精品解析：吉林省长春市第一〇八学校2025-2026学年下学期九年级数学六月中考模拟卷

数学练习 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 手机信号的强度通常采用负数来表示．绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，只需比较各选项数的绝对值大小，绝对值越小信号越强，即可得到答案. 【详解】解：∵ ，，，， 且 ， ∴ 的绝对值最小，根据题意得信号最强的是 2. 据2026年3月3日《人民日报》报道，截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人，普及率达42.8%，将数据602000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，要求满足，为整数，解题只需确定和的值即可. 【详解】解：. 3. 如图，在中，平分，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，又根据角平分线的定义可得，最后利用平行四边形的性质求出即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵平行四边形中， ∴. 4. 如图，某同学正在参加滑雪项目比赛，滑道的坡比，当他沿斜坡向下直线滑行时，他下降的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设下降的高度为，则下降前后的水平距离为，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设下降的高度为，则下降前后的水平距离为． 依题意，得， 解得或（舍去）， ∴他沿斜坡向下滑行时，下降的高度为． 5. 下列关于直线的说法正确的是（ ） A. 与y轴交于点 B. 一定经过点 C. y随x的增大而减小 D. 图象过一、二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键，根据性质逐项判断即可． 【详解】解：对于直线， A选项，∵求与轴交点时，令，得， ∴与轴交于点，A错误； B选项，∵当时， ， ∴直线一定经过点，B正确； C选项，∵， ∴随的增大而增大，C错误； D选项，∵，， ∴直线图象经过一、三、四象限，D错误． 6. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、根据积的乘方法则，积的乘方等于把每个因式分别乘方，再将结果相乘，，故此选项正确； B、根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ，故此选项错误； C、根据积的乘方法则计算， ，故此选项错误； D、根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减， ，故此选项错误． 7. 如图，将正方形绕着其对称中心顺时针旋转后得到正方形，正方形与正方形组成一个新的图形，该图形绕其对称中心至少旋转（ ）能与自身重合． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据新图形中心角的求法解答即可. 【详解】解：要使新图形旋转后，与其自身重合，至少应将它绕中心旋转的度数是 ． 8. 如图，点在反比例函数（为常数，且）的图象上，过点作轴于点，点为的中点，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设点的坐标，利用点是中点表示出的长度，再结合三角形面积公式求出的值，最后根据反比例函数的几何意义（结合的符号）确定的值． 【详解】解：设点的坐标为， 轴于点， ， 点为的中点， ， ， ， 即， 点在反比例函数上， ， ． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9. 实数中无理数的个数为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：实数中，无理数有、，共个． 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 用不等式表示：x的平方与3的和大于5______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意列不等式为：． 12. 如图，在五边形中，若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】边形的内角和为，据此求出五边形的内角和即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴． 13. 某市中小学“市长杯”女生软式排球赛中，甲校和乙校两队进入了最终的决赛，甲、乙两支排球队队员的身高统计如图所示，则参加比赛的甲、乙两队队员的身高更整齐的是___________队．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】分别求出两队身高的方差，根据方差越小，数据的离散程度更小，身高更整齐即可解答． 【详解】解：甲队队员身高的平均数为， 方差为； 乙队队员身高的平均数为， 方差为， ∵， ∴甲队队员的身高更整齐． 14. 如图，以的三边为边在上方分别作等边，且点在内部．给出以下结论： 四边形是平行四边形； 当时，四边形是矩形； 当时，四边形是菱形； 当，且时，四边形是正方形． 其中正确结论有______（填上所有正确结论的序号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明和即可判断；当时，求出即可判断；由得到即可判断；由得到，得到是矩形，再结合即可判断；熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理由，得， 由，即可得出四边形 是平行四边形，故结论正确； 当时， ， 由知四边形是平行四边形， ∴平行四边形不是矩形，故结论错误； 由知，四边形 是平行四边形， ∴当时，， ∴平行四边形是菱形，故结论正确； 当时， ， ∵是平行四边形， ∴四边形是矩形， 又由知四边形是菱形， ∴四边形是正方形，故结论正确； 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式． 当时， 原式． 16. 人民广场是中心景观类环岛型交通广场．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等可能事件的概率计算．根据画树状图法确定所有等可能的结果总数与甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果总数，再代入概率公式求解即可． 【详解】解：由题意，可画树状图为： 由树状图可知一共有种等可能的结果，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果有种， 甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率． 17. “翻开一本书，就是打开一个世界，让心灵在文字间自由翱翔”．某教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别读页和页的两本书，准备参加读书分享活动，甲同学每天读书的页数是乙同学每天读书页数的倍，结果乙同学比甲同学提前天完成．求乙同学每天读书多少页？ 【答案】乙同学每天读书页 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用．设乙同学每天读书页，则甲同学每天读书为页，根据读书天数总页数每天读的页数，以及两人读书的天数差列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设乙同学每天读书页，则甲同学每天读书为页， 由题意可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙同学每天读书页． 18. 如图，是的直径，．求证：是的切线． 【答案】证明： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又是的半径， ∴是的切线． 【解析】 【分析】先证明，可得，结合，进一步证明即可． 【详解】略 19. 图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边确定点，连接，使； （2）在图②中的边确定点，连接，使； （3）在图③中内部确定一点，连接并延长交边于点，使 【答案】（1）解：所求图形如图所示； （2）解：所求图形如图所示； （3）解：所求图形如图所示； 【解析】 【分析】（1）利用网格特点取的中点E，即可解答； （2）取线段的中点G，即可解答； （3）作出的两条中线交于点M即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 《典籍里的中国》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，节目通过时空对话的创新形式，讲述典籍在五千年历史长河中的源起、流转．某校开展了“典籍知识闯关赛”，赛后学校随机抽取了部分学生的比赛成绩进行统计，并按照成绩从低到高分成：A．，B．，C．，D．，E．五个等级，绘制了如图所示不完整的统计图： 其中等级的分数由低到高分别为：70，70，72，72，74，74，74，75，76，76，77，79． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次活动共抽取了________名学生的成绩，并补全频数分布直方图； （2）本次被抽取的所有成绩的中位数为______分，组扇形所对应圆心角的度数是______°； （3）若此次竞赛进入复赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按，，的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由． 【答案】（1）50，见解析 （2）78，108 （3）小敏能参加决赛，见解析 【解析】 【分析】（1）用E组人数除以E组所占的百分比即可求得抽取学生数，再求出B等级人数，最后补全条形统计图即可； （2）根据中位数的定义可求得中位数，用D组所占的比例乘以即可求得D组扇形所对应圆心角的度数； （3）按照规则计算最后得分即可解答． 【小问1详解】 解：此次活动共抽取学生数为：名； ∴B等级的人数为：名， 补全频数直方图如下， ． 【小问2详解】 解：∵抽取学生数为50人， ∴中位数为数据从小到大排列后的第25和26位数的平均数，即C等级最后两位数的平均数， ∴中位数为， ∴D组扇形所对应圆心角的度数是． 【小问3详解】 解：小敏最后得分：， 小敏能参加决赛． 21. 为研究城区空气质量变化，某校环保社团对吉林市某日的空气状况进行连续监测，记录了10个小时城区浓度（单位：）与监测时间（单位：）的变化情况，函数图象如图所示． （1）当时，求关于的函数解析式． （2）当时，求的值． （3）当时，直接写出时的取值范围． 【答案】（1）（）； （2）60 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入，求解即可； （3）利用待定系数法求得时函数的解析式，求得时，的值，结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时，设y与x的函数解析式为， 将和代入，得， 解得， 所以y与x的函数解析式为（）； 【小问2详解】 解：把代入，得； 【小问3详解】 解：当时，设y与x的函数解析式为， 将和代入，得， 解得， 所以y与x的函数解析式为； 当时，或， 解得或， 观察图象，当时的取值范围是． 22. 【定理呈现】 如图①，在圆中，弦 相交于点，小明经过探究发现如下结论： ，我们称这个结论为相交弦定理， （1）下面是小明证明定理的过程，请你帮助完成缺失部分的证明过程． 证明：如图②，连接 【定理应用】 （2）如图③，在圆中，弦 相交于点，， ，，求线段的长； 【拓展提升】 （3）如图④，在圆中，，，过点作线段与圆交于点 ，直接写出的最小值 ___________． 【答案】（1）∵ ， ∴  ， ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由同弧所对圆周角相等得 ，，证，利用相似三角形对应边成比例得 ． （2）设 ，则 ，由相交弦定理 ，代入 得，解得，故． （3）由相交弦定理得为定值，当时，即时最小，由得，故的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，由得， 由相交弦定理得，， 代入得，， 化简得： ，即， ， ∴ ，   【小问3详解】 解： ， ， 由相交弦定理得， ，即为定值， 如图，过作垂足为， 则， 为半径是定值， 当最大时，最小， 当点与点重合时，最大， 此时，即  时，最小， 由 且，得： ，解得， 的最小值为 ． 23. 如图①，矩形在，点从点 出发，沿射线运动，连接 ，将沿翻折得到”，设，回答下列问题： （1） ___________°． ___________； （2）当落在 边上时，求证：四边形为正方形； （3）连接，当时，在图②中用圆规和无刻度直尺画出点的位置，并求出的值； （4）当点 到矩形相邻两个顶点的距离相等时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）证明：如图， 四边形 是矩形， ， 由折叠的性质得： ， 点  落在   边上，  ， ， 四边形  是矩形， ， 矩形  是正方形． （3）如图，点即为所求， （4） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质结合题干条件求解即可． （2）由矩形 得，由折叠性质得  ，．因  在   上，，四边形  中三个角为直角，故为矩形，又 ，邻边相等，故为正方形． （3）由尺规作图作全等，再作的垂直平分线确定点，由作图知  ，得  为等边三角形，，由折叠的对称性得   平分 ，故 ，在  中，利用 ，解得 ． （4）由题意，分两类讨论：①当到、距离相等时，在的垂直平分线上，由（3）可得；②当到、距离相等时，在的垂直平分线上，作辅助线、，利用垂直平分线性质得，在中由勾股定理求，分在矩形内部和外部两种情况，由折叠中，在 中利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠的性质可知， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以   为圆心，  长为半径画弧；以   为圆心，  长为半径画弧，两弧在矩形内部的交点即为点 ；连接 ，作  的垂直平分线，交   于点 ． 由折叠性质得： ， ， 是等边三角形， ， 由折叠的对称性可知： 平分， ， 在 中， ， ，即， ． 【小问4详解】 解：矩形相邻顶点共四组： 与  、与 、与、与  ． 当点到与 两点距离相等时，在的垂直平分线上， 四边形是矩形，的垂直平分线是矩形的对称轴， 的垂直平分线同时也是的垂直平分线， 此时，点到与 两点距离也相等， 同理，当点到与 两点距离相等时，点到与 两点距离也相等． 当 到、距离相等或到、距离相等时， 即  ，由（3）可得 ． 当 到、距离相等或到、距离相等时， 即  ，此时  在   的垂直平分线上． 过  作   于  ，由垂直平分线性质得  ． 过  作   于  ，则四边形   为矩形， 在 中，，由勾股定理： ， 如图，当  在矩形内部时，； 在 中， ， 由勾股定理：，即， 解得； 当  在矩形外部时，． 在 中， ， 由勾股定理：，即， 解得； 综上， 的值为 ． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的图象与轴交于点，抛物线的顶点为点，点在直线上运动，点的横坐标为，轴上有一点，连接，将绕点逆时针旋转并扩大到原来的2倍得到线段，连接． （1）求点和点坐标； （2）当平行轴时，求的值； （3）设的中点为，当抛物线与线段交点为时，连接，若时，直接写出的值； （4）当抛物线在内的图象随的增大而增大时，写出的取值范围． 【答案】（1） ， （2） （3） 或 （4） 【解析】 【分析】(1)当时，代入抛物线的表达式可得点A的坐标，将抛物线的表达式转换为顶点式可得点B的坐标； (2)过分别作轴，轴，垂足分别为，证得，得，再由点在直线上运动，点的横坐标为，，得，最后，由平行轴，得可得m的值； (3)首先，由的中点为，得，再由(2)知，，，得，，进而得，然后，由，证得，得，点N是的中点，得，最后，由在抛物线上，得，解方程即可； (4)分三种情况：当点P在抛物线的对称轴的左侧且为直线与抛物线的交点时，抛物线在内的图象随的增大而增大，得；当时，不符合题意；当点P与坐标原点O重合时，此时，点C与点B重合，抛物线与交于一点B，当时，符合题意；当时，不符合题意；最后，可得满足条件的m的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴当时，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图1，过分别作轴，轴，垂足分别为， ∴， ∵将绕点逆时针旋转并扩大到原来的2倍得到线段， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵点在直线上运动，点的横坐标为， ∴，则， ∵， ∴，， ∴， ∵平行轴， ∴，即，解得； 【小问3详解】 解：∵的中点为， ∴， 如图2，由(2)知，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即点N是的中点， ∴，即， 又∵在抛物线上， ∴， 解得； 【小问4详解】 如图4，当点P在抛物线的对称轴的左侧且为直线与抛物线的交点时，抛物线在内的图象随的增大而增大， 将点代入抛物线，得，解得或(舍去)； ①当时，不符合题意； 如图5，点P由图4位置沿直线向右移动的过程中当与坐标原点O重合时，， ∴， 此时，点C与点B重合，抛物线与交于一点B； ②当时，符合题意； ③当时，不符合题意； 综上，当抛物线在内的图象随的增大而增大时，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 手机信号的强度通常采用负数来表示．绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 2. 据2026年3月3日《人民日报》报道，截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人，普及率达42.8%，将数据602000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，平分，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某同学正在参加滑雪项目比赛，滑道的坡比，当他沿斜坡向下直线滑行时，他下降的高度为（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于直线的说法正确的是（ ） A. 与y轴交于点 B. 一定经过点 C. y随x的增大而减小 D. 图象过一、二、三象限 6. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将正方形绕着其对称中心顺时针旋转后得到正方形，正方形与正方形组成一个新的图形，该图形绕其对称中心至少旋转（ ）能与自身重合． A. B. C. D. 8. 如图，点在反比例函数（为常数，且）的图象上，过点作轴于点，点为的中点，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9. 实数中无理数的个数为___________． 10. 分解因式：________． 11. 用不等式表示：x的平方与3的和大于5______． 12. 如图，在五边形中，若，则的度数为___________． 13. 某市中小学“市长杯”女生软式排球赛中，甲校和乙校两队进入了最终的决赛，甲、乙两支排球队队员的身高统计如图所示，则参加比赛的甲、乙两队队员的身高更整齐的是___________队．（填“甲”或“乙”） 14. 如图，以的三边为边在上方分别作等边，且点在内部．给出以下结论： 四边形是平行四边形； 当时，四边形是矩形； 当时，四边形是菱形； 当，且时，四边形是正方形． 其中正确结论有______（填上所有正确结论的序号）． 三、解答题（本大题共10个小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 人民广场是中心景观类环岛型交通广场．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率． 17. “翻开一本书，就是打开一个世界，让心灵在文字间自由翱翔”．某教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别读页和页的两本书，准备参加读书分享活动，甲同学每天读书的页数是乙同学每天读书页数的倍，结果乙同学比甲同学提前天完成．求乙同学每天读书多少页？ 18. 如图，是的直径，．求证：是的切线． 19. 图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边确定点，连接，使； （2）在图②中的边确定点，连接，使； （3）在图③中内部确定一点，连接并延长交边于点，使 20. 《典籍里的中国》是一档由中央广播电视总台推出的文化类电视节目，节目通过时空对话的创新形式，讲述典籍在五千年历史长河中的源起、流转．某校开展了“典籍知识闯关赛”，赛后学校随机抽取了部分学生的比赛成绩进行统计，并按照成绩从低到高分成：A．，B．，C．，D．，E．五个等级，绘制了如图所示不完整的统计图： 其中等级的分数由低到高分别为：70，70，72，72，74，74，74，75，76，76，77，79． 根据以上信息，解答下列问题： （1）此次活动共抽取了________名学生的成绩，并补全频数分布直方图； （2）本次被抽取的所有成绩的中位数为______分，组扇形所对应圆心角的度数是______°； （3）若此次竞赛进入复赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按，，的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为86，89，93，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由． 21. 为研究城区空气质量变化，某校环保社团对吉林市某日的空气状况进行连续监测，记录了10个小时城区浓度（单位：）与监测时间（单位：）的变化情况，函数图象如图所示． （1）当时，求关于的函数解析式． （2）当时，求的值． （3）当时，直接写出时的取值范围． 22. 【定理呈现】 如图①，在圆中，弦 相交于点，小明经过探究发现如下结论： ，我们称这个结论为相交弦定理， （1）下面是小明证明定理的过程，请你帮助完成缺失部分的证明过程． 证明：如图②，连接 【定理应用】 （2）如图③，在圆中，弦 相交于点，， ，，求线段的长； 【拓展提升】 （3）如图④，在圆中，，，过点作线段与圆交于点 ，直接写出的最小值 ___________． 23. 如图①，矩形在，点从点 出发，沿射线运动，连接 ，将沿翻折得到”，设，回答下列问题： （1） ___________°． ___________； （2）当落在 边上时，求证：四边形为正方形； （3）连接，当时，在图②中用圆规和无刻度直尺画出点的位置，并求出的值； （4）当点 到矩形相邻两个顶点的距离相等时，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的图象与轴交于点，抛物线的顶点为点，点在直线上运动，点的横坐标为，轴上有一点，连接，将绕点逆时针旋转并扩大到原来的2倍得到线段，连接． （1）求点和点坐标； （2）当平行轴时，求的值； （3）设的中点为，当抛物线与线段交点为时，连接，若时，直接写出的值； （4）当抛物线在内的图象随的增大而增大时，写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $