山东省青岛第五十八中学2025-2026学年高一下学期期中测试数学试卷

2025级高一（下）期中考试 数学参考答案 2026.05 题号 1 2 3 4 5 6 7 6 10 11 答案 B A B D D D BD AC AB 13.17 14.(0V2-1 15.（1)取BC的中点E,连接PE,B0,∠POB=90°， 所以05=AB=PE=P0+0E-o, 因为PB=PC,所以PE⊥BC, 所t以SaB=axc=ao=SaD=号BCxPE=0， S正方花MBCD=ABxBC=4, 所以四棱锥P-ABCD的表面积为4+4W0; (2)因为AB=2,P0=3, 所c-号P0-8cex3x2x2x2=2, 1 2 又M为PD上靠近P的三等分点，所以， 3 16.(1)由m∥元得：2 ccosB-(2a+b)=0→2 ccosB=2a+b, 边化角得：2 sinCcosB=2sinA+sinB, 在ABC中，A=元-B-C, sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC, 代入上式得：2 sinCcosB=2(sinBcosC+cosBsinC)+sinB, 高一数学参考答案第1页（共6页） 展开化简得：-2 sinBcosC-sinB=0. 因为B∈(0，)，sinB÷0, 两边同除以-sinB得：cosC=一2· 1 又C∈(0，)，因此：C=2； 3 (2)由三角形面积公式-bs加C. 代入5=3 4 ，si血c=sin2r=5 32 得：65=35b=9 24 由c2=a2+b2-2 abcosC,代入c=B,cosC=- 2 得13=a2+b2+ab, 即13=(a+b)2-ab=(a+b)}2-3=→(a+b)2=16, 因为a,b>0,故a+b=4, 故△ABC的周长为a+b+c=4+√13 17.（1)证明：连结AC,交AC于点0，连结OD, 因为D是AB的中点，所以BC∥OD, 因为BCt平面ACD,ODC平面ACD, 所以BC平面ACD, (2)结合（1)易知∠AD0即为异面直线BC与AD所成角， 因为AC=BC,D为AB的中点，所以CD⊥AB, 高一数学参考答案第2页（共6页) 又因为该三棱柱是直三棱柱，所以CD⊥平面ABBA, 即CD⊥平面ADE, M=AC=CB=24B=25,4D-6D0=404C=√2， gcos∠4D0=3.L4Do=交 6 18.（1)由条件及正弦定理可得： (sinB+sinC)cosA-sinAcosB-sinAcosC-0, sinBcosA-cosBsinA+sinCcos-cosCsinA=0 故sin(B-A)+sin(C-A)=O,则有sin(B-A)=sin(A-C), 又B-A∈(-元，)，C-A∈(-π，)、故有B-A=A-C, 或(B-A)+(A-C)=π（舍去)，或(B-A)+(A-C)=x（舍去)， 则B+C=2A,又A+B+C=元，所以A= (2)由正弦定理，有： 4C=B=8C=5-2 sinB-sinc-sim sin写 故AB=2sinC,AC-2sinB,即2AB-AC-4sinC-2sinB A=24B-AC-4sin C-2sin(+C)=2V3 sin(C-) :C(0,)Be0,).Ce(0,)(C-)(-) .2AB-AC的取值范围是(V5,2W3) (3)设∠ACB=a,在△ABD和△ACD中，由正弦定理可得 高一数学参考答案第3页（共6页) BD AD CD AD ，sin(r-a) 于是 BD sin昏a）_CD.sin(r-a) si血 sin呀 ,又BD=3CD, 则 3sir暖 sin(r-a） 3 sina 加sn(写 2 2cosa+,sina ∴.tana-9-6V5; 综上tana=-g-65. 19.【答案】解：(1)因为o=(2,3),则o=2©+3， 0=(2e+3e2-4e2+12G+9e2=13+6=19, 所以OM=√19： (2)0因为0丽-(2,1)=2+，00-(1，-1=-， 05+4@瓦，002-2g欧，0丽.00-1-可瓦， COs0=. 丽.00」 oRlog V5际漫别. 1- 解得·交-分则cosa-分 (2)☐)依题意设0A=me,O丽=ne, 因为F为AB中点，则O-O+O成-m购+方nG, 同理oi-&met@, 高一数学参考答案第4页 （共6页) 则o呢.O示-25m22+m22+6nmm©=25m2+n2-3mm）, 在△OAB中、∠AOB=兰、AB=3, 依据余弦定理得m2+n2-9一n, 所以oo-28m2+4n2-272m㎡2+㎡2景 在△OAB中，∠A0B=,AB=3, 3 OA OB 由正弦定理n2三一sinOBA sin∠0AB sin 3 设∠0AB=B,则0B=n=2W3sim5,OA=m=2W3sin(-f), 2m2r六12pasn写9rsia-12xL-og2g ,1-cos2,β 2 =12(3-9sin20. 所以当f=时，2m2+2取最小值18-6v3, 此时O正 O取最小值片-2W5,0B=m2√3sim8=√6. 20. 解：如图所示，过点A作ADLAC交BC于点D. 由∠A-∠B=90°可知∠DAB=∠B→DA=DB→∠CDA=2∠B,且∠C+2∠B=90°. 取AB的中点E,则有DE⊥AB,从而 AE AD AD-=. cos B 2cosB' CD= cos2B 2cosBcos2B ctan2B b=AC=ADtan2B 2cosB 高一数学参考答案第5页（共6页) 由a+b=2c有 ctan2B =2c 2cosB 2cosBcos2B'2cosB sin2B+cos2B+1=4cosBcos2B coC+sinC+1-4c0s(-)sinC-2/ZsinC(sin+co) (cosC+sinC+1)2=8sin2C(1+sinC) →1+cosC-4sin2C →cosC-月 21答案： 解：如图所示，设x=0y=哥其中xy0,川 由于VP-AMT=VR-AMN+VP-ANT-VP-MNT+VP-AMT 故有Yp-MN+VP-AT=YP-MT+Yp-AT VP-ABC Vp-ABD 又由于N为棱PC的中点，故有空-y+X刘y→y名→1 从而 VP-AL=】 VP-ABCD -学=(61+)为 2VP-ABC 当且仅当x=号时取等号 高一数学参考答案 第6页（共6页)保密★启用前 2025级高一（下)期中测试 数学 注意事项： 1.答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2.回答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如濡改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第丨卷 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知复数z=i(1+i),则z的虚部为（) A.1 B.-1 C i D.-i 2.已知向量1,2不共线，且(2e1-2e2)/(3e1+2e2)则实数=（ A B.1 C.-2 D.2 3.已知=1，l=3,2a-=-9,则向量a,的夹角为() 5π D. 3 6 4.一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点P出发，绕圆锥 表面爬行一周后回到P点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短 路径长为( 高一数学试题 第1页（共6页) A.3 B.3V5 C.元 D.2π 5.已知过球面上三，点A,B,C的截面到球心O的距离等于球半径的-一半，且 AB=BC=CA=2,则球的表面积() 256 64」 A. 256 c. D.g元 6.已知向量d、b满足=2，=3，且与的夹角为120°.设t为实数，若向量+26 与2a+tb的夹角为锐角，则实数t的取值范围为() A. B.(o. c. (-2u(么，画） 'D. (+) 7.在正方体AC,中，M为AB的中点，N为BC的中点，P为线段CC上一动点（不含C)过 M,N,P与正方体的截面记为C,下列说法中正确的是（) A. 瓷我为五边形 2 1 B. 截面α只能是六边形 c. 当C =时， 截面的面积最大 D. 截面a只能是五边形 8.在平面直角坐标系x0y中，01=0B4,AB=4W5,C5,V③.则啡C+C的最大值 为( A.5 B.2W7 D.3V7 高一数学试题 第2页（共6页) 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9.在三角形△ABC中，∠A=,Q=1.若三角形有两解，则C的可能取值为 A B.1.1 C.2v3 3 D.1.01 10.在复平面内，下列说法正确的是（) A.若2=2026，则z=一1 B.若复数z满足z2∈R,则z∈R C.若|z,-4-31=2,z,为实数，则21-z2的最小值为1 D若复数2名则z是方程-2x+3=0的-个根 11.在长方体ABCD-ABCD中，AB=3,BC=4,AA1=5、动点P在平面ADD4内 且满足P=AD+μAA4,0≤2≤1,0≤4≤1，则( A.无论1,4取何值，三棱锥P-BCC,的体积为定值10 B.当1=0时，BP+PC,的最小值为√⑧9 C.当4=1时，直线PD与直线CC为异面直线 D.当+4=1时，BP/平面CBD 第山卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知单位向量0A,0成，向量OA在向量OB上的投影向量为O,则向量OA与OB的 高一数学试题第3页（共6页) 夹角为 13.如图所示，梯形ABCD'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，AD=2BC=2, AB=2,则CD ;平面图形ABCD以AB所在直线为轴旋转一周所得立体 图形的体秋为 14,在△ABC中，三个内角A,BC对边分别为ab,Ca+b二b,C的角平分线交AB于点 D,CD-2,记△MBC内切圆半径为，外接圆半径为R,则R的取值范围为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题13分)正四棱锥P-ABCD中，AB=2,P0=3,其中0为底面中心，M为 PD上靠近P的三等分点 (I)求四棱锥P-ABCD的表面和 (2)求四面体D-ACM的体积 16.(本小题15分在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(cosB,2a+b), n=(1,2c,且m/1n (1)求角C; (2)若c=3,且AABC的面积为3 ,求△ABC的周长 4 高一数学试题 第4页；（共6页) I17.,（本小题15分)如图，直三棱柱ABC-AB,C中，D,E分别是AB,BB,的中点. (】)证明：BC,∥平面ACD: (2)设AA1=AC=CB=2,AB=2√Z,求异面直线BC1与A1D所成角的大小 18.(本小题17分）如图，在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 (b+c)cosA-acosB-acosC=0. (1)求角A; (2)若BC的长为V3,求2AB-AC的取值范围. (3)若D为线段BC延长线上一点，且∠CAD=元，BD=3CD,求an∠ACB. B 19.（本小题17分)如图，设Ox,O是平面内相交成a(0<a<π)的两条射线，e、分 别为Ox,Oy同向的单位向量，若向量O示-x+y,则把有序数对(xy)叫做向量在斜 高一数学试题 第5页（共6页) 坐标系a一xOy中的坐标.记为OP-(c,y) (1在斜坐标系写-x0y中，OM-(2,3),求OM: (2在斜坐标系a-x0y中，OT(2,1),00-(1,-1).且o驴与0@的夹角f行 ①求a; m4,B分别在射线Ox,O上，AB3,E,F为线段AB上两点，且-若店，店 求OE.O的最小值及此时O的大小 20(附加题).设△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+b=2c,∠A-∠B=90°、则 cosC= 21（附加题).四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，过顶点A的平面a与棱 PB,PC,PD分别交于点M,N,T若N为棱PC的中点，则当四棱锥P-AMNT的体积与 四棱锥P-ABCD的体积之比最小时.器 高一数学试题 第6页（共6页)