10.4　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“事件的相互独立性、条件概率与全概率公式”核心考点，依据高考评价体系明确概念理解、概率计算、实际应用三大考查要求。通过梳理近五年高考真题及模拟题，分析得出相互独立事件判断与概率计算占比45%、条件概率占30%的高频考点分布，归纳出定义法判断独立性、古典概型求条件概率等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题改编+技巧提炼+素养渗透”的复习策略，如以医学研究疾病概率问题为例，用全概率公式分解步骤，培养学生数学思维中的推理能力和数学语言中的模型观念。设“学霸笔记”总结定义法、转化法等突破方法，通过“自主诊断”辨析易错点，助力学生掌握答题技巧。教师可依托此课件实施系统复习，提升学生高考冲刺得分率。

第四节　事件的相互独立性、 条件概率与全概率公式 1 知识清单 1.相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝________，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与_____，与____，与也都相互独立． P(A)P(B) B 返回导航 2 2．条件概率 (1)概念：设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称____________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)＝________； ②概率的乘法公式：P(AB)＝___________． (3)性质：设P(A)>0，则 ①P(Ω|A)＝________； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝______________； ③设和B互为对立事件，则P＝______________． P(B|A)＝ P(A)P(B|A) 1 P(B|A)＋P(C|A) 1－P(B|A) 返回导航 3 3．全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，B(Ω)＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝____________，此公式为全概率公式． (Ai)P(B|Ai) 返回导航 4 【常用结论】 1．如果A1，A2，…，An相互独立，那么P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)． 2．若P(A)>0，当且仅当事件A与B相互独立时，P(B|A)＝P(B)． 返回导航 5 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现的点数大于2”，B＝“第二枚出现的点数小于6”，则A与B相互独立．(　　) (2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　　) (3)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B).(　　) (4)若A，B相互独立，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，则A，B都不发生的概率为0.3.(　　) √ × √ √ 返回导航 6 2．(人教A版必修二P251例2改编)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人都脱靶的概率为(　　) A．0.02 B．0.08 C．0.18 D．0.72 答案：A 解析：两人都脱靶的概率为P＝(1－0.8)×(1－0.9)＝0.02. 返回导航 7 3．(人教A版选修三P46例1改编)在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：C 返回导航 8 返回导航 9 4．(人教A版选修三P50例4改编)学校有A，B两家餐厅，刘同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.刘同学第2天去A餐厅用餐的概率为________． 0.7 解析：根据题意设A1表示“第1天去A餐厅用餐”，B1表示“第1天去B餐厅用餐”，A2表示“第2天去A餐厅用餐”，由题意P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8，由全概率公式得王同学第2天去A餐厅用餐的概率为P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7. 返回导航 10 命题点一　相互独立事件 考向1　相互独立事件的判断 例1 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 答案：B 返回导航 11 返回导航 12 学霸笔记：(1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率． (2)定义法：判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立． (3)转化法：由事件A与事件B相互独立知，A与与B，与也相互独立． 返回导航 13 跟踪训练　(多选)(衔接·人教A版必修二P249T1改编)分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第1枚正面朝上”，事件B＝“至少有一枚反面朝上”，事件C＝“两枚都正面朝上”，事件D＝“两枚硬币朝上的面相同”，则(　　) A．事件A与事件C独立 B．事件B与事件C对立 C．事件B与事件D互斥 D．事件A与事件D独立 答案：BD 返回导航 14 返回导航 15 考向2　相互独立事件的概率 例2 2024年阿里巴巴全球数学竞赛公布决赛名单，801人成功晋级，某17岁中专生排名12名，引发社会广泛关注，进而点燃了全社会对数学的热情．某高校数学竞赛爱好者小组中的甲、乙、丙3人，各自独立去做2024年阿里巴巴全球数学竞赛预赛中的某道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为. (1)求乙、丙各自解出该题的概率； (2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率． 返回导航 16 返回导航 17 学霸笔记：(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． (2)正面求解较麻烦(如“至多”“至少”问题)或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 返回导航 18 跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P267T8改编)某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为________． 解析：根据题意，设事件A＝“李华最终通过面试”，则其对立事件为“李华没有通过面试”，则P()＝(1－)×(1－)×(1－)＝，则P(A)＝1－P()＝，即李华最终通过面试的概率为. 返回导航 19 命题点二　条件概率 例3 (1)(2026·南京模拟)从编号1～7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则P(B|A)＝(　　) A．　　　B． C．　　　D． 答案：A 返回导航 20 返回导航 21 (2)(2026·沧州模拟)已知口袋内放有8个大小、质地均匀的小球，其中4个白球，4个红球，每次从中不放回地摸出2个小球，设事件A1表示第1次摸出的小球中恰有1个红球，事件A2表示第2次摸出的小球中有红球，则P(A2|A1)＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 返回导航 22 学霸笔记：(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝； (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n(A)，再在事件A发生的条件下，求事件B包含的样本点数n(AB)，得P(B|A)＝. 返回导航 23 跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修三P48T2改编)从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次随机抽取1张扑克牌，抽出的牌不再放回．在第一次抽到K牌的条件下，第二次抽到K牌的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：D 返回导航 24 返回导航 25 (2)(衔接·人教A版选修三P48T3改编)在一个不透明箱子中装有10个大小、质地完全相同的球，其中白球7个，黑球3个．现从中不放回地依次随机摸出两个球，已知第二次摸出的是黑球，则第一次摸出的是白球的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：B 返回导航 26 解析：设第一次摸出白球为事件A，第二次摸出黑球为事件B，则第一次摸出黑球为事件.∵P(B)＝P(AB)＋P(B)＝×＋×＝，∴P(AB)＝＝＝. 返回导航 27 命题点三　全概率公式 例4 (1)(2026·阳江模拟)医学部门对某地区的一种地方性疾病进行医学研究，已知该地区有良好卫生习惯的居民占0.6，没有良好卫生习惯的居民占0.4，该地区所有居民患这种地方性疾病的概率为0.014.若有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为0.01，则没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为(　　) A．0.03 B．0.024 C．0.02 D．0.018 答案：C 返回导航 28 解析：设事件A＝“居民患有这种地方性疾病”，事件B1＝“居民有良好卫生习惯”，事件B2＝“居民没有良好卫生习惯”．由题意，P(B1)＝0.6，P(B2)＝0.4，P(A)＝0.014，P(A|B1)＝0.01，由全概率公式，可得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)，即0.014＝0.6×0.01＋0.4×P(A|B2)，解得P(A|B2)＝0.02，即没有良好卫生习惯的居民患这种地方性疾病的概率为0.02.故选C. 返回导航 29 (2)现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球、2个黑球，2号罐子中装有2个红球、3个黑球．现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为________． 返回导航 30 学霸笔记：(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，，n)． (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)． (3)代入全概率公式计算． 返回导航 31 跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修三P52练习T2改编)两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品不是次品的概率为(　　) A．0.956 B．0.966 C．0.044 D．0.036 答案：A 解析：设事件B＝“任取一件产品不是次品”，事件Ai＝“产品取自第i批，i＝1，2”，A1与A2互斥，由题意可知P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.95，P(B|A2)＝0.96，∴这件产品不是次品的概率为P(B)＝0.4×0.95＋0.6×0.96＝0.956. 返回导航 32 (2)(衔接·人教A版选修三P53T5改编)在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8，现从这三个地区中任取一人，则这个人患流感的概率是________． 0.048 5 解析：记事件D：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自A地区，记事件F：此人来自B地区，记事件G：此人来自C地区，由题意可得P(E)＝＝0.25，P(F)＝＝0.35，P(G)＝＝0.4，P(D|E)＝0.06，P(D|F)＝0.05，P(D|G)＝0.04，由全概率公式可得P(D)＝P(E)·P(D|E)＋P(F)·P(D|F)＋P(G)·P(D|G)＝0.25×0.06＋0.35×0.05＋0.4×0.04＝0.048 5. 返回导航 33 1．甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，则恰有一人成功破译的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：恰有一人成功破译的概率为P＝.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 34 2．已知事件A与事件B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，则P＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：因为事件A，B是相互独立事件，所以事件也是相互独立事件，又P(A)＝，P(B)＝，所以P＝1－P(A)＝，P＝1－P(B)＝，故P＝PP＝.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 35 3．已知A，B是一个随机试验中的两个随机事件，若P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，则(　　) A．A与B相互独立且P(A＋B)＝ B．A与B不相互独立且P(A＋B)＝ C．A与B相互独立且P(A＋B)＝ D．A与B不相互独立且P(A＋B)＝ 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 解析：由题设P(AB)＝，P(A)P(B)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与事件B相互独立，由概率的性质，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 4．(2026·南充模拟)同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 解析：同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对(x，y)，则总共有6×6＝36种可能，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，所以事件A包含的样本点个数有3×6＝18个，所以P(A)＝，事件AB包含的基本事件有(3，5)，(5，3)，所以P(AB)＝＝.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 5．某校积极开展社团活动，学期结束时，社团老师对参加社团的同学进行选择性考核．某社团有小明、小刚等5位同学参加，现选3位同学参加考核，则在小明被选中的条件下，小刚被选中的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：设事件A为“小明被选中参加考核”，事件B为“小刚被选中参加考核”，则P(A)＝，P(AB)＝＝.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 6．(2026·西安模拟)小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为(　　) A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54 答案：D 解析：设去西安市与汉中市旅游分别为事件A1，A2，则P(A1)＝0.7，P(A2)＝0.3.设事件B为去游乐园，则P(B|A1)＝0.6，P(B|A2)＝0.4.所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.7×0.6＋0.3×0.4＝0.54.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 7．某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.则智能客服的回答被采纳的概率为(　　) A. B． C． D． 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 解析：设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件B，则P(A)＝1－，P＝＝，P＝，根据全概率公式，P(B)＝P(A)PP＝.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 8．设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 解析：甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为，则甲、乙两人每次未投进篮球的概率分别为，根据题意，第一次甲投或乙投均为，前4次中甲恰好投篮3次的情况为第一次乙投进第二、三次甲均未投进第四次甲投篮，其概率为； 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 第一次甲投进第二次乙投进第三次甲未投进第四次甲投篮，其概率为；第一次甲未投进第二次甲投进第三次乙投进第四次甲投篮，其概率为；第一、二次甲未投进第三次甲投进第四次乙投篮，其概率为.则前4次中甲恰好投篮3次的概率为.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 9．如图，一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}．A表示事件“数字为质数”，B表示事件“数字为偶数”，C表示事件“数字大于4”，D表示事件“数字为8”，则(　　) A．A与B相互独立 B．B与C相互独立 C．A与C相互独立 D．B与D相互独立 答案：BC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 解析：依题意，A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}，C＝{5，6，7，8}，D＝{8}，AB＝{2}，BC＝{6，8}，AC＝{5，7}，BD＝{8}，则P(A)＝P(B)＝P(C)＝，P(D)＝，P(AB)＝，P(BC)＝P(AC)＝，P(BD)＝，所以P(AB)≠P(A)P(B)，P(BC)＝P(B)P(C)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BD)≠P(B)P(D)，故B与C相互独立，A与C相互独立，A与B不相互独立，B与D不相互独立．故选BC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 10．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5∶6∶9，现任取一个零件，记事件Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，事件B＝“零件为次品”，则(　　) A．P(A1)＝0.25 B．P(B|A2)＝ C．P(B)＝0.048 D．P(A1|B)＝ 答案：ACD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 解析：对于A、B，事件Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，事件B＝“零件为次品”，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，故A正确，B错误；对于C，P(B) ＝＋P(A3)P(B|A3)＝×6%＋×5%＋4%＝0.048，故C正确；对于D，P(A1|B)＝，故D正确．故选ACD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 11．“青年大学习”是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为，且两题是否答对互不影响．则小华恰好答对一个问题的概率为________． 解析：小华恰好答对一个题有两种情况，第一个问题答对第二个问题答错，或者第一个问题答错第二个问题答对．故恰好答对一个问题的概率为＋. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 12．班主任安排班干部在暑假给教室的绿植浇一次水，若不浇水，绿植枯萎的概率为0.7；若浇水，绿植枯萎的概率为0.15，而班干部浇水的概率为0.9，则开学返校时绿植枯萎的概率为________． 0.205 解析：设事件A为“绿植枯萎”，事件B为“班干部浇水”，则P(A|B)＝0.15，P＝0.7，P(B)＝0.9，则P(A)＝P·P＝0.15×0.9＋0.7×0.1＝0.205. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 13．(13分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求甲在两轮活动中，至少猜对一个成语的概率； (2)求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 解析：(1)设A表示甲每轮猜对成语的事件， ∵P(A)＝，P＝1－， 故甲在两轮活动中，没有猜对成语的概率为， 因此甲在两轮活动中，至少猜对一个成语的概率1－. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 (2)设B表示乙每轮猜对成语的事件，则P(B)＝，P＝1－， M1，M2表示第一轮甲乙猜对1个、2个成语的事件， N1，N2表示第二轮甲乙猜对1个、2个成语的事件，D3表示两轮猜对3个成语的事件． 则P(M1)＝P(N1)＝P＝， P(M2)＝P(N2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝， P(D3)＝P(M1)P(N2)＋P(M2)P(N1)＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 14．(15分)甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球． (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 解析：(1)记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”， 则P(A)＝1－，P(AB)＝， 故P(B|A)＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 (2)设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”， 则P(C)＝，P＝＝，P＝， 则P(D)＝P(CD)＋P＝P(C)PP＝， 故P(C|D)＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 58 15．(5分)某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题(不放回)作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 59 解析：设事件Q为“丙从B箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”，事件R为“乙从A箱中取出2道代数题”，则P(R)＝，事件S为“乙从A箱中取出1道代数题和1道几何题”，则P(S)＝，事件T为“乙从A箱中取出2道几何题”，则P(T)＝，当R发生时，B箱中有5道代数题和3道几何题，则P(Q│R)＝1－； 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 60 当S发生时，B箱中有4道代数题和4道几何题，则P(Q│S)＝1－；当T发生时，B箱中有3道代数题和5道几何题，则P(Q│T)＝1－.由全概率公式可得P(Q)＝P(R)P(Q|R)＋P(S)P(Q|S)＋P(T)P(Q|T)＝.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 61 16.(5分)(2026·秦皇岛模拟)甲、乙、丙3名学生各自回答同一个问题，回答正确与否互不影响．已知：①甲回答正确的概率为；②3名学生至少有1人回答正确的概率为；③乙回答正确且丙回答错误的概率为.则甲、乙、丙均回答正确的概率为________． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 62 解析：设甲、乙、丙回答正确的事件分别为A，B，C，由题意知A，B，C互相独立，设P(B)＝b，P(C)＝c，由①知P(A)＝，根据③可知P＝P(B)P＝b(1－c)＝，由②至少有1人回答正确的概率为，可知3名学生都不正确的概率为1－，所以P＝PPP＝(1－b)(1－c)＝，联立方程组解得所以则甲、乙、丙均回答正确的概率为P(A∩B∩C)＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 63 解析：设事件A＝“第1次抽到代数题”，事件B＝“第2次抽到几何题”，所以P(A)＝，P(AB)＝×＝，则P(B|A)＝＝＝. 解析：P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝，P(丁)＝＝，P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)，P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丙)P(丁).故选B. 解析：根据题意，分别抛掷两枚质地均匀的硬币，则Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，则A＝{(正，正)，(正，反)}，B＝{(正，反)，(反，正)，(反，反)}，C＝{(正，正)}，D＝{(正，正)，(反，反)}，依次分析选项：对于A，AC＝{(正，正)}，则P(AC)＝，而P(A)＝＝，P(C)＝，则P(AC)≠P(A)P(C)，事件A、C不相互独立，A错误；对于B，由对立事件的定义，事件B与事件C对立，B正确；对于C，B∩C＝{(反，反)}，B、C可以同时发生，不是互斥事件，C错误；对于D，P(A)＝＝，P(D)＝＝，A∩D＝{(正，正)}，则P(AD)＝，有P(AD)＝P(A)P(D)，事件A、D相互独立，D正确．故选BD. 解析：(1)设乙能解出该题的概率为p1，丙能解出该题的概率为p2， 因为甲、丙都能解出该题的概率为，所以×p2＝，解得p2＝. 因为乙能解出而丙不能解出该题的概率为，所以(1－)×p1＝，解得p1＝. 所以乙、丙各自解出该题的概率是，. (2)甲、乙、丙3人都没有解出该题的概率是 (1－)×(1－)×(1－)＝××＝， 所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率是1－＝． 解析：第一次抽到3或6的概率为，所以P(A)＝，当第一次抽到3时，第二次可抽4，5，6，7，共4种情况；当第一次抽到6时，第二次可抽7，共1种情况，所以P(AB)＝＝，P(B|A)＝＝＝.故选A. 解析：因为是不放回，所以第1次摸完后还剩6个球，又因为事件A1发生了，即第1次摸出了1个红球和1个白球，还剩3个红球和3个白球．P(A2|A1)＝＝＝.故选A. 解析：记“第一次抽到K牌”为事件A，“第二次抽到K牌”为事件B.根据题意可得P(A)＝＝，P(AB)＝×＝，因此所求概率为P(B|A)＝＝＝. 解析：设事件A表示“从2号罐子中取出的球是红球”，事件B1表示“从1号罐子中取出的球是红球”，事件B2表示“从1号罐子中取出的球是黑球”，P(B1)＝，P(B2)＝，P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，则P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝×＋×＝. $