精品解析：湖南长沙市耀华高级中学2026届高三全真模拟适应性考试数学试题

2026届高三全真模拟适应性考试数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算求出 可得答案. 【详解】， 所以复数 的虚部为2. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． 3. 已知直线，将l绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角 的大小为（ ） A. 15° B. 30° C. 60° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出直线与直线的倾斜角，结合图象可知旋转角 的大小. 【详解】因为直线， 所以直线的斜率为 ，故直线的倾斜角为； 因为与直线垂直， 所以设的方程为， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，斜率为，故倾斜角为， 如图， 所以， 故选：D 4. 若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别写出的对称中心为，的对称中心为，由题意得到，求解即可. 【详解】令，得， 所以函数的对称中心为， 又函数的对称中心为， 函数的对称中心与函数的对称中心重合， 所以，即， 故选：D 5. 已知函数是定义在R上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性分析可得到函数的一个周期，结合周期性运算求解即可. 【详解】是奇函数，则有， 令，则有， 又函数是定义在R上的偶函数，所以， 则有，即函数的一个周期为2. 所以. 故选：A 6. 已知等腰直角三角形的斜边 长为4，点为线段 中垂线上任意一点，点 为射线上一点，满足，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，以 中点 为原点建系，设，，即可写出直线 的方程，利用点到直线的距离公式可得 到 距离，从而得到，再按照分类，由基本不等式即可求出最大值． 【详解】令 设 中点为 ，建系，，令 到 距离到 距离， ①设， ，当且仅当时取等号； ②设， ，当且仅当时取等号． ． 故选：A. 7. 已知点坐标为，直线与圆交于两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方程可以判断直线过定点，恰好为圆心 ，所以，且，从而得，由，换元即可得到取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】由得，所以圆心，半径 由得， 由得，所以直线过定点，即为圆心 ， 所以是圆 的直径的两端点，所以，且， ， 因为，所以， ， 令，则， 所以当时， 取得最小值；当时，取得最大值， 所以， 故选：C. 8. 已知，则下列不等关系一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一，结合图象排除；法二，构造函数，由函数零点分段讨论各函数值的符号，比较大小. 【详解】由题意得，，令， 法一：则由的图象与直线的交点用排除法得 不成立. 法二：则. 令， ， 所以在区间上单调递增. 令，同理在区间上都单调递增， 因为， 所以存在，使得， 时，时，； 显然，时，；时，； 因为，， 所以存在， ；时，. 综上，时，；时，，时，； 时，；时，；时，；时，，所以C不可能成立. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. （多选）如图，在棱长为 的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 直线与 的夹角为 B. 平面平面 C. 点到平面的距离为 D. 若正方体每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面只能是三角形和六边形 【答案】ABD 【解析】 【分析】作平行直线求出异面直线夹角判断A；利用线面垂直、面面垂直的判定推理判断B；利用等体积法计算判断C；分析截面形状判断D作答. 【详解】在棱长为 的正方体中，连接，如图， 对角面是矩形，有，即为直线与 所成角或其补角， 而，则，即直线与 的夹角为，A正确； 在正方体中，取AB中点G，连接，如图， 因F为CD中点，有，又平面，平面，则， 在正方形中，，即， 则，即有，而平面， 于是得平面，又平面，因此平面平面，B正确； 在棱长为 的正方体中，连接，如图， 显然是中点，于是得点到平面的距离等于点到平面的距离h， 由得：，，解得，C不正确； 在正方体中，，，， 三棱锥为正三棱锥，有与平面所成角都相等，则平面与正方体的每条棱所成角都相等， 由正方体的结构特征不妨令平面 与直线垂直，而平面与垂直，依题意平面 与平面平行或重合， 如图，连接，，平面，平面，有平面， 同理平面，而平面，则有平面平面， 当平面 从点向移动（含不含）或从点D向C移动（含D不含C）过程中，平面 截此正方体所得截面是三角形， 当平面 在平面与平面之间时，平面 与正方体的六个面都相交，截面为六边形，D正确. 故选：ABD 10. 已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线 垂直的直线交于点E，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线 与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点 作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然 为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线 的斜率不为 ， 设直线 的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点 作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然 为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线 的斜率不存在时，； 当直线 的斜率存在时，设直线 方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线 的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线 的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 11. 某公益组织一直关注青少年的成长，该组织的会标设计灵感便来源于“成长”一词的拼音首字母，该会标的大致轮廓为如图所示的一个以 为圆心、 为直径的半圆，和一段形折线 组成， 其中. 现有两动点在圆弧和线段(包含端点)上运动， 则下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的取值范围是 C. 最大值为 2 D. 若，则在上的投影向量模长的取值范围是. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.利用数形结合，以及圆的形式，即可判断；B.建立坐标系，设，，利用坐标法以及三角函数表示，即可求解；C.讨论点 的位置，利用坐标法，以及变量的范围，即可求解；D.分点 的位置，讨论投影向量的模长. 【详解】A.由图可知，，当点三点共线时，等号成立， 所以的最大值为 ，故A正确； B.如图，建立平面直角坐标系，，，，，，，， 所以，所以， 所以，故B错误； C. 设 在线段 上时，设， ，, 所以， 所以的最大值为2， 当点 在线段上时，所在直线方程为，设， ，， 所以的最大值为2， 综上可知，的最大值为2，故C正确； D. 设 在线段 上时，，，当点与点重合时，， 此时在上的投影向量模长为0， 当点 在线段上时，，， ，，由可知， ，， 在上的投影向量模长为， 设，， 设，所以的值域是， 所以的值域是， 综上可知，在上的投影向量模长的取值范围是，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的切线，则实数a的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合切点既在曲线上，又在切线上即可求解. 【详解】，则， 直线是曲线的切线， 所以，解得， 所以，解得. 故答案为： . 13. 已知等差数列，的前 项和分别为，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列性质，可得，然后由等差数列前n项和性质可得 ，据此可得答案. 【详解】由等差数列性质，可得，， 则，，从而. 又，则. 故答案为： 14. 有 个相同的球，分别标有数字 ， ， ， ， ，从中有放回地随机取 次，每次取 个球记为这 个球中至少被取出 次的球的个数，则的数学期望__________． 【答案】##2.44 【解析】 【分析】根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【详解】记为三次抽取中至少被取出一次的不同球的个数， 对于每个标号，记为（如：表示三次抽取中至少出现过一次标号，表示三次抽取中从未出现标号）， 则可表示为所有的和，即， 由于每个小球都相同，则每个的期望相同，且服从两点分布， 则， 每次未抽到的概率为，三次均未抽到的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 则． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，其中女性有名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”． （1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 （2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取 名观众，抽取 次，记被抽取的 名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差． 附：. 【答案】（1） 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 “体育迷”与性别无关； （2） ，. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算可得“体育迷”的人数，由此可得列联表；根据列联表计算可得，由此可得结论； （2）根据频率分布直方图计算可知，由二项分布概率公式计算可得分布列；由二项分布数学期望和方差计算公式可求得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知：在抽取的人中，“体育迷”有人，从而可得列联表如下： 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 将列联表中的数据代入公式计算得：， 没有充分的理由认为“体育迷”与性别有关，即“体育迷”与性别无关. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知抽到“体育迷”的频率为，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为，则， 所有可能的取值为， ，， ，； 的分布列如下： ；. 16. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 【答案】(1)；(2)7. 【解析】 【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：， 设等差数列的公差为，从而有：， ， 从而：，由于公差不为零，故：， 数列的通项公式为：. (2)由数列的通项公式可得：，则：， 则不等式即：，整理可得：， 解得：或，又 为正整数，故 的最小值为 . 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用. 17. 如图，已知圆台，AB，CD，EF均为母线，四边形 为圆台的轴截面，且，． （1）证明：； （2）求异面直线EF与BC所成角； （3）已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 【答案】（1） 证明：在圆台中，由为该圆台的母线，得的延长线交于一点， 所以四点共面， 而平面平面，平面平面，平面平面， 所以.； （2）； （3）1. 【解析】 【分析】（1）利用圆台的结构特征，结合面面平行的性质推理得证. （2）根据给定条件证得，再以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积求得异面直线夹角. （3）求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由直线为圆台的轴，得的延长线交于一点， 由（1）同理得，由，得， 则，而，因此，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为 轴建立空间直角坐标系， 设， 则， ，则，即， 所以异面直线EF与BC所成角为. 【小问3详解】 由（2）得， 设平面与平面的法向量分别为， 则，取，得， ，取 ，得， 由二面角的余弦值为， 得， 所以，所以圆台的高的长为1. 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为，正的三边分别与 相切于，，三点， 为坐标原点. （1）求椭圆 的方程； （2）若直线的斜率不存在，求的中心坐标； （3）求证：点 不是的中心. 【答案】（1） （2） （3）由（2）可知，当三条切线，，中有一条直线斜率不存在时，的中心不是点 . 当三条切线，，的斜率都存在时， 设，，，， 设， 则， 整理得， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得，，， 假设点 是的中心，则点 到，，的距离相等， ， ，，， ，，中必有两点关于坐标原点对称，此时存在两条切线互相平行，，，不能围成三角形， 原假设不成立，即点 不是的中心. 【解析】 【分析】（1）由条件列出方程求出 即可得解； （2）当其中一条斜率不存在时，写出所在直线方程，求出另外两边所在直线的交点，利用正三角形性质求出外接圆的圆心即可； （3）分类讨论，当其中一条边所在直线斜率不存在时，由（2）分析，当三条边所在直线斜率都存在时，利用反证法证明即可. 【小问1详解】 由题意知解得 则椭圆 的方程为 . 【小问2详解】 不妨先设直线，如图， 为正三角形， 不妨设，分别在 轴的上、下方，则直线的斜率为， 设直线， ，联立， 直线与椭圆 相切， ，解得，即直线过点， 同理可得，直线过点， . 此时，关于 轴对称，的中心在 轴上，坐标为， 同理，当直线为 时，由对称性可知，的中心坐标为， 综上，的中心坐标为. 【小问3详解】 略 19. 已知函数，． （1）若函数与在处的切线平行，，求的极值； （2）当 时，讨论函数零点的个数； （3）设m为正整数，若，，求m的最小值． 【答案】（1）极小值为 ，无极大值； （2） 当时，在上仅有一个零点； 当时，在上有2个零点； 当时，在上有3个零点； （3）5 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求解可得a的值，再根据极值与函数导数的关系，即可求解极值； （2）利用函数的导数判断函数的单调性，确定极值点，继而分类讨论a的取值范围，结合零点存在定理，即可判断函数的零点个数； （3）利用，可令，得，进而可推出，结合不等式恒成立，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知，故，则， 由，得，则， 由函数与在处的切线平行，得， 此时，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得极小值，无极大值； 【小问2详解】 由（1）知， 因为 ，故时，，时，， 则在上均单调递增，在上单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，知在上有一个零点； 当时，在上无零点， 故在上仅有一个零点； 当时，在上有一个零点， ，故在上有一个零点， 此时在上有3个零点； 当时，在上有一个零点， 此时在上有2个零点； 综上，当时，在上仅有一个零点； 当时，在上有2个零点； 当时，在上有3个零点； 【小问3详解】 由（1）知，对于任意，得，当且仅当时取等号， 令，则， 时，. 当 时， 则， 故， 故， 又， 结合，且为正整数， 可得正整数m的最小值为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三全真模拟适应性考试数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知直线，将l绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角的大小为（ ） A. 15° B. 30° C. 60° D. 75° 4. 若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知函数是定义在R上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等腰直角三角形的斜边 长为4，点为线段 中垂线上任意一点，点 为射线 上一点，满足，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点坐标为，直线与圆交于两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则下列不等关系一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. （多选）如图，在棱长为 的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 直线与 的夹角为 B. 平面平面 C. 点到平面的距离为 D. 若正方体每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面只能是三角形和六边形 10. 已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线 垂直的直线交 于点E，则（ ） A. B. C. D. 11. 某公益组织一直关注青少年的成长，该组织的会标设计灵感便来源于“成长”一词的拼音首字母，该会标的大致轮廓为如图所示的一个以 为圆心、 为直径的半圆，和一段形折线 组成， 其中. 现有两动点在圆弧和线段(包含端点)上运动， 则下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 若，则的取值范围是 C. 最大值为 2 D. 若，则在上的投影向量模长的取值范围是. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的切线，则实数a的值是______. 13. 已知等差数列，的前 项和分别为，，若，则______. 14. 有 个相同的球，分别标有数字 ， ， ， ， ，从中有放回地随机取 次，每次取 个球记 为这 个球中至少被取出 次的球的个数，则 的数学期望__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，其中女性有名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”． （1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 （2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取 名观众，抽取 次，记被抽取的 名观众中的“体育迷”人数为 .若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列，期望和方差． 附：. 16. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 17. 如图，已知圆台，AB，CD，EF均为母线，四边形 为圆台的轴截面，且，． （1）证明：； （2）求异面直线EF与BC所成角； （3）已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为，正的三边分别与 相切于，，三点， 为坐标原点. （1）求椭圆 的方程； （2）若直线的斜率不存在，求的中心坐标； （3）求证：点 不是的中心. 19. 已知函数，． （1）若函数与在处的切线平行，，求的极值； （2）当 时，讨论函数零点的个数； （3）设m为正整数，若，，求m的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $