　) A.3≤a<4 B.-1<a<4 C.a≤-1 D.a<-1 📐延伸探究2　将例3(2)中的A∪B=R变成A∪B=A，求实数a的取值范围. 📐延伸探究3　将例3(2)中的集合B变为B={x|a<x≤4-a}，且A∪B=R变为A∩B=∅，求实数a的取值范围. 由集合的运算结果求参数范围的一般步骤 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系. (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组). (3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围. 反思 归纳 自学小结 并集与交集 1.知识清单： (1)并集的概念及运算. (2)交集的概念及运算. (3)根据集合间的运算求参数范围. 2.方法归纳：观察法、图示法、数形结合、分类讨论. 3.常见误区：在根据运算求参数范围时，容易遗忘空集这一重要的情况. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1.若集合A={x|0<x<4}，B={x|-4<x≤2}，则A∩B等于(　　) A.{x|0<x<4} B.{x|-4<x≤2} C.{x|0<x≤2} D.{x|-4<x<4} 答案　C 解析　∵A={x|0<x<4}，B={x|-4<x≤2}， ∴A∩B={x|0<x≤2}. 2.集合M={1，2，3，4，5}，集合N={1，3，5}，则(　　) A.N∈M B.M∪N=M C.M∩N=M D.M>N 答案　B 解析　因为NM，所以M∪N=M. 3.满足{1，3}∪A={1，3，5}的所有集合A的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　由{1，3}∪A={1，3，5}，知A⊆{1，3，5}且A中一定有元素5，因此集合A可以是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}. 4.集合A={x|x2-2x+1=0}，B={x|ax-1=0}，A∩B=B，则a=　　　　. 答案　1或0 解析　A={x|x2-2x+1=0}={1}， ∵A∩B=B，∴B={1}或B=∅， 故a=1或a=0. 学科网（北京）股份有限公司 $