第50讲 二项式定理课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“二项式定理”专题，依据课标要求梳理了通项公式应用、二项式系数性质、特定项系数求解、多项展开式及实际应用五大核心考点，通过教材改编题（如选择性必修3习题）对接高考评价体系，明确特定项问题（占比约40%）、系数和计算（占比30%）等高频考点分布，归纳求常数项、系数最值等常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+技巧建模+素养提升”，如例1用通项公式求常数项、例2用赋值法求系数和，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念）。设“易错陷阱警示”（如混淆二项式系数与项的系数），教师可通过对应训练精准突破考点，帮助学生掌握“列方程求r值”等答题技巧，高效备战高考。

第9章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第50讲 二项式定理 2027届高考一轮复习数学 1 【课标要求】 1.能用计数原理证明二项式定理;熟练掌握二项展开式的通项公式. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 2 【知识要点】 1.二项式定理 (a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N*)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a+b)n的　 　;其中各项的系数  　叫　 　系数，与展开式中项的系数　 　相同.  2.(a+b)n展开式中的an-rbr叫二项展开式的　 　，用Tr+1表示，即Tr+1=an-rbr.  二项展开式 (r∈{0，1，…，n}) 二项式 不一定 通项 3 3.二项展开式的特点 (1)项数为　 　.  (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为　　.  (3)字母a按　 　 排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零;字母b按　 　排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.  n 降幂 n+1 升幂 4 4.二项式系数的性质 性质 内容 对称性 与首末两端_________的两个二项式系数相等，即___________. 增减性 当_ _______________时，二项式系数 逐渐增大； 当_ _______________时，二项式系数 逐渐减小. 各二项式 系数和 ____； ______； ______. “等距离” ， ， 5 【基础检测】 概念辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)an-kbk是二项展开式的第k项.(　　) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(　　) (3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(　　) (4)(a-b)n的展开式第k+1项的系数为an-kbk.(　　) (5)(x-1)n的展开式二项式系数和为-2n.(　　) × × √ × × 6 教材改编 2.[选择性必修3p34习题T1]在二项式的展开式中，含x4的项的系数是(　　) A.-10 B.-5 C.10 D.5 C [解析] 对于Tr+1=(x2)5-r=(-1)rx10-3r，由10-3r=4，得r=2， 所以x4的项的系数是(-1)2=10，故选C. 7 3.[选择性必修3p34T6]若(2-x)10展开式中二项式系数和为A，所有项系数和为B，一次项系数为C，则A+B+C=(　　) A.4095 B.4097 C.-4095 D.-4097 C [解析] (2-x)10展开式的通项公式为=·210-r·(-x)r=(-1)r·210-r·xr，所以一次项系数C=(-1)1×29×=-5120，二项式系数和A=210=1024，令x=1，则所有项的系数和B=(2-1)10=1，所以A+B+C=-4095.故选C. 8 4.[选择性必修3p34练习T2]化简:++…+=　　　　.  22n-1 [解析] 因为+++…+=22n，所以++…+=(++…+)=22n-1. 9 5.化简:(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1=　　　　　　　　.  32x5 [解析] 原式=(2x+1)5-(2x+1)4+(2x+1)3-(2x+1)2+(2x+1)-(2x+1)0 =[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5. 10 考点1 二项展开式中的特定项问题 例1　(1)二项式展开式的常数项为(　　) A.-160 B.60 C.120 D.240 B [解析] 展开式的通项为:Tk+1=·(2x)6-k=·26-k·(-1)k·， 令6-k=0得k=4，所以展开式的常数项为×22×(-1)4=60，故选B. 11 (2)已知(n∈N*)的展开式中x2的系数是7，则n=　　　　　　.  8 [解析] 因为展开式通项为·，令r=2，则展开式中x2的系数为×=7，即=7，解得n=-7或n=8，又n∈N*，所以n=8. 12 [小结]求二项展开式中的项的3种方法 求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项Tk+1=an-kbk的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围(k=0,1,2,…,n). (1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项; (2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程; (3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程. 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解. 13 1.(多选)已知，(n∈N*)的展开式中含有常数项，则n的可能取值为(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 AC [解析] (n∈N*)展开式的通项为:Tr+1=(-1)r·xn-r·=(-1)r·，其中r=0，1，2，3，…，n，令n-r=0，则r=n，可知n为4的倍数，故B，D错误; 当r=3时，n为4;当r=6时，n为8.故选AC. 对应训练 14 2.若二项式的展开式中各项的系数和为1024，则该展开式中含x-2项的系数是(　　) A.120 B.320 C.100 D.300 B [解析] 对，令x=1，得(2+2)n=4n=1024，解得n=5，二项式展开式的通项公式为Tr+1=··(2x-1)r=25··， 令-r=-2，解得r=3，故展开式中含x-2项的系数为25·=320，故选B. 15 考点2 二项式系数的性质与项的系数 角度1.二项式系数和与各项的系数和 例2　设(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100，求下列各式的值: (1)a0; (2)a1+a2+a3+a4+…+a100; (3)a1+a3+a5+…+a99; (4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2; (5)|a0|+|a1|+…+|a100|. 16 (1)a0; [解析] (1)令x=0，则展开式为a0=2100. (2)a1+a2+a3+a4+…+a100; [解析](2)令x=1，可得a0+a1+a2+…+a100=(2-)100，① 所以a1+a2+…+a100=(2-)100-2100. (3)a1+a3+a5+…+a99; [解析](3)令x=-1，可得a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+)100.② 与①式联立相减得a1+a3+…+a99=. 17 (4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2; [解析](4)由①②可得， (a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2 =(a0+a1+a2+…+a100)(a0-a1+a2-…+a100) =(2-)100×(2+)100=1. (5)|a0|+|a1|+…+|a100|. [解析](5)|a0|+|a1|+…+|a100|即(2+x)100的展开式中各项系数的和，在(2+x)100的展开式中，令x=1，可得原式=(2+)100. 18 [小结](1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可. (2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=. 19 角度2.二项式系数的最值 例3　设(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*)，若a1+a2+…+an=728，则展开式中二项式系数最大的项是(　　) A.160x3 B.60x2 C.240x4 D.20x3 A [解析] 由题可知，(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn， 当x=1时，a0+a1+a2+…+an=3n， 在(1+2x)n的展开式中，通项公式为:Tr+1=2rxr，则常数项对应的系数为a0， 即r=0，得a0=·20=1， 所以a1+a2+…+an=3n-1=728，解得n=6， 则(1+2x)6展开式中二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为:·23x3=160x3. 故选A. 20 [小结]二项式系数最大项的确定方法 当n为偶数时,展开式中第+1项的二项式系数最大,最大值为; 当n为奇数时,展开式中第项和第项的二项式系数最大,最大值为=. 21 角度3.项的系数的最值 例4　若(2+ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为(　　) A.(-∞，0)∪[2，3] B.(-∞，0)∪[] C.[2，3] D [] C [解析] 2n=512，n=9，T6=×24×(ax)5，T5=×25×(ax)4，T7=×23×(ax)6， ∵第6项的系数最大，∴则2≤a≤3.故选C. 22 [小结]二项展开式系数最大项的求法 如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法.设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,应用注意解出k后要检验各项符号. 23 3.若二项展开式中的各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为(　　) A.-252 B.-210 C.10 D.210 D [解析] 因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第6项最大，所以n=10， 则展开式的通项Tr+1=(x3)10-r·=(-1)rx30-5r(0≤r≤10且r∈N)，令30-5r=0，解得r=6，所以T7=(-1)6=210，即展开式中常数项为210.故选D. 对应训练 24 4.设(2x-)6=a0+a1x+…+a6x6，则(a1+a3+a5)2-(a0+a2+a4+a6)2=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 A [解析] 令x=1得(2-)6=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6， 令x=-1得(-2-)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6， ∴(a1+a3+a5)2-(a0+a2+a4+a6)2=-(a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6)(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6) =-(2-)6·(-2-)6=-1.故选A. 25 5.(多选)已知(n∈N*)的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为2187，则(　 　) A.展开式中奇数项的二项式系数之和为64 B.展开式中存在常数项 C.展开式中含x4项的系数为560 D.展开式中系数最大的项为672 ACD [解析] 由二项式的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以=，解得n=7，所以二项式的系数之和为27=128，又展开式的各项系数之和为2187，即令x=1得(1+a)7=2187，解得a=2， 又由奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，则奇数项的二项式系数之和为×128=64，故A正确; 26 由的展开式的通项Tr+1=x2(7-r)=2r，令14-r=0， 解得r=，故展开式中不存在常数项，故B错误; 又令14-r=4，解得r=4，所以展开式中含x4项的系数为24=560，故C正确; 由得，≤r≤，又r∈N，所以r=5， 所以展开式中系数最大的项为T5+1=25=672，故D正确.故选ACD. 27 考点3 多项展开式中的特定项或系数问题 角度1.几个多项式和的展开式 例5　在(1-x)5+(1-x)6+…+(1-x)10的展开式中，含x2的项的系数为(　　) A.165 B.-165 C.155 D.-155 C [解析] (1-x)5+(1-x)6+…+(1-x)10的展开式中含x2的项的系数为: +++++=++++++-=+++++-10=++++-10=+++-10=++-10=+-10=-10=165-10=155. 故选C. 28 [小结]对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可. 29 角度2.几个多项式积的展开式 例6　(3x-y)(2x+y)5的展开式中，x3y3的系数为(　　) A.200 B.40 C.120 D.80 B [解析] (3x-y)(2x+y)5=3x(2x+y)5-y(2x+y)5，而(2x+y)5展开式的通项为Tk+1=(2x)5-k·yk，所以当k=3时，3x·(2x+y)5中x3y3的系数为3××22=120， 当k=2时，-y(2x+y)5中x3y3的系数为-1××23=-80， 所以(3x-y)(2x+y)5中x3y3的系数为120-80=40，故选B. 30 [小结]对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏. 31 角度3.三项展开式 例7　在(x2-x+y)6的展开式中，x5y2的系数为(　　) A.4 B.-4 C.-60 D.60 C [解析] (x2-x+y)6=[(x2-x)+y]6， 其展开式的通项为Tr+1=(x2-x)6-ryr， 若先满足x5y2中y2的次数，则r=2， 可得T3=15(x2-x)4y2， 其中(x2-x)4展开式的通项为Tk+1=(x2)4-k·(-x)k=(-1)kx8-k， 令8-k=5，得k=3，所以T4=-4x5， 故x5y2的系数为-4×15=-60.故选C. 32 [小结]对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 33 6.在(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中，x3的系数为(　　) A.120 B.210 C.720 D.5040 B [解析] 由题意可得x3的系数为+++…+=1+-+-+-+-+-+-===210.故选B. 对应训练 34 7.将多项式a7x7+a6x6+a5x5+…+a1x+a0分解因式得(x-2)2(x+1)5，则a5=(　　) A.16 B.14 C.-6 D.-10 C [解析] 由题意，(x-2)2(x+1)5=(x2-4x+4)(x+1)5， a5x5=x2·x3·12-4x·x4·1+4×x5=-6x5，所以a5=-6，故选C. 35 8.若(x-1)(1+2x)7=b0+b1(x+1)+b2(x+1)2+…+b8(x+1)8则b0+b2+b4+b6+b8=(　　) A. B. C.38 D.38-1 B [解析] 因为(x-1)(1+2x)7=b0+b1(x+1)+b2(x+1)2+…+b8(x+1)8， 令x=0得，b0+b1+b2+…+b8=-1①， 令x=-2得，b0-b1+b2-b3+…+b8=38②， ①+②得，2(b0+b2+b4+b6+b8)=38-1， 所以b0+b2+b4+b6+b8=.故选B. 36 考点4 二项式定理的应用 例8　设a∈Z，且0≤a<13，若512026+a能被13整除，则a=(　　) A.0 B.1 C.11 D.12 D [解析] 512026+a=(52-1)2026+a=522026+522025(-1)1+…+522026-r(-1)r +…+(-1)2026+a， ∵522026+522025(-1)1+…+522026-r(-1)r+…+52(-1)2025能被13整除，且512026+a能被13整除， ∴(-1)2026+a=1+a也能被13整除，且0≤a<13，a∈Z，因此a=12. 37 9.250-1除以7的余数是(　　　) A.0 B.1 C.2 D.3 D [解析] 250=4×248=4×(23)16=4×(7+1)16=4×(·716+·715+…+·7+) =4×(·716+·715+…+·7)+4， 则250-1=4×(·716+·715+…+·7)+3， 又4×(·716+·715+…+·7)是7的倍数，故余数为3.故选D. 对应训练 38 $