（预习篇）第八讲 有理数的法（除法法则与乘除混合运算）【思维导图+知识卡片+教材精讲+知识总结+八大题型讲练+难度分层练 共44题】-2026年苏科版数学小升初（六升七年级）暑假衔接精编讲义

2026-2027学年苏科版新教材数学小升初（六升七年级）衔接金牌培优讲义 第八讲 有理数的除法（除法法则与乘除混合运算）「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•七年级上册（第2章 有理数）】 （思维导图+教材精讲+知识总结+八大考点讲练+难度分层练 共44题 解析版） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材七年级上册内容为主，讲义包含思维导图指引，教材内容精讲，知识点总结技巧点拨，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合知识卡片内容学习（卡片结合苏科版七年级上册新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 新知学习一 有理数的除法 【学习目标】 1.会将有理数的除法运算转化成乘法运算． 2.会进行有理数的乘除混合运算，发展运算能力． 【问题情境】 某地某星期每天上午8: 00的气温记录如下： 请你计算出该地该星期上午8: 00的平均的气温． 解：[(－4)＋(－4)＋0＋(＋1)＋(＋1)＋(－3)＋(－5)]÷7 ＝(－14)÷7 【讨论交流】 把－14平均分成7份. 除法是乘法的逆运算.因为(－2)×7＝－14，所以(－14)÷7＝－2. 除以一个数等于乘这个数的倒数.(－14) ÷7＝(－14)×＝－2. 这种算法都合理吗？ 仿照右面的算式，填空： (1) (－10)÷2＝(－10)×； (2) 24÷(－8)＝24×； (3) (－12)÷(－4)＝(－12)×. 【新知归纳】 有理数乘法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． 字母表示：a÷b＝a· (b≠0)． 有理数乘法法则2： 两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 按照小学里的习惯，两个数相除可以写成分数的形式，即 a÷b＝(b≠0)． 【典例分析】 例4 计算： (1) (－36)÷8； (2) 48÷(－6)；(3) (－)÷(－)． 解：(1) (－36)÷8＝－＝－； (2) 48÷(－6)＝－8； (3) (－)÷(－) ＝(－)×(－) ＝×＝ ． 当能整除时，往往采用法则2直接除； 当不能整除时，特别是当除数是分数时，往往采用法则1，把除法转化为乘法再计算. 48÷(－6)和－有什么关系？ 相等，除法可以写成分数形式，两种写法本质相同，只是符号位置不同． 例5 计算： （1）(－32)÷8÷(－4)； 解法1：解：(1) 原式＝(－4)÷(－4)＝1； 解法2：(1)原式＝(－32)××(－) ＝(－4)×(－) ＝1； 解法3：(1)原式＝(－32)××(－) ＝＋(32××) ＝1； (－32)÷8÷(－4)与－32÷[8÷(－4)]相等吗？ 不相等，除法没有结合律 （2）17×(－6)÷(－5)； 解法1：解：(2)原式＝17×(－6)×(－) ＝(－102)×(－) ＝； 解法2：解：(2)原式＝17×(－6)×(－) ＝17×6× ＝； （3）(－81)÷×÷(－16)． 解法1：(3) 原式＝－81×××(－) ＝－16×(－) ＝1． 解法2：(3) 原式＝－81×××(－) ＝81××× ＝1． 【归纳总结】 有理数的乘除混合运算顺序： 按从左到右的顺序依次计算，有括号的先计算括号里面的． 进行有理数的乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再按照乘法法则确定积的符号，最后求出结果．将除法转化为乘法后，可利用乘法的运算律简化运算． 【拓展提升】 1. 某地进入秋季后，早晚气温变化较大．某天8:00测得气温为7℃，如果14:00前，平均每小时升温1.2℃，随后平均每小时降温0.9℃，那么20:00该地的气温是多少？ 解：7＋(14－8)×1.2－(20－14)×0.9 　＝7＋6×1.2－6×0.9 　＝7＋7.2－5.4 　＝8.8 (℃)． 答：晚上20:00该地的气温是8.8℃． 2. a、b、c均为有理数，用 “＞”或 “＜”填空： (1) 如果a＞0，b＜0，c＜0，那么a÷b×c＞0； (2) 如果a＜0，b＜0，c＜0，那么a÷b÷c＜0； (3) 如果a＜0，a×b＜0，a×c＞0，那么a×b×c＞0； (4) 如果a×b×c＞0，那么，当a＜0时，b×c ＜0；当b＞0时，a×c＞0． 3. 如图，数a，b在数轴上的对应点为A，B．记在数轴上的对应点为C，请判断点C在数轴上的大致位置，并通过取a，b的特殊值验证你的判断． 解：点C在数轴上的大致位置如图所示. 令a＝－6，b＝2，则＝＝－2， 令a＝－11，b＝3，则＝＝－4，等等. 通过取特殊值验证可知，点C在数轴上在点A，B之间，且到点A，B的距离相等． 【课堂小结】 知识点一 有理数的除法法则 有理数除法法则： （1）法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 （2）法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 技巧点拨： （1）0不能当除数； （2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 知识点二 有理数的乘除混合运算 1.由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 2.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 考点一 有理数的除法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据折叠的性质可知点到点的距离等于点到点的距离，即点是线段的中点，利用中点公式计算即可求解． 【规范解答】解：以点为折点将数轴向右对折，点的对应点刚好与点重叠， ，即点是线段的中点， 点表示，点表示， 点表示的数为． 【变式训练1】（25-26七年级下·北京·期中）实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据数轴得出a和b的范围，进而得出，，根据有理数运算法则逐一判断即可． 【规范解答】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴，，，， 故A、B、D错误，C正确． 【变式训练2】（25-26七年级·全国·暑假作业）已知，，，则的值等于____________． 【答案】8或 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∵， ∴当时，，，两种情况均不符合条件，舍去， ∴， ①当，时，满足， ； ②当，时，满足， ； 综上所述，的值为或． 考点二 有理数除法的应用 【典例精讲】（25-26七年级下·云南昆明·开学考试）安安想将7个相同的正方体放入一个底面为，初始水位为的水箱中．水位最高可以达到（     ）厘米（注：根据图示，小正方体的边长为） A． B． C． D． E． 【答案】D 【思路引导】先计算得水箱底面积，水的体积；正方体棱长，水箱一层最多可放个正方体，底层6个恰好填满的高度空间，剩余1个放在第二层，此时水的有效底面积为，可得水位再次上升的高度，即可得总水位高度． 【规范解答】解：由题意得，水箱底面积为， 水的初始体积为， 单个正方体体积为，单个底面积， 由题意得，水箱内长方向可放个，宽方向可放个，一层最多可放个正方体， ∵6个正方体的总体积为，而水箱高度的总容积为， ∴底层6个正方体刚好填满的空间，此高度内没有水， ∵第7个正方体放在第二层， ∴水的底面积水箱底面积第7个正方体的底面积为， ∵水的体积仍为， ∴以上的水位高度为：， ∴总水位高度． 【变式训练1】某公交车每月的支出费用为元，每月的乘车人数（人）与每月的利润（元）的变化关系如下表所示． （人） … （元） … (1)观察表中数据可知，每月乘客量至少达到 人时，该公交车才不会亏损； (2)当每月乘车人数为人时，每月利润为多少元？（注：每位乘客的公交票价是固定不变的，利润收入支出） 【答案】(1) (2)元 【思路引导】（1）根据值为负时表示亏损，值为时不亏不盈，观察数据填写即可； （2）根据表格数据推理即可. 【规范解答】（1）解：观察表中数据可知:每月乘客量至少达到人时，该公交车才不会亏损． 故答案为：； （2）解：由上表可知，每月的乘车人数每增加人，每月的利润可增加元， ∴每月乘车人数为人时，每月的利润是（元）． 答：每月利润为元． 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南郴州·阶段检测）已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足． (1)比较大小：_______0，_______0，_______0（请填“＞”，“＜”或“＝”）； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)，， (2) (3) 【思路引导】本题考查有理数的大小比较，数轴，有理数的加减乘除等，综合运用相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上左边的点表示的数比右边的点表示的数小，结合有理数的加减法则判断即可； （2）利用绝对值的性质化简即可； （3）利用绝对值的性质化简即可． 【规范解答】（1）解：由数轴可得：，又， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：由数轴可得：，又， ∴，，， ∴ ． （3）解：∵， ∴，， ∴ ． 考点三 有理数乘除混合运算 【典例精讲】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】（1）先将式子省略成“和”的形式，再从左往右计算即可； （2）先确定符号，再将式子统一为“乘”的形式计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练1】计算下面各题，能简算的要用简便方法计算并写出计算过程． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【思路引导】（1）先计算小括号，再根据有理数的除法，进行计算，即可； （2）把化简为，再根据有理数的加减，进行计算，即可； （3）先化除为乘，再根据有理数的乘法运算，即可； （4）根据有理数的乘法，进行简便计算，即可； （5）先计算小括号，化除为乘，然后根据有理数的乘法，计算； （6）应先计算小括号内的加法，再计算中括号内的除法，最后计算括号外的乘法． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 【变式训练2】阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； (2)请你写出这道题的正确解答过程． 【答案】(1)②③ (2)36 【思路引导】（1）第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）根据乘除运算法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解：第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）解：原式 ． 考点四 有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】用简便的方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【思路引导】本题考查了四则运算和简便运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键； （1）利用加法交换律和结合律进行计算即可得解； （2）利用除法的性质和乘法分配律进行简便计算． 【规范解答】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【变式训练1】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)499 (2)7 (3)885 (4) 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键. （1）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （2）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可； （4）将原式变形为，然后裂项，再根据加法交换律和结合律，结合裂项法，进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：                   ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练2】（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算． 的倒数为，求出其值，再求倒数即可． 【规范解答】解：的倒数为， ， 所以． 考点五 有理数四则混合运算 【典例精讲】（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）若规定新运算：，则 ______． 【答案】8 【思路引导】先利用新定义将转化为有理数四则混合运算，然后利用有理数四则混合运算法则计算即可． 【规范解答】解： ． 【变式训练1】（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 【答案】B 【规范解答】解：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算． 【变式训练2】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)． (3)64 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 考点六 有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）乐乐在比例尺是的房屋设计图上，量得自家房屋平面图长16厘米，宽8厘米． (1)乐乐的爸爸准备把房屋的地面铺上边长为0.8米的正方形地砖，需要多少块这样的地砖？ (2)如果每块地砖需12元钱，乐乐家买地砖需要多少钱？ 【答案】(1)200块 (2)2400元 【思路引导】（1）根据比例尺求出房屋地面的实际长和宽，再计算出房屋地面的面积和每块地砖的面积，进而求出所需地砖的数量即可． （2）根据地砖数量和单价求出买地砖的总费用． 【规范解答】（1）解：房屋实际长，宽， 房屋面积为，正方形地砖面积 地砖数为 块． （2）解：费用为元． 【变式训练1】《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 【答案】C 【规范解答】解：∵ 由题意可知：盈为3不足为4，两次每人出钱数分别为8和7， ∴根据题中给出的算法人数为， ∴物价为． 【变式训练2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 【答案】(1)六，，五， (2)元 【思路引导】（1）根据正负数的意义，结合表格数据得出销售量最多的和最少的是哪一天，进而用加上与计划量的差值，即可求解； （2）先计算猕猴桃的销售总量，再根据利润售价成本，进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解：根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期六，有 ；最少的一天是星期五，有 ． （2）解：猕猴桃的销售总量为 （元） 答：张明当周销售猕猴桃获得的总利润是元． 考点七 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【规范解答】解：由数轴可得：，，， 故结论正确的为． 【变式训练1】实数在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】由数轴可得，，，据此分析即可． 【规范解答】解：由数轴可得，，， ∴，，，， 故C错误． 【变式训练2】表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据数轴的特点，数形结合确定代数式的符号，由此即可求解． 【规范解答】解：由数轴可知：，B选项正确，不符合题意； ∴，A选项正确，不符合题意； ，C选项错误，符合题意； ，D选项正确，不符合题意； 故选：C． 考点八 数轴上的翻折 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）已知在一条可以折叠的数轴上，B表示的数是4，如图①，以点C为折点，将此数轴向右折叠，得图②，点A落在点B的右边处，且． (1)若点C为原点，求点A表示的数； (2)若点A表示的数为，求线段的长． 【答案】(1) (2)6 【思路引导】（1）先求出点表示的数，再结合折叠性质求出点A表示的数； （2）先求出的长度，再根据折叠性质求出的长度． 【规范解答】（1）解：根据题意得点表示的数为， ∴点A表示的数为； （2）解：∵点A表示的数为，B表示的数是4， ，． ． ∴线段的长为6． 【变式训练1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）点A，B，C是同一条数轴上的三个点，点表示的数为，点表示的数为6，点C在点的右边．若以点为折点，将向右对折，点落在数轴上的点处，，则点表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路引导】本题考查数轴上的折叠问题，数轴上两点间的距离，利用折叠的性质（折叠后折点是对应点连线的中点），先根据确定表示的数，再结合中点公式计算点C表示的数即可． 【规范解答】解：∵点B表示的数为6，， ∴点表示的数为或． ∵以点C为折点折叠，点A落在处， ∴点C是线段的中点． 当表示的数为8时， ∵点A表示的数为a， ∴点C表示的数为． 当表示的数为4时， ∵点A表示的数为a， ∴点C表示的数为． 综上，点C表示的数为或． 故选D． 【变式训练2】（25-26七年级上·广东汕头·期末）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】（1）7；（2）①，；②、 【思路引导】本题考查数轴上的折叠问题，解题的关键是确定对折中心点： （1）根据左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，得到对折中心点为原点，即可得出结果； （2）①根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，求出对折中心点，进而求出对折后与6表示的点重合的点表示的数即可；②根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，进行求解即可． 【规范解答】解：（1）∵左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合， ∴对折中心点为原点， ∴表示的点与7表示的点重合； （2）①由题意，对折中心点为， ； 故对折后6表示的点与数表示的点重合； ②解：由题意可得：、两点距离对折中心点的距离为， 因为对折中心点所表示的数为2的点，，； 所以、两点表示的数分别为：、． 【基础通关能力提升】 1．计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 【答案】A 【规范解答】解： 2．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：选项A：，A错误； 选项B： ，B错误； 选项C： ，C错误； 选项D： ，D正确． 3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是6秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（　　） A．秒 B．秒 C．5秒 D．4秒 【答案】B 【思路引导】两车相向行驶，相对速度保持不变，旅客看见对方列车驶过窗口时，行驶路程等于对方列车的车身长，先根据已知条件求出相对速度，再计算所求时间． 【规范解答】解：∵两车相向行驶，相对速度不变，坐在高速列车上的旅客观察普通列车时，行驶路程为普通列车车身长100米，时间为6秒， ∴两车的相对速度为（米/秒）． ∵坐在普通列车上的旅客观察高速列车时，行驶路程为高速列车车身长80米， ∴坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间为（秒）． 4．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）计算：________． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的乘除混合运算．先计算乘除运算，将除法转化为乘法，利用有理数运算法则，负负得正，最后计算数值． 【规范解答】解：原式 故答案为：． 5．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）五个人聚会，如果每两人要握一次手，那么五个人共握_______次． 【答案】10 【思路引导】本题主要考查了握手问题．根据每个人需要与其他4个人握手，解答即可． 【规范解答】解：∵每个人需要与其他4个人握手， ∴总握手次数为次． 故答案为10 6．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）的值为________． 【答案】 【思路引导】根据乘法分配律将算式变化，即可计算出结果． 【规范解答】解： 7．（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算； （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法结合律计算即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ； 8．（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）先计算括号的减法，再从左到右计算乘除法即可； （3）根据乘法分配律计算即可； （4）根据有理数加减混合运算法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 9．（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）某通讯公司开设了两种通讯业务如下： 一、使用“全球通”手机卡用户电话费计费标准：每月月租费50元，接听和打出每分钟另需付通话费均为0.4元； 二、使用“神州行”手机卡用户电话费计费标准：不缴月租费，接听和打出每分钟通话费均为0.6元． 根据以上信息： (1)张华每月平均通话时间是150分钟，他应选择用哪种手机卡电话费比较便宜？每月需电话费多少元？ (2)陈烨每月平均通话时间是300分钟，他应选择用哪种手机卡电话费比较便宜？每月需电话费多少元？ 【答案】(1)张华应选择“神州行”，每月话费90元 (2)陈烨应选择“全球通”，每月话费170元 【思路引导】（1）根据张华的通话时间分别计算两种业务下的话费，再进行比较即可； （2）根据陈烨的通话时间分别计算两种业务下的话费，再进行比较即可． 【规范解答】（1）解：“全球通”电话费（元）， “神州行”电话费（元）， 因为，所以应选择“神州行”， 答：张华应选择“神州行”，每月话费90元． （2）解：“全球通”电话费（元）， “神州行”电话费（元）， 因为，所以应选择“全球通”， 答：陈烨应选择“全球通”，每月话费170元． 10．（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． (1)用“”“”或“”填空：_____0，_____0， (2)化简：． 【答案】(1)＞，＜． (2) 【思路引导】本题考查了绝对值，数轴，有理数的加减法法则，以及整式的加减，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． （1）根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，进而可得出结论； （2）根据（1）中各式的符号，去绝对值符号，合并同类项即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：＞，＜． （2）解：原式 ． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据已知的大小关系，判断各因式的正负，再利用同号得正，异号得负判断乘积的符号，即可选出正确选项. 【规范解答】解：∵， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， 逐个分析选项： 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C成立； 选项D：，D错误. 2．若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】解：依题意可得： = ． 3．如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据杠杆原理得：秤钩到提纽的水平距离苹果质量秤砣与提纽的水平距离秤砣质量，即可求解． 【规范解答】解：苹果质量为：． 4．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）计算：______． 【答案】 【思路引导】本题考查有理数的乘除运算，熟练掌握运算顺序和运算原则是解题的关键． 先将小数化为分数，带分数化为假分数，再根据有理数乘除运算法则进行计算即可． 【规范解答】解：， ， ， ． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）监管部门抽查10袋某种食品的质量，每袋这种食品的标准质量是100，超出标准质量的部分记为正，不足标准质量的部分记为负，统计结果记录如下： 每袋与标准质量的差值/g 0 袋数/袋 2 3 3 1 1 则这10袋食品的平均质量是________g/袋． 【答案】100.1 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算在实际问题中的应用，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先根据每袋超出或不足标准质量的数值以及对应的袋数，分别计算出超出或不足的总质量，进而计算10袋食品的总质量，再求平均质量，即可解题． 【规范解答】解：标准总质量为（g）， 超出部分总和为（g）， 总质量为（g）， 平均质量为（g/袋）， 故答案为：100.1． 6．（25-26七年级上·全国·期末）已知、、是有理数，且，则的值是___________． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数乘法，有理数加法和绝对值，学生必须熟练掌握才能正确解答． 根据，可得a，b，c三个数一定是两正一负，然后再进行化简计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为： 7．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【规范解答】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）综合与实践 问题情境：下列A、B、C、D四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余均相同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）： (1)求卡片A与卡片B的差，卡片B与卡片D的商． (2)求四张卡片上数的绝对值的和． (3)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d． ①求a，b，c，d的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 【答案】(1)， (2) (3)①，，，，②139 【思路引导】（1）根据绝对值的定义求出各数的绝对值再求和； （2）①依据倒数和相反数的定义求出a，b，c，d的值； ②可按照先算括号内再算乘法的顺序，也可利用乘法分配律进行计算． 【规范解答】（1）解：， ． ∴卡片A与卡片B的差为，卡片B与卡片D的商为． （2）解：， ∴四张卡片上数的绝对值的和为． （3）解：①∵卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片A为，卡片B为15， ∴，， 又∵卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d，卡片C为，卡片D为， ∴，． ② ； ． 9．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）如图，，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，． (1)求出，的值； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向左运动． 设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数是多少？ 经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 【答案】(1)的值是，的值是； (2) ；经过秒或秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 【思路引导】本题考查了有理数的运算、绝对值、数轴，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． （）根据题意可得的符号相反，且，根据可得的值； （）根据题意可以求得两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇时点对应的数值； 根据题意和分类讨论的数学思想即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，， ∴，， ∴的值是，的值是； （2）解：由题意可得， 相遇所需的时间：（秒）， ∴点对应的数是：， ∴点对应的数为； 相遇前两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度： （秒）； 相遇后两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度： （秒）； 综上可得，经过秒或秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 10．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零． 第天 1 2 3 4 5 6 7 路程/km (1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ (2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？ 【答案】(1)/天 (2)元 【思路引导】（1）先求出7天总路程，再求平均数即可； （2）先分别求出燃油车和电动车的费用，再比较可得答案． 【规范解答】（1）解：总路程：，平均：/天； 所以这七天平均每天行驶了60千米； （2）解：燃油车费用：元， 电动车费用：元； 节省：元， 所以这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省235.2元． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull2026-2027学年苏科版新教材数学小升初（六升七年级）衔接金牌培优讲义 第八讲 有理数的除法（除法法则与乘除混合运算）「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•七年级上册（第2章 有理数）】 （思维导图+教材精讲+知识总结+八大考点讲练+难度分层练 共44题 原卷版） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材七年级上册内容为主，讲义包含思维导图指引，教材内容精讲，知识点总结技巧点拨，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合知识卡片内容学习（卡片结合苏科版七年级上册新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 新知学习一 有理数的除法 【学习目标】 1.会将有理数的除法运算转化成乘法运算． 2.会进行有理数的乘除混合运算，发展运算能力． 【问题情境】 某地某星期每天上午8: 00的气温记录如下： 请你计算出该地该星期上午8: 00的平均的气温． 解：[(－4)＋(－4)＋0＋(＋1)＋(＋1)＋(－3)＋(－5)]÷7 ＝(－14)÷7 【讨论交流】 把－14平均分成7份. 除法是乘法的逆运算.因为(－2)×7＝－14，所以(－14)÷7＝－2. 除以一个数等于乘这个数的倒数.(－14) ÷7＝(－14)×＝－2. 这种算法都合理吗？ 仿照右面的算式，填空： (1) (－10)÷2＝(－10)×； (2) 24÷(－8)＝24×； (3) (－12)÷(－4)＝(－12)×. 【新知归纳】 有理数乘法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． 字母表示：a÷b＝a· (b≠0)． 有理数乘法法则2： 两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 按照小学里的习惯，两个数相除可以写成分数的形式，即 a÷b＝(b≠0)． 【典例分析】 例4 计算： (1) (－36)÷8； (2) 48÷(－6)；(3) (－)÷(－)． 解：(1) (－36)÷8＝－＝－； (2) 48÷(－6)＝－8； (3) (－)÷(－) ＝(－)×(－) ＝×＝ ． 当能整除时，往往采用法则2直接除； 当不能整除时，特别是当除数是分数时，往往采用法则1，把除法转化为乘法再计算. 48÷(－6)和－有什么关系？ 相等，除法可以写成分数形式，两种写法本质相同，只是符号位置不同． 例5 计算： （1）(－32)÷8÷(－4)； 解法1：解：(1) 原式＝(－4)÷(－4)＝1； 解法2：(1)原式＝(－32)××(－) ＝(－4)×(－) ＝1； 解法3：(1)原式＝(－32)××(－) ＝＋(32×× ＝1； (－32)÷8÷(－4)与－32÷[8÷(－4)]相等吗？ 不相等，除法没有结合律 （2）17×(－6)÷(－5)； 解法1：解：(2)原式＝17×(－6)×(－) ＝(－102)×(－) ＝； 解法2：解：(2)原式＝17×(－6)×(－) ＝17×6× ＝； （3）(－81)÷×÷(－16)． 解法1：(3) 原式＝－81×××(－) ＝－16×(－) ＝1． 解法2：(3) 原式＝－81×××(－) ＝81××× ＝1． 【归纳总结】 有理数的乘除混合运算顺序： 按从左到右的顺序依次计算，有括号的先计算括号里面的． 进行有理数的乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再按照乘法法则确定积的符号，最后求出结果．将除法转化为乘法后，可利用乘法的运算律简化运算． 【拓展提升】 1. 某地进入秋季后，早晚气温变化较大．某天8:00测得气温为7℃，如果14:00前，平均每小时升温1.2℃，随后平均每小时降温0.9℃，那么20:00该地的气温是多少？ 答：晚上20:00该地的气温是8.8℃． 2. a、b、c均为有理数，用 “＞”或 “＜”填空： (1) 如果a＞0，b＜0，c＜0，那么a÷b×c 0； (2) 如果a＜0，b＜0，c＜0，那么a÷b÷c 0； (3) 如果a＜0，a×b＜0，a×c＞0，那么a×b×c 0； (4) 如果a×b×c＞0，那么，当a＜0时，b×c 0；当b 0时，a×c＞0． 3. 如图，数a，b在数轴上的对应点为A，B．记在数轴上的对应点为C，请判断点C在数轴上的大致位置，并通过取a，b的特殊值验证你的判断． 【课堂小结】 知识点一 有理数的除法法则 有理数除法法则： （1）法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 （2）法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 技巧点拨： （1）0不能当除数； （2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 知识点二 有理数的乘除混合运算 1.由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 2.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 考点一 有理数的除法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级下·北京·期中）实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级·全国·暑假作业）已知，，，则的值等于____________． 考点二 有理数除法的应用 【典例精讲】（25-26七年级下·云南昆明·开学考试）安安想将7个相同的正方体放入一个底面为，初始水位为的水箱中．水位最高可以达到（     ）厘米（注：根据图示，小正方体的边长为） A． B． C． D． E． 【变式训练1】某公交车每月的支出费用为元，每月的乘车人数（人）与每月的利润（元）的变化关系如下表所示． （人） … （元） … (1)观察表中数据可知，每月乘客量至少达到 人时，该公交车才不会亏损； (2)当每月乘车人数为人时，每月利润为多少元？（注：每位乘客的公交票价是固定不变的，利润收入支出） 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南郴州·阶段检测）已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足． (1)比较大小：_______0，_______0，_______0（请填“＞”，“＜”或“＝”）； (2)化简：； (3)计算：． 考点三 有理数乘除混合运算 【典例精讲】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； 【变式训练1】计算下面各题，能简算的要用简便方法计算并写出计算过程． (1) (2) (2) (4) (5) (6) 【变式训练2】阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； (2)请你写出这道题的正确解答过程． 考点四 有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】用简便的方法计算 (1) (2) 【变式训练1】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【变式训练2】（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 考点五 有理数四则混合运算 【典例精讲】（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）若规定新运算：，则 ______． 【变式训练1】（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 【变式训练2】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1) (2) (3) 考点六 有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）乐乐在比例尺是的房屋设计图上，量得自家房屋平面图长16厘米，宽8厘米． (1)乐乐的爸爸准备把房屋的地面铺上边长为0.8米的正方形地砖，需要多少块这样的地砖？ (2)如果每块地砖需12元钱，乐乐家买地砖需要多少钱？ 【变式训练1】《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 【变式训练2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 考点七 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】实数在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 考点八 数轴上的翻折 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）已知在一条可以折叠的数轴上，B表示的数是4，如图①，以点C为折点，将此数轴向右折叠，得图②，点A落在点B的右边处，且． (1)若点C为原点，求点A表示的数； (2)若点A表示的数为，求线段的长． 【变式训练1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）点A，B，C是同一条数轴上的三个点，点表示的数为，点表示的数为6，点C在点的右边．若以点为折点，将向右对折，点落在数轴上的点处，，则点表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练2】（25-26七年级上·广东汕头·期末）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【基础通关能力提升】 1．计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 2．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是6秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（　　） A．秒 B．秒 C．5秒 D．4秒 4．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）计算：________． 5．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）五个人聚会，如果每两人要握一次手，那么五个人共握_______次． 6．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）的值为________． 7．（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 8．（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）某通讯公司开设了两种通讯业务如下： 一、使用“全球通”手机卡用户电话费计费标准：每月月租费50元，接听和打出每分钟另需付通话费均为0.4元； 二、使用“神州行”手机卡用户电话费计费标准：不缴月租费，接听和打出每分钟通话费均为0.6元． 根据以上信息： (1)张华每月平均通话时间是150分钟，他应选择用哪种手机卡电话费比较便宜？每月需电话费多少元？ (2)陈烨每月平均通话时间是300分钟，他应选择用哪种手机卡电话费比较便宜？每月需电话费多少元？ 10．（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． (1)用“”“”或“”填空：_____0，_____0， (2)化简：． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 2．若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）计算：______． 5．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）监管部门抽查10袋某种食品的质量，每袋这种食品的标准质量是100，超出标准质量的部分记为正，不足标准质量的部分记为负，统计结果记录如下： 每袋与标准质量的差值/g 0 袋数/袋 2 3 3 1 1 则这10袋食品的平均质量是________g/袋． 6．（25-26七年级上·全国·期末）已知、、是有理数，且，则的值是___________． 7．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 8．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）综合与实践 问题情境：下列A、B、C、D四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余均相同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）： (1)求卡片A与卡片B的差，卡片B与卡片D的商． (2)求四张卡片上数的绝对值的和． (3)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d． ①求a，b，c，d的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 9．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）如图，，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，． (1)求出，的值； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向左运动． 设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数是多少？ 经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 10．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零． 第天 1 2 3 4 5 6 7 路程/km (1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ (2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $