2025-2026学年高二下学期期末自编模拟考数学试卷三（人教A版）

**基本信息** 高二数学期末模拟练习，覆盖选择性必修第二册第五章及第三册全内容，以真实情境（如新能源汽车满意度、企业技术改造）设计问题，梯度合理，考查数学建模、数据分析与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|导数、概率分布、二项式定理|单选基础巩固，多选综合辨析（如第9题考百分位数与正态分布）| |填空题|3题15分|期望、函数单调性、随机变量|第14题“操作后黑球数量”考查动态概率思维| |解答题|5题77分|排列组合、独立性检验、正态分布、导数应用|第16题结合课外阅读与写作水平，第18题以新能源汽车为背景，融合统计与概率，体现数学语言表达现实世界|

2025-2026学年第二学期高二数学期末模拟练习三 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知，的值为（   ） A．4 B．8 C．2 D．16 【答案】B 【解析】因为， 则. 故选：B. 2.已知随机变量，且，则当时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由随机变量，且，得， 由，得， 当且仅当，即时取等号，所以所求最小值为3 故选：C. 3.某儿童牙齿是否健康与早晚是否都刷牙有关.据调查，某幼儿园大约有的学生牙齿健康，大约有的学生早晚都刷牙，且其中早晚都刷牙的学生中约有的学生牙齿健康.现从不是早晚都刷牙的学生中任意调查一名学生，则他的牙齿健康的概率约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不是早晚都刷牙且牙齿健康的学生占. 记“该学生不是早晚都刷牙”为事件A，“该学生牙齿健康”为事件B， 则，所以. 故选；A. 4.已知随机变量X的分布列如下表：若，则（   ） X 0 1 2 P n m A． B．5 C．7 D．21 【答案】D 【解析】由题意，解得， 所以． 所以． 故选：D 5．用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．384种 B．168种 C．108种 D．192种 【答案】D 【解析】先给2，5染色，有种方法， 若1和5同色，则4有2种涂法；若1和5不同色，则4有种涂法． 因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有种． 故选：D 6.设，随机变量X的分布列是： X -1 1 2 P 则当最大时的a的值是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据随机变量的分布列和数学期望与方差的计算公式， 可得， 又由 可得， 因为，所以当最大时的的值为. 故选：B. 7.曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】两个函数求导分别为， 设，图象上的切点分别为，， 则过这两点处的切线方程分别为，， 则，，所以， 设，，， 令，所以， 所以在上单调递增，且，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 故选：B. 8．已知对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】记，由，可知只要时恒成立即可，从而将问题转化为在恒成立， 令，结合导数求出的最值即可求解. 【解析】原不等式等价于，记， 注意到，这说明只要时，则当时也有. 故下只考虑时的情况，要使， 只需在恒成立， 令，. 因为，故，经验证，满足题意. 故选：D 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列结论正确的是（    ） A．样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23的第70百分位数为23; B．若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60; C．若随机变量服从二项分布，则; D．若随机变量服从正态分布，且，则. 【答案】BCD 【解析】对于A，样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23共10个数， 从小到大排列为12，13，15，18，19，21，23，24，26，27， 由于，故第70百分位数为第7和第8个数的平均数， 即，故A错误； 对于B，由方差的公式可知，这组样本数据的平均数是6， 这组样本数据的总和为，故B正确； 对于C，易得，则，故C正确； 对于D，若服从正态分布， 则，故D正确． 故答案：BCD. 10.已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（    ） A．奇数项的二项式系数的和为256; B．第6项的系数最大; C．存在常数项; D．有理项共有7项. 【答案】BC 【解析】对于A，二项式的展开式的各项系数之和为， 由已知，，故有或（舍去）， 二项式的奇数项的二项式系数和为，故A错误； 对于B，通项公式为，故当时，系数最大，即第6项的系数最大，故B正确； 对于C，令，求得，可得该二项式存在常数项，故C正确； 对于D，令为整数，可得，故该二项式存在6个有理项，故D错误， 故选:BC. 11.若函数与函数的图象关于y轴对称，则（     ） A．与有相同的零点; B．为偶函数; C．与有相同的极值点; D．对任意的，都有. 【答案】ABD 【解析】由函数与函数的图象关于y轴对称，得， 对于A，由，得，由，得，则与有相同的零点，A正确； 对于B，，则， 为偶函数，B正确； 对于C，由，求导得，当时，，当，， 函数有唯一极值点，由，求导得，当时，， 当，，函数有唯一极值点，C错误； 对于D，令，函数都是上的增函数， 则是上的增函数，当时，，则， 由为偶函数，得当时，，因此，都有，D正确. 故答案：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则数学期望 ． 【答案】 . 【分析】根据题意服从超几何分布，应用古典概型概率公式求出相应概率，再由期望公式即可得. 【解析】X的取值可能为0，1． 依题意可知服从超几何分布， 则，， 所以． 故答案为：. 13.若在上是单调递增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意可知， 因为恒成立， 所以在上是单调递增函数， 即在上恒成立， 因为是一元二次函数，对称轴为， 所以在单调递减，在单调递增， 所以在上恒成立，只需，解得， 即实数的取值范围为， 14.现有甲、乙两个箱子，甲中有2个黑球，乙中有2个白球．每次从甲箱中随机取出一球放入乙箱，摇匀后再从乙箱中随机取出一球放入甲箱，称为“一次操作”．连续进行2次操作后，记甲箱中黑球的数量为，则___________． 【答案】 【解析】依题意，的可能值为0，1，2， 的事件是第1次操作甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，其概率为， 第2次操作是甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，其概率为， 因此； 的事件是甲取黑球放入乙，乙取黑球放入甲，再重复上次操作的事件， 与甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，甲取白球放入乙，乙取黑球放入甲的事件的和， 因此， ， ， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． (1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 【答案】(1)90； (2)36； (3)162. 【解析】（1）将6名学生平均分成3组， 分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； （2）①甲、乙、丙看作一组，有1种分法． 将剩下的3人分成2组，分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； ②甲、乙、丙和剩余3人中的1人形成一组，其余2人各一组，有3种分法． 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； 综上不同的安排方法有（种）； （3）甲、乙、丙分别安排到3个社区，有（种）， 剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）. 16.（15分）某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表： 每周课外阅读时长 频率 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15 同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，得到如下的列联表： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 每周课外阅读时长低于6小时 80 合计 200 (1)根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关； (2)从每周课外阅读时长在和的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，设表示抽取的2人中每周课外阅读时长在的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 30 80 每周课外阅读时长低于6小时 40 80 120 合计 90 110 200 学生的写作水平与每周课外阅读时长有关 (2) X 0 1 2 P 【解析】（1）每周课外阅读时长不低于6小时的学生人数为（人）， 每周课外阅读时长低于6小时的学生人数为（人），所以列联表 为： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 30 80 每周课外阅读时长低于6小时 40 80 120 合计 90 110 200 所以， 依据小概率值的独立性检验，我们推断学生的写作水平与每周课外阅读时长有关． （2）根据分层抽样原理， 组抽取人数为（人）， 组人数为（人），则X的取值可能为， 所以， 则分布列如下所示： X 0 1 2 P 所以． 17.（15分）鄂尔多斯市装备制造基地的某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，其质量指标；技术改造后，其质量指标．如果生产该零部件的控制系统中有超过一半的元件正常工作，则系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性．已知该系统中每个元件正常工作的概率都是，且各个元件能否正常工作相互独立． 若，则，． （1）求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差； （2）若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性；若该系统增加一个元件，判断其可靠性有何变化． 【答案】（1） （2）该系统增加一个元件，可靠性降低. 【解析】(1)由题意知，技术改造前，， 优品率为. （2分） 技术改造后，， 优品率为. ， 所以该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差为. （5分） (2)设为原有3个元件正常工作的个数，， （6分） 则系统正常工作的概率， （9分） 所以该系统的可靠性为. （11分） 设为增加一个元件后，元件正常工作的个数，， 则系统正常工作的概率， （13分） 因为， 所以该系统增加一个元件，可靠性降低. （15分） 18.（17分）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表： 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表） (2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 【答案】(1)，样本中位数为 (2)8186 (3)分布列见解析， 【分析】（1）结合题设数据，根据平均数和中位数的定义求解即可； （2）由题意，，，进而根据正态分布特殊区间的概率求解即可； （3）由题意可得的所有取值为，再求出顾客每次抽奖返还2000元现金的概率，顾客每次抽奖返还1000元现金的概率，顾客每次抽奖不返还任何现金的概率，进而求解分布列和数学期望. 【解析】（1）由题意，平均数， 前3组的频率为，前4组的频数为， 所以样本中位数位于，设为， 则，解得，则样本中位数为. （2）由题意，近似地服从正态分布，且，， 由于 ， 因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为. （3）由题意，的所有取值为， 顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为， 顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为， 顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为， 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1000 2000 3000 4000 所以. 19．（17分）设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 【答案】(1)(2)见解析 【解析】（1）若，则，，......................................1 又，故，...............................................3 所以在处的切线方程为 即；.......................................................................4 （2），，......................5 当时，， 令，即，解得，令，解得，.....8 所以在上单调递减，,上单调递增；...........................................9 当时，，在上单调递增，.........................................11 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减；...............................13 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减．..............................15 综上：当时，所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减．....................17 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二数学期末模拟练习三 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知，的值为（   ） A．4 B．8 C．2 D．16 2.已知随机变量，且，则当时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.某儿童牙齿是否健康与早晚是否都刷牙有关.据调查，某幼儿园大约有的学生牙齿健康，大约有的学生早晚都刷牙，且其中早晚都刷牙的学生中约有的学生牙齿健康.现从不是早晚都刷牙的学生中任意调查一名学生，则他的牙齿健康的概率约为（    ） A． B． C． D． 4.已知随机变量X的分布列如下表：若，则（   ） X 0 1 2 P n m A． B．5 C．7 D．21 5．用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．384种 B．168种 C．108种 D．192种 6.设，随机变量X的分布列是： X -1 1 2 P 则当最大时的a的值是 A． B． C． D． 7.曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列结论正确的是（   ） A．样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23的第70百分位数为23; B．若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60; C．若随机变量服从二项分布，则; D．若随机变量服从正态分布，且，则. 10.已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（    ） A．奇数项的二项式系数的和为256; B．第6项的系数最大; C．存在常数项; D．有理项共有7项. 11.若函数与函数的图象关于y轴对称，则（    ） A．与有相同的零点; B．为偶函数; C．与有相同的极值点; D．对任意的，都有. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则数学期望 ． 13.若在上是单调递增函数，则实数的取值范围为 . 14.现有甲、乙两个箱子，甲中有2个黑球，乙中有2个白球．每次从甲箱中随机取出一球放入乙箱，摇匀后再从乙箱中随机取出一球放入甲箱，称为“一次操作”．连续进行2次操作后，记甲箱中黑球的数量为，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． (1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 16.（15分）某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表： 每周课外阅读时长 频率 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15 同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，得到如下的列联表： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 每周课外阅读时长低于6小时 80 合计 200 (1)根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关； (2)从每周课外阅读时长在和的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，设表示抽取的2人中每周课外阅读时长在的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17.（15分）鄂尔多斯市装备制造基地的某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，其质量指标；技术改造后，其质量指标．如果生产该零部件的控制系统中有超过一半的元件正常工作，则系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性．已知该系统中每个元件正常工作的概率都是，且各个元件能否正常工作相互独立． 若，则，． （1）求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差； （2）若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性；若该系统增加一个元件，判断其可靠性有何变化． 18.（17分）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表： 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表） (2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 19．（17分）设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $