福建厦门市同安实验中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试卷

厦门市同安实验中学2025-2026高一（下）第一次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足 ，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若正三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的表面积为（   ） A．4 B． C． D． 4.在中，内角所对应的边分别是，若， 则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形， 其中，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 4 6． 已知两个不共线的向量，，且，，， 若A，B，D三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 7． 在中，为边上的中线，E为的中点，若， 则（ ） A. 3 B. C. D. 8．已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（   ） A． B． C．12 D．0 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图所示,圆锥的底面半径和高都等于球的半径,则下列说法中正确的是 (　 ) A.圆锥的轴截面为直角三角形 B.圆锥的表面积等于于球的表面积的一半 C.圆锥的体积与球的体积之比为1∶4 D.若半径为r，则圆锥侧面积为2 10．的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（      ） A．若，则 B．在 中， ，，，则三角形面积为 C．若为钝角三角形，则 D．若，，，则有两解 11. 设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 若，则 的虚部为 - 4 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 三、填空题（本题共3小题，每题5分 ） 12、如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC, 则剩余部分是 . （选择下列其中一个 填上： 三棱锥、四棱锥、三棱台） 13． 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一水平面内的两个观测点与，现测得， 米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得 塔顶的仰角为，则铁塔的高度为__________米. 14．在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则 的最小值为 。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知复数，且为纯虚数． (1)求复数； (2)设在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量 上的投影向量． 16、 （15分）（1）一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到 这个圆面的距离是4 cm，求该球的体积和表面积。 （2） 在正四棱台中，， 求棱台的体积。 17．（15分） 已知向量，. (1)求 和 ； (2)若，且，求向量与向量的夹角； (3)若，且，求向量的坐标. 18．（17分） 在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若，求的取值范围. 19、（17分）人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上． (1)求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度； (2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以的极限速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？ 请说明原因． 厦门市同安实验中学2025-2026高一（下）第一次月考数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 2、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足 ，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由，则， 则复数对应的点为，在第三象限. 故选：C. 2．如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量加法的运算法则逐项判断即可. 【解答过程】因为，，分别是的边，，的中点，所以∥，，即∥，且. 所以四边形是平行四边形 由向量加法的三角形法则可得，，； 由向量加法的平行四边形法则可得，，. 所以A，B，C正确；D错误. 故选：D． 3．若正三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的表面积为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 4.在中，内角所对应的边分别是，若， 则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【分析】由余弦定理建立方程，即可解得答案. 【详解】由余弦定理可知， 即，整理得，解得或（舍去）. 5. 如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【分析】将直观图还原为原图，如图，求出，进而求出，即可求解. 【详解】将直观图还原为原图，如图，    由，，所以， 所以，则， 即的面积为. 6已知两个不共线的向量，，且，，， 若A，B，D三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由平面向量的线性表示与共线定理求解即可. 【解答过程】由，，， 所以， 因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得 ， 则， 因为向量，不共线， 所以，解得：， 故选：D. 7. 在中，为边上的中线，E为的中点，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算法则，，即可得解. 【详解】 由为边上的中线，E为的中点，可得： ， ，所以， 故选：C 8．已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（   ） A． B． C．12 D．0 【答案】B 【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 因为，，， 所以， 所以当时，取得最大值， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(多选题)如图所示,圆锥的底面半径和高都等于球的半径,则下列说法中正确的是 (　 ) A.圆锥的轴截面为直角三角形 B.圆锥的表面积等于于球的表面积的一半 C.圆锥的体积与球的体积之比为1∶4 D.若半径为r，则圆锥侧面积为2 【答案】AC 10．的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（      ） A．若，则 B．在 中， ，，，则三角形面积为 C．若为钝角三角形，则 D．若，，，则有两解 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理判断A、B，利用余弦定理判断C、D. 【详解】对于A，因为，所以，由正弦定理得，故A正确； B :. 对于C，因为为钝角三角形，当为钝角时，，则，故C错误； 对于D，因为，，，所以， 即，又，所以有两解， 所以有两解，故B正确； 11. 设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 若，则 的虚部为 - 4 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【11题答案】 【答案】BD 二、填空题（每题5分） 12、如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC, 则剩余部分是 四棱锥 （选择其中一个填上：三棱锥、 四棱锥、三棱台） 13．如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一水平面内的两个观测点与，现测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为__________米. 【答案】米 【解析】设 ，由题意得， 而， 则，， 所以， 在中，，， 由余弦定理得，解得（负值舍去）， 所以铁塔的高度为米. 故答案为：米. 14．在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） 【解题思路】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【解答过程】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则，且， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知复数，且为纯虚数． (1)求复数； (2)设在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量上的投影． 【解】（1）， …………………2分 因为是纯虚数，所以 且 ， ………………………4分 解得.所以. ………………………6分 （2）由（1）可得，即， ………………8分 所以， ……………………10分 所以向量在向量上的数量投影向量为 = =( , )…………………13分 16、（15分）（1）一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，求该球的体积和表面积。 （2）在正四棱台中，，求棱台的体积。 16、(1)【7分】设球心为，截面圆心为，连结，则截面圆，， 在中，， ，∴球的半径，……3分 因此球的体积，………5分 球的面积为S=100 ………7分 （2）【8分】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，因为， 则，………9分 故，则，………12分 所以所求体积为.………15分 17．（15分） 已知向量，. (1)求 和 ； (2)若，且，求向量与向量的夹角； (3)若，且，求向量的坐标. 17．（15分） 【5分】（1）因为，，= —1，……2分 所以. 所以 .… …5分 （2）【5分】因为，所以.即.……6分 所以.即，……8分 所以. 因为，所以.……10分 （3）【5分】因为，，所以.……11分 因为，设，……12分 则， 解得，……13分 故或.……15分 18．（17分） 在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若，求的取值范围. 18．（17分） 【5分】（1）因为， 由正弦定理得，即，……2分 因为在中，，所以，……4分 又，所以.……5分 （2）【4分】因为，，，所以，解得.……7分 由余弦定理得.……9分 （3） 【8分】由余弦定理 所以 =……11分 ……13分 ……15分 又……16分 ……17分 19、（17分）人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上． (1)求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度； (2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以的极限速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因． 【答案】(1)答案见解析 (2)不能捕猎成功，原因见解析 【分析】（1）根据题意，作图，结合图中的几何元素，利用三角函数以及正弦定理，结合分类讨论思想，可得答案； （2）由题意作图，设出时间，利用余弦定理，整理方程，利用零点存在性定理，可得答案. 【详解】（9分）（1）由题意作图如下： 则，，……1分 ，．……2分 由正弦定理，可得．……3分 因此或120°，……5分 当时，，猎豹与羚羊之间的距离为， ……7分 当，，猎豹与羚羊之间的距离为. ……9分 （2）（8分）由题意作图如下： 设捕猎成功所需的最短时间为t，……10分 在中，，，，．……11分 由余弦定理得：． 整理得：．……13分 设，显然，……14分 因猎豹能坚持奔跑最长时间为，且．……16分 ∴猎豹不能捕猎成功．……17分 高一数学1 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2025-2026高一（下）第一次月考 数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足 ，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如图所示，已知，，分别是的边，，的中点，则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若正三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的表面积为（   ） A．4 B． C． D． 4.在中，内角所对应的边分别是，若， 则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形， 其中，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 4 6． 已知两个不共线的向量，，且，，， 若A，B，D三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 7． 在中，为边上的中线，E为的中点，若， 则（ ） A. 3 B. C. D. 8．已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（   ） A． B． C．12 D．0 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图所示,圆锥的底面半径和高都等于球的半径,则下列说法中正确的是 (　 ) A.圆锥的轴截面为直角三角形 B.圆锥的表面积等于于球的表面积的一半 C.圆锥的体积与球的体积之比为1∶4 D.若半径为r，则圆锥侧面积为2 10．的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（      ） A．若，则 B．在 中， ，，，则三角形面积为 C．若为钝角三角形，则 D．若，，，则有两解 11. 设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点Z的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 若，则 的虚部为 - 4 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 三、填空题（本题共3小题，每题5分 ） 12、如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC, 则剩余部分是 . （选择下列其中一个 填上： 三棱锥、四棱锥、三棱台） 13． 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一水平面内的两个观测点与，现测得， 米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得 塔顶的仰角为，则铁塔的高度为__________米. 14．在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则 的最小值为 。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知复数，且为纯虚数． (1)求复数； (2)设在复平面上对应的点分别为为坐标原点．求向量在向量 上的投影向量． 16、 （15分）（1）一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到 这个圆面的距离是4 cm，求该球的体积和表面积。 （2） 在正四棱台中，， 求棱台的体积。 17．（15分） 已知向量，. (1)求 和 ； (2)若，且，求向量与向量的夹角； (3)若，且，求向量的坐标. 18．（17分） 在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若，求的取值范围. 19、（17分）人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上． (1)求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度； (2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以的极限速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？ 请说明原因． 高一数学1 学科网（北京）股份有限公司 $