湖南长沙市耀华高级中学2026届高三全真模拟适应性考试数学试题

**基本信息** 2026届高三数学三模卷聚焦高考核心能力，通过函数性质、立体几何、概率统计等模块，考查数学抽象、空间观念与数据观念，适配冲刺阶段综合素养评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|统计（列联表、分布列）、数列、圆台几何、椭圆、导数|15题以体育节目收视调查为情境，培养数据观念；17题圆台证明与二面角计算，深化空间观念；19题导数极值与零点讨论，强化逻辑推理|

2026届高三全真模拟适应性考试数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数的虚部为(    ) A. B. C. D. 2.“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知直线，将绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角的大小为(    ) A. B. C. D. 4.若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则(    ) A. B. C. D. 5.已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则(    ) A. B. C. D. 6.已知等腰直角三角形的斜边长为，点为线段中垂线上任意一点，点为射线上一点，满足，则面积的最大值为(    ) A. B. C. D. 7.已知点坐标为，直线与圆交于，两点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.已知，则下列不等关系一定不成立的是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则下列说法正确的是(    ) A. 直线与的夹角为 B. 平面平面 C. 点到平面的距离为 D. 若正方体每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面只能是三角形和六边形 10.已知抛物线的焦点为，过的一条直线交于，两点，过作直线的垂线，垂足为，过且与直线垂直的直线交于点，则(    ) A. B. C. D. 11.某公益组织一直关注青少年的成长，该组织的会标设计灵感便来源于“成长”一词的拼音首字母、该会标的大致轮廓为如图所示的一个以为圆心、为直径的半圆，和一段形折线组成，其中，，，现有两动点，在圆弧和线段、包含端点上运动，则下列说法正确的有(    ) A. 的最大值为 B. 若，则 C. 最大值为 D. 若，则在上的投影向量模长的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若直线是曲线的切线，则实数的值是          ． 13.已知等差数列，的前项和分别为，，若，则           ． 14.有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取次，每次取个球记为这个球中至少被取出次的球的个数，则的数学期望          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷” 根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？注：以上把握说明有关 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷“人数为若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差 附：， 16.本小题分 记是公差不为的等差数列的前项和，若，． 求数列的通项公式； 求使成立的的最小值． 17.本小题分 如图，已知圆台，，，均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，． 证明：； 求异面直线与所成角； 已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 18.本小题分 已知椭圆的离心率为，短轴长为，正的三边分别与相切于，，三点，为坐标原点． 求椭圆的方程 若直线的斜率不存在，求的中心坐标 求证：点不是的中心． 19.本小题分 已知函数，． 若函数与在处的切线平行，，求的极值； 当时，讨论函数零点的个数； 设为正整数，若，，求的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三全真模拟适应性考试数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数的虚部为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查复数代数形式的乘法运算，虚部的概念，属于基础题． 利用复数代数形式的乘法运算化简，则复数的虚部可求． 【解答】 解：， 复数的虚部是． 故选：． 2.“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B  【解析】解不等式，得解不等式，得，而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． 3.已知直线，将绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角的大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：因为直线， 所以直线的斜率为，故直线的倾斜角为； 因为与直线垂直， 所以设的方程为， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，斜率为，故倾斜角为， 如图，    所以， 故选： 4.若函数的对称中心与函数的对称中心重合，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：的对称中心为其图象与轴的交点，即， 的对称中心为， 要求对称中心重合，即对任意，存在对应关系，化简得， 由于对任意整数均成立，故，解得． 故选：． 5.已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：因为是偶函数，故， 因为是奇函数， 所以， 令，则， 由函数是定义在上的偶函数，得， 所以，即， 所以，故，周期为， 所以 ， 所以． 故选A． 6.已知等腰直角三角形的斜边长为，点为线段中垂线上任意一点，点为射线上一点，满足，则面积的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查向量数量积，向量的坐标运算，利用导数判定函数的单调性和求最值，属于较难题． 以所在直线为轴，的中点为坐标原点，的垂线为轴，建立直角坐标系，分别求得，，的坐标，设，，，根据可求得，根据可求得，又，令，，根据导数求得的单调性，即可求得的单调性，进而可求得的最大值． 【解答】 解：以所在直线为轴，的中点为坐标原点，的垂线为轴，建立直角坐标系， 可得，，， 设，，可得， 因为点为射线上一点，所以，又因为 ， 可求得，，即， 因为， 所以 令，，则， 令，解得， 列表得， 单调减 极小值 单调增 极大值 单调减 因为 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以，的最大值为． 7.已知点坐标为，直线与圆交于，两点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：将直线的方程变形为． 令 可得：，即，解得， 把代入，得，， 所以直线恒过定点， 圆的方程可化为， 则圆心，半径， 因为直线恒过定点，而与圆心重合，所以． 已知，则 根据向量的运算， 因为，所以． 又因为，所以． ， 由，则， 令，，则，其对称轴为， 函数的图象开口向上， 当时，当时，， 所以， 因为，所以 故选：． 8.已知，则下列不等关系一定不成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题意得，，令，， 方法一：函数，，的图象与直线交点的横坐标分别为，，， 由图象可知，，，都可能成立， 一定不成立； 方法二：由已知可得，，，， 令， ， 所以在区间上单调递增， 令，，同理，在区间上都单调递增， 因为 ， ， 所以存在，使得， 则时，，时， 显然，则时，，时， 因为，， 所以存在，使得， 则时，，时，， 综上，时，时，时， 时，时，时，时，； 所以不可能成立． 故选：． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则下列说法正确的是(    ) A. 直线与的夹角为 B. 平面平面 C. 点到平面的距离为 D. 若正方体每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面只能是三角形和六边形 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查空间线线、线面、面面关系，属于中档题． 根据条件求出直线与的夹角，即可判断；根据面面垂直的判定可以判断；利用等体积法求出点到平面的距离，可判断；根据截面性质可以判断． 【解答】 解：因为 所以为异面直线与所成的角， 因为为等边三角形， 所以， 故直线与的夹角为，故A正确； 在正方体中平面，平面， 所以， 易证，且， ，平面 所以平面又平面， 所以平面平面，故B正确； 由， 而， 故点到平面的距离为，故C错误； 若正方体每条棱所在直线与平面所成的角相等， 即与平面所成角均相等，故平面与平面平行即可， 则截此正方体所得截面只能是三角形和六边形，故D正确． 故选ABD． 10.已知抛物线的焦点为，过的一条直线交于，两点，过作直线的垂线，垂足为，过且与直线垂直的直线交于点，则(    ) A. B. C. D. 【答案】ACD  【解析】解：由抛物线的焦点为，得， 由抛物线的定义知，对； ，对． 令，，， 联立消可得， ，，， ， 当时，，，，所以错． 此时，， 当时，，，， ， ，，所以成立，对． 综上，正确答案为． 11.某公益组织一直关注青少年的成长，该组织的会标设计灵感便来源于“成长”一词的拼音首字母、该会标的大致轮廓为如图所示的一个以为圆心、为直径的半圆，和一段形折线组成，其中，，，现有两动点，在圆弧和线段、包含端点上运动，则下列说法正确的有(    ) A. 的最大值为 B. 若，则 C. 最大值为 D. 若，则在上的投影向量模长的取值范围是 【答案】ACD  【解析】解：选项：当，都位于弧上时，， 当位于弧上，位于线段或上时，， 当、都位于线段或上时，， 综上：，A正确； 选项：， 即 ， 以为坐标原点，，分别为轴、轴建立平面直角坐标系， 则，，， 则，， 故，即点横坐标为， 结合点运动轨迹可知，选项B错误 选项：当位于处，位于点处，在上的投影向量与同向，且投影向量的模最长， 则此时取最大值，，选项C正确 选项：在上投影向量的模长为，由于， 若、重合，则，此时． 下面考查与不重合时： 若位于上，位于上时， ，，，，，不同时取， ， ，即，得， 当时，，此时，重合，故， 当位于弧上，点位于上时， ，，，，与不同时取， ，，则：，解得，得 当时，，此时，重合，故 在上的投影向量的模长为， 当时，上式当时，上式， ，， 综上：，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若直线是曲线的切线，则实数的值是          ． 【答案】  【解析】解：设切点坐标为， 对求导可得， 因为直线是曲线的切线， 所以，解得， 将代入直线方程，可得， 因为切点在曲线上， 可得，解得． 13.已知等差数列，的前项和分别为，，若，则           ． 【答案】  【解析】解：由等差数列性质，可得，， 则，，从而． 又，则． 故答案为： 14.有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取次，每次取个球记为这个球中至少被取出次的球的个数，则的数学期望          ． 【答案】  【解析】解：箱中有个标号为的球，有放回地取三次，记为三次抽取中至少被取出一次的不同球的个数， 对于每个标号，记为如：表示三次抽取中至少出现过一次标号表示三次抽取中从未出现标号， 则可表示为所有的和，即， 由于每个小球都相同，则每个的期望相同，且服从两点分布， 则， 每次未抽到的概率为，三次均未抽到的概率为， ， 则． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷” 根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？注：以上把握说明有关 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷“人数为若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差 附：， 【答案】解：由频率分布直方图可知，在抽取的人中，“体育迷”有人，从而列联表如下： 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 将列联表中的数据代入公式计算，得 ． 因为， 所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．    由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为，将频率视为概率， 即从观众中抽取一名“体育迷”的概率． 由题意知， ，从而的分布列为： ，．  【解析】本题主要考查频率分布直方图的应用、独立性检验、随机变量的分布列、期望、方差计算，考查运用所学知识解决实际问题能力，是基础题． 根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出，与比较即可得出结论； 由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，由于，从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可． 16.本小题分 记是公差不为的等差数列的前项和，若，． 求数列的通项公式； 求使成立的的最小值． 【答案】解：由等差数列的性质可得：，则， 设等差数列的公差为，从而有， ， 从而，由于公差不为零，故：， 数列的通项公式为： 由数列的通项公式可得， 则， 则不等式即，整理可得， 解得或，又为正整数，故的最小值为．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.本小题分 如图，已知圆台，，，均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，． 证明：； 求异面直线与所成角； 已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 【答案】解：证明：在圆台中， 由，为该圆台的母线，得，延长线交于一点， 而平面平面，平面平面，平面平面， 所以； 连接，，由直线为圆台的轴，得，延长线交于一点， 由同理得， 由，，得， 则，而， 因此， 直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 设， 则，，， ，，，， ，， 则，即， 所以异面直线与所成角为； 由得，，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则， 取，得，， 故平面的一个法向量为， ， 取，得， 故平面的一个法向量为， 由二面角的余弦值为， 得， 解得， 所以圆台的高的长为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.本小题分 已知椭圆的离心率为，短轴长为，正的三边分别与相切于，，三点，为坐标原点． 求椭圆的方程 若直线的斜率不存在，求的中心坐标 求证：点不是的中心． 【答案】解：由题意得，椭圆的离心率，短轴长，故， 根据椭圆的基本关系，代入，得： ， 化简得，解得， 因此，椭圆的方程为：； 直线斜率不存在，故设其方程为， 由于是椭圆的切线，代入椭圆方程得，相切时，故，取，对称情况同理， 正三角形的另外两边与成角，由夹角公式得斜率， 设斜率为的切线方程为， 联立，消去可得， ， 则， 解得； 同理斜率为的切线方程为， 取、，两条切线方程为：  与交于； 与交于； 与交于联立方程解得， 正三角形的重心坐标为三顶点坐标的平均值： ， 同理，当时，中心坐标为； 用反证法证明：假设点是的中心重心，则重心坐标为， 故，即，， 由于、、是椭圆切线的交点，满足切线条件： 在切线、上，故，， 在切线、上，故，， 将，代入在上的条件： ， 展开得：， 由于、均在上，上式化为，矛盾， 故假设不成立，点不是的中心．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.本小题分 已知函数，． 若函数与在处的切线平行，，求的极值； 当时，讨论函数零点的个数； 设为正整数，若，，求的最小值． 【答案】解：， ，则， 由，得，则， 由函数与在处的切线平行， 得， 此时， ， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得极小值，无极大值； 由知， 因为，故时，，时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由， 知在上有一个零点， 当时，在上无零点， 此时在上仅有一个零点； 当时，， 在上有一个零点， ， 故在上有一个零点， 此时在上有个零点， 当时，在上有一个零点， 此时在上有个零点， 综上所述，当时，在上仅有一个零点； 当时，在上有个零点； 当时，在上有个零点； 由知，对于任意， 得，当且仅当时取等号， 令，则， 时，， 当时， 则， 故， 故， 又， 结合，且为正整数， 可得正整数的最小值为．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $