第10章 第4节 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式-2027年高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“事件的相互独立性与条件概率、全概率公式”核心考点，依据课标要求梳理独立性判断、条件概率计算、全概率公式应用三大考查方向，结合近五年高考真题分析考点权重，归纳选择、填空、解答题等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解析+方法提炼+素养培养”，如以2021新高考Ⅰ卷事件独立性判断为例，通过定义法、样本点法培养数学思维，总结条件概率“缩样法”等解题技巧，助力学生掌握得分关键，教师可依托此课件精准突破高频考点，提升复习效率。

第10章 第4节　事件的相互独立性与条件概率、全概率公式 2027 届高考总复习 目录索引 课表解读 课前自测 知识梳理 考点突破 课标解读　 1.了解两个随机事件独立性的含义,能利用独立性计算概率. 2.了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率. 3.理解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率. 4.会利用全概率公式计算概率. 课前自测 1.(人教A版选择性必修第三册7.1.2节练习第1题改编)现有8道四选一的单选题,小明同学对其中6道题有思路,2道题完全没有思路,有思路的题做对的概率为0.9,没有思路的题只好任意猜一个答案,猜对答案的概率只有0.25,小明同学从这8道题中随机选择1题,则小明做对该题的概率为　　　　　.  0.737 5 解析 设事件A表示“小明做对该题”,事件B表示“小明选到有思路的题”.则小明从这8道题中随机选1题,则他答对该题的概率为P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=0.75×0.9+0.25×0.25=0.737 5. 2.(人教B版选择性必修第二册4.1.3节练习A第5题)加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为　　　　.  解析 加工出来的零件的正品率是(1-)×(1-)×(1-)=,因此加工出来的零件的次品率为1-. 3.(人教B版选择性必修第二册4.1.1节练习A第4题)已知一种节能灯使用寿命超过10 000 h的概率为0.95,而使用寿命超过12 000 h的概率为0.9,则已经使用了10 000 h的这种节能灯,使用寿命能超过12 000 h的概率为　　 　.  解析 由题意,设该节能灯使用寿命超过10 000 h为事件A,则事件A的概率为P(A)=0.95,设该节能灯使用寿命超过12 000 h为事件B,则事件B的概率为P(B)=0.9,则P(AB)=0.9.又由条件概率的计算公式可得P(B|A)=. 知识梳理 1.事件的相互独立性　P(AB)=P(A)P(B)是事件A与B相互独立的充要条件 事件A与事件B相互独立 对任意的两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立 性质 若事件A与事件B相互独立,则A与与B,也都相互独立 2.条件概率 当P(A)=0时,我们不定义条件概率 条件概率 的定义 设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,称P(B|A)=　 　　为在事件A 发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率  条件概率 的性质 设P(A)>0,则(1)P(Ω|A)=1; (2)如果B和C是两个互斥事件,则 P(B∪C|A)=　 ;  (3)设与B互为对立事件,则P(|A)=1-P(B|A) 　 P(B|A)+P(C|A) 微思考 P(B|A)与P(A|B)表示的意思相同吗? 提示 不同.P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率;而P(A|B)表示在事件B发生的条件下,事件A发生的概率.另外从计算公式上看,P(B|A)=,P(A|B)=. 3.全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且 P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意事件B⊆Ω,有　　　　 　　.我们称这 个公式为全概率公式.  指的是对目标事件B有贡献的全部原因 微点拨 求复杂事件的概率时,可以按照某种标准,将一个复杂事件表示为两两互斥事件的并,就可以使用全概率公式将样本空间按照某种方式进行分割,使原本复杂的事件转化为两个或若干个简单事件,再使用条件概率和乘法公式对每个简单事件进行计算,最后使用加法公式将所有结果进行相加,就可以准确便捷地得到结果. P(B)=P(Ai)P(B|Ai) 考点突破 考点一　事件的相互独立性 考向1　事件相互独立性的判断 例1　(1)(2021·新高考Ⅰ,8)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　　) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 解析 由已知得P(甲)=,P(乙)=,P(丙)=,P(丁)=, P(甲丙)=0,P(甲丁)=, P(乙丙)=,P(丙丁)=0. 由于P(甲丁)=P(甲)·P(丁)=,根据相互独立事件的性质,知事件甲与丁相互独立,故选B. 教考链接 (人教A版必修第三册10.2节第1题)分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第1枚正面朝上”,事件B=“第2枚正面朝上”,事件C=“两枚硬币朝上的面相同”,A,B,C中哪两个相互独立? 解 用h表示“正面朝上”,t表示“反面朝上”,则试验的样本空间为Ω={hh,ht,th,tt},A={hh,ht},B={hh,th},C={hh,tt},所以P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=P(AC)=P(BC)=.因此,A,B,C两两独立. (2)(多选题)若P(AB)=,P()=,P(B)=,则下列说法正确的是(　　) A.P(A)= B.事件A与B不互斥 C.事件A与B相互独立 D.事件与B不一定相互独立 BC 解析 ∵P()=,∴P(A)=1-,故A错误;又P(AB)=≠0,∴事件A与B不互斥,故B正确;∵P(A)P(B)==P(AB),则事件A与B相互独立,故C正确; ∵事件A与B相互独立,则事件与B一定相互独立,故D错误.故选BC. 规律方法　判断两个事件是不是相互独立的方法 (1)直接法:直接判断一个事件发生与否能不能影响另一事件发生的概率. (2)定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立. (3)转化法:由事件A与事件B相互独立知,A与也相互独立. [对点训练1](2025·上海青浦模拟)一个质地均匀的正四面体,四个面上分别标有数字1,2,3,4.任意掷一次该四面体,观察它与地面接触面上的数字,得到样本空间Ω={1,2,3,4},记事件A={1,2},事件B={1,3},事件C={1,4},则(　　) A.事件A,B,C两两独立,事件A,B,C相互独立 B.事件A,B,C两两独立,事件A,B,C不相互独立 C.事件A,B,C不两两独立,事件A,B,C相互独立 D.事件A,B,C不两两独立,事件A,B,C不相互独立 B 解析 由题知,P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(AB)=,P(AC)=, P(BC)=,P(ABC)=. 因为P(AB)==P(A)P(B),P(AC)==P(A)P(C),P(BC)==P(B)P(C), 所以事件A,B,C两两独立. 又P(ABC)=≠P(A)P(B)P(C)=,所以事件A,B,C不相互独立.故选B. 考向2　相互独立事件的概率 例2　某校举行围棋比赛,甲、乙、丙三人通过初赛,进入决赛.决赛比赛规则如下:首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛,丙轮空;第一局比赛结束后,胜利者和丙进行比赛,失败者轮空,以此类推,每局比赛的胜利者和本局比赛轮空者进行下一局比赛,直到一人累计获胜三局,则此人获得比赛胜利,比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为,且每局比赛相互独立. (1)求比赛进行四局结束的概率; (2)求甲获得比赛胜利的概率. 解 (1)比赛进行四局结束有以下两种情况: 第一局甲获胜,后三局丙获胜; 第一局乙获胜,后三局丙获胜. 第一局甲获胜,后三局丙获胜的概率P1=,第一局乙获胜,后三局丙获胜的概率P2=,故比赛进行四局结束的概率P=P1+P2=. (2)设甲获胜为事件A,乙获胜为事件B,丙获胜为事件C,比赛进行三局,甲获胜的概率为;比赛进行五局,有以下6种情况:AABBA,AABCA,ACBAA,ACCAA,BBAAA,BCAAA,甲获胜的概率为 ×6=;比赛进行七局,有以下8种情况: AABCCBA,AABBCCA,ACBBCAA,ACBACBA,ACCABBA,BBACACA,BCAACBA,BCCBAAA,甲获胜的概率为×8=.故甲获得比赛胜利的概率为. 规律方法　求相互独立事件同时发生的概率的方法 [对点训练2]某校举行了诗词知识竞赛,在必答题环节,甲、乙两位选手分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答,若甲每道题答对的概率为,乙每道题答对的概率为,且甲、乙答对与否互不影响,各题的结果也互不影响.求: (1)甲至少抽到1道填空题的概率; (2)甲答对的题数比乙多的概率. 解 (1)由题可知,甲至少抽到1道填空题的概率为1-=1-. (2)设事件A1,A2分别表示甲答对1道题,2道题,事件B0,B1分别表示乙答对0道题,1道题,则P(A1)=,P(A2)=,P(B0)=, P(B1)=. 记事件B=“甲答对的题数比乙多”,则B=A1B0∪A2B0∪A2B1,且事件A1B0,A2B0,A2B1两两互斥,事件A1与事件B0,事件A2与事件B0,事件A2与事件B1分别相互独立, 所以P(B)=P(A1B0)+P(A2B0)+P(A2B1) =P(A1)P(B0)+P(A2)P(B0)+P(A2)P(B1)=, 故甲答对的题数比乙多的概率为. 考点二　条件概率 例3　(1)某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加该市举行的“我爱火星”知识竞赛,已知甲同学被选出,则乙同学也被选出的概率为(　　) A. B. C. D. A 解析 (方法1　缩样法)根据题意可知,相当于从除甲以外的5人中选3人的概率,所以P=. (方法2　样本点法)设“甲同学被选出”记为事件A,“乙同学被选出”记为事件B,则n(AB)==6,n(A)==10,所以P(B|A)=. (方法3　定义法)设“甲同学被选出”记为事件A,“乙同学被选出”记为事件B,则P(AB)=,P(A)=,所以P(B|A)=. (2)(2025·山东潍坊模拟)某学校组织中国象棋比赛,甲、乙两名同学进入决赛.决赛采取3局2胜制,假设每局比赛中甲获胜的概率均为,且各局比赛的结果相互独立.则在甲获胜的条件下,甲第一局获胜的概率是(　　) A. B. C. D. D 解析 设甲获胜为事件A,甲第一局获胜为事件B,则P(A)=,P(AB)=,所以在甲获胜的条件下,甲第一局获胜的概率是P(B|A)=.故选D. 规律方法　条件概率的三种求法 定义法 先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A) 样本 点法 借助古典概型概率公式,先求事件A包含的样本点个数n(A),再求事件AB包含的样本点个数n(AB),得P(B|A)= 缩样法 缩小样本空间的方法,就是去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用古典概型求解,它能化繁为简 [对点训练3](1)(2025·甘肃平凉模拟)已知M,N是一个随机试验中的两个事件,且P(M)=,P(N)=,P(M|N)=,则P(N|M)=(　　) A. B. C. D. D 解析 因为P(M|N)=,P(N)=,所以P(MN)=. 则P(N|M)=.故选D. (2)(2024·天津,13)有A,B,C,D,E五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加,则甲选到A活动的概率为　　　　　;已知乙选了A活动,那么他再选择B活动的概率为　　　　　.  解析 (方法1　列举法)从五个活动中选三个有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE, BCD,BCE,BDE,CDE,共10种情况,其中甲选到A活动有ABC,ABD,ABE,ACD, ACE,ADE,共6种情况,则甲选到A活动的概率为;乙选了A活动有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,共6种情况,其中他再选择B活动有ABC,ABD,ABE,共3种情况,则乙选了A活动,再选择B活动的概率为. (方法2)甲选到A活动的概率P=; 设乙选了A活动为事件M,乙选了B活动为事件N,则P(M)=,P(MN)=,所以乙选了A活动,再选择B活动的概率P(N|M)=. 考点三　全概率公式 例4　(1)某考生回答一道四选一的考题,假设他知道正确答案的概率为0.5,知道正确答案时,答对的概率为100%,而不知道正确答案时猜对的概率为25%,那么他答对题目的概率为(　　) A.0.625 B.0.75 C.0.5 D.0.25 A 解析 记事件A为“该考生答对题目”,事件B1为“该考生知道正确答案”,事件B2为“该考生不知道正确答案”,则P(A)=P(B1)·P(A|B1)+P(B2)·P(A|B2)=1×0.5+0.25×0.5=0.625. (2)(2025·甘肃靖远模拟)已知甲箱中有2个红球和3个黑球,乙箱中有1个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同),某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱,再从乙箱中随机取出1个球,记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B,则P(B)=(　　) A. B. C. D. D 解析 记“从甲箱中取出的球恰有i个红球”为事件Ai(i=0,1,2), 根据题意可得P(A0)=,P(A1)=,P(A2)=, P(B|A0)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=, 所以P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) =.故选D. 规律方法　利用全概率公式求解概率的步骤 [对点训练4](2025·海南中学模拟)某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查,参加活动的甲、乙两班的人数之比为2∶3,其中甲班的女生占,乙班的女生占,则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为(　　) A. B. C. D. D 解析 记事件A1=“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是甲班的”,事件A2=“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是乙班的”,事件B=“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是女生”,则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥. 由题意可知,P(A1)=,P(A2)=,且P(B|A1)=,P(B|A2)=,由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=,即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为.故选D. 思维进阶　贝叶斯公式 设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0, i=1,2,…,n,则对任意事件B⊆Ω,P(B)>0,有P(Ai|B)=,i=1,2,…,n. 典例(1)现有一种医学检验方法,对患有X疾病的人化验结果90%呈阳性,对未患有X疾病的人化验98%呈阴性,我们称检测为阴性的人中患病的概率为漏诊率.现已知某地区X疾病的患病率为0.04,利用贝叶斯公式,则这种医学检验方法在该地区的漏诊率大约为(　　) A.0.001 B.0.002 C.0.003 D.0.004 D 解析 设事件A=“该人患病”,=“该人不患病”,B=“检测为阴性”,根据题意,可得P(A)=0.04,P()=0.96,且P(B|A)=0.1,P(B|)=0.98,由贝叶斯公式,可得P(A|B)=≈0.004.故选D. (2)某企业员工小唐撰写报告选择M,N,O三个程序的概率均为,而使用M,N,O出错的概率分别为,若他的报告有误,在此条件下,他选择M写报告的概率为(　　) A. B. C. D. C 解析 设事件A为选择程序M,事件B为选择程序N,事件C为选择程序O,事件D为报告有误,则P(A)=P(B)=P(C)=,P(D|A)=,P(D|B)=,P(D|C)=,所以P(A|D)== =. 故选C. [对点训练](1)假设甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球,则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为(　　) A. B. C. D. C 解析 设从甲袋中取出2个球,其中白球的个数为i的事件为Ai,i=0,1,2,事件Ai的概率为P(Ai),从乙袋中取出2个球,其中白球的个数为2的事件为B,事件B的概率为P(B).由题意可得,P(A0)=,P(B|A0)=; P(A1)=,P(B|A1)=;P(A2)=,P(B|A2)=.根据贝叶斯公式可得,从乙袋中取出的是2个白球,则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为P(A2|B)== . 故选C. (2)(2025·四川德阳模拟)某汽车4S店从甲、乙、丙三个车企分别采购同一款智能汽车500辆、400辆、100辆进行销售,甲、乙、丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%,3%,5%,某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车,在智驾过程中突然出现故障,则根据概率计算出甲、乙、丙三个车企应承担的责任比为(　　) A.2∶3∶5 B.10∶12∶5 C.5∶12∶10 D.5∶4∶1 B 解析 设事件Ai(i=1,2,3)分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,事件B表示智驾出现故障. 由全概率公式得P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3) =, 由贝叶斯公式得P(A1|B)=,P(A2|B)=, P(A3|B)=,所以甲、乙、丙要承担的责任比为10∶12∶5.故选B. $