山东青岛二中分校2025-2026学年第二学期期中教学质量检测高一数学试题

青岛二中分校2025-2026学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试题 命题人：李良 审核人：王晓霞 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 2. 已知，，点 是线段 上的点，，则 点的坐标（ ） A. B. C. D. 3. 在 中，已知，则（ ） A. 120° B. 或 C. 60° D. 或 4. 已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 如图， 中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 7. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 8. 如图，在正四面体 中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体 的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体 的体积为，则5个球的表面积之和为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 设复数z的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 复数的共轭复数的模 B. 若复数是纯虚数，则得或 C. 若复数对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D. 若复数是关于x的方程的一个根，则 10. 如图， 是圆锥的底面圆 的直径，点 是底面圆 上异于 ， 的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 若，则从点 出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为5 11. 数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有 满足，且，则（ ） A. 外接圆的半径为 B. 若的平分线与BC交于点D，则AD的长为 C. 若D为BC的中点，则AD的长为 D. 若O为 的外心，则 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 长方体一个顶点上的三条棱的长分别是，它的外接球的表面积为_________。 13. 如图，在 中，已知边上的两条中线相交于点 ，则___________． 14. 已知 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，的面积，角 的平分线交 于 点，且，，则________． 四、解答题（共77分） 15. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求； （2）若，且与垂直，求实数 的值. 16. 如图，长方体中，，点M为的中点． （1）求证：平面BDM； （2）求点C到平面BDM的距离． 17. 如图，在直角梯形 中，，，，，点O，E分别为 ， 的中点. （1）设和交于点G，求∠EGB的余弦值； （2）若点F在 边上运动（包含端点），求的取值范围. 18. 在 中，角 ， ， 的对边分别为，，，，. （1）求角 ； （2）若 是线段 的中点，且，求； （3）若 为锐角三角形，求 的周长的取值范围. 19. 如图，延长 的边 至点 ，边 至点 ，边至点 ，使得线段的长分别为的倍，我们将称为 的“变换三角形”． （1）当时，若，求的长； （2）若 是边长为2的等边三角形，点为其“2变换三角形”中线段上的动点，求的最大值； （3）设点 为 的重心（三角形的三条中线的交点），证明：． 青岛二中分校2025-2026学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试题 命题人：李良 审核人：王晓霞 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题（每题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（共77分） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1）； （2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）17 （2）10 （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $