湖南长沙市雅礼中学2026届高三考前模拟自测数学试题

**基本信息** 高三数学三模卷，覆盖集合、导数、立体几何等核心知识，通过梯度化题型（单选基础、解答题综合）考查数学抽象、逻辑推理与空间观念，适配高考冲刺阶段能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合运算、椭圆方程、导数几何意义、统计图表分析|单选注重基础，多选结合折线图考查数据处理（如第9题极差与方差）| |填空题|3/15|向量模的范围、函数对称性、翻折问题外接球|第14题菱形翻折结合外接球表面积，体现空间观念| |解答题|5/77|解三角形、立体几何证明与体积、概率分布、函数单调性与数列、双曲线综合|16题证明线面垂直并求体积最值，19题双曲线与几何操作探究定值，培养推理能力与创新意识|

高三模拟卷(三) 数 学 命题人：刘晖 审题人：张鎏 童继稀 周芳芳 张博 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={一1,0,1,2,3},B={x|0≤x-1≤2},则A∩B= A.{-1,0,1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{1,2,3} D. {-1,0,1} 2.已知z=2+3i,则 的虚部为 A. B. C. D. 3.设椭圆的标准方程为 若焦距为2，则实数m的值为 A.7 B.7 或5 C.10 D.10或2 4.某质点的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为 s(t)=t²+4lnt,则该质点在t=2时的瞬时速度为 A.8m/s B.6m /s C.5m /s D.4m/s 5.设 则a，b，c的大小关系为 A. c<b<a B. c<a<b C. b<a<c D. a<b<c 6.若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 截得的弦长为4，则 的最小值为 B. C. D. A. 7.当x∈[0,2π)时,函数 的零点个数为 A.3 B.4 C.6 D.8 8.记为数列{}的前n项和,若 且 的值为1，2，3的可能性相同，则 是奇数的概率为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某企业积极响应国家节水号召，对污水进行净化再利用，如图是该企业近7年的污水净化量(单位：t)的折线图，则 A.这组数据的众数是56 B.这组数据的极差是4 C.这组数据的60%分位数是55 D.去掉第5年的数据后，新数据的方差会变小 10.已知函数 则 A. f(2)>0 B. f(x)有4个极值点 C. f(x)在区间(2,3)上有零点 D. f(x)在区间(-1,1)上单调递增 11.已知抛物线C: 的焦点为F，点 P，Q，R为抛物线C上任意不同的三点，则下列结论正确的有 A.焦点F为 且到准线的距离为 B.点 P 到直线x-y-1=0距离的最小值为 C.不存在点 P，使得△POF为等边三角形(O为坐标原点) D.若△PQR 为等边三角形,且直线 PQ 的斜率为2,则△PQR 的边长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知平面内的单位向量，，则|-2|的取值范围是 . 13.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)的图象关于点(1,2)对称,g(x)=f(x-2)+3x,且g(x)的图象关于 点(1,0)对称,则g(19)= . 14.已知菱形ABCD,AB=BD=2,现将△ABD沿对角线BD 向上翻折,得到三棱锥A-BCD,点E为AC的中点.记△BDE的面积为S₁，三棱锥A-BCD 的外接球的表面积为S₂，则 的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 在 中，内角A，B，C对应边分别是a，b，c.已知a，b，c依次成等差数列，且 2sin C. (1)求 cos A 的值; (2)若 的外接圆半径为 求 的面积. 16.(本小题满分15分) 如图，四棱锥.M-ABCD的底面是边长为4的正方形， (1)证明:MC⊥平面AMD; (2)求三棱锥 A-DCM 的体积的最大值. 17.(本小题满分15分) 某中学高三年级各班人数相同.一次模拟考试后，甲班有 的学生的数学成绩低于135分，乙班有 的学生的数学成绩低于 135分. (1)从甲班、乙班中随机抽取一人，已知该学生的数学成绩低于135分，求该学生为甲班学生的概率； (2)在数学成绩高于145分的学生中，甲班有3名，乙班有5名，现从这8名学生中选3人在全年级学生大会上作学习经验报告，记3人中来自乙班的人数为X，求E(X). 18.(本小题满分17分) 已知函数 (1)求 f(x)的单调区间; (2)设g(x)=f(x)-n,，其中n为正整数，g(x)的正数零点从小到大排列构成数列 ①证明： ②证明： 19.(本小题满分17分) 已知双曲线 离心率为 左、右顶点分别为A，B，| 渐近线为 过点 Q(3，3)的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点(点M在点 N 上方),直线 l与 交于点 P. (1)求双曲线C的标准方程； (2)求 与 面积之和的最小值，并求出此时直线 l的方程； (3)在(2)的条件下，过点 M，N分别作渐近线 的平行线，两平行线交于点过点 作直线l的平行线与双曲线C交于点(点 在点 上方)，再过点 分别作 的平行线，交于点 这样一直操作下去，可以得到一列点 求证： 为定值， 学科网（北京）股份有限公司 $高三模拟卷（三） 数学参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D B B D C B BC ACD BCD 1.C【解析】由B={x|0≤x-1≤2}得B=(.x|1≤x≤3}，又A={-1,0,1,2,3},所以A∩B={1,2,3). 2.D 【解析】因为=2+3i,所以， 以3一30-可言-所以中的成事为合 1-i 3.B【解析】因为焦距为2，所以c=1. 当焦点在x轴上，此时m>6,且m一6=1，解得m=7; 当焦点在y轴上，此时0<m<6,且6-m=1?,解得m=5.综上，实数m的值为7或5. 4.B【解析】由运动路程x与时间1的关系为s()=P十4n4,可得()=21+4， 当t=2时，s'(2)=4十2=6，即质点在t=2时的瞬时速度为6m/s 5.D【解析a=log.0.2,对数函数y=log.1x在定义域内单调递增，且0.2<1，因此a=log10.2<1log.11=0, 即a<0;b=log20.3,对数函数y=log.2x在定义域内单调递减，且1>0.3>0.2，因此log21<log20.3< 10g0.2,即0<0<1c=0.21-(得）”=51，指数函数y=5在定义城内单调递增，因此51>5=5>1. -31 即c>1.综上，a,b,c的大小关系为a<b<c 6.C【解析】圆x2+y2+2x-4y十1=0即(x+1)2+(y-2)2=4,圆心为(-1,2)，半径为2， 设圆心到直线a.x一by十2=0的距离等于d,则由弦长公式得2√4一dl=4, 解得d=0,即直线ax一by十2=0经过圆心， -a-26+2=0,2a+h1, 日+名=（日告i克0+0）-合+1+名+号≥是+2√会·品=是+E,当且仅当a=6时等号成立， 故。的最小值为号+巨. 7.C【解析】令fx)=0,即2cos(3a+平)十sinx=0,移项可得2cos(3z+平)=-sinx, 对于y=2c0s(3x十子），其周期T-牙；对于=-sirx,其周期T,=2x; 当x∈[0,2π)时，画出两个函数的图象为： y=2cos(3x+4) 由图象可以看出，方程2cos(3x+牙)十sinr=0在给定区间[0,2r)内的解的个数为6， 所以函数f(x)=2cos(3x+开)+sinx的零点个数为6。 8.B【解析】记事件An为“S,为奇数”，事件A+1为“S+1为奇数”，Sn是奇数的概率为qa 当Sn为奇数时，若aux=2,则S.1仍然为奇数， 当S。为偶数时，若at1=1或3，则S1为奇数，从而号P(A,)+号P(五)=P(A1), 数学参考答案(H11)一【 即30十号1-0.)=01即30+号-91整理可得-（一）=1 又9=号所以一号引是黄项为合公比为-日的等比列，则9一合古×（号）门 所以0=号+日×(-号)'故5s是寺数的概率为分+日×(-号》m=1-3品》 9.BC【解析】对于A,将数据从小到大排列为52,52,53,54,55,56,56，众数是52和56，故A错误； 对于B,极差是56一52=4，故B正确； 对于C,7×0.6=4.2,所以60%分位数是从小到大排列的第5个数，即为55，故C正确； 对于D,该组数据的平均教为2+52+53+54+55十56+56=54，第5年的数据为54， 7 设原始数据的方差为$听，去掉第5年的数据后的方差为， 则M=52-54)2+(52-54)2+(53-54)2+(⑤4-54)2+(55-54)2+(56-54)23+(56-542=18， 话=(52-54)2+(52-54)°+(53-54)2+(55-54)2+(56=54)+(66-54)2-8. 6 即>s,故D错误. 10.ACD【解析】对于A选项，由f(2)=2e2一2e2一8+24>16-2e>0,所以选项A正确： 对于B选项，令函数h(x)=f(x)=-2er-2e'-3x2+12, 则h(-x)=-2e-2e-3.x2+12=h(x), 所以h(x)为偶函数，h'(x)=2e‘-2e-6x, 令函数g(x)=h'(x)=2e-2e2-6.x,则g'(x)=-2er-2e-6<0, 则g(x)在(0，十∞)上填调递减，所以g(x)<g(0)=0, 即h(x)<0,所以hx)在(0，十∞)上单调递减， 因为h(x)为偶函数，则h(x)在（一o,0)上单调递增， 即(x)在（一∞，0）上单调递增，在(0，十∞)上单调递减， 因为了(-2)=-2e-是-3×4+12<0，f0)=-4+42=8>0,f(2)=f(-2)<0, 所以f(x)在区间（一2,0）上有1个极小值点，在(0,2)上有1个极大值点， 所以f(x)只有2个极值点，所以选项B错误； 对于C选项，由f(3)=2e-2e2-27+3611-2e2<0,f(2)·f(3)<0, 由零，点的存在性定理可知f(x)在区间(2,3)上有零点，所以选项C正确； 对于D选项，了(x)=-2-2e-3x2+12, 当x∈(-1,1)时，2(÷)e[4,2e1+2e),-3x2+12∈(9,121. 因为2e1十2e=9,所以f(x)>0在区间(-1,1)上恒成立， 所以∫(x)在区间（一1,1）上单调递增，所以选项D正确。 1.BCD【解析】对于A,焦点F0,),故A错误； 对于B,设点P(x,),点P到直线x--1=u的距离为d山=二-山， 2 3 因为-z+1=(-)一号号，所以dm=危号，故B正确： =3E 对于C,O(0,0),F(0,),若△POF为等边三角形，则1PO1=PF=OF11 设P(x,),由抛物线定义，PF=n十子=2十日， 若PF列=子，则x=0,此时P与0重合，不能构成三角形， 故不存在这样的点P,故C正确； 数学参考答案(H11)-2 对于D,法一：过点Q作QD⊥x轴，过点P作PD∥x轴，QD与PD交于点D,过点R 作RH⊥PD交PD于点H,如图所示，设PD=t,∠QPD=O. w店maw-n号×方()×是结 则sin0=是 cas120-0=-os0+9sin0=25. 51 59 2 2W5 个6 ∴PH1=5cos(120°-0》=-25，-14,1RH1=51sin(120°-0)=5+2， P I D 2 设P(x0,y),则Q(xa十t,如十2)， 联立/%一号， 气%+21=（十03，解得西=1-台， 易知R(xo一|PHI,b十|RH),又点R在抛物线C上， ∴y%+|RH|=(ao-|PH|)2,∴.|RH=|PH|2-2PH·xo, :B#2=[6-y]-2x26D×1-): 2 2 -192,PQ=5i=0故DE 法二：设直线PQ的方程为y=2x十m,Q(1,y1),P(x2,y2), y=2x+m'器理得对-2x-m=0,则 x十x2=2, 联立 x2=y, x1x2=-m, 不妨设r·x和 过点P作x轴的垂线交x轴于点D, P(xry) R(x,y D tan∠QPD=26LQPD<受，点R在直线PQ的左侧。 设R(aa,ya),令a=x1+y1i,3=x2+y2i,Y=x十yai,其中1为虚数单位， 由△PQR为等边三角形可得y-a=(B-a)·(cos车-i,sin号)， 甲y(合-a+(合+a%=产+- 2 令=x2一x1≠0，则y2一y12 :=2+m+9、 x=1-√5t. 2+m+9-1-, m=r-59,-1=-=二a十+a4拉-， 4. 1-1051=01=19f1PQ=10,故D运痛， 11 数学参考答案(HI1)-3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.[1,3]【解析】1=1la-|2b1≤|a-2b1≤1a+|2b1=3. 13.99【解析】因为∫(x)的图象关于点(1,2)对称，所以(1十x)+f(1一x)=4, 用x十1替换x可得∫(x十2)十∫（一x)=4,① 因为g(x)的图象关于，点(1,0)对称，所以g(1十x)十g(1一x)=0, 又g(x)=∫(x一2)+3x,用x十1替换x可得g(1十x)=∫(x-1)十3x十3， 用1-x替换x可得g(1-x)=∫(-x-1)+3-3x, 两式相加可得(x-1)十f(-x-1)=一6， 用x-1替换x可得f(x-2)十∫（一x)=一6，② 由①-②可得∫(x十2)-f(x-2)=10, 用x十2替换x可得f(x十4)=f(x)+10, 因为g(19)=f(19-2)+3×19=f(17)+57, 在∫(1+x)+f(1-x)=4中令x=0,得2∫(1)=4，故∫(1)=2， f(17)=f(13)+10=f(9)卡10+10=f(5)+10+20=∫(1)+10+30=42， 因此g(19)=42+57=99, 14.8π【解析】法一：已知菱形ABCD,AB=BD=2,则△ABD,△BCD均为边长为2的等边三角形， 取BD的中点O,连接1O,CO,则AO⊥BD,CO⊥BD,且AO=CO=√3，则BD⊥平面AOC, 设二面角A~DC的平面角为O=∠AOC, 在LA0C中，A0=C0点E为AC的中点，0ELAC0B=5c0s号， 由BD⊥平面AOC,得BD⊥OE, S=合×BDX0E=号×2X月cos号-5o是， 以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， D 则O(0,0,0),B(-1,0,0),D(1,0,0),C(0,√/，0)：A(0,√3cos0,3sin0). ,点E为AC的中点， E(03(1tcos,3sin) 2 2 设三棱锥A-BCD的外接球球心为O1,△BCD的外接圆圆心为O2, 器-m心降60)=-方】 0a=a,iam号肩am号0(o有方m号)， 11 设外接球半径为R,则R=0,D=0,03+0D=(后tan号}+（看）=号(4+tan号) ∴S,=4nR=(4+tan2号）， ss=5os号，(4+ar2)-g(3os号+2小： cos 2 令1=c0s号∈(0,10，则30os +0-3+≥2√=25. 当且仅当= 时取等号，则S,·S的最小值为4×25=8元 5 3 数学参考答案(H11)一4 法二：取BD的中点M,连接AM,CM,如图所示，分别取AM,CM、靠近，点M的三分，点P,Q 在平面AMC中，过点P作AM的垂线，过点Q作MC的垂线，两垂线相交于点O,即为三棱锥A-BCD的外 接球的球心， 易知AM=5.MP-号令∠AME=B,则AE=FsnA.ME=5casA. 可得S=合×BDXME=号×2X5osA=5cosB 在Rt△OPM中，OM=MP=及 cos Seos9β1 记R为外接球的半径，期R=OM+MB=3c0SB十1， 1 aS,=e=43coB十1 从而ss-cos·月4(o0gg+1）-453≥4v5x·2√3osB·os月=8m 当且仅当ca9时取年号。 ∴.(S1·S2)min=8元. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.【解析】(1)由a,b,c依次成等羞数列粒2b=a十c,又3sinA=2sinC得3a=2c、m…3分 可得a:b:c=4:5:6,设a÷、则b=5k,c=6k, 所以cosA=十C兰么H十(6k)2-(4h)2_3 2×5k×6k 4 6分 (2)由(1)知sinA=V-cosA=乒 4， 由品万2R得a=2RinA=2x19×7-2.所以6=宁c=3. 、4 10分 所以AC约西教5如nA=片益多车- ，……13分 16.【解析】(1)四边形ABCD是庄齐形，BCLCD, 又MD⊥BC,MD∩CD=I),,(⊥平面MCD,…2分 又AD∥BC,.AD止平面MC)、… 3分 又MCC平面MCD,则.YD LMC, 又MC⊥MA,AD∩MA=A,∴.MC⊥平面AMD.… …7分 (2),MDC平面MAD,由(1)可知MC⊥MD, 设MD=x,则MC=√I6-x.… … …9分 三梭维A-DCM的体积Vmw=号xADXS6+与xVI6-7 …11分 =号E6-可≤号×+06--9. 3, 13分 2 当且仅当x2=16-x2,即x=2√2时取等号， “三棱维A-DCM的体积的最大值为号 …15分 17.【解析】(1)在甲班、乙班中随机抽取一人，设事件A=“该学生来自甲班”，事件B=“该学生的数学成绩低于 135分”， 则由题意得P(A)=司，P(A)=号P(B到A)=行，P(B到A)=日 数学参考答案(H11)一5 ∴P(B)=P(AB)+PAB)=PAP(BA)+PA)P(BA)=号X号+号×-员， …4分 心该学生为甲班学生的概率P(AB)=PAB)=P(A)P(BLA)X3_4 P(B) …7分 7 24 (2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3， 则PX=0)--品PX=1)-肾-品 10分 P(X=2)=P(X=3) 13分 E(X)=0x六+1×亮+8×是+3×是=号 15分 l8.【解析】(1)由题意可知函数f(x)的定义域为R,f(x)=e+(x一l)e=xe, 令f(x)=0,解得x=0. 当x<0时，∫(x)<0,∫(x)单调递减； 当x>0时，∫(x)>0,∫(x)单调递增. 综上，∫(x)的单调递减区间为（一∞，0），单调递增区间为(0，十∞). …5分 (2)①由题意可知f(am)=(an一1)e=n(n∈N')。 由(1)可知，f(x)在(0，十∞)上单调递增， 要证an<n,只需证(n-l)e. 下证：f(n)=(1-1)e"w, 当n≥2且n∈N'明e>4,故(n-1)e">4(n-1), 9分 易证4(n-t):n:即肿f(n)>n=f(an); 由f(r)在()+c)上单调递增，可得an<n. 综上，%2且n∈N‘时，aw<n,… 12分 ②由①知a<k(k≥2且k∈N'),且a>0, 故日>名，网此22以 14分 令h(x)=ln.x-x+l,则h(x)=1-1=这， 当0<x<1时，h'(x)>0,h(r)单调递增，当x>1时，h'(x)<0,h(x)单调绝诚， ∴.h(x)≤h(1)=0,即ex-x+10,即lnx≤x-1, 所以2>n(1+是Y(k+1)-1na≥2且6∈N), 时不等式左右两侧分别累加求和得习是>习[n(医+1)1质一hn十1D-h2=h(生) 综上，可得之>n(安）原不等式得运… ……17分 2a (a=2, 19.【解析】(1)由题可得 je= =.解得 3 a c2=x十， c=13. 小双曲线C的标准方程为兰一号白， 4分 (2②)由(1)可知渐运线么的方程为)=是， ①当直线1的斜率不存在时，则直线1的方程为x=3, 则M3.35).N3,一35)P(3,号 sw+5m=×3×[(号-35)+（号+35）]=号×9-号： 数学参考答案(H11)一6 ②当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y-3=k(x一3)，M(.y),N(.2,), y=kr+3-3k, 联立 整理得(9-4k2).x2-8k(3-3k)x-4(3-3k)”-36=0, .+.x2=24k2-24k 4k2-9 y+=(x十2)+6(1-k)=54k-54 4k2-9 6k-6 联立 解得 y=k.x+3-3k, 9k-9 y=2k-3' p(二9二)， 过点M作y轴的平行线交直线OP于点S(a,是小， 过点N作y轴的平行线交直线OP于点R(,昌)： O不B 5mw+=专0×[（停x-n)+(号w)】] 器[2+g)-6n+w -瓷×(×2装》 4k2-9/ 3k-3 36k2-90k+54 2k-3 4k2一9 3(k-D×18(2k-3)(k-D-54k-1) 2k-3 4k2-9 4k-9 令k-1=1, 利S+5w号-和=。5行+ 5412 54 54 >54=15 当且仅当-号，即众一1=1=是即=是时取等号，此时立线/的方程为y-是-只 …11分 (3)法-：设Q(za,ya), 则直线M1Q的方程为y-%=一号(36： 直线N1Q,的方程为y一%=号L~0), 可孩直线N的才想为写0心-红一+（传-苦-小-0。 9 不含二次项，，=1. 化简得一号0y十分0r+兽--1=0， 94 数学参考答案(H1 ∴.直线M,-1N-1的斜率t,N. .:9g=9 4y%=40=a, .点Q.Q2,…,2均在直线y=x上， 设Q(x4,主 名x1+7品-1=0， + 5.x+36 ∴.x-1= (合) 1024 . 5.z+1+36 10x+1 10Q,12-1QQ41P=2G-2,-奇+1)=4x11-2x1=441.52+36-2=2g 5 …17分 1044 法二：设直线MN的方程为y=是十mM(%,N(Nw. y=是x+m 联立 z2 y2 整理得织2+18mx十4m+36=0, =1, 4-9 六x(十zN=- N-16(m) 8 45 设过点M且平行于：的直线方程为m=-多(x一。 过点N且平行于，的直线方程为y厂%=昌一w y--是-=w 1 =42M-4N 联立 解得、 y-w=2(x-x, 1 ,点Q,Q2,,Q均在直线y=x上， 设Q,(x1,x),则1OQ2-|QQ+1P=2x-2(x-x/=4xx+1-2+1 ,直线MN,过点Q(x1,x), 直线MN,的方程为y-西=是（红-g),即y=是-子 y=9x-5 4x-41, 联立 整理得45.x2-90.xx十25.x+144=0, I2 y2 (4-9=1, 六十v=2 MN=25+14 45 ∴.|OQ,|2-1Q,Q+1|2=4.xx+1-2.xi+ =4Xw×5M--2X(5M-)月 2 4 4 =4(a(十xN)(5.xM-xv）-(5.2M-xw)2 P =一5(x+x)十26.uy=-5(M+xw)P+36wy 8 8 -20.x+36×25.22+144 45—=36X144=72 8 45X8 51 为定值2，≤-1，iN四 数学参考答案(H11)一8