第49讲 排列与组合——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“排列与组合”专题，依据课标要求梳理了排列组合的概念、公式及性质，明确了排列应用、组合应用、综合问题（相邻相间、定序、分组分配）、隔板法等核心考点，通过基础检测和对应训练归纳常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如2025年河北三模排列应用、山西临汾模拟分组分配问题，通过捆绑法、插空法、隔板法等培养学生的逻辑思维和模型意识。特设“小结”提炼优先原则与分类讨论方法，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此系统组织复习，提升备考效率。

第9章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第49讲 排列与组合 2027届高考一轮复习数学 1 【课标要求】 1.进一步理解排列、组合的概念，了解计数原理的思想，熟练掌握排列、组合计算公式. 2.提升综合应用排列组合的知识解决一些简单应用问题的思维能力和分类讨论的数学思想. 2 【知识要点】 1.排列 (1)排列的定义:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，　 　，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列.  (2)排列数的定义:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的　 　的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.  按照一定的顺序排成一列 所有排列 (3)排列数公式:= ，这里n，m∈N*，并且m≤n. (4)全排列:n个不同的元素全部取出的　 　，叫做n个不同元素的一个全排列， 即=n(n-1)(n-2)×…×2×1=　 　.于是排列数公式写成阶乘的形式为=  　.规定0!=　 　.  n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1) 一个排列 n! 1 3 2.组合 (1)组合的定义:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素　 　，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合.  (2)组合数的定义:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的　 　的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，用表示.  并成一组 所有组合 4 (3)组合数的计算公式:= =    =  　，这里n，m∈N*，并且m≤n.=　　.  (4)组合数的性质:①=  　;  ②=  　+  　.  1 5 【基础检测】 概念辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(　　) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(　　) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(　　) (4)若组合式=，则x=m成立.(　　) (5)k=n(1≤k≤n).(　　) × × √ × √ 6 教材改编 2.[选择性必修3p26T9]6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　) A.144 B.120 C.72 D.24 D [解析] 先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座， 因此任何两人不相邻的坐法种数为=4×3×2=24. 7 3.[选择性必修3p38T3(2)]某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、化学、外语这五门课安排在星期三上午，数学必须比化学先上，则不同的排法有(　　) A.60种 B.30种 C.120种 D.24种 A [解析] 把语文、数学、物理、化学、外语这五门课程任意排列，有=120种情况，其中数学排在化学之前和数学排在化学之后的情况数目是相同的，则数学比化学先上的排法有=60种. 8 4.[选择性必修3p27T13]某校开设A类选修课3门，B类选修课4门.一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为　　　　.  30 [解析] 分两种情况:(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有种不同的选法;(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有种不同的选法.所以不同的选法共有+=18+12=30(种). 9 5.[选择性必修3p26T8](多选)下列等式正确的是(　 　) A.(n+1)= B.=(n-2)! C.= D.= ABD [解析] (n+1)=(n+1)·===，故A正确; ==(n-2)!，故B正确; =≠，故C错误; =·==，故D正确.故选ABD. 10 考点1 排列应用问题 例1　(1)(2025·河北·三模)小李买了新手机后下载了A，B，C，D四个APP，已知手机桌面上每排可以放4个APP，现要将它们放成两排，且A和B放在同一排，则不同的排列方式有(　　) A.288种 B.336种 C.384种 D.672种 D [解析] 分两种情况讨论:①A和B单独放一排，有=2×4×3×4×3=288种排列方式，②A和B与C或D其中的一个放一排，有=2×2×4×3×2×4=384种排列方式，所以不同的排列方式有288+384=672种.故选D. 11 (2)有3名男生，4名女生，全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有　　　种排法.  3720 [解析] 若甲站在排尾，则有种排法;若甲不站在排尾，则有种排法， 故共有+=3720种排法. 12 (3)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为(　　) A.2301 B.2304 C.2305 D.2310 A [解析] 首位为1的有=60个，前两位为20的有=12个，前两位为21的有=12个，所以第85个数字是前两位为23的最小数，即为2301.故选A. 13 [小结]排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在:某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题，在分析时，主要按照“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子，对于“相邻”问题可用“捆绑法”，对于“不相邻”问题可用“插空法”.对于直接考虑较困难的问题，可以采用间接法. 14 1.从甲、乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲、乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有　　　　　种.  54 [解析] 若从甲、乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，共有=60种不同参赛方案，甲、乙都未入选的不同参赛方案共有=6种，所以甲、乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有60-6=54种. 对应训练 15 2.今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有(　　) A.18种 B.24种 C.32种 D.64种 A [解析] 若安排的人中没有甲，安排方法有=6种，若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排，则安排的方法有×=12种，所以总的方法数有6+12=18种.故选A. 16 3.从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的3位偶数，这样的数有(　　) A.24个 B.30个 C.36个 D.60个 B [解析] 若从0，1，2，3，4中选出3个数中没有0，则组成各位数字不重复的3位偶数有=12个;若从0，1，2，3，4中选出3个数中有0，且0排在个位，则组成各位数字不重复的3位偶数有=12个;若从0，1，2，3，4中选出3个数中有0，且0不在个位，则组成各位数字不重复的3位偶数有=6个，故从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的3位偶数，这样的数有12+12+6=30个.故选B. 17 考点2 组合应用问题 例2　(1)现有红色、黄色、蓝色的小球各4个，每个小球上都标有不同的编号.从中任取3个小球，这3个小球颜色不全相同，且至少有一个红色小球的不同取法有(　　) A.160种 B.220种 C.256种 D.472种 A [解析] 若取出的球中有1个红球，不同的取法有=112种;若取出的球中有2个红球，不同的取法有=48种.故不同取法有112+48=160种.故选A. 18 (2)第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等5个表演项目.现有三个场地A，B，C分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能A，B两地承办，且各自承办其中一项.5个表演项目分别由A，B，C三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有(　　) A.150种 B.300种 C.720种 D.1008种 B [解析] 首先电子竞技和冲浪两个项目仅能A，B两地举办，且各自承办其中一项有=2种安排;其次5个表演项目分别由A，B，C三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目则有+=150种，故总数为2×150=300种不同的安排方法.故选B. 19 [小结]组合问题常有以下两类题型变化: (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理. 20 4.两个三口之家(父母+小孩)共6人去旅游，在某打车平台预约了两辆不同的新能源汽车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为(　　) A.48 B.50 C.98 D.68 A [解析] 6人乘坐的所有情况有+=15×2+20=50(种)，两个小孩单独乘坐一辆车的情况有=2(种)，由题意知两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为50-2=48(种). 对应训练 21 5.四面体的顶点和各棱的中点共10个点.在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为(　　) A.141 B.144 C.150 D.155 A [解析] 从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类. 第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4种; 第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种; 第三类，由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱)，它的4顶点共面，有3种.以上三类情况不合要求应减掉，故不同的取法共有-4-6-3=141种.故选A. 22 考点3 排列组合的综合问题 角度1.相邻、相间问题 例3　有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数. (1)全体排成一行，其中男生必须排在一起; (2)全体排成一行，男、女相间; (3)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人. 23 (1)全体排成一行，其中男生必须排在一起; [解析] (1)捆绑法:将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列.共有=720种. 24 (2)全体排成一行，男、女相间; [解析] (2)插空法:先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有=144种. 25 (3)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人. [解析] (3)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有种.最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可.共有××=720种. 26 [小结]相邻与不相邻问题的解决方法 (1)“相邻”问题:元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列. (2)“不相邻”问题:元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列,然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素. 27 角度2.定序问题 例4　有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(不一定相邻)，不同的排法共有　　　　种.  840 [解析] 7名学生的排列共有种，其中女生的排列共有种，按照从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故有==840(种)不同的排法. [小结]对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列. 28 角度3.分组、分配问题 例5　按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式? (1)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本; (2)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本; 29 (1)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本; [解析] (1)先选一本有种选法;再从余下的5本中选两本有种选法;最后余下3本全选有种选法，有序不均匀分组问题. 由于甲、乙、丙是不同的三人，还应考虑再分配，分配方式有=360种. 30 (2)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本; [解析](2)先分三份，则应有种方法，但是这里出现了重复.不妨记6本书为A，B，C，D，E，F，若第一份取了AB，第二份取了CD，第三份取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)共种情况，而这种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有=15种，再分配给3个人，共有分配方式·=·=90种. 31 [小结]这是一个分组、分配问题，解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数;还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数. 32 6.(2025·山西临汾·模拟预测)8名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相邻，则不同的排列方式共有(　　) A.1152种 B.1728种 C.2304种 D.2880种 C [解析] 由题意可知:D站在前排，A站在后排，若E和F站在前排，则不同的排列方式共有···=1152;若E和F站在后排，则不同的排列方式共有···=1152，所以不同的排列方式共有1152×2=2304种.故选C. 对应训练 33 7.已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为(　　) A.150 B.240 C.390 D.1440 C [解析] 因为2+4+5=11或1+2+3+5=11，所以5个球放到编号2，4，5的三个盒子中或者放到编号1，2，3，5的四个盒子中， (1)5个球放到编号2，4，5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放一个小球，所以在三个盒子中有两种方法: 各放1个，2个，2个的方法有·=×3×2×1=90种. 各放3个，1个，1个的方法有·=×3×2×1=60种. 34 (2)5个球放到编号1，2，3，5的四个盒子中，则各放2个，1个，1个，1个的方法有·=×4×3×2×1=240种. 综上，总的放球方法数为90+60+240=390种.故选C. 35 考点4 隔板法及应用 例6　把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里的球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是　　　(用数字作答)  15 [解析] 先在编号为2，3的盒子中分别放入1，2个小球，编号为1的盒子不放球，再每个盒子至少放入一个小球，用隔板法将余下7个小球排一排有6个空，插入2个隔板，有=15种方法. 36 [小结]将n个相同的元素分成m份(n，m为正整数)，每份至少一个元素，可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，共有种分法. 37 8.方程x+y+z=18的非负整数解有(　　) A.217组 B.136组 C.190组 D.68组 C [解析] 解法一:根据题意，对于方程x+y+z=18，将“18”看成18个“1”，18个“1”共有19个空，从19个空中选两个空进行隔板，或从19个空中选1个空插2个隔板，即可以将18个“1”分为三组，每组对应“1”的数目依次为x，y，z的数值，则有+==190. 方程x+y+z=18的非负整数解有190组.故选C. 解法二:令x+1=a，y+1=b，z+1=c， 原问题等同于a+b+c=21的正整数解，采用隔板法，共有=190组. 对应训练 38 $