9.1　计数原理、排列与组合课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦计数原理、排列与组合核心考点，依据高考评价体系梳理了两个计数原理应用、排列组合问题两大考查方向，通过近五年高考真题分析明确分层抽样、分组分配等高频考点占比，归纳出分类讨论、分步乘法等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题引领+方法提炼+素养培养”策略，如以2023新课标Ⅱ分层抽样题为例，用分步乘法计数原理建立解题模型培养数学思维，通过2023全国乙理选读课外读物题强化分类讨论思想提升数学语言表达能力。含易错点分析如分组重复问题，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，助力高效冲刺。

9.1　计数原理、排列与组合 返回目录 五年高考 考点1　两个计数原理的应用 1.★★(2023新课标Ⅱ,3,5分)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分 层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中 部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有     ( ) A. · 种　　    B. · 种 C. · 种　　    D. · 种     D     解析　根据分层随机抽样方法,易知从初中部和高中部分别抽取40名和20名学生,根据 分步乘法计数原理,得不同的抽样结果共有 · 种.故选D. 返回目录 2.★★★(2023全国乙理,7,5分)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两 人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( ) A.30种　　     B.60种　　     C.120种　　    D.240种     C     解析　甲、乙两位同学选读课外读物可以分为两个步骤:先从6种课外读物中选择一本 作为甲、乙两人共同的选择,再从剩下的5本中选择互不相同的两本,所以符合题意的 选法共有   =120(种).故选C. 返回目录 3.★★(2023新课标Ⅰ,13,5分)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生 需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有 __________种(用数字作答).     64     解析　选修2门课,体育类和艺术类各选1门,共有 · =16种选课方案; 选修3门课,分为选2门体育类、1门艺术类和选2门艺术类、1门体育类两种情况,共有  · + · =48种选课方案.因此不同的选课方案共有16+48=64种. 返回目录 4.★★★★(创新解法)(2024新课标Ⅱ,14,5分)在下图的4×4的方格表中选4个方格,要 求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有__________种选法.在所有符合上述要求 的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是___________.       112         24     返回目录 解析　第一列有4种选择,第二列有3种选择,第3列有2种选择,第4列有1种选择,∴共有4 ×3×2×1=24种选法. 由题图知,每一列中最下面的数最大,现将前三行中每一个数与该列最大数的差的绝对 值算出来,如表.   要想选中的4个数之和最大,差的绝对值就要最小,故选中的4个数从上到下分别为21, 33,43和15,和为112,故最大值为112. 返回目录 三年模拟 1.★(2025届湖北随州部分高中联考,8)每天从甲地到乙地的飞机有5班,高铁有10趟,动 车有6趟,公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地,则其出行方案共有 ( ) A.22种　　     B.33种　　     C.300种　　    D.3 600种     B     解析　从甲地前往乙地,出行方案共有5+10+6+12=33种.故选B. 返回目录 2.★★(2026届江浙皖高中(县中)发展共同体联考,3)某学校为了解学生的视力情况,用 比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从高一、高二、高三三个年级共抽100名 学生,已知该校高一、高二、高三各年级分别有400名、300名、300名学生,则不同的 抽样结果种数为 ( ) A.   　　    B.    C.   　　    D.        D     解析　由题可知从各年级分别抽40名、30名、30名学生,不同的抽样结果种数为    ,故选D. 返回目录 3.★★(2026届重庆巴蜀中学月考,5)某班上5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作, 每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作,每个地段至少有1名学生的分配方案 共有 ( ) A.300种　　    B.90种　　    C.240种　　    D.150种     D     解析　把5名学生分成3组,每组至少一人的分组方式有 + =25种,所以分配方案有 25 =150种,故选D. 返回目录 4.★★(2025届山东临沂第二中学适应性考试,5)某班一天上午有4节课,下午有2节课,现 要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通用技术各一节课的课表,要求 数学课排在上午,体育课排在下午,则不同的排法种数是 ( ) A.96　　    B.192　　    C.384　　    D.768     B     解析　由题意,要求数学课排在上午,体育课排在下午,有  =8种排法, 【特殊元素优先安排】 再排其余4节,有 =24种排法, 根据分步乘法计数原理,知共有8×24=192种排法.故选B. 返回目录 5.★★★(2026届江苏南京外国语学校学情调研,8)如图,某社区为墙面A,B,C,D四个区域 进行涂色装饰,每个区域涂一种颜色,相邻区域(有公共边)不能用同一种颜色,若只有四 种颜色可供使用,则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有 ( )   A.12种　　    B.24种　　    C.48种　　    D.84种     C     解析　由条件可知,可以分成只有A和D颜色相同,或只有B和C颜色相同, 若只有A和D颜色相同,则有   =24种方法, 若只有B和C颜色相同,也有24种方法,所以一共有24×2=48种方法.故选C. 返回目录 6.★★(2025届河北秦皇岛三模,12)安排4位顾客去A,B,C三家餐馆就餐,其中一位顾客由 于饮食特殊性,只能安排在A餐馆,则不同的安排方案共有__________种.     27     解析　由题意可知,其中一位顾客由于饮食特殊性,只能安排在A餐馆,则剩下3位顾客 每人就餐餐馆都有3种安排方案,故不同的安排方案共有33=27种. 返回目录 7.★★★(2025届浙江嘉兴桐乡二模,13)将6个相同的球放入编号为1,2,3的3个盒子中, 要求每个盒子至少放1个球,且编号为1的盒子中球数不超过2个,则不同的放法种数为 _________.(用数字作答)     7     返回目录 解析　解法一　若编号为1的盒子中球数为1,则编号为2的盒子中的球数可以为1,2,3,4, 有4种情况; 若编号为1的盒子中球数为2,则编号为2的盒子中的球数可以为1,2,3,有3种情况, 综上所述,不同的放法种数为4+3=7. 解法二　隔板法　若编号为1的盒子中球数为1,则余下5个相同小球中间形成4个空,只 需将隔板放入其中之一即可,故有 种情况; 若编号为1的盒子中球数为2,则余下4个相同小球中间形成3个空,只需将隔板放入其中 之一即可,故有 种情况. 综上所述,不同的放法种数为4+3=7. 返回目录 五年高考 考点2　排列组合问题 1.★★(2022新高考Ⅱ,5,5分)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲 不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有( ) A.12种　　    B.24种　　    C.36种　　    D.48种     B     解析　丙和丁相邻共有 · 种站法,甲站在两端且丙和丁相邻共有 · · 种站法,所 以甲不站在两端且丙和丁相邻共有 · - · · =24种站法,故选B. 返回目录 2.★★★(2023全国甲理,9,5分)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期 六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的 不同安排方式共有( ) A.120种　　    B.60种　　    C.30种　　    D.20种     B     解析　先从5人中选出1人两天都参加,有 种选择,然后从其余4人中选2人分别安排在 周六和周日, 有 种方式,所以恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有  =60种,故选B. 返回目录 3.★★★(2021全国乙理,6,5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、 冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志 愿者,则不同的分配方案共有 ( ) A.60种　　    B.120种　　    C.240种　　    D.480种     C     解析　先将5人分为4组,其中一组有2人,另外三组各1人,共有 =10种分法,然后将4个 项目全排列,共有 =24种排法,根据分步乘法计数原理得到不同的分配方案共有 ·  =240种,故选C. 易错警示　本题容易出现将5人分为4组,共有分法 · · =60种的错误结果. 返回目录 4.★★(2020课标Ⅱ理,14,5分)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去 1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有__________种.     36     解析　从4名同学中先安排2名同学为一组,有 =6种选法,剩余2名同学各自一组,将3 组同学分配到3个小区,有 =6种分法,根据分步乘法计数原理,可得不同的安排方法有 6×6=36种. 返回目录 5.★★★(2025上海,9,5分)4个家长和2个儿童去爬山.6个人需要排成一条队列,要求队 列的头和尾均是家长,则不同的排列个数有___________种.     288     解析　先选两位家长排在首尾有 =12种排法;再排队中的四人有 =24种排法,故有 12×24=288种排法. 返回目录 6.★★★★(2024上海,10,5分)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素 中任意两者之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值为___________.     329     解析　由题意知集合中元素至多只有1个奇数,其余均是偶数. 先讨论三位数中的偶数个数, ①当个位为0时,百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列,则这样的偶数有  =72个; ②当个位不为0时,个位有 个数字可选,百位有 个数字可选,十位有 个数字可选,根 据分步乘法计数原理知这样的偶数共有   =256个, 最后加上单独的1个奇数,所以集合中元素个数的最大值为72+256+1=329. 返回目录 三年模拟 1.★(2025届山东菏泽二模,3)某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言,要求甲、 乙两名学生至少有一人参加,那么不同的选法为 ( ) A.32　　    B.20　　    C.16　　    D.10     C     解析　从6名学生中任选3名同学共有 =20种方法,这3名学生中没有甲、乙的选法共 有 =4种,所以甲、乙至少有一人参加的不同选法有20-4=16种.故选C. 返回目录 2.★★(2026届福建三明一中月考,6)甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游,他们都 从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个,若甲不去重 庆动物园,且甲、乙、丙三人去的景区互不相同,则这三人的不同选择方法共有  ( ) A.24种　　    B.18种　　    C.12种　　    D.6种     B 解析　因为甲不去重庆动物园, 所以甲有三种不同的去处, 又因为甲、乙、丙三人去的景区互不相同, 所以这三人的不同选择方法共有3 =3×3×2=18种,故选B. 返回目录 3.★★(2026届江苏泰州中学月考,5)将4本不同的书分给3名学生,每人至少一本,则不同 的分配方法数为 ( ) A.24　　    B.36　　    C.64　　    D.72     B     解析　把4本不同的书分成1,1,2三组,则有 =6种分组方法, 将分好的三组全排列,对应3个学生,有 =6种情况, 则有6×6=36种不同的分配方法.故选B. 返回目录 4.★★★(2026届浙江学军中学练习,6)公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率π的值的 范围是3.141 592 6<π<3.141 592 7,为纪念祖冲之在圆周率上的成就,把3.141 592 6称为 “祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们 把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机排列,整数部分3不变,那么可以得到大于3.14 的不同数字有 ( ) A.2 280个　　    B.2 120个　　     C.1 440个　　    D.7 206个     A     返回目录 解析　由于1,4,1,5,9,2,6这7个数字中有2个相同的数字1,故进行随机排列,可以得到的 不同情况有 种,而只有小数点后两位为11或12时,排列后得到的数字不大于3.14,故不 大于3.14的不同情况有2 种,故得到的数字大于3.14的不同情况有 -2 =2 280种. 返回目录 5.★★★(2025届安徽六安一中三模,6)六安市旅游资源非常丰富,夏季到景点漂流是很 多家庭的最佳避暑选择.某家庭共6个人,包括4个大人,2个小孩,计划去霍山漂流.景点现 有3只不同的船只可供他们选择使用,每船最多可乘3人,为了安全起见,小孩必须要大人 陪同,则不同的乘船方式共有 ( ) A.348种　　    B.288种　　     C.360种　　    D.60种     A     返回目录 解析　①若6人乘坐3只船:先将4个大人分成2,1,1三组,有 =6【部分均分: = = 6】种方法,然后将三组分到3只船有 =6种方法,再将两个小孩安排到3只船上有3×3-1 =8种方法,【减去2个小孩与2个大人同乘的情况】所以共有6×6×8=288种方法. ②若6人乘坐2只船:共有 × =60种方法【整体均分,再分配】. 综上,共有288+60=348种方法.故选A. 返回目录 6.★★(2026届河南郑州外国语学校调研,12)已知某射箭场馆共需要6名志愿者,其中3 名会说韩语,3名会说日语.目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语,5人只会日语,另外 还有1人既会韩语又会日语,则不同的选人方案共有___________种.(用数字作答)     140     解析　若从只会韩语的4人中选3人,则不同的选人方案有  =4×20=80种; 若从只会韩语的4人中选2人,则不同的选人方案有   =6×10=60种, 故不同的选人方案共有60+80=140种. 返回目录 7.★★(2026届浙江Z20名校联盟第一次联考,13)用1,2,3,12四个数组成一个五位数(每 个数仅用1次),则能组成__________个不同的五位数.     21     解析　由题意,总共能构成的5位数的个数为 =24, 考虑重复的情况,此时1与2相邻,且1排在2前,这样的5位数相当于将12,12,3三个数进行 排列得到,共有 =3个, 因此共能组成不同的5位数的个数为24-3=21. 返回目录 8.★★(2025届重庆南开中学月考,13)某年级将甲、乙、丙三位体育老师分配到5个不 同班级指导学生体育活动,要求每位体育老师至少指导一个班级,每个班级只有一位体 育老师指导,则不同的分配方案有___________种.     150     解析　将5个班级分成三组,有1+1+3和1+2+2两种方式,故有 × =150种不同 的分配方案. 返回目录 9.★★(2026届湖南衡阳一中第一次月考,13)现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组,要 求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加,则不同的报名方案有________种(用数字作答).     14     解析　间接法    4名同学总共有24=16种不同的报名方案,若4名同学都报雪上项目,则有 1种报名方案,若4名同学都报冰上项目,则有1种报名方案,故不同的报名方案有16-2=14 种. 返回目录 $