第52讲 事件的相互独立、条件概率与全概率公式课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“事件的相互独立、条件概率与全概率公式”核心考点，依据课标要求梳理了独立性判断、条件概率计算、全概率公式应用三大考查方向。通过教材改编题与模拟题分析，明确事件独立性（占比约30%）和条件概率（占比约40%）为高频考点，归纳出判断、计算、实际应用三类常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“真题溯源+方法提炼+素养提升”的复习策略，如以2025年湖南长沙二模信号传输题为例，详解全概率公式“分解事件—求概率—代入公式”三步法，培养学生的数学思维与数学语言表达素养。特设易错点辨析（如独立性与互斥事件混淆）和答题模板，助力学生掌握解题技巧，教师可据此系统开展专题复习，提升备考效率。

第9章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第52讲　事件的相互独立、条件概率与全概率公式 2027届高考一轮复习数学 1 【课标要求】 1.了解两个随机事件独立性的含义，利用独立性计算概率. 2.了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率. 3.了解条件概率与独立性的关系. 4.会利用乘法公式计算概率. 5.会利用全概率公式计算概率. 2 【知识要点】 1.事件的相互独立性 (1)相互独立事件的定义 对任意两个事件A与B，若P(AB)=　 　成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.  (2)相互独立事件的性质 ①当事件A，B相互独立时，则事件　　与事件相互独立，事件与事件　　相互独立，事件与事件相互独立.  ②对于n个事件A1，A2，…，An，若其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立. P(A)·P(B) B A 3 2.条件概率与乘法公式 (1)条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)=为在　 　发生的条件下，　 　发生的条件概率，简称条件概率.  (2)条件概率与独立性的关系 当P(A)>0时，当且仅当事件A与B　 　时，有P(B|A)=P(B).  (3)乘法公式 定义:对于两个事件A和B，若P(A)>0，则P(AB)=　 　.此公式称为概率的乘法公式.  事件A 事件B 相互独立 P(A)P(B|A) 4 (4)条件概率的性质 设P(A)>0，则 ①P(Ω|A)=　 　;  ②如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=　 　;  ③设和B互为　 　，则P(|A)=1-P(B|A).  1 P(B|A)+P(C|A) 对立事件 5 3.全概率公式 定义:一般地，设A1，A2，…，An是一组　 　的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 P(B)=  　 .此公式称为全概率公式.  两两互斥 P(Ai)P(B|Ai) 6 【基础检测】 概念辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对事件A，B，有P(B|A)=P(A|B).(　　) (2)相互独立事件就是互斥事件.(　　) (3)对于任意两个事件，公式P(AB)=P(A)·P(B)都成立.(　　) (4)若P(B|A)=P(B)，则事件A，B相互独立.(　　) (5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率.(　　) × × × √ √ 7 教材改编 2.[必修2p249T3]天气预报预测，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　) A.0.2 B.0.3 C.0.38 D.0.56 C [解析] 设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A+B， ∴P(A+B)=P(A)+P(B) =P(A)P()+P()P(B) =0.2×0.7+0.8×0.3 =0.38. 8 3.掷两枚质地均匀的骰子，设事件A=“第一枚出现奇数点”，事件B=“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为(　　) A.互斥事件 B.互为对立事件 C.相互独立事件 D.相同事件 C [解析] 因为事件A与事件B能同时发生，故事件A与事件B既不是互斥事件，也不是对立事件，故A，B错误;事件A与事件B相互独立，故选C. 9 4.[选择性必修3p46例1]小红的妈妈为小红煮了7个汤圆，其中3个黑芝麻馅，4个五仁馅，小红随机取出两个，事件A=“取到的两个是同一种馅”，事件B=“取到的两个都是黑芝麻馅”，则P(B|A)=(　　) A. B. C. D. B [解析] 因为P(A)==，P(AB)=P(B)==，所以P(B|A)==，故选B. 10 5.已知某校高三男、女同学人数相同，有5%的男同学和0.25%的女同学患色盲，现随机选一名同学，这位同学恰好患色盲的概率是(　　) A.0.01245 B.0.05786 C.0.02625 D.0.02865 C [解析] 用事件A1表示“随机选一名同学是男生”，用事件A2表示“随机选一名同学是女生”，用事件B表示“这位同学恰好患色盲”，则Ω=A1∪A2， 且A1，A2互斥，由题意知P(A1)=P(A2)=， P(B|A1)=5%，P(B|A2)=0.25%， 由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=×5%+×0.25%=0.02625.故选C. 11 考点1 事件的相互独立性 角度1.事件的相互独立性的判断 例1　袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回地摸出两张卡片.事件M=“第一次摸得偶数”，N=“第二次摸得2”，Q=“两次摸得数字之和大于8”，R=“两次摸得数字之和是6”，则(　　) A.M与Q相互独立 　 　 B.N与R相互独立 C.N与Q相互独立 　　 D.Q与R相互独立 B 12 [解析] 有放回摸出两张卡片的样本空间: Ω={11，12，13，14，15，21，22，23，24，25，31，32，33，34，35，41，42，43，44，45，51，52，53，54，55}，共25个结果，事件M={21，22，23，24，25，41，42，43，44，45}，共10个结果，P(M)==， 事件N={12，22，32，42，52}，共5个结果，P(N)==，事件Q={45，54，55}，共3个结果，P(Q)=，事件R={15，24，33，42，51}，共5个结果，P(R)==. 13 对于A，P=，P(M)P(Q)=×=，P≠P(M)P(Q)，事件M与Q不相互独立，A错误; 对于B，P=，P(N)P(R)=×=，P=P(N)P(R)，事件N与R相互独立，B正确; 对于C，P=0，P(N)P(Q)=×=，P≠P(N)P(Q)，事件N与Q不相互独立，C错误; P(QR)=0，P(Q)P(R)=×=，P(QR)≠P(Q)P(R)，事件Q与R不相互独立，D错误.故选B. 14 [小结]判断两个事件是否相互独立的方法 (1)直接法:直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率. (2)定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立. (3)转化法:由事件A与事件B相互独立知,A与,与B,与也相互独立. 15 角度2.与事件的相互独立性有关的概率问题 例2　某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响. (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率. 16 (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; [解析] (1)记Ai(i=1，2，3，4)表示该选手能正确回答第i个问题，则 P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(A4)=. 该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功， 各轮问题能否回答正确互不影响， 所以所求概率是P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)·P(A3)P()=×××=. 17 (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率. [解析] (2)该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰，可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的， 所以所求概率为P(+A1+A1A2)=P()+P(A1)+P(A1A2) =1-+×+××=. 18 [小结](1)求相互独立事件同时发生的概率时,一般先求出每个事件发生的概率,再求积. (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们能同时发生. 19 1.(多选)设样本空间Ω={a，b，c，d}含有等可能的样本点，且事件A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}，则(　　 ) A.事件A和B相互独立 B.事件A和C相互独立 C.事件B和C相互独立 D.事件A，B，C相互独立 ABC [解析] 可求得P(A)=，P(B)=，P(C)=，P(AB)=，P(AC)=，P(BC)=，P(ABC)=，所以P(AB)=P(A)·P(B)，P(AC)=P(A)·P(C)，P(BC)=P(B)·P(C)， 故选项A，B，C正确;但P(A)·P(B)·P(C)=≠，所以P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)，故选项D错误.故选ABC. 对应训练 20 2.在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯灭的概率是(　　) A. B. C. D. C [解析] 由电路图可知，要使灯泡亮，必须a闭合，b或c闭合，故灯亮的概率为××+××+××=，则灯灭的概率是，故选C. 21 3.甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是，乙解出此问题的概率是.则甲、乙都解出此问题的概率为　　　　;甲、乙都未解出此问题的概率为　　　　;甲、乙恰有一人解出此问题的概率为　　　　.  22 [解析] 记甲独立解出此题为事件A，乙独立解出此题为事件B，则A与B为相互独立事件，且P(A)=，P(B)=. 所以P(AB)=P(A)·P(B)=×=; P()=P()·P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]=×=; 记事件C为甲、乙恰有一人解出此问题，则C=A+B， P(C)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=P(A)·[1-P(B)]+[1-P(A)]·P(B) =×+×==. 23 考点2 条件概率及其计算 例3　(1)(多选)已知分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则(　　) A.P(B|A)+P(|A)=P(A) B.P(B|A)+P(|A)=1 C.若A，B独立，则P(A|B)=P(A) D.若A，B互斥，则P(A|B)=P(B|A) BCD 24 [解析] 由P+P===1，故A错误，B正确; 若A，B独立，则P(AB)=P(A)P(B)， P==P(A)，故C正确; 若A，B互斥，则P(AB)=0，P==0，P==0，D正确. 故选BCD. 25 (2)(2025·湖南长沙·二模)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2;发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为(　　) A.0.2 　B.0.5 C.0.8 D.0.9 C [解析] 根据题意，设事件A0为“发送信号0”，事件A1为“发送信号1”，事件B0为“接收信号为0”，事件B1为“接收信号为1”，则P(B0|A0)=0.8，P(B1|A0)=0.2，P(B0|A1)=0.1，P(B1|A1)=0.9. 设发送信号为1的概率为x，则接收信号为1的概率P=P(A0)P(B1|A0)+P(A1)P(B1|A1) =(1-x)×0.2+x×0.9=0.76，解得x=0.8，即发送信号为1的概率为0.8. 故选C. 26 (3)五一劳动节某单位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一长假期间值班2天，则甲连续值班的概率是　　　　　　.  [解析] 设A=“甲在五一假期值班两天”，B=“甲连续值班”，因为已知甲在五一长假期间值班2天，所以丙和乙分别值班一天、两天或两天、一天，所以五一假期甲、乙、丙三人值班方案共有n(A)==××2×1=60种，又因为甲在五一长假期间连续值班两天，可以是第1，2两天或第2，3两天或第3，4两天或第4，5两天，所以甲在五一长假期间值班2天且甲连续值班的方案共有n(AB)=4=4××2×1=24种， 所以由条件概率公式得P(B|A)====. 27 [小结]1.掌握“2步骤” 第一步:判断是否为条件概率,若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼,一般为条件概率.题目中若没有出现上述字眼,但已知事件的出现影响所求事件的概率时,也需注意是否为条件概率.若为条件概率,则进行第二步. 第二步:代入条件概率公式求解. 28 2.活用“2方法” (1)定义法 先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=,求P(B|A). (2)基本事件法 当基本事件适合有限性和等可能性时,可借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=. 3.注意“1不同” 要注意P(B|A)与P(A|B)的不同:前者是在A发生的条件下B发生的概率,后者是在B发生的条件下A发生的概率. 29 4.设A，B为任意两个事件，且A⊆B，P(B)>0，则下列选项必成立的是(　　) A.P(A)>P 　　 B.P(A)≥P C.P(A)<P 　　 D.P(A)≤P D [解析] 由A⊆B得A∩B=A，故P(A)=P(AB)≤P(B)，而P(A|B)==， 则P(A|B)P(B)=P(A)，又1≥P(B)>0，所以P(A)≤P.故选D. 对应训练 30 5.2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加A市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为　　　　.  [解析] 设“甲同学被选出”记为事件A，“乙同学被选出”记为事件B， 则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率P(B|A)===. 31 6.甲、乙两位游客慕名来到江城武汉旅游，准备分别从黄鹤楼、东湖、昙华林和欢乐谷4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A:甲和乙至少一人选择黄鹤楼，事件B:甲和乙选择的景点不同，则P=(　　) A. B. C. D. A [解析] 设事件M:甲选择黄鹤楼，事件N:乙选择黄鹤楼，可知P(M)=，P(N)=， 因为事件:甲和乙均没有选择黄鹤楼， 可得P===，所以P(A)=1-P()=， 又因为事件AB:甲和乙至少一人选择黄鹤楼，且甲和乙选择的景点不同， P(AB)=P(M)P+PP(N)=×+×=， 所以P===.故选A. 32 考点3 全概率公式的运用 角度1.全概率公式的正用 例4　人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理:首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型:有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.多次试验直到摸出红球，试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为(先验概率). 33 (1)求首次试验结束的概率; (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整. (ⅰ)求选到的袋子为甲袋的概率; (ⅱ)将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案;方案一，从原来袋子中摸球;方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 34 (1)求首次试验结束的概率; [解析] (1)设试验一次，“取到甲袋”为事件A1，“取到乙袋”为事件A2，“试验结果为红球”为事件B1，“试验结果为白球”为事件B2， P(B1)=P(A1)P+P(A2)P=×+×=. 所以首次试验结束的概率为. 35 (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整. (ⅰ)求选到的袋子为甲袋的概率; [解析] (2)(ⅰ)因为B1，B2是对立事件，P(B2)=1-P(B1)=， 所以P= = = = ， 所以选到的袋子为甲袋的概率为. 36 (ⅱ)将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案;方案一，从原来袋子中摸球;方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. [解析] (ⅱ)由(ⅰ)得P=1-P=1-=， 所以方案一中取到红球的概率为: P1=PP+PP=×+×=， 方案二中取到红球的概率为: P2=PP+PP=×+×=， 因为>，所以方案二中取到红球的概率更大. 37 角度2.全概率公式的变用 例5　(2025年山东省泰安市三模)乒乓球比赛规则规定:在双方打成10平后，领先两分者获胜.在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球乙同学得分的概率为，且对以后的每一球，若乙同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为，若乙同学在本球中未得分，则他在下一球的得分概率为. (1)求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率; (2)求乙同学最终获胜的概率. 38 (1)求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率; [解析] (1)在打了两个球后结束，则甲连胜两球或乙连胜两球， 设事件A为“再打两球后结束”，事件B为“乙赢得比赛”， 则P(A)=×+×=，P(AB)=×=，故P==. 39 (2)求乙同学最终获胜的概率. [解析] (2)设事件C为“乙赢了本球”，事件M为“乙赢了上一球”， 设事件Di(i=-1，0，1)为“当前乙同学分数与甲同学分数之差为i时，最终乙同学获胜”， 当i=1时，乙肯定赢了上一球，此时P(C)=，若赢球则乙直接赢得比赛，若输球则乙获胜的概率为P(D0|)，所以P(D1)=P(D1|C)·P(C)+P(D1|)·P()=+P(D0|)， 同理，当i=-1时，乙肯定输了上一球，此时P(C)=，若输球则输掉比赛，若赢球则获胜的概率为P(D0|M)，所以P(D-1)=P(D-1|C)·P(C)+P(D-1|)·P()=P(D0|M)， 40 当i=0时，若乙赢了上一球，此时P(C)=，若赢球则获胜的概率为P(D1)，若输球则获胜的概率为P(D-1)，所以P(D0|M)=P(D1)P(C)+P(D-1)P()=P(D1)+P(D-1)， 若乙输了上一球，P(C)=， 同理P(D0|)=P(D1)P(C)+P(D-1)P()=P(D1)+P(D-1)， 又初始P(C)=，故乙同学最终获胜的概率等价于P(D0|)， 所以 解得P(D0|)=.所以乙同学最终获胜的概率为. 41 [小结]利用全概率公式解题的思路 (1)按照确定的标准,将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n). (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai). (3)代入全概率公式计算. 42 7.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为　　　　.  0.625 [解析] 设“考生答对题目”为事件A，“考生知道正确答案”为事件B， 则P(B)=0.5，P(A|B)=1，P(A|)=0.25， ∴P(A)=P(A∩B)+P(A∩)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=1×0.5+0.25×0.5=0.625. 对应训练 43 8.某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中. (1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率; (2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率. 44 (1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率; [解析] (1)设Ai表示“第i次从乙箱中取到填空题”，i=1，2， P(A1)=，P==，P==， 由全概率公式得第2次抽到填空题的概率为 P(A2)=P(A1)P+PP=×+×=. 45 (2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率. [解析](2)设事件A 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”， 事件B1为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”， 事件B2为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”， 事件B3为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”， 46 则B1，B2，B3彼此互斥，且B1∪B2∪B3=Ω， 且P(B1)==，P(B2)==，P(B3)==， 因为P(A|B1)=，P(A|B2)=，P(A|B3)=， 所以P(A)=P(B1)×P(A|B1)+P(B2)×P(A|B2)+P(B3)×P(A|B3)=×+×+×=， 所求概率即是A发生的条件下B1发生的概率:P(B1|A)====. 47 $