湖南长沙麓山外国语实验中学2026届高三全真模拟适应性考试数学试题

**基本信息** 高三数学三模卷以马尔科夫链、空气质量数据等真实情境为载体，通过函数导数、立体几何等综合题设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、向量、函数性质|结合函数对称性与导数几何意义，基础与能力并重| |多选题|3/18|复数、立体几何、圆|正方体中点线面关系，考查空间观念与推理论证| |填空题|3/15|椭圆距离、三角函数周期、数列求和|椭圆最短距离问题，体现几何直观与运算能力| |解答题|5/77|立体几何证明与夹角、解三角形、统计分析、双曲线综合、导数综合|统计题结合空气质量数据，导数题论证零点性质，突出数学建模与逻辑推理|

2026届高三全真模拟适应性考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，集合若，则实数的取值集合为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：已知集合，集合若，则或， 而方程无解，方程的解为， 经检验当时，满足集合中元素间的互异性，且． 故选：． 2.在中，设，，若点满足，点为的中点，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】向量的线性运算用基底表示向量  如图，根据题意，． 一题多解  多方法解题 根据题意，． 3.已知函数，则下列结论正确的个数是(    ) 的图象关于点对称； 在区间内有个极大值点； ； 将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：， 令，，则，，显然错误； 令，则，， 当时，； 当时，； 当时，， 即函数在内有个极大值，正确； 因为，， 因为， 所以，正确； 将函数的图象向左平移个单位，所得函数为， 显然关于对称，正确． 故选：． 先利用辅助角公式进行化简，然后结合余弦函数的性质检验各选项即可判断． 本题主要考查了余弦函数性质的综合应用，属于中档题． 4.已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了导数的几何意义，属于基础题． 由求出，再利用导数的几何意义计算得结论． 【解答】 解：依题意，， 则，解得， 则 所以，即切线经过点， 则该切线的方程为，即． 故选B． 5.设是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为，所以椭圆的焦点在轴上，可知， 因为过的直线交椭圆于，两点， 所以由椭圆的定义知：， 所以， 当轴时，最小，的值最大， 此时为椭圆的通径，由通径公式可得： 所以，解得：，所以，， 故选： 6.已知当，不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由，得，即，即， 设，则， 又函数在上单调递增，则， ， 设 当时，，单调递增，当时，，单调递减， ， ，则， 实数的取值范围为． 故选：． 原不等式可转化为，设，则，结合函数的单调性，进一步可得，令，求出函数在上的最大值即可得解． 本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查同构法的运用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题． 7.符号表示不超过实数的最大整数，如，已知数列满足，，若，为数列的前项和，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】因为，则，且，所以数列是首项为，公比也为的等比数列，所以，由可得，且，所以数列为常数列，且． 由可得因为，，则，所以，所以，所以，所以，因此故选B． 8.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．马尔科夫链因俄国数学家安德烈马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，次状态无关．现有，两个盒子，各装有个黑球和个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有个红球的概率为则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：设第次操作后盒子中恰有个红球的概率为，则没有红球的概率为． 由题意知，，， 因为， 所以，又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，． 故选A． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是(    ) A. 复数的虚部是 B. C. 复数的共轭复数是 D. 复数的共轭复数对应的点位于第四象限 【答案】CD  【解析】【分析】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念、几何意义、共轭复数，属于基础题． 利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后逐一计算即可得答案． 【解答】 解：， 对于，复数的虚部是，故A错误 对于，，故B错误； 对于，复数的共轭复数是，故C正确； 对于，，在复平面内，对应点的坐标为，位于第四象限，故D正确， 故选CD． 10.如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则(    ) A. 直线与所成角的余弦值为 B. 平面 C. 点到直线的距离为 D. 在上的投影向量为 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查线面平行的判定，利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，利用空间向量求点、线、面之间的距离，属于中档题． 建系，利用空间向量求异面直线夹角、点到线的距离；利用线面平行的判定定理及投影向量的定义得出结论． 【解答】 解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 且，分别为棱，的中点，可知，， 可得，，， 对于选项A因为， 所以直线与所成角的余弦值为，故A错误； 对于选项B：因为，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于选项C因为在方向上的投影向量的模长为， 且， 所以点到直线的距离为，故C正确； 对于选项D：是等边三角形，所以在上的投影向量为，故D错误． 故选：． 11.过原点的直线与圆交于，两点，且不经过点，则(    ) A. 弦长的最小值为． B. 当直线的斜率为时，圆上恰有个点到的距离为 C. 圆与圆有条公切线 D. 圆在，两点处的切线的交点在直线上 【答案】BD  【解析】解：对，变形为， 圆心为，半径， 因为，故原点在圆内， 故当弦与直线垂直时，弦长取得最小值， 其中，故，A错误； 对于，当直线的斜率为时，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，而圆的半径， 则圆上恰有个点到的距离为，故B正确； 对于，圆化为：， 则圆心，半径， 而， 则圆与圆内切，得圆与圆只有条公切线，故C错误； 对于，设，则四点共圆，且为直径， 其中线段的中点坐标为，即圆心坐标为， 半径为， 故四点所在圆的方程为：， 化简得：， ， 得：， 则直线的方程为， 又因为直线过原点，将原点代入得：， 故，两点处圆的切线的交点位于直线上， 即直线上，D正确．    故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.椭圆上的点到直线的最短距离为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查直线与椭圆的位置关系，两平行直线间的距离，属于基础题． 先设出与直线平行且与椭圆相切的直线方程为：，联立此直线与椭圆的方程，由得出，从而由平行线之间的距离公式求出答案． 【解答】 解：显然直线与椭圆相离，直线在椭圆的右上方， 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为：， 联立，得， 则由，得， 由题意要求椭圆上的点到直线的最短距离，则取， 所以最短距离为． 故答案为：． 13.已知函数的最小正周期是，则          ；此时函数的定义域为          ． 【答案】或，  【解析】解：因为函数的最小正周期是，解得； 时，，令，解得，； 时，，令，解得，； 所以的定义域是或，． 故答案为：；或，． 14.已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查数列的递推关系以及数列的分组转化求和，属于拔高题． 根据题意说明当，时不符合题意，当时，，符合题意，求出的最小值． 【解答】 解：集合是由所有正奇数组成的集合，集合是由组成的集合， 所有的正奇数与按照从小到大的顺序排列构成， 在数列中，前面有个正奇数，即，． 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意；； 当时，，，不符合题意； 当时，，，，符合题意． 故使得成立的的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，四边形为菱形，平面，过的平面交平面于，． Ⅰ求证：平面 Ⅱ若平面平面，为等边三角形，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】解：Ⅰ证明：平面，过的平面交平面于， ， 又，四边形为菱形，， 平面，平面，平面， 又四边形为菱形，同理平面， ，，平面， 平面平面， 又平面，平面； Ⅱ设与交于点，连接， 为等边三角形，四边形为菱形， 为的中点，， 又平面平面，且交线为， 平面， ，， 易知，，两两互相垂直， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的法向量为， 则 取，得，， 故平面的一个法向量为， 易知是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.本小题分 在中，，，的对边分别为，，，已知向量，，且． 求的大小； 若点为边上一点，且满足，，，求的面积． 【答案】解：，， 由，， 在中，由正弦定理得，， 得， 即， 又，，而，． 由知，，， 两边平方得．， 又，．， 由得，．  【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，是中档题． 由，得，再由正弦定理和两角和与差的三角函数公式得，则，即可得出的大小； 由知，得，两边平方得，再由余弦定理得，联立可得的值，即可得出的面积． 17.本小题分 全国两会召开前夕，许多人大代表关心雾霾治理，倡导绿色发展，击碎十面“霾伏”，通过不懈努力，近两年某市空气质量逐步改善，居民享受着在蓝天白云下出行和锻炼．的值是表示空气中某种颗粒物的浓度，通常用来代表空气的污染情况，这个值越高空气污染就越严重，下表是某人朋友圈内室外锻炼的人数与值的一组数据． 的值 室外锻炼人数人 请用相关系数精确到说明与之间具有线性相关关系； 若室外锻炼人数与的值存在线性关系，请根据上表提供的数据，当的值为时，估计室外锻炼人数四舍五入； 将表格中的与数据看作五个点的坐标，从这五个点中任意抽取两个点，求这两个点都在圆外的概率． 参考公式：，， 参考数据：，，，，． 【答案】解：，，，接近于，所以与有很强的线性相关性． ，，，所以当时，，当的值为时，室外锻炼人数约为人． 在圆上的点有，在圆外的点有个，， ，，，任取两点的结果有， ，，，，，，， ，，共种，两点都在圆外的结果有，， ，，，，共种． 两个点都在圆外的概率为．  【解析】本题考查了统计的综合性题目，涉及回归直线求解以及古典概型的求解，属于难题． 利用公式计算相关系数，确定二者有很强的线性相关性． 利用最小二乘法求回归直线，代入求观测值． 列举法求古典概型概率． 18.本小题分 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且． Ⅰ求的实轴长与虚轴长之积的最大值． Ⅱ若过点的直线与的右支交于，两点，直线与轴交于点，的内切圆与边相切于点，且． (ⅰ)求的方程 (ⅱ)记的内切圆面积为，的内切圆面积为，求的取值范围． 【答案】解：Ⅰ设的半焦距为， 因为，所以， 由题可知，的实轴长为，虚轴长为， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的实轴长与虚轴长之积的最大值为； Ⅱ设的内切圆分别与，相切于点，，如图： 由切线长定理可知，，， 因为， 所以 ， 即，， 所以， 则的方程为； 如图，设两内切圆圆心分别为，，半径分别为，， ，，与圆分别相切于点，，， 由切线长定理可得 ， 因为，所以，， 所以是的右顶点， 因为轴，所以点的横坐标为， 同理可求得点的横坐标也为， 设直线的倾斜角为， 则，， 在，中， 有，， 易知， 设，则， 则， 令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间上的值域是， 故的取值范围是  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.本小题分 设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数． Ⅰ求的单调区间； Ⅱ设，函数，求证：； Ⅲ求证：存在大于的常数，使得对于任意的正整数，，且，满足． 【答案】Ⅰ解：由，可得， 进而可得令，解得或． 当变化时，，的变化情况如下表： 所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是 Ⅱ证明：由，得， ． 令函数， 则 由Ⅰ知，当时，， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 因此，当时，， 可得，即， 令函数， 则． 由Ⅰ知，在上单调递增， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减． 因此，当时，，即， 所以． Ⅲ对于任意的正整数，，且， 令，函数． 由Ⅱ知，当时，在区间内有零点； 当时，在区间内有零点． 所以在内至少有一个零点，不妨设为，则． 由Ⅰ知在上单调递增，故， 于是． 因为当时，，故在上单调递增， 所以在区间上除外没有其他的零点，而，故． 又因为，，均为整数，所以是正整数， 从而． 所以． 所以，只要取，就有．  【解析】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难度比较大的题目． Ⅰ求出函数的导函数，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可． Ⅱ由，推出，，令函数，函数，求出导函数和，利用Ⅰ知，推出． Ⅲ对于任意的正整数，，且，令，函数． 由Ⅱ知，当时，在区间内有零点；当时，在区间内有零点，通过的零点，转化推出，推出，故取，就有． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026届高三全真模拟适应性考试 科目：数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。 3.本试题卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 姓　 名_____________________ 准考证号______________________ 祝 你 考 试 顺 利 ！ 2026届高三全真模拟适应性考试 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，集合若，则实数的取值集合为(    ) A. B. C. D. 2.在中，设，，若点满足，点为的中点，则(    ) A. B. C. D. 3.已知函数，则下列结论正确的个数是(    ) 的图象关于点对称； 在区间内有个极大值点； ； 将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称． A. B. C. D. 4.已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为(    ) A. B. C. D. 5.设是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 6.已知当，不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.符号表示不超过实数的最大整数，如，已知数列满足，，若，为数列的前项和，则(    ) A. B. C. D. 8.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．马尔科夫链因俄国数学家安德烈马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，次状态无关．现有，两个盒子，各装有个黑球和个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有个红球的概率为则的值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是(    ) A. 复数的虚部是 B. C. 复数的共轭复数是 D. 复数的共轭复数对应的点位于第四象限 10.如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则(    ) A. 直线与所成角的余弦值为 B. 平面 C. 点到直线的距离为 D. 在上的投影向量为 11.过原点的直线与圆交于，两点，且不经过点，则(    ) A. 弦长的最小值为． B. 当直线的斜率为时，圆上恰有个点到的距离为 C. 圆与圆有条公切线 D. 圆在，两点处的切线的交点在直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.椭圆上的点到直线的最短距离为          ． 13.已知函数的最小正周期是，则          ；此时函数的定义域为          ． 14.已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，四边形为菱形，平面，过的平面交平面于，． Ⅰ求证：平面 Ⅱ若平面平面，为等边三角形，，求平面与平面夹角的余弦值． 16.本小题分 在中，，，的对边分别为，，，已知向量，，且． 求的大小； 若点为边上一点，且满足，，，求的面积． 17.本小题分 全国两会召开前夕，许多人大代表关心雾霾治理，倡导绿色发展，击碎十面“霾伏”，通过不懈努力，近两年某市空气质量逐步改善，居民享受着在蓝天白云下出行和锻炼．的值是表示空气中某种颗粒物的浓度，通常用来代表空气的污染情况，这个值越高空气污染就越严重，下表是某人朋友圈内室外锻炼的人数与值的一组数据． 的值 室外锻炼人数人 请用相关系数精确到说明与之间具有线性相关关系； 若室外锻炼人数与的值存在线性关系，请根据上表提供的数据，当的值为时，估计室外锻炼人数四舍五入； 将表格中的与数据看作五个点的坐标，从这五个点中任意抽取两个点，求这两个点都在圆外的概率． 参考公式：，， 参考数据：，，，，． 18.本小题分 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且． Ⅰ求的实轴长与虚轴长之积的最大值． Ⅱ若过点的直线与的右支交于，两点，直线与轴交于点，的内切圆与边相切于点，且． (ⅰ)求的方程 (ⅱ)记的内切圆面积为，的内切圆面积为，求的取值范围． 19.本小题分 设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数． Ⅰ求的单调区间； Ⅱ设，函数，求证：； Ⅲ求证：存在大于的常数，使得对于任意的正整数，，且，满足． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $