精品解析：山东德州市宁津县育新中学、第四实验中学2025-2026学年八年级下学期数学第二次学情检测

2025－2026学年下学期八年级数学第二次学情检测 一、选择（每题4分，共计40分） 1. 能够使二次根式有意义的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，不等式的解法，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 2. 一组数据：10、5、15、5、20，则这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A. 10，10 B. 10， 12.5 C. 11,12.5 D. 11，10 【答案】D 【解析】 【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列：5，5，10，15，20．故这组数据的平均数为，中位数为10．故选D． 3. 若最简二次根式和能合并，则x的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据同类二次根式的被开方数相同求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴2x+1=4x-3． 解得x=2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，依据同类二次根式的定义列出关于x的方程是解题的关键． 4. 如果三边，， 满足，那么的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据非负数的性质求得，，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 是直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5. 如图，直线与直线交于点 ，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解两直线的交点坐标，再结合图象解答即可． 【详解】解：联立， 解得：， ∴， 由图象可得：时，． 6. 如图，在直线l上依次放着三个正方形，已知斜放的正方形的面积为2，正放的两个正方形的面积分别为S1、S2，则的值为( ) A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，，AC＝CD，∠ABC＝∠ACD＝∠DEC＝90°， ∴∠BAC＋∠ACB＝90°，∠ACB＋∠DCE＝90°， ∴∠BAC＝∠DCE， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴BC＝DE， 在Rt△ABC中，， ∴， 即． 故选C． 7. 如图，为平行四边形 内任一点，，，面积分别为3，4，5，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】过P作交于点E，交 于点F，作交于点M，交于点N，根据平行四边形的性质得出，根据，，即可得出答案． 【详解】如图，过P作交于点E，交 于点F，作交于点M，交于点N，如图所示： ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 同理：， ∴． 8. 设表示、这两个数中的最小值，如，则关于的函数可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的定义，通过比较与 的大小关系，分情况得到函数的分段解析式，即可选出正确答案． 【详解】解：当 时，即 ，则 ； 当时，即 ，则 ． 综上可得 ． 9. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数与系数的关系，由函数的图象位置可得，，然后根据系数的正负判断函数的图象位置． 【详解】解：函数的图象经过第一、二、三象限， ，， ， 函数的图象经过第一、二、四象限． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线，点坐标为，过点作轴交直线 于，过点作直线 交轴于点，过点作轴交直线 于点，过点作交轴于点……；按此作法继续下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线与轴成角的性质，结合等腰直角三角形的两直角边相等，推出，，再求解即可． 【详解】解：令， 解得， 设直线与轴交点为， 由题意，点坐标为即，则点横坐标为1，纵坐标为，则坐标为，即 由过点作直线 交轴于点，直线与轴正方向成角， ∴为等腰直角三角形，， 则点坐标为即，则点横坐标为3，纵坐标为，则坐标为，即， ∴为等腰直角三角形，， 则点坐标为即，则点横坐标为7，纵坐标为，则坐标为即 以此类推， 规律：，． 当时，． 二、填空（每题4分，共计24分） 11. 计算____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质解题即可． 【详解】解：． 12. 甲、乙两人进行射击测试，每10次射击成绩的平均数都是环，方差分别是： ，则选择谁去比赛更合适____________（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】比较甲乙两人方差的大小，根据方差越小成绩越稳定的性质，再结合平均数相同，判断更适合参赛的人选． 【详解】解：∵ ， ， ∴， ∴乙的射击成绩更稳定， ∵平均数都是环， ∴选择乙去比赛更合适． 13. 已知一个直角三角形的两条边分别为，，那么这个直角三角形斜边上的高为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，先利用勾股定理求出对应边长，再根据等面积法即可求解． 【详解】解：如图， ，过点作交 于点， ①当和均为直角边时，即，， 在 中，， ， ； ②当为直角边，为斜边时，即，， 在 中，， ， ； 综上所述：这个直角三角形斜边上的高为或． 14. 如图，在四边形 中，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形 还应满足的一个条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形 还应满足的一个条件是等．答案不唯一． 【详解】解：条件是． ∵分别是的中位线， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为： 【点睛】此题主要考查三角形的中位线定理和菱形的判定，正确理解三角形的中位线的性质及菱形的判定定理是解题的关键． 15. 已知直线（为常数）不经过第四象限，则的取值范围是________． 【答案】0≤a≤2 【解析】 【分析】当a≠0时，根据一次函数的图象不经过第四象限可得图象经过一、三象限或一、二、三象限，列出关于a的不等式组，求出a的取值范围，当a=0时，y=2不经过第四象限，综上即可得答案． 【详解】当a≠0时， 不经过第四象限， ∴经过一、三象限或一、二、三象限， ∴， 解得：， 当a=0时，直线方程为y=2，不经过第四象限，符合题意， ∴的取值范围为0≤a≤2． 故答案为：0≤a≤2 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象与系数的关系并运用分类讨论的思想是解题关键． 16. 有6张如图①的长为a，宽为的小长方形纸片，按图②方式不重叠地放在矩形 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当 的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则满足的数量关系是_______． 【答案】a=2b 【解析】 【分析】分别表示出左上角和右下角部分的面积，表示出它们的差，根据差与BC无关得到结果． 【详解】设左上角的长方形的长为AE，则宽为AF=a，右下角长方形的长为PC，则宽为2b， ∵AD=BC， 即AE+ED=AE+4b，BC=BP+PC=a+PC， ∴AE+4b=a+PC， ∴AE=a-4b+PC， ∴阴影部分面积差为：AE·a-PC·2b=a（a-4b+PC）-2bPC=（a-2b）PC+a2-4ab, ∵面积差与PC无关， 故a-2b=0， 所以a=2b， 故答案为a=2b． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是列出面积差的代数式． 三、解答题（共8小题，共计86分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别进行二次根式的化简和二次根式的乘除法运算，最后进行二次根式减法运算； （2）先分别进行二次根式的乘法、二次根式的化简和绝对值化简，最后进行二次根式的加减运算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 18. 已知y＋6与x成正比例，且当x＝3时，y＝－12，求y与x的函数关系式． 【答案】y=﹣2x﹣6． 【解析】 【详解】试题分析：先根据y+6与x成正比例关系，假设函数解析式，再根据已知的一对对应值，求得系数k即可． 解：∵y+6与x成正比例， ∴设y+6=kx（k≠0）， ∵当x=3时，y=﹣12， ∴﹣12+6=3k， 解得k=﹣2 ∴y+6=﹣2x， ∴函数关系式为y=﹣2x﹣6． 19. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4，CD=8． （1）求∠ADC的度数； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）150°；（2） 【解析】 【分析】（1）连接BD，首先证明△ABD是等边三角形，可得∠ADB=60°，DB=4，再利用勾股定理逆定理证明△BDC是直角三角形，进而可得答案； （2）过B作BE⊥AD，利用三角形函数计算出BE长，再利用△ABD的面积加上△BDC的面积可得四边形ABCD的面积． 【详解】（1）连接BD， ∵AB=AD，∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB=60°， ∴DB=4， ∵42+82=（4）2， ∴DB2+CD2=BC2， ∴∠BDC=90°， ∴∠ADC=60°+90°=150°； （2）过B作BE⊥AD， ∵∠A=60°，AB=4， ∴∠ABE=30°， ∴AE=2， ∴BE==2， ∴四边形ABCD的面积为：AD•EB+DB•CD=×4×2+×4×8=4+16． 20. 为了推动体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中 的值为______； （2）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数； （3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？ 【答案】（1）40人，15 （2）35；36 （3）60双 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，中位数和众数： （1）根据条形统计图可得调查的学生人数；利用34号鞋的学生人数除以总人数可得 的值； （2）根据众数和中位数的定义即可得； （3）利用200乘以35号鞋的学生所占百分比即可得． 【小问1详解】 解：本次接受随机抽样调查的学生人数为（人）， ， 则， 故答案为：40人，15； 【小问2详解】 解：∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现的次数最多， ∴这组样本数据的众数为35； ∵将这组样本数据按从小到大进行排列后，第20个数和第21个数都是36， ∴这组样本数据的中位数为； 【小问3详解】 （双）， 答：建议购买35号运动鞋60双． 21. 已知如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD． （1）求证：四边形AODE是矩形； （2）若AB＝6，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】（1）先判断出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明； （2）根据两直线平行，同旁内角互补求出，判断出是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出、，然后得到，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， 在菱形 中，， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：，， ， ， 是等边三角形， ，， 四边形 是菱形， ， 四边形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，主要利用了有一个角是直角的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形，菱形与平行四边形的关系是解题的关键． 22. 如图，已知四边形ABCD是正方形，点B，C分别在直线和上，点A，D是x轴上两点. （1）若此正方形边长为2，k=_______. （2）若此正方形边长为a，k的值是否会发生变化？若不会发生变化，请说明理由；若会发生变化，求出a的值. 【答案】（1）；（2）k的值不会发生变化，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由边长可得AB，进而根据y=2x求出OA，得到OD，再根据边长为2得到CD，代入y=kx中即可； （2）根据正方形的边长a，运用正方形的性质表示出C点的坐标，再将C的坐标代入函数中，从而可求得k的值． 【详解】解：（1） 正方形边长为2， .在直线中， 当时， ，将代入中， 得，解得. （2）k的值不会发生变化 理由：正方形边长为a ， 在直线中，当时，， . 将代入中，得, 解得， ∴k值不会发生变化. 【点睛】本题主要考查正方形的性质与正比例函数的综合运用，是一道比较好的题目，难度适中．灵活运用正方形的性质是解题的关键． 23. 五一节期间，电器市场火爆、某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查．电视机与洗衣机的进价和售价如下表： 类别 电视机 洗衣机 进价（元/台） 1800 1500 售价（元/台） 2000 1600 若该商店计划购进电视机和洗衣机共100台，设购进电视机台，获得的总利润为 元． （1）求出 与的函数关系式． （2）已知商店最多可筹集资金161800元，求购进多少台电视机，才能使商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得总利润最多？并求出最多总利润．（利润售价进价） 【答案】（1） （2）39台，13900元 【解析】 【分析】（1）根据利润售价进价，列出函数解析式即可； （2）先根据商店最多可筹集资金161800元，列出不等式，解不等式得出，再根据一次函数的增减性，进行求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， ∵中， ∴y随x的增大而增大， 又∵x取正整数， ∴当时，y取最大值，且13900（元）． 24. 如图，在中， ，，，对角线，交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于，于点，． （1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等； （3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）四边形可以是菱形．理由见详解，旋转角为 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及菱形的判定和性质； （1）根据平行四边形的判定即可求证； （2）根据三角形全等的性质即可求得其相等； （3）根据菱形的判定及其性质求解即可． 【小问1详解】 证明：当时，， 又， 四边形为平行四边形． 【小问2详解】 证明：四边形 为平行四边形， ． ． 【小问3详解】 四边形可以是菱形． 理由：如图，连接， ∵四边形 为平行四边形， ∴， 由（2）知，得， 与 互相平分． 当时，四边形为菱形． 在 中，， ，又 ， ， ， 绕点顺时针旋转时，四边形为菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年下学期八年级数学第二次学情检测 一、选择（每题4分，共计40分） 1. 能够使二次根式有意义的实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据：10、5、15、5、20，则这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A. 10，10 B. 10， 12.5 C. 11,12.5 D. 11，10 3. 若最简二次根式和能合并，则x的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4. 如果三边 ，，满足，那么的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 5. 如图，直线与直线交于点 ，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直线l上依次放着三个正方形，已知斜放的正方形的面积为2，正放的两个正方形的面积分别为S1、S2，则的值为( ) A. B. 1 C. 2 D. 4 7. 如图， 为平行四边形内任一点，，，面积分别为3，4，5，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 设表示 、这两个数中的最小值，如，则关于 的函数可以表示为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线，点坐标为，过点作轴交直线 于，过点作直线 交 轴于点，过点作轴交直线 于点，过点作交 轴于点……；按此作法继续下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空（每题4分，共计24分） 11. 计算____________． 12. 甲、乙两人进行射击测试，每10次射击成绩的平均数都是环，方差分别是： ，则选择谁去比赛更合适____________（填“甲”或“乙”）． 13. 已知一个直角三角形的两条边分别为，，那么这个直角三角形斜边上的高为____________． 14. 如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是________． 15. 已知直线（ 为常数）不经过第四象限，则 的取值范围是________． 16. 有6张如图①的长为a，宽为的小长方形纸片，按图②方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则满足的数量关系是_______． 三、解答题（共8小题，共计86分） 17. 计算 （1） （2） 18. 已知y＋6与x成正比例，且当x＝3时，y＝－12，求y与x的函数关系式． 19. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=4，CD=8． （1）求∠ADC的度数； （2）求四边形ABCD的面积． 20. 为了推动体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中的值为______； （2）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数； （3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？ 21. 已知如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD． （1）求证：四边形AODE是矩形； （2）若AB＝6，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积． 22. 如图，已知四边形ABCD是正方形，点B，C分别在直线和上，点A，D是x轴上两点. （1）若此正方形边长为2，k=_______. （2）若此正方形边长为a，k的值是否会发生变化？若不会发生变化，请说明理由；若会发生变化，求出a的值. 23. 五一节期间，电器市场火爆、某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查．电视机与洗衣机的进价和售价如下表： 类别 电视机 洗衣机 进价（元/台） 1800 1500 售价（元/台） 2000 1600 若该商店计划购进电视机和洗衣机共100台，设购进电视机 台，获得的总利润为 元． （1）求出 与 的函数关系式． （2）已知商店最多可筹集资金161800元，求购进多少台电视机，才能使商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得总利润最多？并求出最多总利润．（利润售价进价） 24. 如图，在 中， ，，，对角线 ，交于点，将直线 绕点顺时针旋转，分别交于，于点 ， ． （1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等； （3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时 绕点顺时针旋转的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $